Lectura Confiabilidad de Equipos

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SECCION 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
Ingeniería de 
Confiabilidad - Equipos 
Sección 4 
 
Medardo Yañez 
Hernado Gómez de la Vega 
Karina Semeco Soto 
Nayrih Medina 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta sección esta dedicada al estudio de los aspectos físicos y aleatorios del fenómeno falla.   Expone los aspectos 
fundamentales de los dos enfoques que coexisten dentro de la Ingeniería de Confiabilidad. Estos enfoques son: confiabilidad 
basada en el análisis probabilístico del tiempo para la falla o historial de fallas y confiabilidad basada en el análisis 
probabilístico del deterioro o física de la falla. 
 
 152
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 153
1. Ingeniería de confiabilidad. 
En su forma más general, la Ingeniería de Confiabilidad puede definirse como la rama de la ingeniería que estudia las 
características físicas y aleatorias del fenómeno “falla”. 
Dentro del área de Ingeniería de Confiabilidad, coexisten dos (2) escuelas con enfoques muy específicos, estas son: 
 Confiabilidad basada en el análisis probabilístico del tiempo para la falla o historial de fallas (Statistical Based Reliability 
Analysis) [2], [10], [14], [25], [26], [31], [37], [49]. 
 Confiabilidad basada en el análisis probabilístico del deterioro o física de la falla (Physics Based Reliability Analysis) [9], 
[10], [14], [26], [31], [32], [37], [48]. 
Ambas escuelas tienen un objetivo común: “caracterizar probabilísticamente la falla para hacer pronósticos y establecer 
acciones proactivas dirigidas a evitarla o a mitigar su efecto”. Adicionalmente, ambas escuelas proponen el término 
probabilístico “CONFIABILIDAD” como indicador básico para lograr esta caracterización. Otro punto coincidente es el 
reconocimiento de la “aleatoriedad e incertidumbre” de las variables analizadas y su consecuente tratamiento probabilístico. 
Las diferencias entre ambas escuelas están relacionadas con la óptica desde la cual se analiza la falla. La primera 
mencionada propone predecirla estudiando la frecuencia histórica de ocurrencia o tasa de fallas, mientras que la segunda 
considera que una falla es la última fase de un proceso de deterioro y se concentra en predecirla a través del entendimiento 
de “cómo ocurre la falla”, es decir, estudiando la “física del proceso de deterioro”. 
Las tendencias más avanzadas y recientes (state of the art) dentro de la Ingeniería de Confiabilidad, proponen modelos 
híbridos para caracterizar probabilísticamente el fenómeno falla, es decir, modelos que toman en cuenta no solo el proceso 
físico del deterioro sino también la estadística del historial de fallas. En este capítulo se exploraran detalladamente ambos 
enfoques. 
 
2. Confiabilidad C(t): Conceptos y relación con análisis de riesgo. 
Tal y como se definió en la sección de conceptos básicos Confiabilidad es la probabilidad de que un activo cumpla con su 
función, en un tiempo determinado y bajo un entorno operacional específico [17]. 
Probabilísticamente, Confiabilidad C(t)) es el complemento de la Probabilidad de Fallas F(t), es decir, Confiabilidad C(t) es la 
probabilidad de éxito. 
F(t)+C(t) =1 (2.142) 
Existe un importante vínculo entre el Análisis de Confiabilidad y el Análisis Probabilístico de Riesgo tal como se describirá con 
detalle en el Capítulo V. Recordando el Capítulo I, se define Riesgo como “egresos o pérdidas probables consecuencia de la 
probable ocurrencia de un evento no deseado o falla”. Matemáticamente, se calcula con la siguiente ecuación: 
Riesgo(t)=Probabilidad de Fallas(t) x Consecuencias. 
Riesgo(t)= (1-Confiabilidad(t)) x Consecuencias. 
El riesgo se comporta como una balanza que permite pesar la influencia de ambas magnitudes (Probabilidad de Falla y 
Consecuencia de la Falla) en una decisión particular. 
 
Riesgo
Riesgo= Probabilidad de falla x Consecuencia de la Falla
Riesgo=(1-Confiabilidad) x Confiabilidad
Confiabilidad/ Probabilidad de Falla Consecuencias
Basada en la 
Historia
(Estadística del 
Proceso/Sistema)
Basada en la 
Condición
(Monitoreo del 
Proceso/Sistema)
Impacto Ambiental Impacto Personas
Costo de Reparación Perdidas de Reputación
Perdidas de Mercado Perdidas de Producción
Perdidas de Ventajas 
Tecnológicas
 
Figura 2.96 Relación entre Análisis de Confiabilidad y Análisis de Riesgo. 
Capítulo II. Disciplinas 
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 154
La figura 2.96 muestra claramente que para calcular riesgo, deben establecerse dos (2) vías, una para el cálculo de la 
confiabilidad y/o la probabilidad de fallas, con base en la historia de fallas o con base en la física del deterioro, y otra para el 
cálculo de las consecuencias. En todo caso, el análisis de confiabilidad es parte del análisis probabilístico de riesgo. 
 
3. Confiabilidad basada en el análisis probabilístico del tiempo para la falla o historial de fallas (Statistical 
Based Reliability Analysis). 
Es la rama de la confiabilidad que estudia la variable aleatoria “tiempo para la falla”. El insumo básico para este tipo de 
análisis son bases de datos donde se almacenan las historias de fallas (tiempos de fallas y tiempos de reparación) de 
equipos. 
La confiabilidad basada en la estadística de fallas tiene dos grandes áreas de estudio, una que se enfoca en equipos no 
reparables y otra para equipos reparables. 
Los equipos no reparables tienen las siguientes características fundamentales: 
 Su condición operativa no puede ser restaurada después de una falla. 
 Su vida termina con una “única” falla y debe ser reemplazado. 
 La variable aleatoria de interés es el tiempo para la falla. 
 Para caracterizarlo probabilísticamente se requiere estimar la tasa de fallas h(t). 
Dentro de los equipos no reparables muchos exhiben tasas de falla constantes y su comportamiento está definido por la 
Distribución Exponencial, mientras que para sistemas en los cuales la función de falla no es constante en el tiempo existen 
alternativas diferentes al uso de la distribución exponencial, tal como, las distribuciones Weibull, Log-Normal, Normal, 
Gamma, Beta, entre otras. 
Por su parte, un equipo reparable es aquel cuya condición operativa puede ser restaurada después de una falla, por una 
acción de reparación diferente al reemplazo total del mismo. Un equipo reparable tiene las siguientes características 
fundamentales: 
 Su condición operativa puede restaurarse después de fallar, con una reparación. 
 En su vida puede ocurrir más de una falla. 
 La variable aleatoria de interés es el Número de Fallas en un período específico de tiempo. 
 Para caracterizarlo probabilísticamente se requiere estimar la “tasa de ocurrencia de fallas (t)” y la “tasa de 
reparación (t)”. 
Además de la confiabilidad se requiere calcular la disponibilidad, que es la probabilidad de que el equipo esté disponible (es 
decir, que no esté en reparación) a un tiempo “t”. Para calcular disponibilidad se requiere analizar estadísticamente los 
tiempos para la falla, y los tiempos en reparación. 
En el caso de los sistemas reparables, hasta 1996 estaban definidos dos procesos de punto estocástico para modelar su 
tratamiento. La primera asume la reparación hacia su condición original, todo basado en el Proceso Ordinario de 
Renovación (independiente e idénticamente distribuido), la segunda asume una reparación mínima basando sus cálculos 
mayoritariamente en el Proceso no Homogéneo de Poisson. A partir de 1996, se ha propuesto un nuevo desarrollo para 
tomar en cuenta los estados diferentes a los indicados anteriormente, el cual está basado en un modelo probabilístico 
denominado “Proceso Generalizado de Restauración”. 
En esta sección se explorarán en detalle el análisis de confiabilidad basado en la historia de fallas tanto para equipos no 
reparables como para equipos reparables. 
 
3.1. Confiabilidad en Activos no Reparables. 
3.1.1. Activos no Reparables. 
Comose mencionó previamente, se define como activos no reparables, aquellos que tienen las siguientes características 
fundamentales: 
 Su condición operativa no puede ser restaurada después de una falla. 
 Su vida termina con una “única” falla y debe ser reemplazado. 
La mayoría de los componentes electrónicos suelen ser considerados “no reparables”. Los bombillos o bulbos de luz son los 
clásicos ejemplos de equipos no reparables. Sin embargo, es importante destacar que en esencia, cualquier equipo es 
reparable; inclusive un bombillo, y es la política o estrategia de mantenimiento y/o reparación la que realmente dice cómo se 
debe clasificar un equipo o componente. Si la política de mantenimiento es “reemplazar” después de la falla, entonces se 
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clasificará al activo como “no reparable”; si por el contrario, la política es “reparar y reinstalar” después de la falla, se 
definirá al activo como “reparable”. Adicionalmente, para clasificar activos, debe tenerse en cuenta el “volumen de control y 
contexto operacional especifico” al cual se hace referencia. Para entender estos conceptos se analizará la Figura 2.97. 
 Si se define volumen de control, a nivel de componentes, en este caso los tubos de un intercambiador, y se analiza la falla 
de un tubo, éste es “reemplazado al fallar” y en la mayoría de las plantas de proceso poseen tubos de repuesto para este 
fin. En este caso, el tubo es considerado un activo no reparable, no obstante, si el volumen de control se define como el 
intercambiador de calor completo, al fallar un tubo, no se reemplaza todo el intercambiador; solo el tubo. En este caso, el 
tubo sigue siendo un activo no reparable, pero el intercambiador es un activo reparable. 
 
COMPONENTE
TUBO
EQUIPO
INTERCAMBIADOR
DE CALOR
 
Figura 2.97 Diferentes Volúmenes de Control (Componente, Equipo). 
Otro ejemplo sería analizar una lámpara de luz cuando le falla el bombillo. En este caso, el bombillo es un activo “no 
reparable” y la lámpara es un “activo reparable”. 
Adicionalmente existen otros aspectos de carácter estratégicos como el contexto operacional considerado, que contribuyen a 
catalogar para efectos prácticos, un componente o sistema como reparable o no reparable. 
Por ejemplo, un sensor instalado en el fondo de un pozo de crudo profundo, de fallar conllevaría a una logística de recursos 
técnicos y económicos significativos a fin de extraerlo del subsuelo y proceder a repararlo o reemplazarlo. Ese mismo 
sensor, instalado en una planta en la superficie, debidamente atendida, muy posiblemente pueda ser reparado sin muchos 
inconvenientes. Bajo esta panorámica, el sensor en el subsuelo muy posiblemente convenga clasificarlo como componente 
no reparable, en cuyo caso será importante estudiar su confiabilidad; mientras que el sensor en la superficie se clasifique 
como componente reparable, en cuyo caso además de la confiabilidad, la disponibilidad es otro parámetro de interés. 
Como conclusión, para clasificar un activo como reparable o no reparable, se debe tomar en cuenta la política de 
mantenimiento y/o reparación, el volumen de control del cual ya se hecho referencia y el contexto operacional especifico. 
Las referencias [2], [26], [48] ofrecen información particularmente detallada sobre el tópico de Confiabilidad en activos no 
reparables 
3.1.2. Conceptos Básicos. 
A.- La Función Confiabilidad (C(t)). 
Confiabilidad de un activo no reparable, evaluada en un tiempo misión (tm), es la probabilidad de que la variable aleatoria 
“tiempo para la falla” sea igual o mayor al periodo de análisis o tiempo misión (tm). En otras palabras, es la probabilidad de 
que el activo opere sin fallas un tiempo igual o superior al periodo de análisis o tiempo misión (tm) [17]. 
)mttPr()t(dadConfiabili  
Supóngase que se tiene una muestra representativa de datos, es decir, períodos de operación hasta la falla (ti, i=1,2……n) 
de n equipos similares. Supóngase adicionalmente que con estos datos, y siguiendo los procedimientos descritos en la 
sección de estadística para la confiabilidad (ver apartados 4.3 y 4.3.1), se logra caracterizar esta muestra con una 
distribución de probabilidades. La figura 2.98, muestra distribuciones de probabilidad de frecuencia y acumuladas directa e 
inversa, de la variable aleatoria objeto de estudio “tiempo para la falla”. 
Como el lector habrá deducido ya en este punto, la función “Confiabilidad” definida en la ecuación 2.143, corresponde a la 
distribución acumulada inversa del tiempo para la falla, ya que esta distribución expresa la probabilidad de que t (tiempo de 
falla) sea mayor o igual que tm (tiempo misión). Con apoyo de la ecuación 2.143 y en la ecuación 2.29 del Capitulo II, lo 
anterior se expresa matemáticamente con la siguiente ecuación: 
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,000
,032
,096
,128
f(t)
t
0,00 13,75 41,25 55,00
DISTRIBUCIOND DEL TIEMPO PARA FALLAR
DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
,000
,500
,750
1,000
0,00 13,75 27,50 41,25 55,00
C(t)
F(t)
DISTRIBUCION DEL TIEMPO PARA FALLAR
DISTRIBUCIONES ACUMULADAS
t
f(t)
,025
 
Figura 2.98 Distribuciones de Probabilidad del Tiempo para Fallar. 


mt
mm dt)t(f)ttPr()t(C 
 

mt
mmm )t(F1dt)t(f1)ttPr(1)t(C (2.143) 
El figura 2.99 muestra gráficamente los conceptos previamente explicados. 
,000
,032
,096
,128
,000
,500
,750
1,000
0,00 13,75 27,50 41,25 55,00
f(t)
tm
t
0,00 13,75 41,25 55,00
C(t)=Confiabilidad
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
DEL TIEMPO PARA FALLAR
DISTRIBUCIONES ACUMULADAS
DEL TIEMPO PARA FALLAR




m
m
t
m
t
mm )t(F1dt)t(f1dt)t(f)ttPr()t(C
t
)t(C m
tm
 
Figura 2.99 Confiabilidad evaluada en un tiempo misión tm: C(tm). 
B.- Tiempo Promedio Para Fallar (TPPF). 
El TPPF es el estimado puntual más “clásico” en el área de Confiabilidad; y es un parámetro de mucho interés para la 
selección de equipos y diseño de sistemas. 
El TPPF o Tiempo Esperado para la Falla, corresponde a la media de la distribución de la variable aleatoria tiempo para la 
falla; y se calcula utilizando la ecuación 2.17 del Capitulo II, que expresada en términos de tiempo es: 





0
dt)t(C
0
dt)t(f.tTPPFt (2.144) 
,000
,032
,096
,128
f(t)
t=TPPF
t
0,00 41,25 55,00
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
DEL TIEMPO PARA FALLAR
27,50



00
t dt)t(Cdt)t(f.tTPPF
 
Figura 2.100 TPPF 
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C.- La Función de Velocidad de Incremento del Peligro (H(t)) o Tasa de Fallas. 
La función de velocidad de incremento del peligro o tasa de fallas h(t), es un camino alternativo a la función confiabilidad 
C(t), para describir el comportamiento de la variable aleatoria tiempo para la falla. La función h(t) describe el 
comportamiento del número de fallas de una población por unidad de tiempo, y viene dada por la siguiente expresión: 
)t(F1
)t(f
)t(C
)t(f
)t(h

 (2.145) 
En términos probabilísticos, la ecuación 2.145 dice que h(t) es la probabilidad condicional de falla en un intervalo de tiempo 
t+Δt; dado que el componente, equipo o sistema ha sobrevivido hasta el tiempo t. (Ver concepto de probabilidad 
condicional en la sección de estadística para la confiabilidad). 
Al igual que las funciones f(t), F(t) y C(t) que se observan en la figura 2.98, la función h(t) es una característica única de la 
variable tiempo para fallar de una población de componentes, equipos o sistemas. 
Existe una importante relación entre la función Confiabilidad C(t) y la función h(t), que se resume en la siguiente expresión: 
dt)).t(h(
e)t(C (2.146) 
La ecuación 2.146 implica que al definir la función h(t) se puede definir la función C(t), y viceversa. 
Como se explicó previamente, la función h(t) describe el comportamiento del número de fallas de una población por unidad 
de tiempo, y la misma puede ser creciente (el número de componentes de la población que fallan por unidad de tiempo 
aumenta progresivamente), decreciente (el número de componentes de la población que fallan por unidad de tiempo 
disminuye progresivamente), o constante. 
El análisis del comportamiento de fallas de una gran cantidad de poblaciones de componentes o equipos observados durante 
largos períodos de estudio, han mostrado una función tasa de fallas decreciente en el primer período, la primera etapa del 
período de observación (fenómeno conocido como mortalidad infantil), seguido por una función tasa de fallas 
aproximadamente constante, y finalmente una función tasa de fallas creciente durante la última etapa del período de 
observación. La figura 2.101 muestra la forma que toma la función tasa de fallas para el comportamiento previamente 
descrito. 
T
A
S
A
 D
E
 
 F
A
LL
A
h
( t
)
TIEMPO (t) 
Figura 2.101 Comportamiento típico de h(t) para poblaciones de componentes. 
La forma de la función h(t) mostrada en la figura 2.101, es ampliamente conocida como curva de la bañera. A continuación 
se explica cómo interpretar en detalle la curva mencionada. 
Curva de la Bañera: La Curva de la Bañera es un gráfico que muestra el probable comportamiento de la tasa de fallas de 
un tipo de componente o equipo para diferentes instantes de tiempo, y se construye observando y registrando el 
comportamiento histórico de fallas de una población de ese tipo de componente o equipo. 
Una forma práctica de entender la curva de la bañera es analizar el caso de los seres humanos. Supóngase que se analizan 
las vidas de 100 personas, nacidas en el año 1900, seleccionadas aleatoriamente. Con toda seguridad, si se revisa la fecha 
en que fallecieron, se encontrará que una buena parte de ellos, murieron entre 0 y 3 años debido a problemas congénitos, 
problemas en el nacimiento o enfermedades infantiles severas; otros tantos, aunque un poco menos entre 3 y 6 años, y 
menos aún entre 6 y 9 años. De esto puede inferirse que el número de personas que murió por año, fue decreciendo 
entre 0 y 9 años. A partir de allí se observa que la tasa de mortalidad se estabiliza, es decir, el número de personas que 
muere por año entre los 9 y los 45 años se mantiene aproximadamente constante. Finalmente, a partir de los 45 años, se 
encuentra que el número de personas que muere por año es cada vez mayor, con un incremento lento entre los 45 y los 65 
años, y con un incremento más severo a partir de los 65 años. 
Si se revisa esta descripción cuidadosamente, se entenderá que la misma coincide con el comportamiento de la Figura 
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2.102, conocida como curva de la bañera (bathtub curve). 
 
T
A
S
A
 D
E
 
 F
A
LL
A
h
(t
)
TIEMPO (t)
Mortalidad 
Infantil 
Periodo de 
Fallas Aleatorias
Envejecimiento 
o Desgaste 
Tasa de Fallas 
creciente 
Tasa de Fallas 
decreciente 
Tasa de Fallas 
constante 
 
Figura 2.102 Curva de la Bañera 
El análisis del comportamiento de la curva permite asegurar que el “peligro” de que una persona cualquiera muera entre 0 y 
3 años es mayor que el peligro de que muera entre 3 y 6 y es menor aún entre 6 y 9 años. También permite decir que el 
peligro de morir a los 20 años es aproximadamente igual que el peligro de morir a los 40 años y que en ambos casos es 
menor que el peligro de morir entre 0 y 6 años. No obstante, el peligro de morir se incrementa a partir de los 45 años y va 
aumentando lentamente. A partir de los 65 años, el peligro de morir se hace mayor más rápidamente. Esta curva no dice a 
qué edad va a morir un ser humano específico; pero refleja como cambia el peligro de morir con la edad. 
Es importante reconocer que esta curva se construyó observando una población específica de seres humanos, y permite 
hacer predicciones sobre otros seres humanos. 
PATRON “C”
PATRON “D” PATRON “E”
PATRON “F”
PATRON “A”
PATRON “B”
TIEMPO
T
A
S
A
 D
E
 F
A
LL
A
 h
(t
)
TIEMPO
T
A
S
A
 D
E
 F
A
LL
A
 h
(t
)
TIEMPO
T
A
S
A
 D
E
 F
A
LL
A
 h
(t
)
TIEMPO
T
A
S
A
 D
E
 F
A
LL
A
 h
(t
)
TIEMPO
T
A
S
A
 D
E
 F
A
LL
A
 h
(t
)
TIEMPO
T
A
S
A
 D
E
 F
A
LL
A
 h
(t
)
TIEMPO
T
A
S
A
 D
E
 F
A
LL
A
 h
(t
)
TIEMPO
T
A
S
A
 D
E
 F
A
LL
A
 h
(t
)
TIEMPO
T
A
S
A
 D
E
 F
A
LL
A
 h
(t
)
TIEMPO
T
A
S
A
 D
E
 F
A
LL
A
 h
(t
)
TIEMPO
T
A
S
A
 D
E
 F
A
LL
A
 h
(t
)
TIEMPO
T
A
S
A
 D
E
 F
A
LL
A
 h
(t
)
 
Figura 2.103 Otros Patrones de Falla. 
Este concepto es extrapolable a componentes y equipos. Si se dispone de un número significativo de unidades de un mismo 
componente o equipo, y se les pusiera a operar a partir de un tiempo inicial t0, y observando el comportamiento en el 
número de fallas por unidad de tiempo podría construirse su particular curva de la bañera. Típicamente una población de 
componentes o equipos en general presentan una tasa de falla alta en el primer período de vida que decrece hasta que 
alcanza un nivel constante por un período de tiempo, (conocido como etapa aleatoria), y finalmente por efecto del 
envejecimiento característico o desgaste de los componentes, comienza a aumentar nuevamente (desgaste) (12), tal como el 
caso de los seres humanos reflejado en la figura 2.102. 
No obstante, es necesario mencionar que el patrón de fallas mostrado en la figura 2.102 no se corresponde exactamente 
con el comportamiento de una amplia variedad de sistemas eléctricos, electrónicos y mecánicos (9). 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
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En la Figura 2.103 (página anterior), se puede observar los diversos patrones de fallas encontrados para varios equipos y 
sistemas en función de sus edades operativas. 
Estudios realizados han mostrado que el 4% de los sistemas se corresponden con el patrón “A”, 2% con el patrón “B”, 5% 
con el patrón “C”, 7% con el patrón “D”, 14% con el patrón “E” y aproximadamente el 68% con el patrón “F” (9). 
 
3.1.3. Estimación de la Confiabilidad. 
Hasta este punto se han descrito las funciones y parámetros más importantes de un análisis de confiabilidad para equipos 
no reparables (C(t), h(t), TPPF). Como el lector puede constatar en las ecuaciones 2.143, 2.144 y 2.145, para definir estas 
funciones, es necesario definir la distribución paramétrica de probabilidades del tiempo para la falla f(t). En caso de no 
encontrar ninguna distribución paramétrica que ajuste al conjunto de datos disponibles, se debe hacer uso de una 
distribución “no paramétrica o empírica” (ver el apartado 4.2 de la sección de estadística para la confiabilidad) y estimar la 
confiabilidad apoyados en “estadística no paramétrica o estadística de la muestra”. 
En las secciones sucesivas se estudiará cómo estimar confiabilidad usando estadística paramétrica y usando estadística no 
paramétrica. 
A.- Estimación de Confiabilidad de Activos no Reparables con Estadística Paramétrica. 
Para estimar confiabilidad con estadística paramétrica, es necesario caracterizar probabilísticamente la variable tiempo para 
fallar, es decir; encontrar la distribución paramétrica f(t) que mejor se ajusta a los datos; usando para ello el procedimiento 
descrito en el apartado 4.3 de la sección de estadística para la confiabilidad. En este caso los datos a analizar deben ser 
tiempos de operación de n equipos similares con los cuales se definirá la distribución de densidad de probabilidades f(t). Una 
vez definida f(t), utilizando las ecuaciones 2.41 y 2.43 de la sección de estadística para la confiabilidad, se obtienen la 
distribución acumulada directa F(t) que corresponde a la probabilidad de fallas y la distribuciónacumulada inversa C(t) que 
corresponde a la confiabilidad. 
Sin embargo, el proceso de caracterización probabilística de la variable “tiempo de operación para la falla” requiere un 
tratamiento especial para su respectiva caracterización; que está relacionado con el concepto de datos censados, que se 
explica a continuación. 
Para entender el concepto de datos censados, es necesario analizar la figura 2.104. En la misma se representan con líneas 
los tiempos de operación de una población de “n” equipos. Estos tiempos fueron medidos de manera continua en cada 
equipo desde que iniciaron su operación. Las líneas punteadas, con una “X” al final representan aquellos equipos que han 
fallado antes del tiempo tmisión o periodo de análisis, y las líneas continuas aquellos equipos que no han fallado y continúan 
operando después de finalizado el período de análisis. 
Las líneas punteadas constituyen la información de fallas; mientras que las líneas continuas, es decir, los tiempos t3 y t6 son 
datos de equipos que permanecen confiables (no han fallado) para el momento del análisis, y son parte importante de la 
información. A t3 y t6 se les conoce como datos censados. 
 
0 T ie m p o t
E q u ip o 1
E q u ip o 2
E q u ip o 3
E q u ip o 4
E q u ip o 5
E q u ip o 6
E q u ip o n
X
X
X
X
X
t1
t2
t3
t4
t5
t6
tn
tm is io n 
Figura 2.104 Datos censados y no censados. 
Capítulo II. Disciplinas 
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La existencia de datos censados es generalmente obviada por los analistas, quienes en la mayoría de las ocasiones se 
concentran en los equipos que han fallado, y no toman en cuenta los datos censados. Esto se traduce en cálculos pesimistas 
de la confiabilidad. 
En este punto el lector podría preguntarse cómo incluir los datos censados en el cálculo de confiabilidad, y la respuesta está 
en el proceso de caracterización probabilística; tal como se explica a continuación: 
El paso 1 de una caracterización probabilística es plantear las hipótesis acerca de las distribuciones paramétricas que 
podrían hacer un buen ajuste con los datos. 
El paso 2, es calcular los parámetros de cada una de las distribuciones hipótesis con los datos de la muestra. Las 
ecuaciones para calcular estos parámetros normalmente se obtienen con el método de máxima verosimilitud explicado. 
El paso 3 consiste en realizar alguna de las pruebas de bondad de ajuste estudiadas en la sección de estadística para la 
confiabilidad en el apartado 4.3.2 en las que normalmente se comparan cada una de las curvas de las distribuciones 
hipótesis teóricas obtenidas con los parámetros estimados en el paso anterior, con el histograma de los datos de la 
muestra. De esta comparación se calcula para cada distribución hipótesis un valor llamado “valor del test” y se compara 
contra un valor llamado “valor critico”. Si el valor del test es menor que el valor crítico para un determinado nivel de 
significancia, entonces la distribución hipotética se considera un buen ajuste y la hipótesis no es rechazada. Si por el 
contrario, el valor del test es mayor que el valor crítico, la hipótesis se rechaza. 
El paso 4 es seleccionar entre las distribuciones hipotéticas no rechazadas, aquella que tenga el valor del test más bajo, y 
ésta se considera el mejor ajuste y por lo tanto la distribución paramétrica que mejor representa el set de datos de la 
muestra. 
La forma de tomar en cuenta los datos censados en el proceso de caracterización probabilística se centra en el paso 2 del 
procedimiento previamente descrito, es decir, en el cálculo de los parámetros con los datos de la muestra; ya que las 
ecuaciones para el cálculo de los parámetros de las distribuciones probabilísticas son diferentes cuando existen datos 
censados. 
Como el lector recordará, el método de máxima verosimilitud permite definir las ecuaciones de los parámetros. Para 
¨´refrescar´´ la memoria, recuérdese el método de máxima verosimilitud: 
 
Paso 1: Para un set de datos ti (i=1, 2, 3.......n) crear la ecuación de máxima verosimilitud: 



n
1i
),it(fL  ; donde ti son los tiempos de ocurrencia de fallas y t el parámetro o los parámetros de la distribución 
probabilística. 
Paso 2: Derivar la ecuación de verosimilitud respecto a cada parámetro;

L 
Paso 3: Hallar el valor de  que maximiza L; es decir resolver 0L 



 
En caso de existir datos censados, la ecuación de verosimilitud definida en el paso 1, cambia a la siguiente forma: 





w
1j
),jt(C*
m
1i
),it(fL  ; 
Donde: 
m = Número de equipos que han fallado. 
ti = Tiempo de falla del equipo i. 
w = Número de datos censados o equipos no fallados. 
tj = Tiempos de operación de equipos que no han fallado (datos censados). 
 Parámetros de la distribución de probabilidad. 
Por esta variación en el procedimiento, las ecuaciones para el cálculo de parámetros que se obtienen cuando existen datos 
censados son diferentes a las ecuaciones que se obtienen cuando no los hay. La Figura 2.105 muestra un flujograma del 
proceso de selección de la distribución que mejor ajusta a una muestra de datos que incluye datos censados. 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 161
A na lizar los da tos de la m uestra y generar las h ipó tes is o d is tribuc iones 
param etricas que podrian a jus ta r a los da tos de la m uestra
fk(t ;   j )
D onde:
k=1 ,2 ....m ; donde m = núm ero de h ipó tes is generadas
 j = parám etros de la d is tribuc ión h ipo te tica fi(t)
H ay da tos
censados?
k= 1, q =0
S iN o
M eto d o d e M axim a V ero sim ilitu d
P aso 1 : P ara los da tos de fa llas ti ( i= 1 ,2 ,3....... n )
c rear la ecuac ión de veros im ilitud :
P aso 2 : D erivar la ecuac ión de veros im ilitud respecto
a cada parám etro  j ; 
P aso 3 : H a lla r e l va lo r de  j que m ax im iza L; es 
dec ir reso lver



n
i
nitfL
1
21 ),.....,,;( 

L
0



L
M eto d o d e M axim a V ero sim ilitu d
P aso 1 : P ara los da tos de fa llas ti ( i=1 ,2 ,3 ....... z), 
y los datos censados tl ( l= 1 ,2 ,3… .w ) crear la
ecuac ión de verosim ilitud : 
P aso 2 : D erivar la ecuac ión de veros im ilitud 
respecto a cada parám etro  j ; 
P aso 3 : H ayar e l va lo r de  j que m ax im iza L; es 
dec ir reso lver

L
0



L



w
l
nl
z
i
ni tCfL
1
21
1
21 ),.....,,,(*),.....,,,( 
H alla r los va lo res de los param etros  j , con los 
da tos de la m uestra , u tilizando las ecuac iones 
espec ificas para la d is tribuc ion h ipo te tica fk(t ), 
obtenidas con e l m etodo de M axim a 
V ero sim ilitu d
P ara cada va lo r ti de la m uestra de da tos 
(i= 1 ,2… .n), ca lcu le la probab ilidad de fa lla teorica 
F i(t)
D onde  1,  2, .....  j, so n lo s p aram etro s d e la 
d is trib u cio n , h ayad o s en la fase p revia .

it
jki dttftF
0
21 ),...,;()( 
P ara cada va lo r ti de la m uestra de datos
(i=1 ,2… .n), ca lcu le la probabilidad de fa lla 
em pirica 
D onde n= num ero de tos de la m uestra
n
itFi )(ˆ
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 500 1000 1500 2000 2500
t (tiem po )
P
ro
b
a
b
ili
d
a
d
 d
e
 F
a
lla
F (t) E m p irica F (t) T eo rica
G ra ficar la P robab ilidad de F a lla T eorica F (t) y la 
P robab ilidad de F a lla E m pirica V s t )(
ˆ tF
C on los ca lcu los de P rob . de F a lla T eorica F i(t) y 
la P robab ilidad de F a lla E m pirica , ap licar e l 
tes t de B ondad de A jus te de K olm ogorov-S m irnov, 
•C alcu lar e l va lo r de l tes t: “K -S k”
•C alcu lar e l va lo r c ritico “V c k ” p ara u n n ive l d e 
co n fid en cia esp ecifico
)(ˆ tFi
K -S k<V c k
S iN o
fk(t) es una h ipo tesis no 
rechazada y es cand ida ta 
a “m e jor a jus te ”
q =q +1
fk(t) es una h ipo tes is 
rechazada
k< m
k<m
k= k+ 1
 
 
S i
N o
N o
k= k+1
 S i
F IN
E ntre las “q ” d is tribucio nes 
que fue ron no fue ron 
rechazadas, la que m e jo r 
a jus ta a l se t de da tos 
co rresponde a la que tenga 
un m enor va lo r de l tes t de 
bondad de a jus te “K -S ”
M ejor F it: K -S m in im o
 
Figura 2.105 Proceso de selección del mejor ajuste. 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 162
La Tabla 2.35 resume las ecuaciones para el cálculo de parámetros para las distribuciones probabilísticas más usadas en 
análisis de confiabilidad de equipos no reparables, tanto para muestras con sólo datos de falla, como para muestras con 
datos censados. 
Tabla 2.35: Ecuaciones de parámetros. 
Distribución Parámetros Todos los “n” equipos de la muestra han fallado (ti :1,2...n) 
Solo “m” equipos han fallado (ti :1,2...m) 
y “w” equipos no han fallado( tj:1,2.... w 
) (datos censados) 
Exponencial λ 


n
1i
it
n 



w
1j
j
m
1i
i tt
m 
Weibull 
α 



/1n
1i
i
n
t













  
    

1
w
1j
j
m
1i
i
m
tt




























 
β 
  
 





n
1i
in
1i
i
n
1i
ii
tln
n
11
t
tlnx


 
     
 
















 m
1i
i
w
1j
j
m
1i
i
w
1j
jj
m
1i
ii
tln
m
11
tt
tlnttlnt


 
Gamma 
α 
 
  










n
1i
2
Xi
2
2n
1i
i
tn
t1n

 Solución numérica 
β 
 

 



n
1i
i
n
1i
2
Xi
t)1n(
t.n 
 Solución numérica 
Normal 
μ 
n
t
n
1i
i
  Solución numérica 
σ      
n
1i
2
i
2 t
1n
1  Solución numérica 
Log- Normal 
μτ 
n
)tln(
n
1i
i
t

  Solución numérica 
στ      
n
1i
2
i
2
t )tln(n
1
 Solución numérica 
 
Adicionalmente, en la tabla 2.36 que se muestra a continuación, se resumen las ecuaciones para el cálculo de la 
probabilidad de fallas F(t), la confiabilidad C(t), la velocidad de incremento del peligro o tasa de fallas h(t) y el TPPF, para 
las distribuciones probabilísticas más usadas en análisis de confiabilidad de equipos no reparables. 
 
 
 
 
ti 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 163
Tabla 2.36: Ecuaciones para diversas distribuciones de probabilidad. 
Distribución f(t) F(t) C(t) h(t) TPPF 
Exponencial te)t(f   te1)t(F  te)t(C  )t(h 

1
TPPF  
Weibull 




















t
e
t
tf
1
)( 
















t
etF 1)( 
















t
e)t(C 
1
t
)t(h









 







 11TPPF 
Gamma 
 




t1
e
t
)t(f

   dtettF
tt

 


1
0
1
)(
 
)t(F1)t(C  
)t(F1
)t(f
)t(h

 TPPF 
Normal 
2t
2
1
e
2
1
)t(f





 
 


 dtetF
t








 









2
2
1
2
1
)( 


 
)t(F1)t(C  
)t(F1
)t(f
)t(h

 TPPF 
Log- Normal 
2
t
t)tln(
2
1
t
e
2t
1
)t(f





 

 


 

0
dt)t(f)t(F )t(F1)t(C  
)t(F1
)t(f
)t(h

 



 

2
2
1
eTPPF
 
 
Para fijar los conceptos y procedimientos asociados a la estimación de confiabilidad, a continuación se presentan dos 
ejemplos prácticos de aplicación que serán de gran utilidad para el lector. 
 
Ejemplo 2.22: Análisis de Confiabilidad Equipos No Reparables. 
En el presente ejemplo se analizará una base de datos correspondiente una a población de 53 bombas electro-sumergibles 
instaladas en sendos pozos de producción de petróleo. 
Se ha hecho un seguimiento a cada bomba desde su instalación hasta la falla. De las 53 bombas de la muestra de estudio 
49 han fallado en los períodos observados, cuyos datos se registran en la Tabla 2.37; mientras que las 4 bombas restantes, 
aún permanecen operando, acumulando las horas de operación mostradas en la Tabla 2.38. 
Por política de mantenimiento, estas bombas son reemplazadas por una bomba nueva al fallar, para minimizar el tiempo de 
paro del pozo productor. 
Ejercicio: 
Calcular la tasa de fallas y la confiabilidad de una bomba electrosumergible del mismo tipo, que operará en condiciones 
similares a las bombas de la muestra, para períodos de 500, 1800 y 5000 hrs. 
Calcular la probabilidad para que esta bomba supere las 6000 hr. de operación y el TPPF de la población de bombas. 
 
Tabla 2.37 Tiempos de Operación de Equipos Fallados. 
Tiempo de Operación hasta la falla (hrs) 
Bombas Electrosumergibles 
21.6 373.6 746.6 1519.0 2773.0 
63.0 430.6 756.7 1589.0 2894.0 
65.1 434.0 758.8 1676.0 2939.0 
83.3 446.8 977.9 1769.0 2969.0 
120.5 516.8 1082.0 1789.0 3438.0 
121.0 597.9 1082.0 1832.0 3595.0 
135.1 629.7 1178.0 2072.0 4083.0 
184.2 647.6 1282.0 2259.0 5804.0 
246.4 719.7 1373.0 2290.0 6415.0 
298.5 737.6 1447.0 2554.0 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 164
Tabla 2.38 Tiempos de Operación de Equipos Censados. 
Tiempo de Operación (hrs) Bombas 
Electrosumergibles 
6870.0 
6900.0 
6550.0 
7000.0 
Solución: 
Para contestar las preguntas planteadas en el enunciado, es necesario seguir las siguientes etapas: 
Etapa 1: Caracterizar probabilísticamente la variable tiempo en operación hasta la falla, analizando la muestra de n = 53 
datos mostrados en las tablas 2.37 y 2.38 siguiendo el procedimiento resumido en el flujograma de la Figura 2.105 
Etapa 2: Una vez conocida la distribución de probabilidades del tiempo de operación hasta la falla, se realizará el cálculo 
de confiabilidad, probabilidad de fallas y tasa de fallas utilizando las ecuaciones 2.143 y 2.145 respectivamente. El tiempo 
promedio para fallar se hallará utilizando la ecuación 2.144. 
Etapa 3: Para destacar la importancia y el efecto de considerar los datos censados como parte de la información que debe 
considerarse en un análisis de confiabilidad; se realizará la caracterización probabilística en dos fases; primero considerando 
sólo los datos de equipos fallados y posteriormente se incluirían los datos de los equipos que no han fallado aún para 
constatar y discutir las diferencias. 
Caracterización probabilística con datos de equipos fallados solamente: 
Según el flujograma de la Figura 2.105, el primer paso para caracterizar probabilísticamente una variable es plantear 
hipótesis de posibles modelos paramétricos que pudieran ajustar bien en los datos de la muestra. 
En este ejemplo, por tratarse de tiempos, las hipótesis que se plantean son los modelos paramétricos más usados 
tradicionalmente para este fin, es decir: 
Hipótesis 1: Distribución Exponencial. 
Hipótesis 2: Distribución Weibull. 
Hipótesis 3: Distribución Gamma. 
Seguidamente es necesario calcular los parámetros de cada distribución, con los de la Tabla 2.37, y las ecuaciones para 
parámetros resumidas en la Tabla 2.35: 
Hipótesis 1: Parámetros de Distribución Exponencial: 
000682,0
49
1i
it
49
n
1i
it
n






 
 
Hipótesis 2: Parámetros de la Distribución Weibull: 
 
 
 





 



n
1i
9987.0itlnn
11
n
1i
it
n
1i
itlnit



; 
869.1464
/1
n
n
1i
it
















 


 
Hipótesis 3: Parámetros de la Distribución Gamma: 
 
 
0469.1
n
1i
2
Xit
2n
2n
1i
it1n















 

 ; 
 
87.1399
n
1i
it)1n(
n
1i
2
Xit.n







 

 
Una vez calculados los parámetros para las diferentes hipótesis, deben calcularse las probabilidades acumuladas hipotéticas 
F(ti) para cada valor ti de la muestra. Para hacer esto, se debe ordenar en forma ascendente, los datos de la muestra, y 
aplicar las ecuaciones para el cálculo de F(t) de la tabla 2.36: 
 Hipótesis 1: Distribución Exponencial: 
it000682.0e1)it(Fite1)it(F
  ; (2.147) 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 165
(En Excel la función “Expdist(ti,λ, verdadero)=” reali・ za este cálculo) 
 Hipótesis 2: Distribución Weibull : 
































998.0
86.1464
it
e1)it(F
it
e1)it(F


; (2.148) 
 (En Excel la función “Weibull(ti,α・,β,verdadero)=” realiza este cálculo) 
 Hipótesis 3: Distribución Gamma: 
 
dt
t
e1it
t
0
1
)it(F



 (2.149) 
 (En Excel la función “Gammadist(ti, α ,β・ ,verdadero)=” realiza este cálculo) 
Seguidamente, debe calcularse los valores de la probabilidad acumulada empírica, para cada valor ti de la muestra. Como 
se indicó en el diagrama de la Figura 2.45 una vez que los datos de la muestra se han ordenado en forma ascendente, la 
probabilidad empírica se calcula con la siguiente expresión: 
n
i
)t(F̂ i  ; (2.150) 
Donde: 
 i = número acumulado de fallas en el periodo ti 
n = número de elementos de la muestra = 49 
La tabla 2.39 muestra los resultados de aplicar las ecuaciones 2.147, 2.148, 2.149 y 2.150 a los datos de la Tabla 2.37. 
La figura 2.106 muestra los gráficos de Probabilidad Acumulada Empírica y Probabilidad Acumulada Teórica calculada con 
cada una de las distribuciones hipotéticas vs. Tiempo. 
A simple vista, las tres distribuciones hipotéticas (Exponencial, Weibull y Gamma) parecen ajustar bastante bien a los datos 
de la muestra; no obstante, para saber si estas hipótesis son estadísticamente válidas y para seleccionar la que mejor ajusta 
a los datos, se debe realizar un Test de Bondad de Ajuste, de los estudiados en la sección de estadística para la confiabilidad 
en el apartado 4.3.2. En este ejercicio se realizará el Test de Kolmogorov – Smirnov. 
Como se indicó en la sección de estadística para la confiabilidad en el apartado 4.3.2-B el Test de Kolmogorov-Smirnov 
consiste básicamente en calcular los valores absolutos de las diferencias entre valores de las probabilidades acumuladas 
teóricas )t(F i y empíricas )t(F̂ i para todos los datos de la muestra, como se indica en las siguientes ecuaciones: )t(F̂)t(F ii  
y )t(F̂)t(F 1ii  . El resultado o valor del test, denotado como K-Svalue, es el valor absoluto de la máxima diferencia 
encontrada:  )t(F̂)t(F;)t(F̂)t(FimomaxSK 1iiiivalue  . 
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0.0 1000.0 2000.0 3000.0 4000.0 5000.0 6000.0 7000.0
tiem po (hrs)
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
 d
e
 F
a
lla
s 
F(t) Exponenc ial F(t) Empirica F(ti)=i/n
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0.0 1000.0 2000.0 3000.0 4000.0 5000.0 6000.0 7000.0
tiempo (hrs)
P
ro
b
a
b
ili
d
a
d
 d
e
 F
a
lla
s
F(t) W eib ull F(t) Empirica F(ti)=i/n
F(t) Empírica y F(t) Exponencial 
Vs. tiempo 
F(t) Empírica y F(t) Weibull 
Vs. tiempo 
F(t) Empírica y F(t) Gamma 
Vs. tiempo 
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0.0 1000.0 2000.0 3000.0 4000.0 5000.0 6000.0 7000.0
tiem po (hrs)
P
ro
b
a
b
ili
d
a
d
 d
e
 F
a
lla
s
F(t) Gam m a F(t) Em pirica F(ti)=i/n 
Figura 2.106 F(t) teórica y F(t) empírica vs. Tiempo. 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 166
 
 
Tabla 2.39 Cálculo de las F(t) para las distribuciones hipotéticas y F(t) empíricas para los datos de la muestra. 
Falla 
 No "i" 
ti 
(hrs) 
F(t) 
Exponencial 
F(t) 
Weibull 
F(t) 
Gamma 
F(t) 
Empirica 
F(ti)=i/n 
1 21.6 0.01466 0.01474 0.01236 0.02041 
2 63.0 0.04206 0.04224 0.03723 0.04082 
3 65.1 0.04345 0.04364 0.03852 0.06122 
4 83.3 0.05528 0.05550 0.04956 0.08163 
5 120.5 0.07894 0.07921 0.07195 0.10204 
6 121.0 0.07925 0.07952 0.07224 0.12245 
7 135.1 0.08805 0.08835 0.08066 0.14286 
8 184.2 0.11810 0.11845 0.10964 0.16327 
9 246.4 0.15473 0.15512 0.14541 0.18367 
10 298.5 0.18429 0.18471 0.17454 0.20408 
11 373.6 0.22503 0.22547 0.21501 0.22449 
12 430.6 0.25455 0.25500 0.24452 0.24490 
13 434.0 0.25630 0.25675 0.24628 0.26531 
14 446.8 0.26276 0.26321 0.25276 0.28571 
15 516.8 0.29713 0.29758 0.28732 0.30612 
16 597.9 0.33500 0.33544 0.32557 0.32653 
17 629.7 0.34924 0.34968 0.33999 0.34694 
18 647.6 0.35718 0.35761 0.34804 0.36735 
19 719.7 0.38800 0.38843 0.37936 0.38776 
20 737.6 0.39543 0.39584 0.38691 0.40816 
21 746.6 0.39915 0.39956 0.39070 0.42857 
22 756.7 0.40328 0.40369 0.39490 0.44898 
23 758.8 0.40413 0.40454 0.39577 0.46939 
24 977.9 0.48687 0.48722 0.48025 0.48980 
25 1082.0 0.52205 0.52237 0.51627 0.51020 
26 1082.0 0.52205 0.52237 0.51627 0.53061 
27 1178.0 0.55235 0.55264 0.54734 0.55102 
28 1282.0 0.58302 0.58327 0.57880 0.57143 
29 1373.0 0.60812 0.60834 0.60457 0.59184 
30 1447.0 0.62741 0.62761 0.62438 0.61224 
31 1519.0 0.64527 0.64545 0.64272 0.63265 
32 1589.0 0.66182 0.66197 0.65971 0.65306 
33 1676.0 0.68131 0.68144 0.67972 0.67347 
34 1769.0 0.70090 0.70101 0.69982 0.69388 
35 1789.0 0.70496 0.70505 0.70398 0.71429 
36 1832.0 0.71349 0.71357 0.71273 0.73469 
37 2072.0 0.75676 0.75679 0.75707 0.75510 
38 2259.0 0.78590 0.78589 0.78686 0.77551 
39 2290.0 0.79038 0.79037 0.79144 0.79592 
40 2554.0 0.82493 0.82488 0.82667 0.81633 
41 2773.0 0.84923 0.84915 0.85136 0.83673 
42 2894.0 0.86118 0.86109 0.86347 0.85714 
43 2939.0 0.86538 0.86528 0.86772 0.87755 
44 2969.0 0.86810 0.86801 0.87048 0.89796 
45 3438.0 0.90422 0.90410 0.90688 0.91837 
46 3595.0 0.91395 0.91383 0.91663 0.93878 
47 4083.0 0.93832 0.93819 0.94089 0.95918 
48 5804.0 0.98094 0.98085 0.98248 0.97959 
49 6415.0 0.98744 0.98736 0.98863 1.00000 
 
La Tabla 2.40 muestra los resultados del test de Kolmogorov para la hipótesis 1; es decir la distribución exponencial: 
 
 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 167
Tabla 2.40 Test de Kolmogorov-Smirnov para la hipótesis 1. 
Hipótesis 1: Distribución Exponencial 
Datos de la Muestra Probabilidad Acumulada Test de Kolmogorov-Smirnov 
Falla "i" ti F(t) Teórica F(t) Empírica 
 
1 21.6 0.01466 0.02041 0.00575 0.02041 
2 63.0 0.04206 0.04082 0.00124 0.02165 
3 65.1 0.04345 0.06122 0.01777 0.00263 
4 83.3 0.05528 0.08163 0.02636 0.00595 
5 120.5 0.07894 0.10204 0.02310 0.00269 
6 121.0 0.07925 0.12245 0.04320 0.02279 
7 135.1 0.08805 0.14286 0.05480 0.03439 
8 184.2 0.11810 0.16327 0.04516 0.02476 
9 246.4 0.15473 0.18367 0.02894 0.00853 
10 298.5 0.18429 0.20408 0.01979 0.00062 
11 373.6 0.22503 0.22449 0.00054 0.02095 
12 430.6 0.25455 0.24490 0.00965 0.03006 
13 434.0 0.25630 0.26531 0.00900 0.01140 
14 446.8 0.26276 0.28571 0.02295 0.00255 
15 516.8 0.29713 0.30612 0.00899 0.01142 
16 597.9 0.33500 0.32653 0.00847 0.02887 
17 629.7 0.34924 0.34694 0.00230 0.02271 
18 647.6 0.35718 0.36735 0.01017 0.01024 
19 719.7 0.38800 0.38776 0.00025 0.02066 
20 737.6 0.39543 0.40816 0.01274 0.00767 
21 746.6 0.39915 0.42857 0.02942 0.00902 
22 756.7 0.40328 0.44898 0.04570 0.02529 
23 758.8 0.40413 0.46939 0.06526 0.04485 
24 977.9 0.48687 0.48980 0.00292 0.01749 
25 1082.0 0.52205 0.51020 0.01185 0.03225 
26 1082.0 0.52205 0.53061 0.00856 0.01185 
27 1178.0 0.55235 0.55102 0.00133 0.02174 
28 1282.0 0.58302 0.57143 0.01159 0.03200 
29 1373.0 0.60812 0.59184 0.01628 0.03669 
30 1447.0 0.62741 0.61224 0.01517 0.03558 
31 1519.0 0.64527 0.63265 0.01262 0.03303 
32 1589.0 0.66182 0.65306 0.00876 0.02917 
33 1676.0 0.68131 0.67347 0.00784 0.02825 
34 1769.0 0.70090 0.69388 0.00703 0.02743 
35 1789.0 0.70496 0.71429 0.00933 0.01108 
36 1832.0 0.71349 0.73469 0.02121 0.00080 
37 2072.0 0.75676 0.75510 0.00166 0.02207 
38 2259.0 0.78590 0.77551 0.01039 0.03080 
39 2290.0 0.79038 0.79592 0.00554 0.01487 
40 2554.0 0.82493 0.81633 0.00861 0.02902 
41 2773.0 0.84923 0.83673 0.01250 0.03291 
42 2894.0 0.86118 0.85714 0.00404 0.02444 
43 2939.0 0.86538 0.87755 0.01217 0.00823 
44 2969.0 0.86810 0.89796 0.02985 0.00945 
45 3438.0 0.90422 0.91837 0.01414 0.00626 
46 3595.0 0.91395 0.93878 0.024820.00441 
47 4083.0 0.93832 0.95918 0.02086 0.00045 
48 5804.0 0.98094 0.97959 0.00135 0.02175 
49 6415.0 0.98744 1.00000 0.01256 0.00784 
 K-S Value 0.06526 
)(ˆ)( 1 ii tFtF)(ˆ)( ii tFtF 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 168
Una tabla similar a la Tabla 2.40 puede construirse para las dos restantes hipótesis, y calcular los valores del Test de 
Kolmogorov. La tabla 2.41 presenta un resumen de los resultados de aplicar este Test a las tres distribuciones hipótesis: 
Tabla 2.41: K-Svalue para distribuciones hipotéticas. 
Distribución Hipótesis K-Svalue 
Exponencial (λ=0.000682) 0.06526 
Weibull (α=1464.87; β=0.9987) 0.06484 
Gamma (α=1399.8; β=1.0469) 0.07360 
De igual forma, como se indicó en la sección de estadística para la confiabilidad en el punto 4.3.2-B-b, el valor crítico, para 
el Test de Kolmogorov, se calcula dependiendo del nivel de significancia y del número de datos de la Tabla 2.14 de la 
sección de estadística para la confiabilidad, muestra los valores críticos para diversos tamaños de muestra. Un extracto de 
esta tabla se muestra en la Tabla 2.42 que resume las fórmulas requeridas para calcular los valores críticos para diversos 
niveles de significancia para tamaños de muestra superiores a los 35 datos. Adicionalmente, se exponen los valores 
obtenidos para la muestra bajo análisis, con 49 datos. 
Tabla 2.42 Valores Críticos Test Kolmogorov-Smirnov. 
Tamaño de muestra “n” 
Significancia 
20% 15% 10% 5% 1% 
>35 
n
07.1 
n
14.1 
n
22.1 
n
36.1 
n
63.1 
N=49 0.15286 0.16286 0.17429 0.19429 0.23286 
 
Como puede verse, de las Tablas 2.41 y 2.42, los resultados del test para las tres hipótesis son menores que los valores 
críticos para cualquiera de los niveles de significancia; coValorCritiSK value  . Por esta razón, las tres distribuciones son 
hipótesis no rechazadas; pero se selecciona la distribución Weibull (α=1464.87; β=0.9987), como mejor ajuste por 
presentar el menor K-Svalue. 
Caracterización probabilística con datos de equipos fallados y datos censados. 
Ahora se repetirá un procedimiento similar, siguiendo el flujograma de la Figura 2.45 pero considerando adicionalmente los 
llamados “datos censados”; es decir, los datos de equipos que aún no han fallado y que se resumen en la Tabla 2.38. Con 
esto los datos de la muestra ahora son 53. 
Nuevamente el primer paso es plantear hipótesis de posibles modelos paramétricos que pudieran ajustar bien en los datos 
de la muestra. 
En este ejemplo, tomando como premisa los resultados de la sección anterior, se hará una sola hipótesis: 
Hipótesis 1: Distribución Weibull 
Seguidamente se calcularán los parámetros, con las ecuaciones para parámetros considerando datos censados, resumidos 
en la columna derecha de la Tabla 2.35. 
Hipótesis 1: Parámetros de Distribución Weibull, con datos de fallas y datos censados: 
   
  873.0
49
1i
itln49
11
4
1j
jt
49
1i
it
4
1j
jtlnjt
49
1i
itlnit






































 
45.1734
873.0
1
49
4
1j
jt
49
1i
it














































 

 
Una vez calculados los parámetros la hipótesis, deben calcularse las probabilidades acumuladas hipotéticas F(ti) para cada 
valor ti de la muestra. Para hacer esto, se debe ordenar en forma ascendente, los datos de la muestra, y aplicar las 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 169
ecuaciones para cálculo de F(t) de la Tabla 2.36: 
Hipótesis 1: Distribución Weibull: 
































873.0
45.1734
it
e1)it(F
it
e1)it(F


; (2.151) 
 (En Excel la función “Weibull(ti,α・,β,verdadero)=” realiza este cálculo) 
 
Seguidamente, se calculan los valores de la probabilidad acumulada empírica, para cada valor ti de la muestra. Como se 
indicó en el diagrama de la Figura 2.45 una vez que los datos de la muestra se han ordenado en forma ascendente, la 
probabilidad empírica se calcula con la siguiente expresión: 
N
i
)t(F̂ i  ; (2.152) 
donde: 
 i = número acumulado de fallas en el periodo ti 
N =n+w = número de elementos de la muestra = 53 
La tabla 2.43 muestra en la ultima columna los resultados de Probabilidad Acumulada Empírica calculados con la ecuación 
2.151 y en las dos columnas previas los resultados de Probabilidad Acumulada Teórica; una proveniente de una distribución 
Weibull (ecuación 2.150) cuyos parámetros se calcularon tomando en cuenta los datos censados y otra procedente de una 
distribución Weibull calculada sólo con datos de falla en la sección anterior. 
La Figura 2.107, muestra los gráficos de los resultados que se resumen en la Tabla 2.43. En este grafico pueden observarse 
la curva de Probabilidad Acumulada Empírica y dos curvas de Probabilidad Acumulada Teórica; una curva Weibull cuyos 
parámetros se calcularon tomando en cuenta los datos censados y otra curva Weibull cuyos parámetros se calcularon sólo 
con datos de falla que fue obtenida en la sección anterior. 
Como puede verse en la Figura 2.107, a simple vista la curva que mejor ajusta a los valores de F(t) empírica es la curva de 
la distribución de Weibull cuyos parámetros se calcularon tomando en cuenta los datos censados. También puede 
observarse claramente que la curva de la distribución de Weibull cuyos parámetros se calcularon sólo con los datos de falla 
no ajusta a los valores de la F(t) empírica o F(t) de la muestra. 
 
 
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0 1000.0 2000.0 3000.0 4000.0 5000.0 6000.0 7000.0
tiempo (hrs)
P
ro
ba
bi
lid
ad
 d
e 
F
al
la
s
F(t) Teorica solo con datos de Fallas F(t) Teorica con datos censados
F(t) Empirica
 
Figura 2.107 Resultados 
 
 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 170
Tabla 2.43 Resultados 
Falla "i" Ti F(t) Teórica solo datos de falla 
F(t) Teórica con 
datos censados 
F(t) Empirica 
F(t)=i/53 
1 21.6 0.01466 0.02153 0.01887 
2 63.0 0.04206 0.05379 0.03774 
3 65.1 0.04345 0.05534 0.05660 
4 83.3 0.05528 0.06818 0.07547 
5 120.5 0.07894 0.09286 0.09434 
6 121.0 0.07925 0.09317 0.11321 
7 135.1 0.08805 0.10208 0.13208 
8 184.2 0.11810 0.13164 0.15094 
9 246.4 0.15473 0.16636 0.16981 
10 298.5 0.18429 0.19360 0.18868 
11 373.6 0.22503 0.23029 0.20755 
12 430.6 0.25455 0.25639 0.22642 
13 434.0 0.25630 0.25793 0.24528 
14 446.8 0.26276 0.26359 0.26415 
15 516.8 0.29713 0.29348 0.28302 
16 597.9 0.33500 0.32605 0.30189 
17 629.7 0.34924 0.33822 0.32075 
18 647.6 0.35718 0.34499 0.33962 
19 719.7 0.38800 0.37118 0.35849 
20 737.6 0.39543 0.37747 0.37736 
21 746.6 0.39915 0.38062 0.39623 
22 756.7 0.40328 0.38412 0.41509 
23 758.8 0.40413 0.38483 0.43396 
24 977.9 0.48687 0.45465 0.45283 
25 1082.0 0.52205 0.48434 0.47170 
26 1082.0 0.52205 0.48434 0.49057 
27 1178.0 0.55235 0.51000 0.50943 
28 1282.0 0.58302 0.53607 0.52830 
29 1373.0 0.60812 0.55755 0.54717 
30 1447.0 0.62741 0.57415 0.56604 
31 1519.0 0.64527 0.58961 0.58491 
32 1589.0 0.66182 0.60401 0.60377 
33 1676.0 0.68131 0.62111 0.62264 
34 1769.0 0.70090 0.63846 0.64151 
35 1789.0 0.70496 0.64207 0.66038 
36 1832.0 0.71349 0.64969 0.67925 
37 2072.0 0.75676 0.68900 0.69811 
38 2259.0 0.78590 0.71620 0.71698 
39 2290.0 0.79038 0.72045 0.73585 
40 2554.0 0.82493 0.75389 0.75472 
41 2773.0 0.84923 0.77829 0.77358 
42 2894.0 0.86118 0.79062 0.79245 
43 2939.0 0.86538 0.79502 0.81132 
44 2969.0 0.86810 0.79789 0.83019 
45 3438.0 0.90422 0.83755 0.84906 
46 3595.0 0.91395 0.84887 0.86792 
47 4083.0 0.93832 0.87898 0.88679 
48 5804.0 0.98094 0.94335 0.90566 
49 6415.0 0.98744 0.95642 0.92453 
Para saber si las hipótesis planteadas son estadísticamente válidas y para seleccionarla que mejor ajusta a los datos, se 
debe realizar un test de bondad de ajuste, de los estudiados en la sección de estadística para la confiabilidad en el 
apartado 4.3.2. Se utilizará nuevamente el test de Kolmogorov – Smirnov; es decir, se calcularán los valores absolutos 
de las diferencias entre valores de las probabilidades acumuladas teóricas )t(F i y empíricas )t(F̂ i para estimar K-Svalue, es 
decir el valor absoluto de la máxima diferencia encontrada: 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 171
 )1it(F̂)it(F;)it(F̂)it(FimomaxvalueSK  
La Tabla 2.44 muestra los resultados del test de Kolmogorov para la hipótesis 1; es decir, la distribución Weibull con 
parámetros estimados considerando los datos censados: 
Tabla 2.44: Resultados Kolmogorov-Smirnov. 
Hipótesis: Distribución Weibull (α:1734 y β:0.873) 
Datos de la Muestra Probabilidad Acumulada Test de Kolmogorov-S 
Falla 
 No. i ti (hrs) 
F(t) Teórica con 
datos censados 
F(t) Empirica 
F(t)=i/53 
1 21.6 0.02153 0.018868 0.002661 0.018868 
2 63.0 0.05379 0.037736 0.016059 0.034927 
3 65.1 0.05534 0.056604 0.001267 0.017601 
4 83.3 0.06818 0.075472 0.007287 0.011581 
5 120.5 0.09286 0.094340 0.001482 0.017386 
6 121.0 0.09317 0.113208 0.020035 0.001167 
7 135.1 0.10208 0.132075 0.029997 0.011129 
8 184.2 0.13164 0.150943 0.019306 0.000438 
9 246.4 0.16636 0.169811 0.003452 0.015416 
10 298.5 0.19360 0.188679 0.004920 0.023788 
11 373.6 0.23029 0.207547 0.022742 0.041610 
12 430.6 0.25639 0.226415 0.029970 0.048838 
13 434.0 0.25793 0.245283 0.012642 0.031510 
14 446.8 0.26359 0.264151 0.000565 0.018303 
15 516.8 0.29348 0.283019 0.010464 0.029332 
16 597.9 0.32605 0.301887 0.024165 0.043033 
17 629.7 0.33822 0.320755 0.017468 0.036336 
18 647.6 0.34499 0.339623 0.005367 0.024235 
19 719.7 0.37118 0.358491 0.012690 0.031558 
20 737.6 0.37747 0.377358 0.000110 0.018978 
21 746.6 0.38062 0.396226 0.015607 0.003261 
22 756.7 0.38412 0.415094 0.030978 0.012110 
23 758.8 0.38483 0.433962 0.049128 0.030260 
24 977.9 0.45465 0.452830 0.001823 0.020691 
25 1082.0 0.48434 0.471698 0.012645 0.031513 
26 1082.0 0.48434 0.490566 0.006223 0.012645 
27 1178.0 0.51000 0.509434 0.000562 0.019430 
28 1282.0 0.53607 0.528302 0.007773 0.026641 
29 1373.0 0.55755 0.547170 0.010379 0.029247 
30 1447.0 0.57415 0.566038 0.008113 0.026981 
31 1519.0 0.58961 0.584906 0.004702 0.023570 
32 1589.0 0.60401 0.603774 0.000240 0.019108 
33 1676.0 0.62111 0.622642 0.001531 0.017337 
34 1769.0 0.63846 0.641509 0.003054 0.015814 
35 1789.0 0.64207 0.660377 0.018312 0.000556 
36 1832.0 0.64969 0.679245 0.029556 0.010688 
37 2072.0 0.68900 0.698113 0.009112 0.009756 
38 2259.0 0.71620 0.716981 0.000779 0.018089 
39 2290.0 0.72045 0.735849 0.015400 0.003468 
40 2554.0 0.75389 0.754717 0.000829 0.018039 
41 2773.0 0.77829 0.773585 0.004704 0.023572 
42 2894.0 0.79062 0.792453 0.001830 0.017038 
43 2939.0 0.79502 0.811321 0.016305 0.002563 
44 2969.0 0.79789 0.830189 0.032299 0.013431 
45 3438.0 0.83755 0.849057 0.011506 0.007362 
46 3595.0 0.84887 0.867925 0.019050 0.000182 
47 4083.0 0.87898 0.886792 0.007815 0.011052 
48 5804.0 0.94335 0.905660 0.037692 0.056559 
49 6415.0 0.95642 0.924528 0.031889 0.050757 
 K-S Value: 0.056559486 
)(ˆ)( 1 ii tFtF)(ˆ)( ii tFtF 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 172
La Tabla 2.45, resume los resultados de los valores críticos calculados para diversos niveles de significancia, para una 
muestra que incluyendo los datos censados es de 53 valores. 
Tabla 2.45 Valores Críticos Test Kolmogorov-Smirnov. 
Tamaño de muestra 
“n” 
Significancia 
20% 15% 10% 5% 1% 
>35 
n
07.1 
n
14.1 
n
22.1 
n
36.1 
n
63.1 
N=53 0.1470 0.1566 0.1676 0.1868 0.2239 
 
Como puede verse, K-Svalue =0,05656 < Valor Critico, para todos diversos niveles de significancia; por esta razón, la 
distribución hipótesis Weibull (α=1464.87; β=0.9987) no es rechazada, y puede considerarse un buen ajuste para los 
datos de muestra. 
Etapa 2: 
Una vez conocida la distribución de probabilidades del tiempo de operación hasta la falla, se realizará el cálculo de 
confiabilidad, probabilidad de fallas, tasa de fallas y tiempo promedio para fallar utilizando las ecuaciones de la Tabla 2.36 
para la distribución de Weibull; es decir: 
 
Confiabilidad: 


































873.0
45.1734
t
e)t(C
t
e)t(C


 (2.153) 
Tasa de Fallas: 
)1837,0(
45,1734
t
45,1734
8734,01t
)t(h

















 (2.154) 
 
El enunciado del problema pide calcular estos valores para t = 500, 1800, 5000 y 6000 hrs. La Tabla 2.46 resume los 
resultados para los tiempos mencionados: 
 
Tabla 2.46 Cálculos de Confiabilidad y Tasa de Fallas Bombas Electro-sumergibles. 
T C(t) h(t) 
500 0.7105 0.000589455 
1800 0.2927 0.000501045 
5000 0.0331 0.000440137 
6000 0.0167 0.000430074 
 
Adicionalmente, se debe calcular el TPPF de este tipo de bombas. Para ello se cuenta con el apoyo de la ecuación 2.144, 
que desarrollada para una distribución Weibull resulta: 
hrs1857BOMBASTPPF873,0
1
145,1734BOMBASTPPF
1
1TPPF 











 

 (2.155) 
Por último, la figura 2.108 que se muestra a continuación, resume los resultados del cálculo de Confiabilidad C(t), para la 
muestra de datos, con dos curvas; una que considera sólo los datos de fallas (Distribución Weibull (α=1464.86 y β=0.998)) , 
y otra que considera los datos de fallas más los datos censados o no fallados ( Distribución Weibull (α=1734,45 y β=0,873)). 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 173
Confiabilidad C(t)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.0 1000.0 2000.0 3000.0 4000.0 5000.0 6000.0 7000.0
tiem po t (hrs)
P
ro
ba
bi
lid
ad
C(t) (Fallados solamente) C(t) Fallados + Censados
 
Figura 2.108 Confiabilidad C(t) 
Como puede observarse, la curva que considera sólo los datos de fallas, es bastante más “pesimista” que la curva que 
considera los datos de falla más los datos censados. Esto realza la importancia de considerar los datos censados, cuando los 
haya, como parte de la evidencia que debe incluirse en un análisis de confiabilidad, ya que al omitirlos se está 
sobrestimando la probabilidad de fallas y subestimando la confiabilidad. 
 
B.- Estimación de Confiabilidad de Activos no Reparables con Estadística no Paramétrica. 
En muchas oportunidades no se considera conveniente asociarle a un conjunto de valores de una variable en particular una 
distribución paramétrica de las que se han estudiado en la sección de estadística para la confiabilidad; bien sea porque no se 
conoce la dinámica de la variable a modelar, no existe relación alguna entre esta dinámica y los principios matemáticos o 
físicos que sustentan la distribución paramétrica que más se adapta a las muestras de esta variable, o simplemente no se 
encuentra ninguna distribución paramétrica que se ajuste al conjunto de datos disponibles. 
Bajo estas circunstancias, puede optarse por seleccionar una distribución no paramétrica, que tal como se explicó en 
secciones previas, es una distribución cuyo comportamiento es definido en su totalidad por la data disponible. En otras 
palabras, es como si se construyera una distribución muy particular para el conjunto de datos bajo análisis. Existen 
diferentes esquemas para el cálculo de la confiabilidad tasa de falla y otras figuras de mérito utilizando representación no 
paramétrica, muchos de ellos varían en función de la muestra, de cómo ha sido recolectada y consolidada la muestra, entre 
otros. 
En este texto, se limitará el tratamiento de esta temática a mostrar las ecuaciones más importantes para análisis de 
confiabilidad con estadística no paramétrica; pero no se profundizará debido a su extensión. Para estudiar este tema en 
detalle, se recomiendan las referencias[10], [11] 
La Tabla 2.47 resume las ecuaciones más importantes para análisis de confiabilidad con estadística no paramétrica, para una 
muestra de n datos ti donde i=1,2,..., n. 
 
Tabla 2.47: Ecuaciones para análisis de confiabilidad con estadística no paramétrica. 
Figura de Mérito Muestras Pequeñas n<25 Muestras Grandes n 25 
Confiabilidad )t(Ĉ i 25,0n
625,0in
)t(Ĉ i 

 
n
i
)t(Ĉ i  
Prob. de Falla )t(F̂ i 







25,0n
625,0in
1)t(F̂ i 





n
i
1)t(F̂ i
 
Tasa de Fallas )t(ĥ i   i1ii tt625,0in
1
)t(ĥ



 
 i1ii tt
1
)t(ĥ



 
 
3.2. Confiabilidad de Activos Reparables. 
Introducción. 
Un sistema reparable es aquel que acepta reparaciones y le pueden ser restauradas sus funciones mediante el uso de 
cualquier método de reparación diferente al reemplazo del sistema completo. 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 174
En el análisis de sistemas reparables hay cinco posibles estados que dichos sistemas pueden adquirir después de una 
reparación. Estos estados son: 
- Tan bueno como nuevo. 
- Tan malo como antes de reparar. 
- Mejor que antes de reparar pero peor que cuando estaba nuevo. 
- Mejor que cuando estaba nuevo. 
- Peor que antes de reparar. 
Los modelos probabilísticos utilizados tradicionalmente para estimar o predecir el número esperado de fallas asumen alguno 
de los dos primeros estados pero no cubren los últimos tres, los cuales parecieran acercarse más a la realidad. En esta 
sección se presenta una revisión de los modelos tradicionales de predicción del número de fallas en un tiempo misión para 
sistemas reparables, así como algunos ejemplos de aplicaciones. Adicionalmente se presenta la formulación de un modelo 
probabilístico que toma en cuenta los cinco estados en los que puede quedar un sistema una vez reparado, el cual se 
denomina Proceso Generalizado de Restauración (PGR) y se demuestra que el PGR es la teoría más general para predecir el 
número de fallas en activos reparables. 
Las referencias [2], [26], [47], [48] ofrecen información particularmente detallada sobre “Confiabilidad en Activos Reparables”. 
3.2.1. Variables Probabilísticas de Interés en Análisis de Confiabilidad de Activos Reparables. 
Como se mencionó previamente un equipo reparable es aquel cuya condición operativa puede restaurarse después de fallar 
con una reparación. Esta consideración implica que en su vida puede ocurrir más de una falla y es ésta la diferencia 
fundamental con los equipos “no reparables” en cuya vida sólo puede ocurrir una única falla. 
Anteriormente, se estudió extensamente como tratar la variable probabilística de interés para activos no reparables, es decir, 
el tiempo para la falla; y los indicadores o figuras de mérito utilizados para describirla; tales como la tasa de fallas h(tm) , la 
confiabilidad C(tm) y la probabilidad de falla F(tm) para un tiempo misión tm; no obstante como se demostrará más adelante, 
estos conceptos, indicadores y ecuaciones, tal como fueron definidos en la mencionada sección, no aplican cuando se 
habla de equipos reparables. En esta sección, se tratará extensamente el tema de la variable probabilística que se estudia 
para equipos reparables y los indicadores o figuras de mérito para caracterizarla. 
Cuando se trata de equipos reparables y se habla de tiempo para la falla, surge inmediatamente la pregunta “tiempo para 
cuál falla?“; (tiempo para la primera falla?; o tiempo para la segunda falla?; o tiempo para la niésima falla?), ya que para un 
tiempo misión tm puede ocurrir más de una falla. Si se habla por ejemplo, la probabilidad de falla en el tiempo misión tm, 
surgen las preguntas, probabilidad de cuántas fallas?; probabilidad de una falla en un período tm?; o probabilidad de 2 
fallas en un tiempo tm?; o probabilidad de n fallas en un tiempo tm? 
La Figura 2.109 se esquematiza una proyección o estimado de un proceso de operación de un equipo reparable, en el que 
se sabe que pueden ocurrir fallas que serán restauradas con reparaciones. Al mencionado esquema se asocia la 
nomenclatura que se utilizará en lo sucesivo. Nótese que se manejarán dos escalas de tiempo: 
1.- Una escala relacionada al tiempo de operación entre fallas; para la cual se usarán subíndices; por ejemplo t2 = tiempo 
de operación entre la primera y la segunda falla. 
2.- Otra escala relacionada con el tiempo acumulado de operación hasta las fallas o hasta un evento específico; para la cual 
se usarán superíndices, por ejemplo t[2]= tiempo acumulado de operación hasta la segunda falla. Nótese que t[2]=t1+t2 
 
tKt1
1
t2 t3 t4 tn
2 3 4 n-1 n
t1 t2 t3 t4 tn tK
 
n1n4321
n tt.......ttttt  
 
Kn1n4321
K ttt.......tttttT  
 
1n4321
1n t.......ttttt 
 
 
4321
4 ttttt 
 
321
3 tttt 
 
21
2 ttt 
 
1
1 tt 
tKt1
1
t2 t3 t4 tn
2 3 4 n-1 n
t1 t2 t3 t4 tn tKt1
1
t2 t3 t4 tn
2 3 4 n-1 n
t1 t2 t3 t4 tn tK
 
n1n4321
n tt.......ttttt  
 
Kn1n4321
K ttt.......tttttT  
 
1n4321
1n t.......ttttt 
 
 
4321
4 ttttt 
 
321
3 tttt 
 
21
2 ttt 
 
1
1 tt 
1ra falla 2da falla 3ra falla 4ta falla (n-1)th falla (n)th falla
Tiempo misión =
 
Figura 2.109 Proceso de fallas sucesivas. Nomenclatura. 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 175
Analizando la figura 2.109 y recordando que el tiempo para la falla se considera como una variable aleatoria por excelencia, 
se concluye que las variables t1 (tiempo de operación hasta la primera falla), t2 (tiempo de operación entre la primera y la 
segunda falla), t3 (tiempo de operación entre la segunda y la tercera falla); hasta tn (tiempo de operación entre la (n-1)th y 
la falla n), son todas variables aleatorias; es decir, variables que pueden tomar múltiples valores y que por ende, cada una 
puede ser representada con una distribución de probabilidades. 
De la misma manera, y recordando los conceptos de operaciones con variables aleatorias, se concluye que las variables t[2] 
(tiempo acumulado de operación hasta la segunda falla), t[3] (tiempo acumulado de operación hasta la tercera falla), t[4] 
(tiempo acumulado de operación hasta la cuarta falla), hasta t[n] (tiempo acumulado de operación hasta la n falla), son 
también variables aleatorias ya que las mismas resultan de la suma de otras variables aleatorias; tal como puede verse en la 
Figura 2.209. 
La Figura 2.110 representa la probabilidad de fallas F(ti), que como puede notarse aumenta desde 0 a 1 entre la falla i-1 y 
la falla i; para i=1,2,3,…..,n y en la Figura 2.111 se representa la confiabilidad del sistema C(ti), que disminuye desde 1 
hasta 0 entre la falla i-1 y la falla i; para i=1,2,3,…..,n. 
tKt1
1
t2 t3 t4 tn
2 3 4 n-1 n
t1 t2 t3 t4 tn tK
1 2 3 4 n-1 n1
ra falla 2da falla 3ra falla 4ta falla (n-1)th falla (n)th falla
t[a] = tiempo acumulado
en operación
F(ti) = Probabilidad de Fallas entre la (i-1)
th falla y la ith falla
0
1
0
t[k]
1
 
Figura 2.110 Probabilidad de Fallas en Activos Reparables. 
tKt1
1
t2 t3 t4 tn
2 3 4 n-1 n
t1 t2 t3 t4 tn tK
1 2 3 4 n-1 n1
ra falla 2da falla 3ra falla 4ta falla (n-1)th falla (n)th falla
t[a] = tiempo acumulado
en operación
C(ti) = Confiabilidad entre la (i-1)
th falla y la ith falla
0
1
0
t[k]
 
Figura 2.111 Confiabilidad en Activos Reparables. 
 
Los Figuras 2.110 y 2.111 muestran claramente que no tiene mucho sentido hablar de probabilidad de falla o confiabilidad 
en un tiempo acumulado de operación t[k] o tiempo misión, ya que en este período estos valores fluctúan entre 0 y 1 varias 
veces, y para diferentes valores del tiempo en operación puede darse el mismo valor de probabilidad de falla. Por esta 
razón, estos indicadores son poco usados en el análisis de activos reparables. 
El análisis de la Figura 2.112 permite identificar la variable aleatoria que caracteriza a los equipos reparables conocidacomo 
Número Acumulado de Fallas N(t[m]), para un tiempo acumulado de operación o tiempo misión t[m] . 
Para la mejor comprensión de este tema es importante explicar dos zonas claramente diferenciadas en la Figura 2.112. 
 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 176
1
2
3
4
.
.
.
t1
1
t2 t3 t4
2 3 4
t1 t2 t3 t4
 
4321
m ttttt tm
 
4321
4 ttttt 
 
321
3 tttt 
 
21
2 ttt 
 
1
1 tt 
1ra falla 2da falla 3ra falla 4ta falla
t[a] = tiempo acumulado
en operación
Tiempo misión =
N(t[a]) = No acumulado de fallas en el tiempo
acumulado de operación t[a]
f(N(t[k]))
N(t[k])=(t[k])
tm
Historia
(pasado)
Predicción
(futuro)
N(t[k])5%
N(t[k])95%
Hoy
 
Figura 2.112 Número Acumulado de Fallas en el Tiempo Acumulado de Operación. 
 
1.- Una zona correspondiente a la “Historia” o al pasado; que comprende 4 fallas acumuladas, que han ocurrido en forma 
sucesiva y con intervalos t1, t2, t3 y t4 . Los valores t1, t2, t3 y t4 no son variables aleatorias; porque son conocidos; así 
como tampoco es una variable aleatoria el número acumulado de fallas en el tiempo de operación t[4]. Estos valores son 
“datos” que se usarán para hacer predicciones del número de fallas para tiempos mayores a t[4]=t1+t2+t3+t4. 
2.- La otra es la llamada zona de “Predicción” y corresponde al futuro. En esta zona todo es aleatorio, y el objetivo es saber 
cuántas fallas más pueden ocurrir desde t[4] hasta t[m]=t[4]+tm. Como el lector puede inferir, la variable Número Acumulado 
de Fallas N(t[m]), puede tomar múltiples valores para un tiempo acumulado de operación o tiempo misión 
t[m]=t1+t2+t3+t4+tm;, es decir, es una variable aleatoria que puede y debe ser modelada matemáticamente con una 
distribución de probabilidades, a la cual se le pueden calcular una media y unos percentiles; tal como se muestra en la 
figura. 
Resumiendo, la predicción del número acumulado de fallas para cada valor del tiempo de operación dará como resultado 
una distribución de probabilidades. 
La media o valor esperado de esta distribución se conoce como Número Esperado de Fallas y se denota como Δ(t[m]), tal 
como se muestra claramente en la figura. 
La variable aleatoria Número Acumulado de Fallas N(t[m]), para un tiempo acumulado de operación t[m] es la variable 
probabilística objeto de estudio en análisis de activos reparables, y la figura de mérito Número Esperado de Fallas Λ 
(t[m]) es el indicador por excelencia utilizado para caracterizarla. 
Además de Λ (t[m]), existen otras figuras de mérito o indicadores de gran utilidad para análisis de equipos reparables; estos 
son: 
(t[m]) = Tasa de ocurrencia de fallas al tiempo acumulado de operación t[m] 
TEPPF =Tiempo esperado para la próxima falla, después del tiempo acumulado de operación hasta la última falla. 
En las secciones sucesivas, se definirán los modelos matemáticos para estimación de los indicadores probabilísticos de 
interés en sistemas reparables; con especial énfasis en la estimación del Número Esperado de Fallas Λ (t[m]). 
 
3.2.2. Modelos Probabilísticos para la Estimación o Predicción del Número de Fallas (N(t[m])) en un Período 
de Operación t[m], para Sistemas Reparables. 
La Figura 2.113 muestra un resumen de las teorías o procesos estocásticos para el modelaje de confiabilidad de sistemas 
reparables. 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 177
El Proceso Ordinario de Restauración, el cual asume que el sistema vuelve a la condición de tan bueno como nuevo y el 
Proceso No Homogéneo de Poisson, el cual asume que queda tan malo como estaba, son los métodos más comúnmente 
utilizados para la evaluación de sistemas reparables. El Proceso Generalizado de Restauración (PGR), el cual no asume 
ningún estado en particular y considera que los 5 estados son posibles, ha sido recientemente de gran interés debido a la 
necesidad de tener análisis y predicciones que estén sustentados sobre bases más realistas. 
 
“Tan bueno como nuevo” “Tan malo como viejo”
“Mejor que como estaba pero peor 
que nuevo”
Restaurar a la 
condición original
Proceso 
Ordinario de 
Restauración
(POR)
Reparación 
mínima 
posible
Proceso no 
Homogeneo 
de Poisson
(PNHP)
Restaurar 
parcialmente
Proceso 
Generalizado
de 
Restauración
(PGR)
Análisis de Confiabilidad 
para Equipos Reparables
 
Figura 2.113 Teorías para Modelaje de activos reparables 
 
A.- Proceso Ordinario de Restauración (POR). 
Se define como Proceso Ordinario de Restauración a un modelo matemático que considera que los diferentes tiempos entre 
fallas sucesivas ti de un activo reparable son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (es decir que 
pueden representarse con el mismo modelo de distribución paramétrica probabilística). 
Estas consideraciones pueden ser válidas si se asume que el sistema es restaurado a su condición original cada vez que se 
repara, es decir, el equipo queda “tan bueno como nuevo”. 
Si esto se asume como cierto, los tiempos ti (i=1,2,3...n) entre fallas sucesivas son independientes, ya que al haber una 
“reparación perfecta” el tiempo de operación ti no tiene ningún efecto en el tiempo ti+1. 
De igual forma, si cuando ocurre la falla “i” en el tiempo ti (i=1,2,3….n), el equipo es restaurado a su condición original, es 
razonable pensar que la variable aleatoria ti+1, se comportara de manera similar a la variable aleatoria ti ya que al inicio de 
ambos períodos, el equipo está teóricamente en la misma condición; por lo que puede asumirse que ambas variables 
pueden caracterizarse con la misma distribución de probabilidades, es decir, pueden considerarse idénticamente distribuidas. 
Por supuesto, considerar que cuando ocurre una falla el equipo es restaurado a su condición original representa un 
escenario ideal, por lo que el POR es un modelo que tiene limitaciones en su aplicación en el análisis de sistemas reparables. 
Este modelo está restringido para equipos constituidos por algunos pocos componentes principales no reparables los cuales 
son reemplazables individualmente al fallar. Esto es, cuando una parte principal del equipo falla, ésta será reemplazada por 
una nueva. Los componentes son “no reparables”; pero el equipo “es reparable”. También es válida esta asunción, cuando 
la política de reparación sea “revisar todo el equipo y reemplazar todo lo que esté deteriorado cada vez que el equipo falle”. 
Con base en el POR, y asumiendo que los tiempos entre fallas sucesivas siguen una distribución Weibull, las ecuaciones para 
los indicadores probabilísticos de interés, para un valor del tiempo de operación t[m], son las siguientes: 
Probabilidad de Fallas:  

 













mt
e1mtF (2.156) 
Confiabilidad: 

 













mt
e]m[tC (2.157) 
Capítulo II. Disciplinas 
Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos 
 
 178
Tasa de Ocurrencia de Fallas: 
1
mt]m[t
















 (2.158) 
Tiempo Esperado para la próxima Falla: 





 


 1.TEPPF (2.159) 
Número Esperado de Fallas: El cálculo de la variable Número Esperado de Fallas ((t[m])), reviste especial interés y 
complejidad, por esta razón, se propone una solución por simulación de Montecarlo para esta variable. 
Para el POR a partir de la ecuación 2.156, se sabe que: 
     /1itF1lnit  (2.160) 
Donde ti representa tiempos entre fallas sucesivas generados desde la ecuación de Probabilidad de Falla del POR. Con la 
ecuación 2.160, se puede calcular el número Esperado de Fallas (t) al tiempo acumulado de operación t[m]=T; siguiendo el 
diagrama de flujo que se muestra en la Figura 2.114. 
El flujo-grama de la Figura 2.47 es fácilmente programable, y en cuestión de segundos es posible realizar