Trigonometria - Luisa Rámirez

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P A R I S ^ ^para , -
AMOR A SOFIA*
P ' '//altor Obbpa MIIJc 
Sandro Do la Cm/ o.?nrd|
Lumbreras
Editores
Sistemas de medición angular '
Lectura de motivación 13
Conceptos previos 14
Tipos de sistemas 15
Equivalencia entre los tres sistemas 18
Números que relacionan la medida 
de un ángulo 21
Resolvemos juntos 24
Practiquemos lo aprendido 40
Longitud del arco de una 
circunferencia
Lectura de motivación 47
Arco de circunferencia 48
Aplicaciones diversas 54
Resolvemos juntos 63
Practiquemos lo aprendido 89
Razones trigonométricas de un ángulo
^agudo
Lectura de motivación 99
Triángulo rectángulo 100
Razón trigonométrica 103
Razones trigonométricas de 30°; 60°; 
45°; 37° y 53° 105
Razones trigonométricas recíprocas 109
Razones trigonométricas de ángulos 
complementarios 110
Resolución de triángulos rectángulos 112
Área de una región triangular 113
Ángulos verticales 114
Resolvemos juntos 115
practiquemos lo aprendido 139
Razones trigonométricas de un ángulo
en posición normal
Lectura de motivación 147
Nociones previas 148
Ángulo en posición normal 153
Signos de las razones trigonométricas 
en los cuadrantes 156
Ángulos cuadrantales 157
Ángulos coterminales 158
Resolvemos juntos 159
Practiquemos lo aprendido 184
Circunferencia trigonométrica
Lectura de motivación 193
Ecuación de una circunferencia 194
Arco dirigido 197
Representación de las razones 
trigonométricas en la
circunferencia unitaria 200
Resolvemos juntos 209
Practiquemos lo aprendido 231
Identidades trigonométricas 
fundamentales
Lectura de motivación 243
Identidad trigonométrica 244
Identidades trigonométricas por cociente 245 
Identidades trigonométricas recíprocas 246
Identidades pitagóricas 248
Propiedad 253
Identidades trigonométricas auxiliares 255 
Resolvemos juntos 258
Practiquemos lo aprendido 278
Identidades trigonométricas de un 
ángulo compuesto
Lectura de motivación
Identidades para la suma 
de dos ángulos
Identidades para la diferencia de dos
ángulos 287
Identidades auxiliares 290
Propiedades 293
Resolvemos juntos 296
Practiquemos lo aprendido 318
Identidades trigonométricas de 
reducción al primer cuadrante
Lectura de motivación 325
Nociones previas 326
Reglas para reducir al primer cuadrante 327 
Resolvemos juntos 336
Practiquemos lo aprendido 356
Identidades trigonométricas de 
ángulos múltiples
Lectura de motivación
Identidades trigonométricas del ángulo
doble
Identidades trigonométricas 
del ángulo triple 
Resolvemos juntos 
Practiquemos lo aprendido
Identidades trigonométricas de
transformación
Lectura de motivación
De suma o diferencia de senos
a producto
363
364
373
381
404
411
412
De suma o diferencia de cosenos 
a producto 413
De producto a suma o diferencia 417
Resolvemos juntos 420
Practiquemos lo aprendido 450
Resolución de triángulos 
oblicuángulos
Lectura de motivación 457
Teorema de senos 458
Teorema de cosenos ' 461
Teorema de proyecciones 463
Teorema de tangentes 464
Resolvemos juntos 466
Practiquemos lo aprendido 488
Funciones trigonométricas
Lectura de motivación 497
Definición de función 498
Dominio de una función 499
Rango de una función 500
Algunos tipos de funciones 505
Gráfica de las funciones trigonométricas 509 
Estudio del senoide 511
Resolvemos juntos 514
Practiquemos lo aprendido 537
Funciones trigonométricas inversas 
Lectura de motivación 547
Definiciones de los operadores 
trigonométricos inversos 548
Gráficas de algunas funciones 
trigonométricas inversas 551
Gráfica de la función y=/4arcsenfíx 554 Solución general 595
Teoremas 557 Ecuación trigonométrica elemental 596
Resolvemos juntos 560 Sistemas de ecuaciones 6 01
Practiquemos lo aprendido 583 Inecuación trigonométrica 602
Ecuaciones trigonométricas Resolvemos juntos 604
Lectura de motivación 593 Practiquemos lo aprendido 631
Concepto 594 Glosario 637
Conjunto solución (CS) 594 Bibliografía 639
: r..' : .' ' ÍK?í} ' ' ". 'J \?■
........a.....«..... "»»" —T
Aprendizajes esperados
• Conocer los sistemas de medición angular, así como sus 
unidades y subunidades.
• Expresar los ángulos en diversas unidades y convertirlos 
de ciertas unidades a otras.
El estudio de las matemáticas y la necesidad de cuantificar 
ha requerido, desde la Antigüedad, apoyarnos en sistemas 
de referencia. Por ejemplo, cuando se quería medir una dis­
tancia, se utilizaban diversos sistemas de referencia como el 
pie, la cuarta, la yarda, entre otros.
El problema con este tipo de unidades es que no se elim i­
naba la ambigüedad, es decir, se fomentaba el uso de dife­
rentes medidas en los diversos pueblos, lo que dificultaba 
las diversas actividades como el comercio, donde tenían 
que ponerse de acuerdo sobre las cantidades con las que 
se estaban negociando. A finales del siglo xvm, en Francia se 
adopta el llamado sistema métrico. La ventaja de este siste­
ma es doble (por una parte proporciona una única unidad 
para cada magnitud física), además, no es necesario el uso 
de factores de conversión puesto que todos los múltiplos y 
submúltiplos de la unidad son potencias de diez.
En el caso de los ángulos, la necesidad de darle unidades 
de medición no ha sido la excepción. Por ejemplo, en las 
culturas antiguas, los babilonios adoptaron la unidad sexa­
gesimal, que se mantiene hasta la actualidad por su practici- 
dad. Asimismo se han ido creando instrumentos para medir­
los tales como el sextante, el goniómetro, el compás, entre 
otros, los cuales buscarán siempre una mayor precisión.
¿ P o r qué e s n e ce sa rio e s te co n o cim ien to ?
Permite entender la relación que existe entre el ángulo y 
las unidades que se le puedan asignar, así como la relación 
existente entre una magnitud y el sistema de referencia que 
tiene su unidad de medida. Todo ello en el estudio de las 
ciencias en general ayuda a cuantificar los fenómenos.
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Dato curioso
| Las carreras en una pista de 
i atletismo se dan en sentido 
\ antihorario.
: El girar en sentido antihorario 
i en una pista de atletismo favo- 
1 . rece a los atletas en poseer 
| mayor fuerza en la pierna de-
V recha (la pierna derecha esta-
: ría realizando mayor trabajo y
¿ i ¡; recorriendo mayor distancia que 
i la pierna izquierda).
A m e d i c i ó n a n q u l a r
1, CONCEPTOS PREVIOS 
1.1. Angulo trigonométrico
Es aquel que se genera por la rotación de un rayo alrededor de 
un punto fijo (O) llamado vértice desde una posición inicial (lado 
inicial) hasta una posición final (lado final).
inicial
donde
O: vértice
- 0: medida del ángulo trigonométrico
1.1.1. Ángulos positivos'• U , * é ' •/'; *
Se generan cuando la rotación del rayo es en sentido antiho­
rario.
Ejemplos
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
1.2 . Ángulo de una vuelta
Se genera por la rotación completa de un rayo; es decir, su 
lado final coincide con su lado inicial por primera vez.
----------------------------------
lado inicial
\
' O '
< 1 v
V__
lado final
J
donde < 1 v es el ángulo de una vuelta. 
Ejemplos
2 v
2, T IPO S d I | | IS T ¡
Para com parar ángulos de distintos tamaños, se necesita una 
unidad estándar.
Al igual gue un segmento de recta puede medirse en pulgadas, 
metros, centímetros, millas, etc., un ángulo se mide en grados 
y radianes.
Los sistemas para medir ángulos son tres: sexagesimal, 
centesimal y radial.
2.1. Sistema sexagesimal
Tiene como unidad de medida al grado sexagesimal (1o), ei 
cual se obtiene al dividir el ángulo de una vuelta en 360 partes
iguales.
Unidad
Grado sexagesimal: T
1° = m<1 v360
in -ï 1 v=360c
r
Importante
Cuando a un ángulo trigono­
métrico se le invierte su sentido, 
su valor cambia de signo.
Ejemplos
45°
--->
V o
Z25°
Para sumar dos o más ángulos 
trigonométricos, gráficamente es 
necesario que estén en un 
mismo sentido.
Ejemplos
1. Sumamos los ángulos en 
sentido antihorario.
90°
V
□-
/
\
\o\
0+(-a)=9O°
0-a=9O°
2. Sumamos los ángulos en 
sentido antihorario.
180'-'
0+(-J3)+a=90°
0-(3+a=180°
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Subunidades 
Minuto sexagesimal:T 
Segundo sexagesimal: 1"
Ejemplos
1. Convirtamos dos grados sexagesimales en 
minutos sexagesimales.
2°= a ( C
2°=2(60')
2° = 120'
2. Convirtam os tres minutos sexagesimales 
en segundos sexagesimales.
3'=3\- "6 0 M>
3= 3(60")
3'=180"
3. Convirtamos 14 400 segundos sexagesi­
males en grados sexagesimales.
U 400"= 144k\\(-^ r-v
( 3 6 k 8 X
14400"=
"144^ 
\ 3 6 ,
14400"=(4)1° 
14400"=4°
1°
Importante
Se cumple queA°B'C'=A0+B' + C", 
donde B; C< 60.
Ejemplos
• 3°15'40"=3°+15'+40"
• 29o13,50"=29o+13' + 50”
• 40°+20'+10"=40°20'10"
2.2. Sistem a centesim al
Tiene como unidad de medida al grado 
centesimal ( i9), el cual se obtiene al dividir 
el ángulo de una vuelta en 400 partes iguales.
Unidad
Grado centesimal: 19
19 = m<1 v 
400
m <1 v=4009
Su Brini da des 
Minuto centesimal: 1m 
Segundo centesimal: 1s
3g=300m
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
2. Convirtamos cinco minutos centesimales en segundos 
centesimales.
5m =5- q V . 1005''
V > )
5m=s(l00s) '
5m=500s
3. Convirtamos 60 000 segundos centesimales en grados 
centesimales.
60000s
60000s=6(lg)
60000s=69
' 19 ̂
i d M s
Importante 
Se cumple que
Ag Bm Cs=Ag + Bm + Cs, donde 6; 
C<100.
Ejemplos
. 80940m20s=809 + 40m+20s
. 239 50m70s=23g + 50m + 70s
. 75g + 15m+50s=75915m50s
Al sistema radial también se le 
llama sistema circular o interna­
cional.
A lo largo de la historia, la ex­
presión pi ha asumido muchas 
variaciones. En uno de los más 
antiguos textos matemáticos, 
el papiro de Rhind (1650 a.n.e.), 
escrito por el egipcio Ahmes, se 
afirma que el área de un círcu­
lo es como la de un cuadrado, 
cuyo lado es igual al diámetro 
-|disminuido en Este papiro fue 
9
descubierto en 1855.
7 3 Sistema radial o circula*
Es la medida del ángulo central que subtiende un arco cuya 
longitud es igual al radio de la circunferencia. Tiene como uni­
dad de medida al radián (1 rad).
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3. EQUIVALENCIA ENTRE LOS TRES SISTEMAS
En los tres sistemas de medición angular se cumple lo siguiente:
No olvide
Los valores aproximados de re 
son los siguientes:
• 71 = 3,1416
Importante
Para las conversiones entre 
los tres sistemas, usaremos lo 
siguiente:
9o=109
rad
200g=7t rad
• m<1 v=360° (I)
• m<1 v=4009 (II)
• m<1 y=2n rad (III)
Entonces igualamos (I), (II) y (III). 
m<1 v=360°=400g=2:n; rad
180°=2009=7t rad
(--- • ^ f r
180°=200g 1S0°=7t rad | 2009=7trad
Aplicación 7
Para lograr abrir la puerta, la manija debe girar un ángulo de 
50° Si una persona intenta abrir la puerta girando la manija un 
ángulo de — rad, ¿logrará abrir la puerta?
Resolución
Para loqrar abrir la puerta, el ángulo -a rad debe ser mayor o4
igual a 50°.
Convertimos - rad al sistema sexagesimal multiplicándolo por 
4
180°
el factor de conversión------71 rad
—̂ - rad = — rá<- 4 4
' 180° ' 
v rad. y
- rad = 45° 
4
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
Comparando los ángulos 45° y 50° observa­
mos que 45°<50°. Por lo tanto, la puerta no 
se logrará abrir.
\
Observación
Para la conversión de un ángulo de un sistema 
a otro sistema, usaremos el método de factor 
de conversión.
unidad que quiero 
unidad que no quiero
Aplicación 2
Convierta 54° a grados centesimales. 
Resolución
Para convertir 54° al sistema centesimal, lo
10g
multiplicam os por el factor de conversión 9°
-» 540= 54Y
... 54°= 609
V 9 V
Aplicación 3
Convierta 80g a grados sexagesimales.
RESOLUCION
Convertimos 80g al sistema sexagesimal muí
(¡pilcándolo por el factor de conversión — .
809 = 8Q.X
/ 90 Ì
—>
80g=72°
Aplicación 4
Convierta 60° a radianes.
Resolución
Convertimos 60° a radianes multiplicándolo
n radpor el factor de conversión 180c
-> 60°= 6X\-
n rad
n rad
1 8X \.
60°=
Aplicación 5
TíConvierta — rad a grados sexagesimales.
Resolución
J[
Convertimos — rad al sistema sexagesimal 6
multiplicándolo por el factor de conversión 
180° 
n rad
—> — rad = — rad' 6 6
- rad = 30° 6
Aplicación 6
n
180°
7irad
Convierta — rad a grados sexagesimales. 
8
RESOLUCION
Convertimos ^ rad al sistema sexagesimal mul-
. , 180°
tiplicándolo por el factor de conversión
71 rad = — rad. 8 8
. ( 180°
7Óract
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n 45°— rad = — 8 2
71 44° +10 10
—> — rad = -------- = 22° + —
8 2 2
^ rad = 22° + — = 22°+30'o 2
^ rad = 22°30'
A plicación 7
TíConvierta — rad a grados sexagesimales.
Resolución
Convertim os a sexagesimales.
n_> — rad = —— 
32 32
ÍO racj ( 180° ^
 ̂Taraci j
n , 45° 40° +5° — rad=-
32 8 8
„ 5° 5(60— rad = 5°+— =5°+----
32 8 8
75' _ 74'+Tü r a d =5°+— =5°+--> 32 . 2 ¿
1' 60' J L rad=5°+37' +—=5°+37 + - y 
32 ¿
23- rad = 5°+ 37'+ 30" 
32
A p l ic a c ió n 8
Ordene los ángulos de menor a mayor medida. 
1a = 609; f3 = —- rad; 0 -55 °
36
R e so lu c ió n
Convertimos los ángulos a un mismo sistema 
(sistema sexagesimal).
9°
a = 60;
cc=54°
10x
(0
[3 = ^ rb<
36
P=65°
0=55°
f 180° ̂
7i"rad
(ID
(III)
Comparando (I), (II) y (III) obtenemos que 
54° < 55° < 65°
a < 0 < (3
Reto al saber
Establezca mediante flechas las parejas 
equivalentes.
n a — rad •3
• 90°
45° • n rad
71— rad •2
• 30°
I
71 j— rad • 6
n , • — rad 
4
180° • 60°
2009 • • 360° 1
2n rad • • 180°. 2L rad = 5° 37'30 
•’ 32
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
4 , N Ú M ER O S Q U E R ELA C IO N A N LA M ED ID A 
D E UN Á N G U LO
Expresamos la medida del ángulo AOB en los 
tres, sistemas.
Se observa que 
S°=CA=R rad
Dividim os entre el ángulo de una vuelta 
S° C 9 R rad
m<1 v m<1 v m<1 v
S \ _ c \ _ _ R j^ ú _ 
3 6 0 \ 400^ 2n ^
S—̂ 360 400 2n
Simplificamos
9 10 £ 
20
f 71 tS=9fcC=10fcff = — *
l
donde
S- número de grados sexagesimales
C n ú m ero de grados centesimales
R: número de radianes 
íc- rnnstante
Aplicación 9
Si k= 5, halle la medida del ángulo en los tres 
sistemas.
R e so lu c ió n
Dato: k=5
Sabemos que
• S=9k=9(S)=4S
Entonces la medida del ángulo es 45°.
• C=10C=10(5)=50
Entonces la medida del ángulo es 50g.
/? = — A = — (5) = ^ 
20 20 4
Entonces la medida del ángulo es — rad.4
A plicación 10
Si se cumple 2C-S=22, halle el número de 
grados sexagesimales. Considere que S y C 
son conocidos.
OLECCIÓN ESENCIAL
'■i'-'.-T:.-■
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Aplicación 77
A partir del gráfico, calcule el valor de x.
Resolución
En el gráfico se observa que los ángulos tienen 
el mismo sentido, entonces los igualamos. 
(5x+8)°=120g (*)
Convertimos 120g a grados sexagesimales.
90 X
1209 = 12X \
i K \
factor de 
conversión
120g=108°
Reem plazam os en (*).
(5 x + 8 ) \ = 1 0 8 \
5x = 1 08-8 —* 5x=100 
/. x=20
Aplicación 12
Halle el valor de la expresión M. 
M = 2 7 ° + | rad + 909
convertios los ángulos a un mismo sistema
(sexagesimal).
. * r a d = f ^ <
3 3
— rad =60°
3
(O
90g= 9 X \
90g=81°
( 9° ^
kV ;
(II)
Reemplazamos (I) y (II) en M. 
M=27o+60°+81°
M=168°
Aplicación 13
5nLa suma de dos ángulos es — rad y su dife­
rencia es 30°. Halle la medida del mayor ángu­
lo en radianes.
Resolución
Sean los ángulos a y (3.
Consideremos que a > (3.
Nos piden a.
• a+(3 = -̂ ? rad (I)
6
• a-|3=30o (II)
Sumamos (I) y (II).
2a = — rad+ 30° (III)6
6 6 l ^ r a d j
— rad=150° 6
Reemplazamos en (III). 
2a=150°+30° 
2a=180° -» a=90°
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
Lo convertimos a radianes.
a = 90\ - 71radi
180\
n ja = — rad 2
A plicación 14
Los números que representan la medida de un 
ángulo en los sistemas sexagesimal y centesi­
mal son números impares consecutivos. Calcu­
le dicho ángulo en radianes.
Resolución
Sabemos que
S=9k a C=10/c
además, por dato 
C -S = 2 
10£-9£=2 
-> k=2
nNos piden R = — k. K 20
71-> R =— (2) 
20
nR = — rad 10
A p l ic a c ió n 15
Halle la expresión E.
-|9 -jo 'î n
£=------1---- 1----
10m 3' 2S
R eso lu c ió n 
Sabemos que
1g=100m; 1°=60' y 1m=100s
Reemplazamos
100™' 60\ 100^£ = — ~ + ~ r 1 +
10^ ■ 3\ 2
£=10 + 20 + 50 
£=80
X
Ir l |g ¡ ¡
i
para inyestigaf___—— --------------- ----------------------- '
Se «ene que S es el númerode grados sexagesimales de un ángulo, donde se cumple que
ĵ 20 Ss j =| rad+50g + ̂rad+^-
Calcule el ángulo en el sistema radial.
RESOLVEMOS JUNTOS
Problem a N,° 1
A partir del gráfico, calcule el valor de x.
A) 7o B) 8o C) 9o
D) 10° E) 11°
Resolución
Se observa que los ángulos tienen senti­
dos contrarios; entonces los ponemos en un 
mismo sentido (antihorario).
Sumamos los ángulos.
14x.+ 1 5 °+ 4x-15 °= W
ángulo de 
media vuelta
18x=180°
x= 10° ' clave jV.,...
Problema N. ___________—— ------ -
Calcule x en función de los ángulos a y 0.
Resolución
Analizamos el sentido de los ángulos, donde
- x: sentido antihorario
- 9: sentido horario
- a: sentido antihorario
Ponemos los ángulos en sentido antihorario.
Sumamos los ángulos.
x + (- 0)=a 
—> x - 0=ot 
x= a +0
: Clave .
Problem a N.° 3
Del gráfico, calcule el valor de x.
D) 29° E) 30°
Resolución
Ponemos los ángulos en sentido antihorario.
A) a - 0 B) 0 - a
C) ot+0 
E) 2 a -0 M--
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
Sumamos los ángulos.
70g+90°+x=180°
—> x+70g=90° (*)
Convertimos 70g a grados sexagesimales.
709 = 7ÍSiV 9° ^
y
factor de 
conversión
70g=63°
Reemplazamos en (*). 
x+63°=90° 
x=27°
Problema N.° 4
i Clave
Halle la expresión R.
R = (I
— rad + 509 +5° 
9 ____________
10°
A) 2 
D) 5
B) 3 C) 4 
E) 6
Resolución
Convertimos los ángulos a un mismo sistema
(sexagesimal).
2 V a d = 4 p a d 
Q 9
180°
rCrad.
rad = 40° 
9
(I)
. 509 = 50 öi
f 90 3
10^ ;
Reemplazamos (I) y (II) en R.
R =
R =
R=3
40°+45°+5°
10°
|90 \
10\
: Clave
Problema N.” 5
Calcule el valor de la expresión T.
n rad + 27r rad + 37i rad + ... + 2015jr rad
T =
A) 90 
D) 140
1o+2°+3°+... + 2015°
B) 100 C) 120 
E) 180
Resolución
Factorizamos n rad en el numerador y 1o en el 
denominador.
n rad(l + 2 + 3 + ... + 2015)
T = ■1° ( l + 2+3 + ... + 2015)
-» T = n rad 1o
180cMultiplicamos por el factor de conversión 
>ra<d f 180\ Ì
T =
1 \ n rad. y
•. 7=180
C/ove
509=45° (ID
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Indique qué tipo de triángulo es el que se i m</4fíC+36o+72°=180° 
presenta en el gráfico. i _ ̂ m<.ABC=72°
Problema N.n 8 i Hallamos la m<ABC del gráfico.
B
A) escaleno
B) isósceles
C) equilátero
D) rectángulo
E) rectángulo isósceles
Resolución \ ' J
Convertim os los ángulos al sistema sexagesimal.
n it J 180° ^. — rad=— rad — :
5 5 Vît rad.
— rad=B6°
5
. 809 = 8 X X
809 =72o
c go X
à
(I)
(II)
Reemplazamos (I) y dO en el gráfico.
B
Se observa que
m<ABC=rr\<ACB=72°
Por lo tanto, el triángulo ABC es isósceles.
; Clave i................ i.,. •
Problema N.*7___ ________________ _
En un triángulo, dos de sus ángulos interio­
res miden 70g y ^ rad . ¿Cuál es la medida del 
tercer ángulo en el sistema sexagesimal?
A) 20° B) 23° C) 27°
D) 30° E) 32°
Resolución
Graficamos
B
Sea x la medida del tercer ángulo. 
Del gráfico
x + — rad+70g =180° 2
. ï r a d - ^ Ï W . 2 2
' 180° " 
 ̂tCracf j
(I)
_> Cl rad=90° 
2
(II)
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
709 =7o\| 9o ^
X.10
70g=63°
Reemplazamos (II) y (III) en (I).
x+90° + 63°=180°
/. x=27°
i Clave
Problema N.° 8
En el gráfico, al medir el ángulo se obtuvo 
a=209 50m. ¿Cuál es la medida del ángulo en 
el sistema sexagesimal?
teodolito
\ A , -' yá----‘-
k
í£>
X +■
A) 18° 27'
D) 18° 16'
Resolución
B) 18° 37' C) 18° 7' 
E) 18° 26’
NO OLVIDE
9°=10g 
27'=50m
■y¿oo<>o<><>o<><>o<x>í><><> ^
Del dato
a = 20g + 50m (l)
Convertimos el ángulo al sistema sexagesimal. 
9° ^
. 20g = 2o \ |
10 g '
50m = 5o\ 27' ^
-> 50m=27'
Reemplazamos (II) y (III) en (I). 
a=18°+27' 
a=18° 27'
(III)
: Clave ■
Problema N.° 9_________________ _
Calcule el valor de la expresión E. 
VT40"E = 1'40"
A) 1 B) 37 ’
D) 42
Resolución
.. -jC' •/OĈXXX><XX>'X'-<yX>-
No OLVIDE
C) 41 
E) 47
1°=60'
r=60"
1°=3600"
->X<XXX>00<>000<X
En el problema 
1°+r+40'E = ■r+40"
Convertimos los ángulos a segundos sexage­
simales.
3600"+60"+40"
E = ■ 60"+40"
-> E = 3700\100\
£=37 ; C/ove
20g=18° (ID
Problema N.° 10
Los números S y C representan la medida de 
un ángulo en los sistemas sexagesimal y cen­
tesimal, respectivamente, y se cumple que 
4 S - 3 O 3 0 . Halle la medida del ángulo en el 
sistema sexagesimal.
A) 30° 
D) 45 °
B) 40° C) 35° 
E) 50°
Resolución
Sabem os que S=9k y C=10/c.
Reem plazam os en el dato.
4 S - 3 O 3 0
4(9/0-3(10/0 = 30 -> 36k-30k=3Q 
6/c= 30 —> k= 5
Luego
. S=9k=4S -> m <=45°
. 0 1 0 ^ = 5 0 -» mcc = 509
Por lo tanto, el ángulo en el sistema sexage- 
sima! es 45° ; clave f
Problema N.° 11________________________________
LoLnúmeros S, C y R representan la medida 
de un ángulo en el sistema sexagesimal, cente­
simal y radial, respectivamente, de ello
^ 2 0 R - 2 9 2 S + C + — - - 4 9
Halle la medida del ángulo en el sistema radial.
A) — rad ’ 10
B) radb
C) — rad 9
D) ■— rad ; 12
E) — rad 20
Resolución 
Sabemos que
nS=9k; C=m -,R = — k 20
Reemplazamos en el dato 
20 R2S + C + - = 29
Tí
29-» 2(9/r)+10<r+— í — 2
V U o . .
182+102+2=29 
292=29 -» 2=1
Reemplazamos
S=9k=9 —» m< = 9°
C=10A=10 m<=109
Tí Tí 71 ,R = — K = — -> m< = — rad 20 20 20
Por lo tanto, el ángulo en el sistema radial
es — rad.20
! Clave
Problema N.‘ 12
A partir de gráfico, calcule el valor de x.
A) 9 
D) 12
C) 11 
E) 13
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
Resolución
Colocamos los ángulos en un mismo sentido 
(antihorario).
Del gráfico
9x° + 90g=180°
Convertimos a sexagesimales.
90g = 90^ 
90g=81°
í go
V10
Reemplazamos en (*). 
9x°+81°=180°
9 x \ = 9 9 \ ->• 9x=99 
■ x —11
i Clave
P r o b lem a N.‘ 13____________________ —--------
Calcule la medida del ángulo AOB en radianes.
A) — rad 
^ 12
D) ^ ra d
E) f rad
Resolución
Colocamos los ángulos en un mismo sentido 
(antihorario).
Del gráfico
(5x-5)°= (4x+10 )9
Convertimos a sexagesimales.
U 9 V(5 x-5 )°\ = (4x + 10)
10(5x-5) = 9(4x+10) 
50x-50=36x+90 -> 14x=140 
x =10
Luego, m < A 06= (5x-5 )°
Reemplazamos x=10.
m<406=(5(10)-5 )° ->
m < 4 0 6 = — rad 4
Problema N.‘ 14______________________________
La medida de un ángulo en el sistema sexa­
gesimal es (x -1)° y en el sistema centesimal es 
(20-x)9. Calcule la medida de dicho ángulo en 
radianes.
A) rad 10
D) — rad 
1 20
B) — rad 
' 12
O - ra d 
E, f rad
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución Resolución
Sea a la medida del ángulo. Nos piden a.
a = (x - 1)° (I)
cc=(20- x )9 (II)
Igualamos (l) y (II).
( x - 1) \ = (2 0 - x )
A
y Convertimos 609 a grados sexagesimales.
Entonces
10(x-1)=9(20-x) 60g =6X^
f 90 ^
10x-10=180-9x
19x=190 x =10 -> 609=54°
Reem plazam os en (I).
a = (10- 1)°
—> oc=9°
1
Del gráfico 
a+ 609=90°
a+54°=90° -y a=36°
Nos piden el ángulo en radianes.
Q > f " rad ) 
a = 9 \ l 8 0 \ J
Convertimos a radianes.
n f n rad" a - 3 6 \ v
U 8 0 \ J
. a = -~-' rada 20 ? Clave \
a = ^ rad
¡ Clave í.
I_ l___ a M ‘ 15
■> Problema N.° 16
^ ro u ie n i« ------------ ---------
Uno de los ángulos agudos de un triangulo 
rectángulo mide 60*. Calcule la medida 
otro ángulo agudo en radianes.
A) í rad B) f rad Q f "«*
Los ángulos interiores de un triángulo están 
en progresión aritmética. Halle la medida del 
ángulo intermedio en el sistema radial.
2n
A) — rad B) — rad C) — rad 
4 á
« . E) D) ~r rad 4
— rad
3
. 471 , 
D) y rad E) — rad ; 2
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
Resolución
Damos valores:
- 0: razón de la P.A.
- x-Q ; x; x+0: ángulos en P.A.
Entonces
x - 0 < x < x +0
Del gráfico
(x —X ) + x + (x + \ ) = 180°
3x=180° -> x=60°
En consecuencia, el ángulo intermedio es 
x=60°.
Resolución
Como la razón de la P.G. es 2, entonces los 
ángulos son 0; 20 y 40.
Del gráfico
0 + 20+40=180° -> 70=180°
_ 7T70=tc rad — > 0 = — rad 7
4 ttPor lo tanto, el mayor ángulo es 40 = — rad.
: Clave .
Luego, lo convertimos al sistema radial.
6 0 °= ^ rad 7
í Clave
Problema N.° 18______________________________
A partir del gráfico, halle x -y . Considere que 
ABCD es un trapecio.
Problema N.° 1 ? ______ ___________ — —
Los ángulos interiores de un triángulo están 
en progresión geométrica de razón 2. Halle la 
medida del mayor ángulo en el sistema radial.
A) ^ rad B) f rad C) f rad
n 671 ,571 . E) — radD) y rad ' 7
B C
A) 30° 
D) 60°
B) 45°
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución Problema N.* 19
Como ABCD es un trapecio, entonces BC//AD. \ Tenemos el siguiente gráfico.
En el vértice B 
x + 5 0 g=180°
x+5 \V
9o s\
iX V
=180°
V J
x+ 45°= 180°
x=135°
En el vértice C
y + 2 ï rad=180°
. 27Trad
y+ 3
/ 180° á 
ĈracL
= 180°
y +120°=180°
-> y= 60°
Luego
x _ y=135o-6 0 o 
... x -y= 7 5°
Calcule x+ y en radianes.
A) — rad B) ^ rad 
3 4
D) n rad
Resolución ;
:::Jr
1
V
Vi .
§£è
Importante
En el problema
x+126°+y+609=360°
V i 9°
_ 5n , C) — rad 6
E) — rad 6
(X -I p - f 0 i (i) - >60 ■
—̂ x+y+126°+6Í4 = 360c
; Clave
x+y+126° + 54°=360° 
-> x+y=180°
Capítulo i Sistemas de medición angular
Convertimos 180° a radianes. 
x+y=n rad
¡ Clave \
Problema MA 20
Si S y C son los números de grados sexagesi­
males y centesimales, respectivamente, para 
un cierto ángulo, halle la expresión M.
M = 5C -2S
2 (C - S )
+ 3
Problema NA 21 
A partir del gráfico, calcule x.
A) 5 B) 6
D) 8
R e so lu c ió n 
Sabem os que
S=9k a C=10/c
Reemplazamos en M.
M =
V
5(10/0-2(9/0 + 3
C) 7 
E) 9
A) 40 B) 42 C) 48
D) 50 E) 54
Resolución
Aplicamos el teorema de triángulos.
/50/c — 18/r
- m = \ H f ~ +3
Del gráfico
x'+9°18‘ =2°20, + 7°40'
x' +9o+ 18'=2°+ 20'+ 7°+ 40' 
x '+ H + 18‘ = H + 60'
M=4+3
M=7
—> x'=42‘ 
x=42
: C/ove i.
! C/ove :
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Problema M° 22 
De la siguiente igualdad: 
( ti ti n n
U + 6 +Ï 2 + 2Ô
calcule x.
A) 10 
D) 15
Resolución 
Operamos
n , ti
rad= f b ° b ‘ )—-----49J V b' J x
B) 12 C) 14 
E) 16
7T 71— rad+— rad+— rad+— rad=| - ^2 6 12 20 V b\
- 4 9
90°+30o+15 + 9°=
6Íb
^60 v + b '_ A9y
V b‘ J
144°=
V
- 4 9
_> '144°=(61-49)°x 
144\ = 12\x
x=12
Clave
Se crea un sistema de medición angular X, 
donde 1X equivale a 20 ̂ Calcule el equiva­
lente de 5X en el sistema sexagesimal.
B) 72c C) 80° 
E) 100°
Resolución
Dato:
1X=209
Utilizamos el factor de conversión.
5X = 5 \ 209
u K ;
-> 5A =5 2
l QO h
0 4 y
5 -5(2)(9°)
-a- . 5X=90°
Por lo tanto, 5X equivale a 90°.
i Clave
Problema N/ 24
A partir del gráfico, halle el valor de 59x.
A) 720 
D) 72 000
B) 72 C) 7200 
E) 3600
Resolución
Del gráfico, aplicamos el ángulo exterior. 
92°+x"=90°+x '
2°+x"=x'
2°= x'-x"
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
Convertimos los ángulos de grados sexagesi­
males a segundos sexagesimales. 
2(1°)=x(1')-x(r)
2(3600")=x(60")-x(1")
7200\=x(59\) - » 7200=59x 
59x=7200
; Clave l
Problema N.° 25
Exprese la siguiente sumatoria en radianes: 
/4=19 + 29 + 39+49 + ...+4009
A) 400 rad B) 403 rad C) 402 rad 
D) 401 rad E) 404 rad
Resolución
Aplicam os la propiedad de sumatoria
1 + 2 + 3 + .. . + n = n{n +1)
Del problema se tiene
400(400+ l)9
/̂ _'ig+29 +39 +49+...+4009 = 
/\ = 802009
Ahora expresamos a radianes 
A = 802009 = 802XH
\ f n rad ^
• Clave \
2 X X
A yA=40171 rad
P ro b le m a N. 26 _____ _——— —---- -—
Los ángulos de un triángulo se encuentran en 
progresión aritmética de razón 20° Calcule la 
medida del ángulo Intermedio, en radianes.
A) rad 4
D) 7 rad
Tí jB) — rad C) ^ rad 
E) f r a d
Resolución
Sean x-2 0 °;xyx+ 2 0° los ángulos internos del 
triángulo.
Además, sabemos que los ángulos internos 
suman 180°.
(x -20°) + (x) + (x+20°)=180°
3x=180°
—> x=60° (ángulo intermedio)
Nos piden en radianes.
 ̂71 rad ̂:6 0 \
180* 1J
x = — rad
; Clave ■
Problema N.* 27 _________________
Se crea un sistema de medida angular N, tal 
que su unidad ( lN) equivale 1,5 veces elángu- 
lo llano. Halle el equivalente de cinco ángulos 
rectos en este nuevo sistema.
3 )» t i r
B) 3n
C ) (
D) 5n E) 1
Resolución 
Según el dato 
1N=1,5(180°) 
1N=270°
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Nos piden convertir 5(90°) al sistema angular N. 
5(90°) = 4 S \ \
í -|N á 
2 7 k \
rN
-> 5(90°) = — 
3
•. 5(90°) = ( | '
Problem a N.° 28
i Clave •
Determine el ángulo en el sistema radial si se 
cumple
A
M s - .
= 15
Además, S y C son los números convencio­
nales para un mismo ángulo.
A) ^ ra d 
D) ^ rad
Resolución 
Sabemos que
B) - ra d 4
Q f r a d
TCE) - ra d 3 ■
71
S=9k', C=10/r y R = ̂ k
Reemplazamos S y C en el dato.
9 k + 1 lOfc10
-1 =15
_> (ür+1)( -̂1)=15
Aplicamos diferencia de cuadrados. 
/c2—1=15 
= 16 —>
Reemplazamos
R =— (4)
20
5 *
Por lo tanto, el ángulo en el sistema radián es
71 A— rad. 
5
; Clave i
Problema N.° 29__
Calcule la expresión M. 
ti2(2C + S)(2C-S)M =
400R¿
A) 319 " y B) 309 
D) 296
Resolución 
Sabemos que
S=9k;C=Wk y R = — k •
Reemplazamos
7i2(2(10/r) + 9/r)(2(10/f)-9/r)
C) 303 
E) 285
M = ■
4001 Tok
M =
ni(29k)(m )
^oa \ 2-k2^oa
-> M=(29)(11) 
M=319
i C/oue
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
Problem a N.° 30
Sean S y C lo convencional de un ángulo, para 
el cual se cumple que
r Cx3r 192m 1°12‘55 + 3C = ------+ ■
2m 3'
Calcule el número de grados sexagesimales.
A) 10 
D) .18
Resolución
B) 81 C) 72' 
E) 9
Nos piden el número de grados sexage­
sim ales: S.
Sabem os que
71
S=9/c; C = m y /? = — /: 
Reemplazamos S y C en el dato.
5(9/0 + 3(10/0 = 
75 k =
l9+2m 1o +12'■ + •
2m 3 ’ 
100m+2m 60 ’+12 '■ + ■ 3'
Clave '•
75/r=51 + 24
-> k=1 
S=9k=9
Problema N/ 31[_____________— ------ --------
Sean S y C los números que representan la 
medida de un ángulo en grados sexage­
simales y centesimales, respectivamente, tal 
que se cumple que
C+S+100g=2S+90°+4.
C S Calcule — i— . 
2 3
A) 30 
D) 42
B) 36 C) 38 
E) 32
Resolución
Convertimos a sexagesimales. 
C + S + ^0C = 25+ 90C + 4 
C -S= 4
10/r-9/r=4 -> k=4 
Luego
• S-9k-36
. C=10/r=40
Nos piden
C 5 
2 + 3
Reemplazamos
— + — =20 + 12 
2 3
C 5 __ — + — = 32 
2 3
Clave
Problema N.° 32___________________
Si
. a + B=12o
. /\ + O10g
• B + C=—— rad 36
halle B -C en grados sexagesimales.
A) 1o 
D) 4o
B) 2o C) 3o
E) 5o
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Convertimos los ángulos al sistema sexage­
simal.
• A + 8 =12°
• A + C = 10^ 9o ^= 9°
8 + C = — íád. 36
110^
' 180° ̂
ktí rad
0)
(II)
-5o (III)
Sumamos (I), (II) y (lll).
2A + 2B + 2C=26°
A + B + C=13°
Reemplazamos (I) en (IV).
12° + C=13°
-> C=1°
Reemplazamos (V) en (lll).
8+1°=5°
-> 8=4°
8-C= 3o
Problema N.° 33
(IV)
(V)
i Clave
A partir del gráfico, calcule x en grados sexa-
A) 100°
D) 115°
B) 105° C) 110°
E) 120°
Resolución
Por el teorema de triángulos tenemos que
X = 20°+609 + — rad 5
Convertimos los ángulos al sistema sexage­
simal.
x = 20°+ 60g
' go N
+ K' rad f 180° "
uoV
1 CHJ• 5
-> x=20° + 54°+36° 
x=110°
Problema N/ 34 
A partir del gráfico, calcule 90.
i Clave \
A) 500 
D) 630
Resolución
B) 510 C) 320 
E) 530
Por el teorema de triángulos tenemos que 
09 + 309 +100°=180°
-> 09 + 3O9 = 8O°
Convertimos los ángulos a grados cente­
simales.
109 
9o
A = Rnn9
O9 +309 = 80° x-
A,-» 90 ' + 270^ = 800 
90=530
i Clave
Problema NL* BB
Del gráfico, calcule el perímetro del triángulo 
ABC si AB y AC son, enteros; además, S y C 
son números convencionales para un mismo 
ángulo.
En el problema 
-> 55-C> 0 a S—18>0 
55-10/c>0 a 9/r-18>0 
55>10/c a 9/r>18
8
A) 12 
D) 16
B) 14 C) 15 
E) 18
Resolución 
Nos piden 2p.
Se sabe que
y [x> 0 <-» x >0
5,5>/c a k>2 
-> 2 < Ar< 5,5
Luego
k: 3; 4; 5
Pero AB y A C son enteros.
-> /c=3
Del gráfico
AB = yJsS-C = >/55 — 10/c = V55 — 30 = 5
AC = >/S —18 = >/ 9/r — 18 = n/ 27 — 18 = 3
Nos piden el perímetro del triángulo A fíC (2p).
2 p=AC+BC+AB 
-> 2p=3+4+5
2p =12
; Clave \
PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. A partir del gráfico, calcule el valor de x. i 5. A partir del gráfico, halle el valor de x.
A) 8 
D) 11
B) 9 C) 10 
E) 7
2. Del gráfico, calcule el valor de x.
A) 20° 
D) 35°
B) 25° C) 30° 
E) 40°
3. Halle el valor de x.
D) 9 E) 10
4 . Calcule el valor de laexpresión M. 
50g + 25°
M = 10g+1°
L ,
A) 3
D) 8
B) 5 C) 7
E) 9
A) 8 
D) 6
B) 9 C) 10 
E) 7
6. Calcule x en función de los ángulos a y (3.
A) 180°+a+{3
B) 9 0 °-a -p
C) 180°+cc-(3
D) 180°-oc-p
E) 180°+|3-a
7. Halle la expresión T. 
n rad4 0 9 - .
T = 30n rad 
12
A) 1 
D) 4
B) 2 C) 3 
E) 5
8. La suma de dos ángulos es 120° y su dife-
71rencia es — rad. Halle la medida del menor 6
ángulo, en radianes.
A) — rad B) — rad C) 71 ̂— rad12 9 6
D) —rad 4 E)
-rad3
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
9. A partir del gráfico, calcule el valor de 0.
D) 50 E) 55
10. Calcule el valor de la expresión N.
1 rad + 3 rad+ 5 rad+ ...+2015 rad %N =
A)
1o+3°+5°+... + 2015°
180 B) — 
ti 180
90 D) —
71
11. Halle la expresión F.
C)
E)
71
90
360
71
M
— rad + 40g + 29° 
4
8o
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
12. En un triángulo, dos de sus ángulos inte­
riores miden ^ rad y 1009. ¿Cuál es la 18
medida del tercer ángulo, en radianes?
A) ^ ra d
D) | r a d
2ti , B) — rad 9
C) — rad 9
E) — rad 
18
13. La medida de un ángulo en el sistema 
sexagesimal es (10x+5)° y en el sistema
7Tradial es — rad. Halle la medida del ángulo 
en el sistema centesimal.
A) 209
D) 509
B) 3 O9 C) 409 
E) 60g
14. Si S y C son los números de grados sexa­
gesimal y centesimal, respectivamente, para 
un mismo ángulo, calcule el valor de E.
E = 105 + C
V C -S
+ 7
A) 14 
D) 17
15. Calcule 9a.
B) 15 C) 16 
E) 18
A) 399 
D) 660
B) 457 C) 511 
E) 789
16. Calcule 0 en grados sexagesimales.
B) 76?
17. Si
• x+y=19°
109• x + Z——
3
n• y + z = — rad
18
halle y -x .
A) 3°
D) 9°
B) 5e C) 7° 
E) 11°
18. A partir del gráfico, calcule x.
A) 30 
D) 36
B) 32 C) 34 
E) 38
19 Exprese la siguiente sumatoria en radianes: 
,4 =1° + 2o +3° + 4o +... +180°
A)
177ti
2
rad
B)
17971
2
rad
C)
18171
2
rad
D) 183ti2
• rad
E)
185ti
2
- rad
20. Se crea un nuevo sistema de medición an­
gular M, donde 1M equivale a 309. Calcule 
el equivalente de 6M en el sistema sexa­
gesimal.
A) 159° 
D) 162°
B) 160° C) 161° 
E) 163°
21. A partir del gráfico, halle el valor de x.
31° +x'
A) 36 
D) 3,6
B) 360 C) 3600 
E) 36 000
22. De la siguiente igualdad:
 ̂71 71 K Tí--1----!----i---U 9 6 15 
calcule x.
\
rad = [ > x m „ 0
) l xm J x,
A) - 2
D) 1
C) - 3
E) 2
23. Se tienen tres ángulos, tales que la suma 
del primero con el segundo es 24°, la suma
7Tdel segundo con el tercero es — rad y la
suma del primero con el tercero es 12°. 
Halle el menor ángulo en radianes.
71A) — rad 36
D) — rad 45
B) — rad 90 C) — rad 30
E) — rad 18
Capítulo i Sistemas de medición angular
24. Tenemos un nuevo sistema de medida
angular ( lA) , tal que 15a equivale a la 
décima parte del ángulo de una vuelta. 
Halle el equivalente de 729 en el nuevo 
sistema
A) 10a B) 18a C) 20a 
D) 25a E) 27a
25. Del gráfico, calcule —.y '
26. A partir del gráfico, halle el valor de x.
A) 8 B) 9 C) 10
D) 15 E) 20
27. Dado el triángulo isósceles ABC de baseAC, 
halle la medida del ángulo desigual.
' A) 80° B) 110° C) 100° 
D) 120° E) 108°
28. Según el gráfico, calcule ü.
A) 50° B) 60° C) 70°
D) 40° E) 80°
29. Halle el valor de H.
19 l m io i'
— f —
1m V
A) 160 B) 161 C) 162
D) 163 E) 164
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
30. Calcule el valor de F.
P _ 7t2 (3C + 2S)(3S+ 2Q 
400R2
A) 1561 B) 1972 C) 2256 
. D) 2461 E) 2873
í
31. Calcule el valor de A + B. 32
33. Sean S y C los números convencionales 
para un mismo ángulo, tal que
?oi:' ig4 m
9S-3C = -----+------5' 4m
Calcule la medida del ángulo en grados 
sexagesimales.
A) 9o B) 18° C) 27°
D) 36° E) 45°
32. Calcule el valor de m.
34. Halle la expresión N.
^ _ 10g+20g+30g+... + 90g 
1o +2° +3° +... + 9°
A) 6 B) 9 C) 12
D) 18 E) 27
35. Halle la medida del menor ángulo.
A) 30° B) 45° C) 36° 
D) 20°. E) 40°
36. Del gráfico, halle x.
B) 3 C) 4 ‘
E) 6
A) 5o
D) 25°
A) 2 
D) 5
B) 10° C) 20°
E) 30°
Capítulo i Sistemas de medición angular
37. Sean S y C lo convencional para un mismo 
ángulo tal que
1,2C+—= 65.9
Halle la medida del ángulo en el sistema 
radial.
39. Calcule el valor de 9x a partir de la siguien­
te igualdad:
3>x° + — rad 20
— rad-9x° 6
« . 7T .A) —rad 
6
D) — rad 
18
B) - ra d 5 C) - ra d 4
E) - ra d 3
38. A partir de la siguiente igualdad:
20S9 +C° = 172(
calcule 20R si S, C y R son lo convencional 
para un mismo ángulo. . .
A) -
2
D) 3tc
B) 71 C) 2ti 
E) 4tc
.
V V
%
A) 10 
D) 20
B) 15 C) 12 
E) 30
40. Si se cumple que \¡4S + \/l0C =16, halle 
la medida del ángulo en el sistema radial 
siendo S y C lo convencional.
A) — rad 10
D) - rad 3
B) - ra d 5 C) — rad 4
E) — rad20
C laves
1 6 . 11 I 16 21 26 31 36
2 7 12 j 17 22 27 32 37
3 8 13 ! 18 23 28 33 38
4 9 14 I 19 24 29 34 39
5 10 15 I 20 25 30 35 : 40
5
'
En el estudio de las matemáticas, se denomina arco a 
cualquier curva continua que une dos puntos. Un arco en 
particular es cuando esta curva corresponde a una circun­
ferencia y, a partir de ello, se puede estudiar el compor­
tamiento de un punto que se desplaza por el arco de una 
circunferencia y el número de vueltas que pueda desarrollar. 
De esta manera se puede entender el principio que sigue 
el movimiento de las ruedas, poleas y engranajes cuando 
estas desarrollan una cantidad determinada de vueltas.
En el caso de un arco irregular, muchos grandes pensadores 
consideraron imposible calcular su longitud. Las primeras 
mediciones se hicieron a través de métodos de aproxim a­
ción: trazaron polígonos dentro de la curva, calcularon la 
longitud de cada uno de sus lados para luego sumarlos y así 
obtener una aproximación a la longitud de la misma. M ien­
tras más segmentos usaban, disminuía la longitud de cada 
uno, con lo cual lograban aproximarse cada vez más a la 
longitud de dicha curva. Más adelante, en el siglo xvn, se 
lograron desarrollar otros métodos que permitieron deter­
minar soluciones más precisas para obtener las longitudes 
de los arcos de diversas curvas.
En la actualidad es una herramienta importante para la 
ingeniería, arquitectura, mecánica, astronomía, entre otros.
A p re n d iza je s e sp e ra d o s
___i_;
• Calcular la longitud de un arco de circunferencia así como 
el valor del área de un sector circular.
• Identificar y explicar los conceptos vertidos en situaciones 
cotidianas.
¿ P o r qué e s n e c e sa r io e s te co n o c im ie n to ?
Permite entender los principios que sigue el movimiento 
mecánico circular; por ejemplo, cuando se analiza el número 
de vueltas que da una rueda.
LONGITUD DEL ARCO DE UNA
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Importante
Se denomina sector circular a 
la región geométrica que limita 
dos radios de una misma circun­
ferencia y el arco limitado por 
dichos radios.
Notación: 0 /4 0 8
Se lee: “Sector circular A08 ”.
No olvide
el arco de una circunferen­
cia tiene la misma longitud que 
su radio, entonces el ángulo
central mide 1 rad.
Longitud d e l arco d e u n a c ir c u n fe re n c ia
1. ARCO DE CIRCUNFERENCIA
Es aquella porción de circunferencia limitada por dos puntos 
de la misma.
Notación: AB 
Se lee: “Arco AB”.
También
• CA: arco CA
• BC: arco BC
1,1. Cálculo1 ele la longitud de un arcó de circunferencia 
Dada una circunferencia de radio R en la cual ubicamos un 
ángulo central cuyo arco tiene longitud R, se puede afirmar 
que la medida de dicho ángulo es un radián (1 rad).
i Si consideramos un ángulo central igual a 2 rad, el arco tendrá 
j una longitud de 2R. Si tomamos 3 rad, la longitud del arco será 
i 3R. Podemos inferir que si el ángulo central es O rad, el arco 
i tendrá una longitud igual a GR.
Capítulo 2 Longitud del arco de una circunferencia
Luego
í ~QR ; 0<Q<2n
donde
9: número de radianes del ángulo central 
R: radio de la circunferencia 
fi: longitud del arco
¡Cuidado!
Para poder utilizar la fórmula anterior, la me­
dida del ángulo central debe estar expresada 
en radianes. Si dicha medida está en otras uni­
dades, utilizamos un factor de conversión para 
expresarla en radianes.
Ejemplos3=1(2 m) 
B=2m
3=2(35 cm) 
!=70cm
0=(1,5)(4 km) 
3=6 km
Aplicación 7
En una circunferencia de 6 m de radio, se tiene
Tíun arco cuyo ángulo central mide — rad. Halle 
la longitud de dicho arco.
Resolución
Graficamos
Nos piden hallar la longitud del arco AB.
Por lo aprendido
fl=e/?
tenemos que
0 = — y R=6 m 3
Reemplazamos
(3=-^(6jn)
X
—> (3=271 m
Por lo tanto, la longitud del arco AB es 2tt m.
9
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Aplicación 2
Un sector circular tiene un ángulo central de 45° y un radio de 
60 cm de longitud. ¿Cuánto mide la longitud de su arco?
Dato curioso
Un disco duro está compuesto 
por varios discos apilados en­
vueltos en una carcasa imper­
meable al aire y al polvo. Estos 
discos son. hechos de aluminio 
o vidrio recubiertos en su super­
ficie por un material ferromag- 
nético alrededor de un eje que 
gira gracias a un motor, a una 
velocidad muy rápida. El diáme­
tro de los discos oscila entre 5 y 
13 cm. La superficie de un disco 
está dividida en unos elementos 
i llamados p istas, donde se al- 
: macena la información.
1 Las pistas se dividen en secto- 
; res. Un sector es la unidad bási- 
i ca de almacenamiento de datos 
| sobre los discos duros; la mayoría 
; de los discos duros usan secto- 
: res de 512 bytes cada uno. A un
• grupo de sectores cuyo tamaño
• depende del disco se le deno-
: mina clúster.
! " í
Resolución
Graficamos
Nos piden i
Como el ángulo está expresado en grados sexagesimales, lo 
convertimos a radianes.
= - rad 
4
ti rad
180 /
4
V ' ■■ ■— '
■ : OI de 
.eohvcrsióií
De lo aprendido, Í=GR.
-> 0 = — y R=60 cm 
4 y
Reemplazamos
15
(6(í cm)
A
C=157tcm
Aplicación 3
Se quiere conectar dos pistas, tal como se observa en el 
gráfico. Si la longitud del arco AB es 20tt m y el topógrafo 
midió el ángulo 0 obteniendo 120°, ¿cuánto mide la longitud 
del radio?
Capítulo 2 Longitud del arco de una circunferencia
Resolución
A partir del gráfico y con los datos del proble­
ma, obtenem os el sector circular AOB.
\ Si G es la longitud del arco AB
i -» G=0/?
i Consideremos la fórmula anterior.
V J v y I l / i i
,2
Se sabe que
Q=0r y Q=20n m
Com o 0=120°, entonces lo expresamos en 
radianes.
û 271-> 0 = — rad
3
e = j ¿ Á n ra c n
V
Reemplazamos
2 t f / m = ^ - ( r )
r=30 m
1.2 . Área de un sector circular ' u
Se cumple que
(l R
donde
- R: radio de la circunferencia
0 ; número de radianes del ángulo central
- § : área del sector circular AOB
§ = 0/? ¿ x R
Además R = - 0
Reemplazamos en § .
§ = — X — -A 
2 0
A plicació n 4
Halle el área de un sector circular cuyo radio 
tiene 6 m de longitud y su ángulo central 
mide 30°.
Reso lució n
Graficamos un sector circular, donde § es el área 
de dicho sector.
Expresamos el ángulo central en radianes.
30o f * radÁ ti
180°
6
= — rad 6
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Importante
Notación: QACDB 
Se lee: “Trapecio c
Sabemos que
§ = ~~7 x —j m2)
A Jb
/. §=37i m2
A plicac ió n 5
Se sabe que el área de un sector circular es 10,5 m2 y la longitud 
de su radio es 3 m. Determine la longitud de su arco.
Reso lució n
Como se conoce el área (§) y el radio (r), nos piden la longitud 
del arco (fi). Observamos que una expresión relaciona estos tres 
términos.
§ = — _> 10,5 m2 _
2 X . 2
2 /,/n x ,2Í m 2' 21 m =G(3 m) -»
m
Aplicación 6
En la esquina de una céntrica calle, la pista presenta una curva. 
Si el ancho de la pista es de 8 m y falta asfaltar la región indi­
cada, ¿cuánto mide el área que se tiene que cubrir de asfalto?
Existen variedades de diseños 
de estructuras arquitectónicas, 
como, por ejemplo, las cúpulas, 
portales, tanques de almacena­
miento, carreteras. En la actua­
lidad, se utilizan con frecuencia 
arcos de circunferencia debido 
a su estética y a su capacidad 
de contener volumen máximo.
No olvide
La región limitada por dos arcos 
de circunferencia que tienen el 
mismo centro y los segmentos 
cuya longitud es la diferencia de 
sus radios se denomina trapecio 
circular. Á .
Capítulo 2 Longitud del arco de una circunferencia
Resolución
Del gráfico extraemos la parte que falta asfaltar 
para determ inar su área.
A
Se observa que los sectores circulares AOB 
y CO D tienen el mismo ángulo central, cuya
71medida es 90°, es decir, — rad.2 ^
Nos piden lk RS.
Luego
^ R S ~ ^ O A O B ~ ^ ':C O D
-> A RS= ^ | 0 2 m ) 2 - i x | ( 4 m ) 2
36 4
A w - j (y á m2) -- - j ( A m2)
_> 1Ars =36n m2 - 4 n m2 
/ . Jk RS=32nm 2
Aplicación 7
¿Qué ocurre con el área de un sector circular 
si duplicamos su radio, pero mantenemos su 
ángulo central?
Resolución
Tenemos un sector circular inicial de área § v
Sabemos que
Ahora, mantenemos el ángulo, pero duplica­
mos el radio, generándose un sector circular 
de área § 2.
úreJ ¡1e¡ , ciel
;;:dor vn.to' ¡iiícmI
Por lo tanto, el área del sector final es el cuá­
druple del sector inicial.
1.3. Area de un trapecio circular 
Dado un trapecio circular, se puede obtener 
su área a partir de la diferencia del área del 
sector mayor menos el área del sector menor, 
sin embargo, también es posible utilizar otra 
expresión para el área, que emplearemos según 
los datos que se nos presente en un ejercicio.
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Se cumple que
donde § es el área del trapecio circular ACDB.
Reto al saber
Utilizando lo aprendido hasta el momento, 
demuestre la fórmula para el cálculo del área 
de un trapecio circular.
Aplicación 8
A partir del gráfico mostrado, halle el área de 
la región sombreada. Considere que ACDB es 
un trapecio circular.
'O-c
Resolución
Aplicam os la fórmula para el cálculo del área 
de un trapecio circular.
Sea § el área pedida.
. 6 + 2 '
§ =
§=12 u'
2. APLICACIONES DIVERSAS 
Hay aplicaciones que se dan en el estudio del 
movimiento circular y en el cálculo del núme­
ro de vueltas que da una rueda o una polea. 
Ello permite entender el principio básico que 
siguen los motores o los sistemas que están 
formados por poleas conectadas a través de 
fajas o en contacto una con otra.
2.1. Número de vueltas que da una rueda al 
desplazarse sin resbalar 
Tenemos una rueda de radio r que se desplaza 
sobre una superficie rodando desde una posi­
ción A hasta otra posición B.
El número de vueltas que da la rueda en dichas 
condiciones será calculado considerando la 
siguiente expresión:
donde
- nv: número de vueltas que da la rueda
- r radio de la rueda
- 0C: longitud del recorrido del centro de la 
rueda
Capítulo 2 Longitud del arco de una circunferencia
Obsedamos que mientras la rueda se desplaza, el centro de la 
misma describe una trayectoria que depende de la superficie 
sobre la cual se mueve la rueda.
2.1.1. Si la superficie es recta
El recorrido que describe el centro de la rueda es una línea 
recta, en donde su longitud coincide con el recorrido sobre 
la pista /AB.
r >v" _ /—7—* 7 \ \x/i
. (S--AB
Aplicación 9
Se tiene una rueda de 50 cm de radio que se desplaza rodan­
do sobre una superficie recta horizontal y recorre una distancia 
de 20ti m. ¿Cuántas vueltas da dicha rueda?
Resolución
Grafiquemos el enunciado.
Como la superficie es recta 
Cc =20tx cm
La rueda más antigua que se 
conoce apareció en Ljubljana 
(Eslovenia) en una zona panta­
nosa. Data de hace aproximada­
mente 5350 a 5000 años. Junto 
a la rueda se encontró un eje, 
dando a entender que la tecno­
logía de la rueda no era inci­
piente.
Más adelante se lograron mejo­
ras notables siendo considerado 
como uno de los inventos más 
revolucionarios del hombre.
Si las ruedas de una bicicleta 
son rj y r2, tal que dan n1 y n2 
vueltas y giran los ángulos 0 ̂ y
02, respectivamente, se cumple 
lo siguiente:
<),/. O, r , ]
-
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Las pistas de competencia para 
salto con bicicleta o scheibord 
tienen superficies curvas circula­
res para evitar que el participan­
te salga despedido de la rampa 
por la velocidad centrífuga que 
genera.
Luego, el número de vueltas que da la rueda (r?v) será calculado 
considerando queDebemos tener en cuenta que las unidades del radio y del 
recorrido del centro de la rueda deben ser las mismas.
í
r = 50 cm 1 m
\
v100 cm.
1—> r = - m2
Reemplazamos los datos.
20,71 m 
7~a \
* )
-> nv=20
Por lo tanto, la rueda, al hacer el recorrido, da 20 vueltas.
2.1.2, Sí la superficie es chiva
Veamos qué ocurre si una rueda de radio r se desplaza sobre 
una superficie curva convexa de radio R.
Para calcular el número de vueltas que da dicha rueda, se 
requiere determinar la longitud del recorrido de su centro.
Notamos que el recorrido del centro es el arco de circunferen­
cia del sector circular 0 . ,0 0 2, cuyo radio es R+r y su ángulo 
central es 0 rad.
Capítulo 2 Longitud del arco de una circunferencia
Luego
Q ~ 9 í r)
Ahora veam os qué ocurre si la superficie 
sobre la cual se desplaza la rueda de radio r es 
cóncava de radio R.
Observamos que el recorrido descrito por 
el centro es un arco, cuyo sector circular es
O .OO-, que llene un radio igual a R - r y un 
áncuio central de medida a rad.
Luego
^ = a(R-r)
Aplicación 10
En el gráfico mostrado, el radio de la rueda es 
2 u y el de la superficie curva es 6 u. Halle la 
longitud del recorrido del centro de la rueda al 
desplazarse desde A hacia B.
Resolución
Si desplazamos la rueda, observamos que su 
centro describe un arco de circunferencia.
En el <0 O p 0 2, utilizamos la fórmula 
. QC=BR
donde
0=90° y R=8 u
Reemplazamos en la expresión para el cálculo Convertimos a radianes, 
de! número de vueltas (nv). ; „
Pc=4tc u
,90o
V -180°
= — rad —> 2 í>c = - 7 C 8 u ) 2
Aplicación 77
Si las ruedas delanteras de un volquete tienen un radio de 1 m 
y se desplazan sobre un puente curvo cuyo radio mide 23 m, 
¿cuántas vueltas darán ambas ruedas al recorrer el tramo de 
A a B?
Al observar que dos poleas 
están en contacto
oleas tienen radios q 
r2, dan n1 y n2 vueltas y giran 
los ángulos 01 y 02, respectiva­
mente, se cumple
Importante
Si una rueda o polea da una 
vuelta, significa que ha girado 
360° o 2n rad. Si da n vueltas, 
habrá girado 360n° o 2nn rad. 
Luego, si una polea o rueda gira 
un ángulo 0 y da n vueltas, se 
cumple lo siguiente:
y/ ; 0-360n‘-
, ti=2nr> rad 
{//A ______
Reso lu ció n
Para hallar el número de vueltas de las dos ruedas delanteras, 
analizamos solo una y luego duplicamos lo obtenido.
Graficamos solo la pista y la rueda de radio 1.
Como n hallamos L en el 0 0 ,0 0 - ,2nr c 1
Se sabe que
flc =0/? (*)
donde
0=120° y R=24 m
Pero
0 = }20° r ti rad^
3
Capítulo 2 Longitud del arco de una circunferencia
Reemplazamos en (*).
3
—> íc=167t m
Luego
( 16;rt /
2 / (1 / )
nv=8
Los motores están constituidos 
por poleas y engranajes que 
transmiten movimiento a todo 
el sistema a través de fajas. 
Dicho movimiento es producido 
por la energía generada por la 
combustión de la gasolina o, en 
la actualidad, del gas.
Se tienen las poleas (1) y (2) de radios q y r2, respectivamente, 
a. Si 0-, y 02 son 'os ángul° s generados por las poleas (1) y (2), 
respectivamente, se cumple lo siguiente:
° 1r1=02r2
b Si n es el número de vueltas que da cualquiera de las 
poleas, se cumple lo siguiente:
r y i n?r?
Cada rueda delantera del volquete da 8 vueltas. Por lo tanto, 
am bas ruedas darán 16 vueltas.
2.2, Poleas,/ á . •
smision
Cuando se utiliza una cuerda 
para levantar carga y ella está 
envuelta en una polea, la cual 
permite elevar o descender la 
carga en función al sentido de 
giro y la cantidad de vueltas, 
se cumple que si la polea tiene 
radio r y da 1 vuelta, entonces 
lo que sube o baja la carga es 
igual a 2n r.
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i:'
pista horizontal de forma 
circular de radio R tal como 
indica la figura está determi-
Considere que la rueda se 
ubica perpendicular al plano 
de la pista.
Si se ubica una moneda fija 
y alrededor de ella se rodea 
con otra moneda similar, 
demuestre que para, rodear 
toda la moneda fija, la 
moneda móvil da 2 vueltas.
A p lic a c ió n 12
Se tienen las poleas de radios 2 u y 3 u unidas a través de una 
faja de transmisión. Si la polea menor da 6 vueltas, ¿cuántas 
vueltas dará la polea mayor?
Reso lu c ió n
Graficamos
Sabemos que 
n/ i =n2r2
Reemplazamos
• \ ■ 9 4 * .. ó
6(2 u)=n2(3 u) -> 12ij = n2 (3dj) -» n2=4
Por lo tanto, la polea mayor dará 4 vueltas.
A plicación 13
Se tienen dos poleas de radios 15 cm y 60 cm unidas por una 
faja de transmisión. Si la polea mayor gira un ángulo de medi­
da 100°, ¿cuánto gira la polea menor?
Resolución
A partir de las condiciones se tiene que
Capítulo 2 Longitud del arco de una circunferencia
S¡ 01 y 02 son los ángulos girados por las 
poleas (1) y (2), respectivamente, se cumple lo 
siguiente:
Reemplazamos
4
p 4 ) = m ° ( $ ó p á )
Es decir
-4 ©-,=400°
Por lo tanto, el ángulo girado por la polea 
m enor es 400°.
Aplicación 74
Se tiene un sistema para levantar carga cons­
tituido por una polea de 20 cm de radio, en la 
cual está envuelta una cuerda sujeta a la carga. 
¿Cuánto se eleva dicha carga si la polea da 
20 vueltas en el sentido indicado?
Resolución
Cuando la polea da 1 vuelta, el punto A 
recorrerá toda la circunferencia de la polea 
y, por lo tanto, la cuerda que se envuelve 
alrededor de ella tendrá una longitud igual a 
la de la circunferencia y será lo que asciende
la carga.
N.° de vueltas Lo que sube
de la polea la carga
1 2n (20 cm)
2 2 x 2ti (20 cm)
20 - 20x2n (20 cm)
La carga asciende 20x2n (20 cm).
-4 h=Q00n cm 
h = 8n m
2.2:2%Poleas unidas por un m ismo ej<
Las poleas (1) y (2) tienen un eje común que 
pasa por sus centros.
Se cumple lo siguiente:
• Los ángulos girados por ambas poleas son 
iguales.
• El número de vueltas que dan ambas poleas 
es el mismo.
COLECCIÓN ESENCIAL
^ __________ Lumbreras Editores
A p l ic a c ió n 75
En el sistema mostrado, la polea de radio 3 
gira 120°. ¿Cuánto gira la polea de radio 4?
Reso lu c ió n
A partir del gráfico, podemos observar que si 
la polea de radio 3 gira 120°, la polea de radio 
1 girará el mismo ángulo.
Sea 0 el ángulo girado por la polea de radio 4 .
Como las poleas de radio 1 y 4 están unidas a 
través de una faja, se cumple que
12O°(1)=0(4)
-> 0=30°
Por lo tanto, la polea de radio 4 gira 30°.
Materiales
• tripley de 20 cmx40 cm
• círculos de tripley de 2 cm; 3 cm y 4 cm de radio
• clavos
• ligas
P ro c e d im ie n to
• Clave los círculos de tripley de modo que queden distribuidos en la 
plancha de tripley.
• Con una liga una dos de ellas.
• Gire una de las poleas. ¿Qué ocurre con la otra?
• Cruce las ligas, únalas con las poleas y gire una de ellas. ¿En qué sentido gira la otra?
. Ahora junte las poleas de 2 a 2, fíjelas en un tripley y únalas con las ligas tal como en el gráfico.
RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.° 1
Halle la longitud del arco AB si el radio de la 
circunferencia mide 9 cm.
A) 571 cm 
D) 4tc cm
Resolución 
Nos piden í
B) 9n cm C) 8tc cm 
E) 671 cm
Por ser ángulos opuestos por el vértice teñe- 
mos que
m<COD=m<AOB=120°
En el sector circular AOBse cumple que
Reemplazamos valores.
=úAB
9=120° a R=9 cm
Convertimos 120° a radianes.
rad2; 2Q̂
7i rad i 271 
180°
Luego
cm)
i
Q=6tc cm
i Clave
ProblemaJ Σ_2_____________________________
A partir del gráfico, determine Considere 
que O es el centro de la circunferencia.
A) 4 
D) 5
Resolución
LNos piden -A
h
B) 2 C). - 3
E) i2
Sea R el radio de la circunferencia.
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Entonces
Gi
Reemplazamos valores. 
2a+aM = -
2a-a
-> M =
4
\ Clave
* ....................................
Prohiam® N.° 3
Si AOfí y COD son sectores circulares, halle M.
Resolución 
A partir del gráfico 
{^ aC I) " > î=a 
G2=<x(2) —> C2=2a
Nos piden
M =3
; Clave
Problema N,5 4 __ _________ __________
A partir del gráfico, halle el área de la región 
sombreada.
A) 4tc m2 B) 6n m2 C) 3tí m2 
D) 9ti m2 E) 8n m2
Resolución 
Colocamos valores.
Por fórmula
ja = U r 2 2
-> R=3 m
(*)
Capítulo 2
Longitud del arco de una circunferencia
Además2719 rad + — rad= 27trad
-> e + ̂ = 27i
9 = 4 71
•ángulo de 
una vuelta
En consecuencia
= ^ 0 (> fn ^ )
0-2
Por lo tanto, el ángulo central mide 2 rad.
: Clave
Reemplazamos en (*).
(3 m)2
Problema NV 6
!&.<)=—7_1
i
íáP
3
A o = y ( X m2)
.*. 2A.<3 = 671I7Í:
Problema N.° 5
■: Clave
El área de un sector circular es 4 m2 y su radio 
tiene una longitud de 2 m. Halle la medida de 
su ángulo central.
A) 3 rad B) 1 rad 
D) 2,5 rad
C) 2 rad 
E) 1,5 rad
Resolución
Por la fórmula del área de un sector tenemos 
que
jho=:^QR2
En un reloj de pared, la manecilla que marca la 
hora (horario) mide 10 cm. ¿Cuál será el reco­
rrido de su extremo libre entre las 2:00 p. m. y 
5:00 p.m.?
A) 4tt cm B) 6tt cm C) 5tt cm 
D) 10n cm E) 8n cm
Resolución
Graficamos un reloj de pared cuyo horario 
tiene una longitud de 10 cm; es decir, R=10 cm.
—̂ 4 m2 = ~0Í2
Se observa que a las 2:00 p.m. el horario 
apunta al número 2 y el minutero a las 12, y 
a las 5:00 p.m. el horario apunta al número 5; 
eso quiere decir que ha recorrido el ángulo 
0 rad. La separación entre los números del 
reloj angularmente mide 30°. En consecuencia, 
entre 2 y 5 tenemos 90°.
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Convertimos a radianes. 
f n rad^i
Luego
factor de- 
conversión
71
71 j= — rad 2
0 rad = - rad2
Pero
d=QR 3̂ -(3<í cm)X
fi=57i cm
Por lo tanto, el extremo del horario ha recorrido 
571 cm.
I Clave i )
Problema M.° 7 _____________ ó
El péndulo de un reloj antiguo es de 50 cm de 
longitud. Si el extremo libre de dicho péndulo
recorre ^ m, ¿cuánta es la medida del ángulo 
central que genera?
A) 45° B) 30°
D) 60°
C) 36° 
E ) . 90°
Resolución
Graficamos las condiciones del problema.
Observamos que cuando el extremo libre del 
péndulo se desplaza, describe un arco cuya
nlongitud es igual a — m, cuyo radio es R y 
ángulo central es 0.
Por dato 
R=6 0 cm
Al expresarlo en metros
R= 60-crn 1 m
-» R = - m 
5
Además
71:— m 10
Nos piden determinar el valor de 0. Por el 
cálculo de longitud de arco tenemos que
Q=QR —> - X / n = 0 x X m 
30 X
2
-> í = e 6
TíLuego, el ángulo generado es — rad.6
Finalmente, lo expresamos en grados sexa­
gesimales.
Capítulo 2 Longitud del arco de una circunferencia
Problema N.8 8 _________________________
Se tiene un perchero sujeto de forma horizon­
tal a una pared por los clavos A y B. En de­
terminado instante, el clavo A se desprende 
y el extremo describe un arco hasta ubicar el 
perchero de forma vertical. Halle la longitud 
del arco descrito por el punto A si la distancia 
de A a B es 80 cm.
Problema N.° 9________________________________
Calcule el perímetro de un sector circular cuyo 
ángulo central mide 45° y su arco tiene una 
longitud de n metros.
A) 4 (2 +7i) m B) 4(1+ti) m C) (6 + 7t) m 
D) (4+tc) m E) (8 + tí) m
A) 40ti cm \ B) 8071 cm C) 30ti cm 
D) 20ti cm E) 607t cm
Resolución
Observamos al perchero de forma horizontal 
y vemos qué ocurre si se desprende uno de 
sus extremos.
i-------- 80 c m --------- 1
A . 1 " B
ï î ti U U U • v
■\ „ ̂
X R\ x ' S
o- 2
f i \
>• -
A
El extremo A describe un arco de ángulo 6 y 
radio R, donde
0=90°, es decir 0 = — rad
Además R=80 cm
Nos piden 0. 
Como 0=0/?
40
fi=4 l QÓ cm)
í
0=4071 cm
; Clave
Resolución
A partir de los datos, se tiene que
En consecuencia
0=7im; 0=45°; /?=?
Nos piden
2PoAOB=2R + n
Convertimos el ángulo de grados sexage­
simales a radianes.
45ü
Y 7i rad
480°
4
= — rad 4
A partir de 0=0/?
/ 71 n—» n m = — xR 4
R=4 m —> 2R=8 m 
2P<woa=(8+71) m
Clave
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Problema N.° 10
En el gráfico se observa que la rueda de radio 
1 u se desplaza sobre la superficie circular de 
radio 9 u al ir desde A hacia B. Determine la 
longitud del recorrido descrito por el centro de 
la rueda.
A) 4 ti u B) 371 u C) 2n u
D) 571 u \ E ) 671 u
Resolución
Cuando la rueda se desplaza sobre una super­
ficie circular, el centro de la rueda describe un
%>: ^
arco de.circunferencia.
Se sabe que 
Q-QR
Del gráfico
0=90° 0 = — rad2
-> R=8 u
Luego
ú=-(8 u)2
ü=4n u
: Clave [ )
. .................... . . . i i . i *
Problema N.° 11 __________________________
Halle el área de un sector circular cuyo ángulo 
central mide 40g y su radio tiene una longitud 
de 10 m.
A) 10ti rrr B) 2571 m2 C) 2071 m2 
D) 307im2 ^ C " ' E) 15tü m2
% .
I Resolución 
De las condiciones
A
Nos piden
& « a o b= ^ r2
A partir del gráfico
R=10 m y m<AOfí=409
Longitud del arco de una circunferencia
Lo convertimos a radianes.
0
Luego
ti racP
v i 10 Ó Í ,
5
71 A= — rad
1 n
■̂oaob ~ 2 x ~ClO m)
10
—> I k OAOB = -^ (W Ú m 2)
A o>\oe=107im2
Clave
Problema N.° 12
Determine la longitud del radio de un sector 
circular si su arco mide 10 m y su área es igual 
a 40 m2.
A) 10 m B) 5 m C) 8 m
D) 6 m E) 4 m
Resolución
Graficamos
10 m
Aplicamos la fórmula para el cálculo del área.
^ oaob = 2 ^
-» AÓ m / = j(ljEf/n)/?
/?=8 m
: Clave i
Problema N.° 13
Un sector circular de radio R presenta un 
ángulo central que mide 0 rad y su área es A ,. 
Y otro sector de radio 2R tiene un ángulo que
JAmide 0 rad y su área es JA?. Halle —
2 JA,
A) 2
D) 1 2
B) C) 3 
E) 4
Resolución
Tenemos los sectores circulares, cuyas áreas 
son JA1yJA2.
• Consideramos el sector circular de radio R 
y ángulo 0.
Jk ,= -Q R 2 (I)
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En el gráfico mostrado, § 1 y § 2 son las áreas de 
los sectores circulares AOB y COD, respectiva-
A) ~ B) 2 C) 3
° ) 5 E) 4
Resolución 
Colocamos valores.
Del gráfico se tiene que
• § ,= ie (2 R)z= l e / f t 2
■ '. 2 2
§ ,= 20/?2 (l)
• § 2 = j Í 2 e) « 2
s 2=e/?2 y,)
Clave
Capítulo 2
Longitud del arco de una circunferencia
Problema N.° 15
En el gráfico, AOB y COD son sectores circulares. 
Halle el área de la región sombreada.
/•i
A) 16 u2 
D) 12 u2
Resolución 
Nos piden § .
B) 9 u ¿ C) 8 u¿ 
E) 10 u2
Por diferencia de áreas tenemos que 
§ = I&o a o b~1a ocod
_> § = —(1)(6 u)2 - | ( D ( 4 u)2
§ = —36 u2 -^ 16 u2 -> 
2 2
*, §=10 u2
§=18 u2- 8 u2
; Clave
Problema N," 15
La rueda de radio 2 se desplaza rodando sin 
resbalar sobre la pista recta AB. Si AB=20n, 
¿cuántas vueltas da la rueda?
A) 8 
D) 5
B) 4 C) 6 
E) 10
Resolución 
A partir del gráfico
:• V - - > -\ i '-n.'' ü l V7
h
Sabemos que
í cn.. = - k - v 2nr
Como la pista es recta, entonces 
úc = AB
recorrido ¡ongitud 
del centro 'a P'sta 
de ¡a rueda
fc =207i
Además R=2 
Luego
5
20 n _ r
" v ~ 7 7 (7 ) v=
Por lo tanto, la rueda da 5 vueltas en el reco­
rrido AB.
* Clave
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Problema N .'17 i Reemplazamos
-------------------------------------------------------- ; , j
A partir del gráfico, ¿cuántas vueltas da la ; nv = — nv = 1 
rueda al ir de A hacia 8? (r=2 y 8=10) i
A) 2 B) 3 C) 1
D) 0,5 E) 4
Resolución 
Colocamos los datos.
Se observa que el recorrido del centro de la 
rueda es un arco cuyo centro es O, su radio 
es igual a 8 y su ángulo central mide 90°, es
decir, — rad.
2
Luego
Cc = —(8) —> Cc = 4 tü 
Sabemos que
ĉn = —— v 2nr
t - ,
Por lo tanto, al desplazarse desde A hasta B, 
la rueda da 1 vuelta.
] Clave \ }
Problema N.° 1 3 ___________________ _____
Se tienen dos poleas en contacto y sus radios 
miden 2 y 5. Si la polea menor gira 150°, ¿cuál 
es el ángulo girado por la rueda mayor?
A) 60° B) 90° C) 120°
D) 150° E) 30°
Resolución
Sean A la polea menor y B la polea mayor.
B
- r. radio de la polea 
0: ángulo girado 
-> rA=2 a rB=5
Como las poleas pueden girar en cualquier 
sentido, asumimos que la polea mayor (6) 
gira en sentido antihorario generando un 
ángulo 0fi. Luego la polea menor (A) gira en 
sentido horario generando un ángulo 0 ̂ tal 
que 0^=150°.,íi|io di I*.1 ruf'. l.J
Capítulo 2 Longitud del arco de una circunferencia
Se cumple que 
rA®A~rB®B
Reemplazamos
2 (m A ) = A
30°
-> 0e=6O°
Por lo tanto, la rueda mayor gira 60°.
Clave •
Problema N.* IB ~ . .
Se tienen dos poleas unidas por una faja de 
transmisión, las cuales tienen radios Ry r. 
Cuando la polea de radio r da 24 vueltas, la de
D
radio R da 18 vueltas. Halle —.
■r
« i 
» !
» i3 o l3
E) 2
Resolución
Graficamos los datos del problema.
Sean las poleas (1) y (2) de radios Ryr, respec­
tivamente.
Se cumple que 
n^R=n2r
Reemplazamos
m = 24r -> - = ^ r
r yé
R 4 3
r
í Clave \
Problema 20
Se tiene un bloque de masa M sujeto por una 
cuerda que está envuelta en una polea de 
radio 40 cm. ¿Cuánto desciende el bloque si 
la polea da 10 vueltas en el sentido indicado?
■y
C -i
A) 47i m 
D) 671 m
B) 1271 m C) 1071 m 
E) 8n m
Resolución 
Colocamos valores.
J
; M
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Si tom am os en cuenta el punto A, cuando la 
polea da una vuelta en el sentido indicado, el 
punto A recorre toda la circunferencia de la 
polea, es decir, 2nr, donde r es el radio de 
la polea.
Al recorrer A toda la circunferencia de la 
polea, esa es la misma longitud de cuerda 
que se suelta y, por tanto, lo que desciende 
el b loque en una vuelta.
Podem os concluir que lo descendido por el 
b loque cuando la polea da una vuelta es 2nr, 
donde r es el radio de la polea.
Nos piden lo que desciende en 10 vueltas. 
L=W{2nr)
Com o el resultado está en metros, expresamos 
el radio en metros.
L = 1jef
. Ají- 2t i——- m 
>00V.
—> L=Qn m
Por lo tanto, el bloque desciende 8tc m.
• Clave •
Problema N,° 21
Una rueda de radio de 3 u da 15 vueltas al 
desplazarse rodando sin resbalar sobre una 
pista recta. Calcule el recorrido.
A) 907t u 
D) 120ti u
Resolución
G ra ta m o s
B) 80ti u C) 60n u 
E) 10071 u
A partir del gráfico, observam os que el reco­
rrido de la rueda es igual al recorrido del 
centro de la rueda.
d = k
Adem ás
nu =^=- 
v 2nr
Por dato
dn =15 15 =
v 2tc(3 u )
-> d=90n u
Por lo tanto, el recorrido de la rueda es 90tu u .
i Clave ;.
Problema N. 22
Para conectar dos tramos de carretera se ela­
bora una vía con trapecios circulares. Halle 
área de dicha vía si O, 0 1 y 0 2 son centros; 
AO=160 m; OCX,= 0 ,8 ; 0-¡0 2=02C y el ancho 
de la vía es 20 m.
.-0
O O i7 ' 3üc
.. 3100ti 2 n\ 3100ti 2 r-v 2900ti 2A) — :— B) — -— m C) — -— m
4
D) ^ 2 2 2 m2 rx 3200ti 2E) --------m
Capitulo 2
Longitud del arco de una circunferencia
Resolución 
En el gráfico
Observamos que la medida del ángulo central
71de cada sector circular es 30° o — rad. Además,6
el área total de la vía es igual a la suma de las 
áreas de los trapecios circulares.
A vía=A qABNM+^ 0 BCPN+J^ dCDQP 
Entonces
A
_ !
0ABNM ~ 2 — |(l802 -1602) = 7^(6800)12
A ÚBCPN ~ 2 - ] ( l0 0 2 - 8 0 2) = ^ (3600 )12
A = l i —1 (602 - 4 0 2) = 7^(2000)OCDOP 2 V.6
Sum am os las expresiones.
12
A = i ( 6 8 0 0 ) + i ( 3 6 0 0 ) + ̂ (2000 )VÍ3 12 12 12
En consecuencia
^vía
3100
í a = ^ ( l ^ )
n 310071 2
'• A v ( a = ^ — ™
Problema N.c 23
; Clave
En el gráfico, el triángulo ABC es isósceles, tal 
que AB=BC; además la distancia del incentro 
I al vértice C es 27. Halle la longitud del reco­
rrido del punto / cuando el triángulo gira sobre 
C hasta que el punto B llegue al piso.
A) 27tt 
D) 14ti
Resolución 
En el gráfico
/ 8 *
B) 24ti C) 1871 
E) 21tt
COLECCIÓN ESENCIAL
Si consideramos el punto C como apoyo, de 
modo que el triángulo ABC gire, el punto / 
describe la trayectoria de longitud { hasta 
üegar a /'. Además, ICI' es un sector circular 
cuyo ángulo central tiene 140° y su radio 
mide 27.
Tenemos que
140° 7i rad
Ü 8 0 °
7U rl= — rad
Luego
7tc
(Zf )
I=21ti
: Clave \
Problema N.° 24
Una rueda cuyo radio mide 18 cm pasa de 
la superficie AB a la superficie BC. Halle la 
longitud del recorrido del centro de dicha 
rueda.
A) 1671 cm 
D) 1271 cm
B) 21tc cm
C
C) 1571 cm 
E) 18tc cm
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Resolución
Analizamos el gráfico.
La rueda está en contacto con la superficie 
AB en el punto B; considerando dicho punto 
como apoyo gira hasta ubicarse en la superfi­
cie BC, de modo que el centro O describe un 
arco de longitud 0 hasta ubicarse en 0\ donde 
se cumple que O 'B IB C .
En el sector circular OBO', el ángulo central 
571mide 150° o — rad, y el radio tiene una lon- o
gitud igual a 18 cm.
En consecuencia
cm)
Jo
—> fl=157i cm
Por lo tanto, la longitud del recorrido del 
centro de dicha rueda es 15k cm.
Clave
Problema 2B
Si DAC es un sector circular y AO=OB=BC, 
halle
fio
D
En el sector circular MOB 
fi2=20(r)
-> fi2=20r
fii _ 30r _ 2 
^2 ,20r 3
; Clave ■
Problema N2 26
A partir del gráfico, determine el área de la 
región sombreada.
Resolución 
Del gráfico
Sean
m<DAC=Q rad a AO=OB=BC=r 
En el sector circular DOC tenemos que 
=0(3/') —-> 0-|=30r 
Como A AOM es isósceles
B) 12jr u¿ C) 1 5tc u‘
u‘
Resolución 
A partir del gráfico
m<AMO=0 rad 
^ m<M Ofí=20rad
prolongamos AO hasta D, de modo que AD 
sea el diámetro.
COLECCIÓN ESENCIAL
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Se observa que m<COD=40°. 
-> AD//BC Problema N.° 21
C\ABCO\ trapecio
NO OLVIDE
Si AB//CD
A B
donde A , y A 2 son áreas, se cumple
Notam os que las áreas de las regiones trian­
gulares ABN y NCO son iguales. Entonces, el 
área de la región sombreada es igual al á 
del sector circular BOC, cuyo ángulo c 
mide 100° y su radio es 6 u.
donde 100° = rad
Luego
1 ( 5n 
* = 2 9 J
(6) -> A =
5ti(36)
18
2A = 107tu2
[ Clave {
En el gráfico mostrado, AB; CD ; AM y MB son 
semicircunferencias. Determine el valor de E.
i—AM MB
° ) | E) 2
Resolución
Del gráfico
Hallamos las longitudes de las áreas. 
~ = (a + b)nAB
CD
a + b 
~2~
n
AM= bn
MB
Nos piden
C—' + L—. (a + ó)7i+ 
F - A B en
a + b
n
-> E =
-•'7~¡x + —' AM MB
31 — - |7X
io + ^ y í
bn + an
/. E = -2 i C/01/e
Problema N.* 28
Se tienen dos ruedas, cuyos radios miden 2 u 
y 1 u sobre una pista recta y sus centros se 
encuentran separados 80tt u. Si se desplazan 
rodando uno al encuentro del otro, dando 
cada una 10 vueltas, ¿cuál será la separación 
entre los centros?
A) 1 0 te u 
D) 40n u
Resolución
Graficamos
B) 30ti u C) 25tt u 
E) 2071 u
atizamos la rueda de radio 1 u.
—> ^=2071 u10:
Analizamos la rueda de radio 2 u.
10 =
2n(2 u)
—> L2=407tu
Luego
40n+x+20n=80n
x=20n
Por lo tanto, la separación entre las ruedas 
será de 20n u.
; Clave \
Problema N.° 29
Dos poleas unidas mediante una faja de trans­
misión tienen radios de 60 cm y 15 cm. Si la 
polea mayor gira 3 vueltas, ¿cuánto será la 
medida del ángulo girado por la polea menor?
A) 4140°
D) 3860°
Resolución
Graficamos
B) 4420° C) 4320° 
E) 3950°
(I)
1
Como están unidas mediante una faja, se 
cumple que
n^ = n 2r2
-> (3)(^0-Cm ) = n2( J i< m )
4
n2=12
Recordemos que cuando una polea da 
1 vuelta, gira 360°.
Por lo tanto, si da 12 vueltas, gira 360°(12), es 
decir, 4320°.
: Clave •
• ..............................
Problema N.° 30___________ / , - \
Si la polea de radio 3 gira 20 vueltas, ¿cuántas 
vueltas gira la polea de radio 2?
A) 25 B) 30 C) 40
D) 20 E> 35
Resolución
Sean las poleas A, B y C d radios 3; 1 y 2,
respectivamente.
Como están en contacto se cumple lo siguiente:
. Para las poleas A y B 
nArA~nBrB 
Por dato nA- 3
Reemplazamos 
20(3)=/?fl(1) -4 nB=60 
0 Para las poleas By C 
nBrB~ ncrc 
Reemplazamos 
60(Í)=a?c (2) -> nc=30 
Por lo tanto, la polea de radio 2 da 30 vueltas
; Clave i ••. . * .'l . ,
Problema N." 31__________
Indique el sentido de giro y la cantidad de 
vueltas de la polea de radio 5 si la polea de 
radio 9 gira 40 vueltas en sentido antihorario.
A) antihorario; 63 vueltas
B) horario; 72 vueltas
C) horario; 80 vueltas
D) antihorario; 72 vueltas
E) antihorario; 80 vueltas
Resolución 
Colocamos valores.
Considerando las poleas del (1) al (5), si la 
polea de radio 9 gira en sentido antihorario, 
la siguiente en contacto lo hará en sentido 
horario, y así sucesivamente. Por tanto, la 
polea de radio 5 gira en sentido antihorario.
Además, como las poleas están en contacto, 
entonces
n^ - n2r2 = n3r3=n4r4=nSrS
iguales
Es decir
Resolución
Graficamos
n1n1=n5n5
Reemplazamos
40(9)=r?5(5)
-> 72=ns
Por lo tanto, la polea de radio 5 gira 72 vueltasen sentido antihorario.
; Clave , }
Problema M.’ 32_____________ __ ________ _
Halle el área del trapecio circular CABO si el 
área del sector circular AOB es igual a 5 u2, 
además OA-AC.
Sean
OA-r y m<AOB=0 rad 
Luego
¡k - — - 5 u 2AOB ~ 2 ~ ̂u
—» 0^=10 u?
Como OA=AC=r
M _ 0 (2r)2_ e (4 r2)
ja <ocod~ 2 ~ 2
co d = 2 0r̂ = 20 u2
10 u“
Nos piden
•̂oCABD = tb-OCOD ~ ^ 0 A O B
?0ir 5 t/
^ 0CABD~^ U
; Clave
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.° 33
Determine el área de la región sombreada si 
EOF, COD y AOB son sectores circulares, el 
área del sector AOB es 4 u2 y OA=AC=CE.
A) 20 u2 
D) 120 u‘
Resolución
Im po rtan te
B) 16 u‘ C) 24 u‘ 
E) 18 u2
sv
.y
:
AOB I..
JA■OC0D d2
Del cual
donde JA es el área.
A partir del gráfico
De la observación anterior
,2
■̂qcabd~^ u'
Jk o EOF (3 r y
JA r2^OAOB r
En consecuencia 
JA = 9 (Jk
= 9
O EOF ~ ^ (^ 0 aOb )
— ̂ EOF~~>̂> ^
Nos piden
16 u 2 + Æ l/?s = 3 6 u£ 
JkRS=20 u2
Problema N.* 34
: Clove
Halle el área de la región sombreada si el área 
del trapecio circular CABD es 18 u2.
E
D) 32 u¿ E) 40 û
Capítulo 2
Longitud del arco de una circunferencia
Resolución Resolución
En el problema
Cuando la polea de radio r gira 120°, ha dado 
2 vueltas. En consecuencia, la polea de radio 
5 u también da 2 vueltas. Por una vuelta se 
envuelve 2n (5 u) de cuerda y es el mismo 
que sube el bloque M.
Por lo tanto, el bloque sube 20 tí u en 2 vueltas.
: Clave [
Si al ja lar la cuerda la polea de radio r gira 
720°, ¿cuánto sube el bloque M?
Problema N.° 36
En el sistema mostrado, la polea de radio 4 u 
gira 30 vueltas. Halle la cantidad de vueltas 
que girará la polea de radio 3 u.
A) 21 B) 20 C) 18
D) 24 E) 16
Resolución
Problema N.° 35
!ARS = 51h+lA=6Ik
Por dato
32A.=18 u‘
Colocamos valores.
Sean las poleas A, B, C y D de radios 4; 5; 2 y 3, 
respectivamente, en el sistema mostrado.
C) 25tc u
E) 3071 u
A) 157t u
D) 20ti u
B) 1 Ote u
COLECCIÓN ESENCIAL
Para las poleas A y fi
n A rA=n B rB
30(4 )= ns (5)
—> nB=24
• Para las poleas 8 y C 
n B= nC 
-> nc =24
• Para las poleas C y D 
nc rc=nDrD 
24(2)=nD(3)
dd -16
Por lo tanto, la polea de radio 3 da 16 vueltas.
•: C/ave L ;
Problema M.° 37____________________ _ __
La rueda de radio 1 u se traslada desde el 
punto A hasta el punto C sobre la superficie 
mostrada. Halle el número de vueltas que da 
dicha rueda.
A) 8
D) 6
B) 10 C) 12 
E) 15
Resolución 
Del gráfico
Sabemos que
n = 
v Znr
Pero
Lumbreras Editores
-> Cr =^(25) + | ( l 5 )
Kc
2
=2071
Reemplazamos
2071
nv = 271(1)
—> C7V—10
Por lo tanto, la rueda al trasladarse rodando 
desde A hasta C da 10 vueltas.
i Clave
Capítulo 2
Longitud del arco de una circunferencia
Problema H.' 38
En el sistema mostrado, la polea de radio 3 
da 5 vueltas en sentido antihorario. ¿Cuánto 
sube o baja el bloque de masa M? -
A) Sube 5n. B) Baja 6n. C) Baja 5n.
D) Sube 6ti. E) Baja 4tt.
Resolución
Analizam os el sentido de giro de la polea de 
radio 3 y observamos que el bloque baja.
Como la polea de radio 3 da 5 vueltas, la polea 
de radio 2 también.
Para las poleas de radios 2 y 4
2=ẑ 4̂ 4
5(2)=A74(4)
10
4 - n A -» n4~ o
í Además, cuando el bloque M da 1 vuelta, baja 
i 2tt(1); entonces en - vueltas, baja ~ (/n )- es
i 2 /i . decir, 5n.
Por lo tanto, el bloque baja 5n.
Problema N.° 39
Clave •
Halle y- si el área del trapecio circular CABD 
n
es 11 veces el área del sector circular AOB.
A) V3 
D) 2yÍ3
B) 4 C) 3 
E) 3 ^
Resolución 
A partir del gráfico
Sea rrxAOB=Q rad.
Aplicamos la fórmula para calcular el área.
iA = - J- -> 2G
=2 m
La polea de radio 1 también da - vueltas
COLECCIÓN ESENCIAL
Nos piden
24 ¿ X
2 ¿ X
—> ' U 2
■; y
= 12
= 2>/3
i Clave •
Problema N.° 40
En el gráfico mostrado, la región sombreada 
tiene un área de 871 u2. Determine el valor de 0 .
A)
371
TT
B) 9
C) ^ 8 Problema N.° 41
D)
5 71 
12
E) - 7
Determine el valor de 0 si las regiones som­
breadas son isoperimétricas.
Por dato
■̂RS~̂ n
Pero
—»
■̂rs ~̂cboc+^ aedb
A i0 ( 5)2+ l f í _ e j ( 62 _ 4 2)
A w =i80+io| | - e
—> 80 + 571
Igualamos con el dato.
80 + 5ti=87ü 
—> 80=3tt
e= —8
: Clave
Resolución 
Colocamos valores.
A
A) | + 2 B) | - 1 C) 1 + 2
Resolución 
A partir del gráfico
Sean
• m < /40C= a rad :
• m<fíOD=(3 rad
A partir del gráfico se observa que 
(0 + oc+(3) rad=Tc rad
Problema 42
Si AOC es un sector circular cuya longitud del 
29n
arco AC es y el area del sector circular
Tí
BOC es halle la medida del ángulo a.
A) 71 B) f C) 713 5 6
D) 7C E) 718 4
a+p=7i-0
Por condición tenemos que
2 p ( 7 2 p c = 3
—> /a +É2 = 2 r+C-j + d3+ /
0 / = 2 / + oc/ + p /
0=2 + a+|3 
0=2+71-0
Resolución 
Colocamos valores.
20=2+71
7C .
••• G = I +1
; Clave
En el O/40C 
0=0/? -> 29rt1 Ô" = 0(4)
—> 0 = 29rt120
En el o BOC
2
71 1 -
?=xP(4)2 -> p=ZL
i ¿ 24
Luego
a = 0 - p
29n n 
~ m ~ 2 4
a =
Tía = —
5
Problema N.° 43
Clave
Determ ine el número de vueltas que da la 
rueda de radio 2 al trasladarse desden hasta C 
si A B -4 0 n y fíC=19jc.
A) 15 
D) 10
B) 16 C) 12 
E) 18
Resolución
Analicemos el recorrido de la rueda.
Sabemos que
n = —'~— 
2nr
Del gráfico
ac = -̂h(l2 + (¡y
Por dato
í 1=4071 a í 3=19 n 
Calculamos 02.
e2=|(2) -> c2=ti
Reemplazamos
4071 + 71 + 1971
"v=- 271(2)
6077-> n =- 
v 4 77
nv=15
Clave
PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
Un sector circular presenta un ángulo 
central que tiene una medida de 60g y un 
radio de 5 m. Determine la longitud de su 
arco. Considere que 71=3,14.
A) 4,32 m B) 4,25 m C) 4,71 m
D) 4'52 m E) 4,83 m
2. Calcule el recorrido del extremo del minu­
tero de un reloj cuya longitud es 12 cm 
cuando transcurren 10 min.
A) 371 cm B) 4 t i cm C) 5 tt cm
D) — cm E) — cm2 ' 2
3. Se quiere cercar un terreno en forma de 
sector circular, cuyo arco tiene una longi­
tud de 371 m y su ángulo central mide 60°. 
Indique la longitud del cerco.
A) 2(6 + 7i) m
B) 3(5 + 71) m
C) 3(2 + t i) m
D) 4(2 + 7i) m
E) 3(6 + 7i) m
4 . Si la longitud del arco de un sector circular 
es tres veces la longitud de su radio, indi­
que la medida de su ángulo central.
A) 2 rad B) 4 rad C) 2,5 rad 
D) 3 rad E) 3,5 rad
5. Si a partir de un sector circular se duplica j 
la medida de su ángulo central y disminuye j 
su arco a la mitad, ¿qué se puede afirmar j 
sobre su radio?
A) No cambia de longitud.
B) Disminuye a la mitad.
C) Duplica su longitud.
D) Disminuye a la tercera parte.
E) Disminuye a la cuarta parte.
6 . Determine el recorrido de la esfera si es 
soltada en el punto A hasta impactar en la 
superficie NP y si la cuerda que la sujeta 
tiene una longitud de 60 cm.
60 cm
~ T j ..... -
2 0 jñ vHj ,
__C
A) 40tt cm B) 30tt cm C) 2071 cm
D) 50jt cm E) 45tt cm
. Determine si AOB y COD son secto­
res circulares; OD=DA=3 m y la medida del 
ángulo AOB es 60°.
A) 47i m B) 671 m C) 3tt m
D) 5 ti m E) 7n m
COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
8- En el gráfico mostrado, AOB y COD son 
sectores circulares. Halle ^ si AC=2(AO).
El péndulo de un reloj tiene una longitud 
de 50 cm. ¿Qué área barre dicho péndulo 
si su extremo genera un arco de 1 m?
C
A) 2 B) 3 C) -
^ 2 " v
° ) f f E) 4 ' \
9. Si en un sector circular la medida de su 
área es el doble del cuadrado de la lon­
gitud de su radio, ¿cuánto mide su ángulo 
central?
A) 3 rad B) 2 rad C) 4 rad
D) 3,5 rad E) 1,5 rad
10. Un jardín que tiene la forma de un sector
circular presenta un ángulo central que j
mide 45° y su arco tiene una longitud de j
11 m. Si se quiere sembrar gras en dicho i
jardín, ¿qué cantidad de gras necesitamos? j
22 ! Considere que n = — . i
A) 121 m2 B) 66 m2 C) 88 m2 j
D) 77 m2 E) 110 m2
A) 0,25 m2
B) 0,5 m2
C) 0,75 m2
D) 0,45 m2
E) 0,4 m2
12. A partir del gráfico, halle el área del 
trapecio circular sombreado si 0~ = 6 u-AB
0 - = 4 u; 04=8 u y OC=5 u.
A) 24 u2 B) 15 u2 C) 18 u2 
D) 20 u2 E) 16 u2
13. La rueda de una bicicleta cuyo radio mide 
40 cm se traslada rodando sin resbalar 
sobre una superficie