1_Numeros reales

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Notas de clase - Cálculo I
1. Números reales
El conjunto de los números reales R se puede visualizar como un recta infinita
Figura 1
En R tenemos definida una suma + y un producto · con las siguientes propiedades: dados a, b, c ∈ R
arbitrarios se cumple que
a+ b = b+ a a · b = b · a
a+ (b+ c) = (a+ b) + c a · (b · c) = (a · b) · c
a+ 0 = 0 + a = a a · 1 = 1 · a = a
∀a ∈ R,∃ − a ∈ R : a+ (−a) = 0 ∀a 6= 0,∃ a−1 ∈ R \ {0} : a · a−1 = 1
a · (b+ c) = a · b+ a · c
Esta última propiedad relaciona el producto y la suma, la cual se conoce como propiedad distributiva.
Ejemplo. Utilicemos las propiedadas anteriores para mostrar que a · 0 = 0 para todo a ∈ R. Veamos
esto, sea a ∈ R fijo, luego
a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0,
la primera identidad se sigue de que 0 + 0 = 0, para la segunda aplicamos la propiedad distributiva. Por lo
que
a · 0 = a · 0 + a · 0,
al sumar a ambos lados por −(a · 0) (el opuesto de a · 0) se sigue que
a · 0 + (−(a · 0)) = a · 0 + a · 0 + (−(a · 0))
0 = a · 0.
Ejercicio: Sean a, b ∈ R. Mostrar que si a · b = 0, entonces a = 0 ó b = 0.
Orden en R
Existe un conjunto no vaćıo P ⊂ R con las siguientes propiedades
(1) 0 /∈ P ,
(2) Q+ ⊂ P , donde Q+ = {mn : m, n ∈ N},
(3) a+ b ∈ P , ∀a, b ∈ P ,
(4) a · b ∈ P , ∀a, b ∈ P .
(5) R = −P ∪ {0} ∪ P , donde −P = {−a : a ∈ P} y −P ∩ P = ∅.
1
2
La partición R = −P ∪ {0} ∪ P nos permite definir una relación de orden en R, la cual simbolizamos por <
y se lee: ” es menor que ”, mediante
a < b ⇔ b− a ∈ P.
Figura 2
Convenimos que a < b y b > a significan lo mismo. También se tiene que a ∈ P ⇔ a > 0. P se denomina
el conjunto de números reales positivos y −P el de los números reales negativos.
Propiedades de la relación <
1. Tŕıcotomia: Si a, b ∈ R, entonces se cumple una y sóla una de las siguientes relaciones
a < b ó a = b ó a > b.
2. Transitividad:
Si a < b y b < c, entonces a < c.
3. Aditividad:
a < b ⇔ a+ c < b+ c, ∀ c ∈ R.
4. Multiplicativa:
(i) a < b si y sólo si a · c < b · c para todo c > 0.
(ii) a < b si y sólo si b · c < a · c para todo c < 0.
Las propiedades 1, 2, 3 y 4, también valen con obvias modificaciones para la relación ≤, donde
a ≤ b significa que a < b ó a = b.
Ejercicio: Mostrar que c > 0 si y sólo si c−1 > 0.
Ejemplo: Utilizar la relación de orden < para ordenar de menor a mayor los siguientes números
11
9
, −2
5
,
6
7
,
5
6
.
De la propiedad multiplicativa se sigue que: si a, b ∈ R y r, s son ambos positivos, entonces
a
r
<
b
s
⇔ as < br.
3
Por lo tanto
−2
5
<
5
6
<
6
7
<
11
9
.
Potencias y radicales
Sea a ∈ R, definimos
a0 = 1 para todo a 6= 0 (la expresión 00 es indefinida),
a1 = a para todo a ∈ R,
para cada n ∈ N fijo, escribimos: an = a · a · · · a (n veces).
Las siguientes identidades valen para cada a, b ∈ R y cada n,m ∈ N ∪ {0} para los cuales no se produce
la indeterminación 00:
1. an+m = an · am.
2. (an)m = (am)n = an·m.
3. (a · b)n = an · bn.
De 3. se sigue que si a 6= 0 y b = a−1, entonces 1 = (a · a−1)n = an · (a−1)n. Definiendo a−n := (a−1)n,
para cada n ∈ N, obtenemos que las siguientes identidades valen para todo a, b ∈ R y todo n,m ∈ Z para
los cuales no se produce la indeterminación 00
1’. an+m = an · am.
2’. (an)m = (am)n = an·m.
3’. (a · b)n = an · bn.
Lema 1. Sea n ∈ N fijo. Para cada número real b > 0 existe un número real a > 0 tal que an = b. Más
aún, tal número a es el único real positivo que satisface dicha identidad.
El número a > 0 del Lema 1 se denota por
n
√
b ó b
1
n
(i.e.: a := n
√
b = b
1
n ), dicho valor se conoce como la ráız n-ésima positiva de b. En particular, existe b
1
2
(=
√
b) para cada b ≥ 0.
Nota: Si b < 0 y n es un número natural impar, entonces existe un único a < 0 tal que an = b. A saber,
a = −|b| 1n . También tenemos que 0 1n = 0 para cada n ∈ N.
La notación b
1
n (y su existencia) nos permite extender las propiedades 1’, 2’ y 3’ a exponentes racionales.
En efecto, dados b > 0, m ∈ Z y n ∈ N definimos bmn := (b 1n )m. Luego, las siguientes identidades
1”. b
m
n +
r
s = b
m
n · b rs ,
2”. (b
m
n )
r
s = (b
r
s )
m
n = b
mr
ns ,
3”. (a · b)mn = amn · bmn ,
son válidas para cada a, b ≥ 0, cada m, r ∈ Z y cada n, s ∈ N para los cuales no se produce la indeterminación
00. Si e ∼ 2, 718... es el número de Euler, entonces el número eq esta bien definido para todo q ∈ Q. Cuando
veamos la función exponencial podremos extender las propiedades 1”, 2” y 3” a exponentes reales para
todo a, b > 0 (ver nota 2 sobre funciones, p. 19, propiedad 2).
4
Intervalos en R: La doble desigualdad a < x < b con x variando y a, b fijos describe un intervalo abierto
en la recta real, el cual simbolizamos por (a, b), entonces
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
Nota: a /∈ (a, b) y b /∈ (a, b). Similarmente se define el intervalo cerrado [a, b], a saber:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
Si a > 0, tenemos el intervalo abierto simétrico centrado en el origen (−a, a) y el intervalo simétrico
cerrado centrado en el origen [−a, a]. La siguiente figura ilustra una variedad de diferentes intervalos
Figura 3
Los śımbolos −∞ y +∞ (− infinito y + infinito) no son números y significan que
−∞ < x < +∞ ∀x ∈ R.
El valor absoluto
Dado x ∈ R, definimos el valor absoluto de x por
|x| =
 x, si x ≥ 0−x, si x < 0
De la definición de valor absoluto se sigue que
|x| ≥ 0, ∀x ∈ R;
| − x| = |x|, ∀x ∈ R;
5
−|x| ≤ x ≤ |x|, ∀x ∈ R.
El valor absoluto |a| mide la distancia entre a y el 0.
Figura 4
La distancia entre − 4 y 0 es | − 4| = 4, la distancia entre 0 y 3 es |3| = 3.
Propiedades del valor absoluto
1. |a · b| = |a| · |b|.
2.
∣∣a
b
∣∣ = |a||b| , siempre que b 6= 0.
3. |a+ b| ≤ |a|+ |b|.
4. ||a| − |b|| ≤ |a− b|.
Veamos 3.
|a+ b|2 = |(a+ b)2| = (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 ≤ |a|2 + 2|a||b|+ |b|2 = (|a|+ |b|)2,
la primera igualdad se sigue de la propiedad 1., la segunda de la definición del valor absoluto, y la desigualdad
del hecho que x ≤ |x|; luego al tomar ráız cuadrada, por el ej. 4) de los Ej. adic. 1, obtenemos que
|a+ b| ≤ |a|+ |b|.
Con el valor absoluto podemos expresar intervalos o complementos de éstos por medio de una inecuación.
Ejemplo: Dado a > 0, hemos definido el intervalo (−a, a) por
(−a, a) = {x ∈ R : −a < x < a}.
Ya que |x| nos da la distancia entre x y el 0 se sigue que −a < x < a si y sólo si |x| < a (ver Figura 5). De
esto obtenemos que
(∗) (−a, a) = {x ∈ R : |x| < a}.
De (∗) se sigue que
6
Figura 5
(−∞,−a] ∪ [a,+∞) = R \ (−a, a) = R \ {x ∈ R : |x| < a} = {x ∈ R : |x| ≥ a}.
En consecuencia, |x| ≥ a si y sólo si x ≥ a ó x ≤ −a (Ver Figura 6).
Figura 6
En general tenemos que si a < b, entonces
i. (a, b) =
{
x ∈ R :
∣∣∣∣x− (a+ b)2
∣∣∣∣ < b− a2
}
,
y
ii. [a, b] =
{
x ∈ R :
∣∣∣∣x− (a+ b)2
∣∣∣∣ ≤ b− a2
}
,
donde a+b2 es el punto medio entre a y b, y
b−a
2 es la distancia entre a ó b y
a+b
2 . El punto medio entre a y b
(a < b) es el único punto pm tal que pm − a = b− pm, de esto se sigue que pm = a+b2 . Ya que
∣∣∣x− (a+b)2 ∣∣∣ da
la distancia entre x y a+b2 se sigue i. y ii. (ver Figura 7). En otras palabras,
a+b
2 es el centro del intervalo
(a, b) (o del [a, b]) y b−a2 es su radio.
7
Figura 7
Ejercicio: Verificar geométricamente que
(−1, 7) = {x ∈ R : |x− 3| < 4}
y
(−∞,−6) ∪ (−1,+∞) = {x ∈ R : |x+ 7/2| > 5/2}.
IMPORTANTE: Las siguientes equivalencias
|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
y
|x| ≥ a ⇔ x ≥ a ó x ≤ −a,
nos permiten abordar problemas que involucran inecuaciones.
Nota: Las equivalencias anteriores valen si reemplazamos la relación ≤ por la relación <.
Ejemplo: Hallar todos los x tales que |x2 − 1| ≤ 1.
Solución:
|x2 − 1| ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x2 − 1 ≤ 1
⇔ 0 ≤ x2 ≤ 2
⇔ |x| ≤
√
2
⇔ −
√
2 ≤ x ≤
√
2.
Luego
{x ∈ R : |x2 − 1| ≤ 1} = [−
√
2,
√
2].
Pregunta: ¿Cuáles son los x que satisfacen |x2 − 1| < 1?
El plano coordenado
En el plano introducimos dos copias de la recta real de modo que se intersecten perpendicularmente en los
ceros de dichas rectas. La recta horizontal se llama eje X y la recta vertical eje Y . Elpunto de intersección
donde se cortan los ejes X e Y se denomina origen y se denota por O (ver Figura 8). El plano coordenado
XY se denota por R2.
8
Figura 8
A cada punto P del plano le corresponde un único par ordenado (p1, p2) y viceversa; p1 es un punto del
eje X y p2 es un punto del eje Y . Tal correspondencia nos permite escribir P = (p1, p2). Por ejemplo, el
origen O se corresponde con el par (0, 0), por lo cual podemos escribir O = (0, 0). Se suele decir que las
componentes del par ordenado (p1, p2) son las coordenadas del punto P . Por lo tanto,
R2 = {P = (p1, p2) : p1, p2 ∈ R}.
Sean P = (p1, p2) y Q = (q1, q2) puntos del plano. Escribimos P = Q si y sólo si p1 = q1 y p2 = q2. En R2
tenemos definida una suma de pares ordenados y una multiplicación por escalares. A saber:
(p1, p2) + (q1, q2) = (p1 + q1, p2 + q2)
α(p1, p2) = (αp1, αp2), α ∈ R.
Esto es: se suma coordenada a coordenada y se multiplica coordenada a coordenada. El elementro neutro
para la suma es el (0, 0) y −(p1, p2) = (−p1,−p2) es el opuesto aditivo de (p1, p2).
Norma y distancia en R2. Dado un punto P = (p1, p2) ∈ R2 definimos su norma ‖P‖ por
‖P‖ =
√
p21 + p
2
2, (Pitágoras)
Figura 9
‖P‖ mide la distancia entre el punto P y el origen (0, 0).
9
Propiedades de la norma
1. ‖P‖ ≥ 0, ∀P ∈ R2; ‖P‖ = 0 si y sólo si P = (0, 0).
2. ‖P +Q‖ ≤ ‖P‖+ ‖Q‖, ∀P,Q ∈ R2.
3. ‖αP‖ = |α|‖P‖, ∀P ∈ R2 y ∀α ∈ R.
Distancia entre dos puntos del plano
Sean P = (p1, p2) y Q = (q1, q2) puntos del plano, la distancia entre P y Q se define por
dist(P,Q) = ‖P −Q‖ =
√
(p1 − q1)2 + (p2 − q2)2. (Ver Figura 10)
De la definición de distancia (y por lo tanto de las propiedades de la norma) se sigue que
1. dist(P,Q) ≥ 0, ∀P,Q ∈ R2; dist(P,Q) = 0 si y sólo si P = Q.
2. dist(P,Q) = dist(Q,P ), ∀P,Q ∈ R2.
3. dist(P,Q) ≤ dist(P,R) + dist(R,Q), ∀P,Q,R ∈ R2. (Desigualdad triangular)
Figura 10
Rectas en el plano
La ecuación (cartesiana) general de una recta en el plano XY es
(1) Ay +Bx+ C = 0,
donde A,B,C ∈ R y A, B no son ambas nulas. Si A 6= 0, entonces podemos escribir
y = −B
A
x− C
A
;
en este caso, equivalentemente, podemos escribir
10
y = ax+ b, ( a, b ∈ R )
donde a es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen. Convenimos que la pendiente de una recta
de la forma x = x0 es indefinida (no le podemos asignar un número real) pues tal recta no se puede expresar
como y = ax + b; en algunos libros de texto se suele considerar la pendiente de una recta vertical como ∞
(infinito sin signo), pues en este caso A = 0, B = 1 y C = −x0 en (1).
Sabemos que por dos puntos distintos del plano pasa una única recta; en efecto sean (x0, y0) 6= (x1, y1),
si x0 = x1 tenemos una recta vertical con ecuación x = x0, ahora si x0 6= x1 nuestra recta tiene la siguiente
función asociada
y(x) =
(
y1 − y0
x1 − x0
)
(x− x0) + y0,
siendo
y1 − y0
x1 − x0
= tg(α) la pendiente de dicha recta; es claro que y(x0) = y0 y y(x1) = y1 (ver Figura 11).
Figura 11
11
Circunferencias en el plano
Una circunferencia es un sub-conjunto del plano formado por todos aquellos puntos del plano que están
a una distancia fija (radio) de cierto punto fijo del plano (centro).
Figura 12
La circunferencia de radio r > 0 con centro en (x0, y0) la denotaremos por S(x0,y0),r. Ahora obtendremos
la ecuación cartesiana de la circunferencia S(x0,y0),r. Tenemos que (x, y) ∈ S(x0,y0),r si y sólo si
dist((x, y), (x0, y0)) = r
si y sólo si
‖(x, y)− (x0, y0)‖ = r
si y sólo si √
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r
si y sólo si
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Esta última ecuación es la ecuación cartesiana asociada a la circunferencia S(x0,y0),r. Luego
S(x0,y0),r =
{
(x, y) ∈ R2 : (x− x0)2 + (y − y0)2 = r2
}
.
De ahora en más, con S1 denotaremos a la circunferencia de radio 1 con centro en el (0, 0). Por lo tanto
S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.
Un ćırculo es una figura plana contenida por una circunferencia. A saber
C(x0,y0),r = {(x, y) ∈ R
2 : (x− x0)2 + (y − y0)2 ≤ r2}
es el ćırculo cerrado del plano con centro en (x0, y0) y radio r > 0.
12
Ejercicios adicionales 1.
Números reales, valor absoluto y rudimentos del plano
(1) Ordenar de menor a mayor los siguientes números reales utilizando las propiedades de la relación de
orden <
−1, 7
6
,
2
6
, −4
3
, π, −5
2
,
3
8
,
7
2
.
(2) Sea a > 0, simplificar las siguientes expresiones:
(a)
a− 1√
a+ 1
, (b)
1√
a+ 1−
√
a
, (c)
(
√
a)4√
(a2)3
, (d)
[(
1
a
) 1
5
· a 23 · a− 12 : a− 32
]− 52
.
(3) Para cada n ∈ N definimos el número n! (léase n factorial) por
n! = 1 · 2 · · · (n− 1) · n.
Es claro que n! ∈ N para todo n ∈ N. Por ejemplo, 1! = 1, 2! = 1 · 2 = 2, 3! = 1 · 2 · 3 = 6,
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24, etc. También se conviene, por definición, que 0! = 1. Mostrar que
(a)
(2n)!
n!
= (n+ 1) · (n+ 2) · · · (n+ n) para todo n ∈ N.
(b) 0 <
(n− 1)
2− 5n
<
n!
2n− 5
para todo número natural n ≥ 4.
(4) Demostrar que
√
x2 = |x| para cada x ∈ R.
(5) Demostrar que si 0 ≤ a ≤ b, entonces
√
a ≤
√
b.
(6) Demostrar que |a| ≤ |b| si y sólo si a2 ≤ b2.
(7) Demostrar las siguientes desigualdades (sugerencia: utilizar el inciso anterior) :
(a) |a| ≤
√
a2 + b2, para todo par de números reales a y b.
(b)
√
a2 + b2 ≤ |a|+ |b|, para todo par de números reales a y b.
(8) Demostrar que si 0 < a < b, entonces
a <
√
ab <
a+ b
2
< b.
(9) Representar gráficamente los siguientes intervalos.
(a) (−∞,−2].
(b) [−1, 5).
(c) [−3, 5] ∩ (− 43 ,
11
2 ).
(10) Expresar los siguientes conjuntos usando la notación de intervalos. Utilizar el śımbolo
⋃
o el śımbolo
\ cuando sea apropiado. Graficar.
(a) {x : |x− 1| < 5}.
(b) {x : −1 ≤ x < 4}.
(c) {t : |t− 3| ≥ 6}.
(d) {u : u < −2}.
(11) Expresar los siguientes intervalos en la forma de entorno {x : |x− c| < r} ó {x : |x− c| ≤ r}.
(a) [−1, 3].
(b) (−
√
2,−
√
2 + 2).
(c) [3, 4
√
2].
(12) Expresar los siguientes conjuntos en la forma {x : |x− c| > r} ó {x : |x− c| ≥ r}.
(a) (−∞,−1] ∪ [7,+∞).
(b) (−∞, 3) ∪ (π,+∞)
(c) (−∞,−5) ∪ (−2,+∞).
(13) Expresar los siguientes conjuntos en la forma {x : r0 < |x− c| < r1} ó {x : r0 ≤ |x− c| < r1}, etc.
(a) (−6,−1] ∪ [7, 12).
(b) (−1, 3) ∪ (3, 7)
(c) [−9,−5) ∪ (−2, 2].
(14) Hallar todos los x ∈ R que resuelven cada una de las siguientes ecuaciones:
(a) |x2 − 4| = 1.
13
(b) |x+ 1|+ |x− 3| = 8.
(c) |x+ 1||x− 2| = 0.
(15) Resolver las siguientes inecuaciones:
(a) x−1x+3 > 1.
(b) |x2 − 6x+ 10| > 1.
(c) |x2 − 6x+ 10| < 1.
(d) |3x+ 1| < 2|x− 6|.
(e) |x+ 1|+ |x− 3| ≤ 10.
(16) Graficar los siguientes pares ordenados en el plano:
(2, 3); (−2,−3); (−1,−1); (0, 2); (−1/2, 0).
(17) Sean P = (1, 2), Q = (−2, 3) y R = (2,−1). Realizar las siguientes operaciones y comprobar
graficamante que se cumple la ley del paralelogramo.
2P +Q, Q+R, P − 3R.
(18) Hallar la ecuación cartesiana asociada a las rectas que pasan por los siguientes puntos.
(a) P = (3,−1) y Q = (3, 5).
(b) P = (2, 4) y Q = (−1, 6).
(19) Graficar en el plano las curvas determinadas por las siguientes ecuaciones.
(a) x = −1.
(b) y = 5.
(c) 3y + 5x− 1 = 0.
(d) x2 + y2 = 1.
(e) x2 − 2x+ y2 − 3 = 0.
(Para los incisos (d) y (e) considerar la distancia en el plano.)