Clase 22 05 2020 Ejercicios de continuidad

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• Determinar a,b,c ∈ ℜ para que 𝒻 𝑥 =
𝑎−𝑏𝑥
𝑥
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
𝑐 − 𝑥 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 2
1+𝑎𝑥
𝑥
𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
Tenga límite x = 2 y x = -1, sabiendo que lim
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 + 3 = 0
Cual es su dominio? Df : ℝ
lim
𝑥→−1−
1+𝑎𝑥
𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1+
𝑐 − 𝑥
1 – a = - c – 1 ⟹ -a = - c – 1 -1
a = c + 2
Por otro lado vemos el otro límite:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
𝑐 − 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
𝑎−𝑏𝑥
𝑥
𝑐 − 2 = 
𝑎−2𝑏
2
Con esta tengo dos ecuaciones y como tengo tres incógnitas me falta una:
lim
𝑥→+∞
𝑎−𝑏𝑥
𝑥
+ 3 = 0 ⟹ lim
𝑥→+∞
−𝑏𝑥+𝑎
𝑥
+ 3 = 0
Si aplico la propiedad de límite nos queda:
lim
𝑥→+∞
−𝑏𝑥+𝑎
𝑥
+ lim
𝑥→+∞
3 = 0 ⟹ -b+3 = 0 ⟹ 𝑏 = 3
Volvemos a las ecuaciones anteriores y reemplazamos por el valor de b=3.
𝑐 − 2 = 
𝑎−2.3
2
⟹ 𝑐 − 2 = 
𝑎−6
2
⟹ 2𝑐 − 4 = 𝑎 − 6
2𝑐 + 2= 𝑎
Vamos a la otra ecuación: a = c + 2
∴ 2𝑐 + 2 = c + 2 ⟹ c = 0 ∴ a = 2
• 𝒻 𝑥 =
𝑎−3𝑥
𝑥
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
−𝑥 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 2
1+2𝑥
𝑥
𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
• Presentamos el gráfico para una mejor comprensión.
Estudiar y clasificar los puntos de discontinuidad de :
𝒻 𝑥 =
𝑥 − 4
ln(3 − 𝑥)
𝑠𝑖 𝑥 < 3
𝑥 − 5
𝑥2 − 4𝑥 − 5
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
Calculamos el dominio de esta función dada por ramas:
ln(3 − 𝑥) ≠ 0 ∧ (3 − 𝑥) > 0 ∧ 𝑥2 − 4𝑥 − 5 ≠ 0
(3 − 𝑥) = 𝑒0 ⟹ (3 − 𝑥) = 1 ⟹ (3 − 1) = x ⟹ x ≠ 2 
3 − 𝑥 > 0 ⟹ x < 3 
• Ahora calculamos la raíces de este polinomio.
𝑥2 − 4𝑥 − 5 ≠ 0 X= -1
Aplicamos Ruffini:
Por lo tanto factorizada me queda: (x+1).(x-5); o sea las raíces son x=-1
y x = 5; pero para este contexto del ejercicio no debo considerar x= -1 porque no 
pertenece al dominio.
Por lo tanto la discontinuidad la vamos a evaluar en x=3 , x = 2 y x = 5
Para x = 2
lim
𝑥→2
𝑥−4
ln(3−𝑥)
= 
−2
→0
= ∞ esto me indica que tengo una discontinuidad esencial
de salto infinito. Por ende tenemos una Asíntota Vertical en x=2.
Ahora estudiemos en x=3
lim
x→ 3−
x−4
ln(3−x)
=
−1
∞
= 0 y lim
𝑥→ 3+
𝑥−5
𝑥2−4𝑥−5
= 
−2
−8
=
1
4
Existe el límite para x→ 3 ?
Acá tenemos una discontinuidad esencial con salto finito.
El valor del salto es 𝐿1 − 𝐿2 = 0 −
1
4
= 
1
4
Ahora lo tenemos que calcular para x=5 
lim
𝑥→5
𝑥−5
𝑥2−4𝑥−5
= 
→0
→0
Esto es una indeterminación, para conocer el valor del límite debemos salvar la 
indeterminación.
lim
𝑥→5
𝑥−5
𝑥2−4𝑥−5
= lim
𝑥→5
𝑥−5
𝑥+1 .(𝑥−5)
= 
1
6
De acá podemos decir que tenemos una discontinuidad evitable, y por ende se puede 
redefinir la función:
𝒻 𝑥 =
𝑥−4
ln(3−𝑥)
𝑠𝑖 𝑥 < 3
𝑥−5
𝑥2−4𝑥−5
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3 ∧ 𝑥 ≠ 5
1
6
𝑠𝑖 𝑥 = 5
= 
𝑥−4
ln(3−𝑥)
𝑠𝑖 𝑥 < 3
1
𝑥+1
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
• Graficamos