Manual de Matemática Preuniversitaria-páginas-57

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2.3. Números reales
Haremos ahora una interpretación geométrica del valor absoluto. Para ello,
observemos que ∣3∣ = ∣−3∣ = 3. Si ubicamos el 3 y el −3 en la recta numérica, ob-
servamos que ambos se encuentran a 3 unidades de distancia del cero, el primero
hacia la derecha y el segundo hacia la izquierda.
0 3-3
3 unidades3 unidades
Geométricamente, ∣x∣ representa la distancia del número x al cero.
Consideremos ahora dos números reales x e y. Nos preguntamos si la canti-
dad ∣x − y∣ nos da alguna información sobre dichos números. Analicemos para
ello los siguientes casos:
si x = 5, y = 2, ∣x − y∣ = ∣5 − 2∣ = 3;
si x = 2, y = 5, ∣x − y∣ = ∣2 − 5∣ = ∣ − 3∣ = 3;
si x = 5, y = −2, ∣x − y∣ = ∣5 − (−2)∣ = ∣5 + 2∣ = 7;
si x = −5, y = −2, ∣x − y∣ = ∣ − 5 − (−2)∣ = ∣ − 5 + 2∣ = ∣ − 3∣ = 3;
si x = −5, y = 2, ∣x − y∣ = ∣ − 5 − 2∣ = ∣ − 7∣ = 7.
Si graficamos en la recta numérica los casos anteriores, podemos comprobar lo
siguiente:
Geométricamente, ∣x − y∣ representa la distancia entre
los números x e y.
� Observar que ∣x+y∣ = ∣x−(−y)∣, lo que junto a lo anterior implica que ∣x+y∣
representa la distancia entre x y −y (el opuesto de y).
Es aquı́ donde debemos detenernos para advertir sobre un error muy fre-
cuente al momento de resolver ejercicios que involucran valor absoluto. En el
siguiente ejemplo, incluiremos la forma correcta de resolverlos, ası́ como dicho
error habitual.
Ejemplo 41. Comprendiendo la definición de valor absoluto. Utilizar la de-
finición para expresar ∣2x − 5∣.
Solución: Aplicando directamente la misma, tenemos que
∣2x − 5∣ = {
2x − 5, si 2x − 5 ≥ 0;
−2x + 5, si 2x − 5 < 0.
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