Ecuación de Euler y Teorema de Bernoulli

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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR 
DIVISIÓN DE MATEMÁTICA Y FÍSICA 
DEPARTAMENTO DE MECÁNICA 
Mecánica de los Fluidos I (MC-2312) 
 
Instructor: Freddy Maan 
Trimestre: Enero-“Junio” 2019 
 
En este caso, voy a apoyarme bastante en el Roca Vila para facilitarme el trabajo 
de digitalizar este contenido. No se preocupen, como siempre, todo lo que yo sienta que 
no está claro, será aclarado personalmente. 
 
Tema 4: Análisis diferencial e integral de un fluido. 
 
 
 
4.1. Ecuación de Euler: 
 
 
 
Aquí se habla de fluido “no viscoso” para no considerar esa fuerza cohesiva 
entre partículas de fluido. Esencialmente se está hablando de un caso apreciablemente 
ideal. Como puede apreciarse, sobre los diferenciales de volumen del fluido actúa el 
peso de dicho diferencial, aclarando notación: 
 
�⃗� = �⃗� → 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 (1) 
 
Por otro lado están las fuerzas de superficie. Esencialmente hablando, un balance 
de fuerzas de la primera ley de la mecánica, quedaría de la siguiente manera: 
 
∑�⃗� = ∫�⃗�𝑑𝑚
 
 
+∫𝑓𝑠𝑢𝑝
 
𝐴
𝑑𝐴 = ∫ �⃗�𝑑𝑚
 
 
 (2) 
 
Básicamente, la fuerza neta sobre un cuerpo es igual al producto de la masa por 
su aceleración. Dado que se está hablando de un fluido y dichas fuerzas varían de 
partícula en partícula (por ejemplo, con las fuerzas superficiales, cuya dirección varía 
según la normal del diferencial de área considerado), es que se hace un análisis 
diferencial que luego se integra. Recordando: 
 
𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 → 
{
 
 ∫�⃗�𝑑𝑚
 
 
= ∫ 𝜌�⃗�𝑑𝑉
 
𝑉 
∫�⃗�𝑑𝑚
 
 
= ∫ 𝜌�⃗�𝑑𝑉
 
𝑉 
 (3) 
 
En general, la aceleración permanece dentro de la integral, debido a que: 
 
�⃗� = �⃗�(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) (4) 
 
Al ser así, no puede salir de la integral de volumen, pues la aceleración del 
fluido, en general, varía punto a punto. Por otro lado, recordado que las fuerzas 
superficiales (fuerzas por unidad de área) en este caso son de presión, y que estas son 
compresivas, se tiene: 
 
∫𝑓𝑠𝑢𝑝
 
𝐴
𝑑𝐴 = −∫𝑃
 
𝐴
�̂�𝑑𝐴 (5) 
 
A esta misma expresión se le puede aplicar el teorema del gradiente para pasar 
de una integral de superficie a una de volumen: 
 
∫𝑃
 
𝐴
�̂�𝑑𝐴 = ∫∇𝑃𝑑𝑉
 
𝑉
 (6) 
 
Obteniéndose, de la expresión 2: 
 
∫ 𝜌�⃗�𝑑𝑉
 
𝑉 
−∫∇𝑃𝑑𝑉
 
𝑉
= ∫ 𝜌�⃗�𝑑𝑉
 
𝑉 
 (7) 
 
Recordar que el gradiente es un operador vectorial de derivadas parciales: 
 
∇=
(
 
 
 
 
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧)
 
 
 
 
 (8) 
 
Al ser todas integrales de volumen, pueden pasarse todos los términos a un 
mismo lado y agrupar las tres integrales como una sola: 
 
∫ (𝜌�⃗� − ∇𝑃 − 𝜌�⃗�)𝑑𝑉
 
𝑉 
= 0⃗⃗ (9) 
 
Para que el resultado sea nulo, independientemente del volumen sobre el que se 
esté integrado, el integrando debe ser nulo, es decir: 
 
𝜌�⃗� − ∇𝑃 − 𝜌�⃗� = 0⃗⃗ (10) 
 
Obteniéndose la ecuación de Euler: 
 
𝜌�⃗� = −∇𝑃 + 𝜌�⃗� (11) 
 
La cual también puede manipularse para ser escrita de otra forma, considerando: 
 
�⃗� =
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑥
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑧
 (12) 
 
Al hacer toda el álgebra correspondiente, se obtiene: 
 
{
 
 
 
 𝑎𝑥 =
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
 
𝑎𝑦 =
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
𝑎𝑧 =
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
 (13) 
 
En cuanto a la “aceleración convectica”, que es la suma de términos que 
involucran derivadas espaciales, se tiene: 
 
�⃗�𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑢𝑥
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑧
 (14) 
{
 
 
 
 𝑎𝑥𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
 
𝑎𝑦𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
𝑎𝑧𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
 (15) 
 
La cual puede escribirse como: 
 
�⃗�𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = (�⃗⃗�. ∇)�⃗⃗� (16) 
 
Se recalca nuevamente que el gradiente no es más que un operador vectorial (ver 
ecuación 8). 
 
�⃗⃗� = (
𝑢𝑥
𝑢𝑦
𝑢𝑧
 ) (17) 
 
(�⃗⃗�. ∇) = (
𝑢𝑥
𝑢𝑦
𝑢𝑧
) .
(
 
 
 
 
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧)
 
 
 
 
 (18) 
 
Resolviendo el producto escalar, se tiene como resultado un escalar: 
 
(�⃗⃗�. ∇) = 𝑢𝑥
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕
𝜕𝑧
 (19) 
 
Ahora esto se post-multiplica por el vector de campo de velocidad: 
 
(�⃗⃗�. ∇)�⃗⃗� = (𝑢𝑥
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕
𝜕𝑧
) (
𝑢𝑥
𝑢𝑦
𝑢𝑧
) =
(
 
 
 
 
(𝑢𝑥
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕
𝜕𝑧
) (𝑢𝑥)
(𝑢𝑥
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕
𝜕𝑧
) (𝑢𝑦)
(𝑢𝑥
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕
𝜕𝑧
) (𝑢𝑧))
 
 
 
 
 (20) 
 
Resolviendo la propiedad distributiva en cada componente, se obtiene: 
(�⃗⃗�. ∇)�⃗⃗� =
(
 
 
 
 
𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧 )
 
 
 
 
 (21) 
 
Puede ser un poco confuso el resultado obtenido, pero hay que recordar que “∇” 
no es más que un operador matemático, por lo que cosas como esta son posibles. Tal 
como puede apreciarse, los lados derechos expresiones 15 y 21 son equivalentes, por lo 
que la expresión 16 es verídica. De este modo, aceleración total del fluido puede 
escribirse como: 
 
�⃗� =
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡
+ (�⃗⃗�. ∇)�⃗⃗� (22) 
 
Obteniéndose, para la ecuación de Euler: 
 
𝜌 (
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡
+ (�⃗⃗�. ∇)�⃗⃗�) = −∇𝑃 + 𝜌�⃗� (23) 
 
Dividiendo la expresión entre la densidad del fluido: 
 
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡
+ (�⃗⃗�. ∇)�⃗⃗� = −
1
𝜌
∇𝑃 + �⃗� (24) 
 
Tomando un sistema cartesiano de coordenadas, en el cual: 
 
�̂� = 𝑖̂ �̂� = 𝑗̂ �̂� = �̂� → �⃗� = 𝑔𝑥𝑖̂ + 𝑔𝑦𝑗̂ + 𝑔𝑧�̂� (25) 
 
La ecuación, en forma vectorial, de Euler, puede reducirse a tres expresiones 
escalares: 
 
{
 
 
 
 
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
= −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝑔𝑥
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
= −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+ 𝑔𝑦
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
= −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝑔𝑧
 (26) 
 
Donde, habitualmente, se considera: 
 
𝑔𝑥 = 𝑔𝑧 = 0 𝑔𝑦 = −𝑔 → �⃗� = −𝑔𝑗̂ (27) 
 
 
 Donde, en general: 
 
𝑃 = 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) (28) 
 
Esto quiere decir que, si se conoce el campo de presiones que actúa sobre un 
fluido no viscoso, por medio de la primera ley de la mecánica, se puede obtener un 
sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, donde las incógnitas o 
funciones a determinar son las componentes del campo de velocidades del fluido. La 
solución de este sistema, en general, se obtiene numéricamente, pero en los casos de 
estudio de este curso, existirá una “idealidad” o “sencillez” suficiente para poder ser 
resueltos analíticamente. Recíprocamente, si se conoce el campo de velocidades de un 
fluido, es posible determinar su campo de presiones. 
 
4.2. Equilibrio relativo 
 
El caso más sencillo para aplicar la ecuación de Euler es aquel en el que el fluido 
se encuentra en equilibro, es decir, con aceleración nula. En ese caso se obtienen el 
campo de presiones hidrostáticas que ya se ha trabajado con anterioridad. 
 
 
 
Nótense dos ideas fundamentales que se desprenden de la premisa del equilibrio 
relativo: 
 
1) El fluido está en reposo con respecto al recipiente, como si formasen parte de 
un mismo cuerpo rígido, existe “solidaridad”. 
2) La aceleración de todos los puntos del fluido no necesariamente será la 
misma, sin que ello choque con la analogía de que el fluido en sí mismo 
también se comporte como un cuerpo rígido. Piénsese, por ejemplo, una 
barra rígida, articulada en un extremo, rotando, en un instante dado con 
aceleración angular𝛼, y velocidad angular 𝜔. En ese instante, cada punto 
tendrá una aceleración que vendrá dada por: 
 
�⃗�(𝑟) = 𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙(𝑟)(−�̂�) + 𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙(𝑟)
�̂� (29) 
 
Donde “r” representa el radio de giro del punto de la barra a considerar. Medido 
desde el punto pivote hasta dicho punto. 
 
𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙(𝑟) = −𝜔
2𝑟 𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙(𝑟)
= 𝛼𝑟 (30) 
 
Esto es solo un pequeño recordatorio de que distintos puntos de un cuerpo rígido 
pueden tener aceleraciones diferentes (cuando hay movimiento rotacional, 
esencialmente), por lo que, un fluido puede considerarse en equilibrio relativo siempre 
que no haya movimiento relativo entre sus partículas, aún si sus puntos poseen distintas 
aceleraciones, como puede ocurrir también con los cuerpos rígidos. Tampoco puede 
haber movimiento relativo respecto al recipiente que lo contiene. 
 
 
 
Aplicando las premisas del equilibrio relativo, dado que se trata de un 
movimiento netamente traslacional (no hay rotación), absolutamente todas las partículas 
se moverán con la misma aceleración, que será además, la misma aceleración del 
recipiente que contiene al fluido, es decir: 
�⃗�(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) = �⃗�0 = 𝑎0𝑖̂ (31) 
Recordando la expresión 11, dividiendo el lado derecho entre la densidad: 
�⃗� = −
∇𝑃
𝜌
+ �⃗� (32) 
Escribiendo esto en componentes cartesianas: 
 
𝑎𝑥 = 𝑎0 = −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑥
 (33) 
𝑎𝑦 = 0 = −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑦
− 𝑔 (34) 
𝑎𝑧 = 0 = −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑧
 (35) 
Considerando que, de las 3 expresiones obtenidas, la de la componente en “z” es 
la más sencilla (expresión 35), se iniciará el análisis con esa: 
−
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑧
= 0 → 
𝜕𝑃
𝜕𝑧
= 0 → 𝑃 = 𝑃(𝑥, 𝑦) (36) 
Si la derivada parcial de una función respecto a una variable es nula, ello implica 
que esa función es constante respecto a dicha variable, que no depende de esta última, o 
dicho de otra forma, depende, exclusivamente, de las variables restantes. Analizando 
ahora las expresiones 33 y 34 respectivamente: 
−
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑥
= 𝑎0 → 
𝜕𝑃
𝜕𝑥
= −𝜌𝑎𝑜 → 𝑃(𝑥,𝑦) = −𝜌𝑎𝑜𝑥 + 𝑓(𝑦) (37) 
Por conveniencia, se dirá: 
𝑓(𝑦) = 𝑓1(𝑦) + 𝑐1 (38) 
Donde 𝑓1(𝑦) es una función que depende de la variable “y”, que no incluye 
constantes, y 𝑐1 es una constante, algo que no depende de ninguna variable, esto por 
conveniencia posterior. Reorganizando, se tiene: 
𝑃(𝑥,𝑦) = −𝜌𝑎𝑜𝑥 + 𝑓1(𝑦) + 𝑐1 (39) 
Por otro lado, en la componente horizontal, se tiene: 
−
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑦
− 𝑔 = 0 → 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= −𝜌𝑔 → 𝑃(𝑥,𝑦) = −𝜌𝑔𝑦 + 𝑔(𝑥) (40) 
Análogamente, se plantea: 
𝑔(𝑥) = 𝑔1(𝑥) + 𝑐2 (41) 
Es decir: 
𝑃(𝑥,𝑦) = 𝑔1(𝑥) − 𝜌𝑔𝑦 + 𝑐2 (42) 
Considerando que las expresiones 39 y 42 deben ser equivalentes, se plantea: 
{
𝑃(𝑥,𝑦) = −𝜌𝑎0𝑥 + 𝑓1(𝑦) + 𝑐1
𝑃(𝑥,𝑦) = 𝑔1(𝑥) − 𝜌𝑔𝑦 + 𝑐2
 (43) 
De aquí se concluye, igualando entre sí los términos que dependen de ‘x’, 
haciendo lo propio con los términos que dependen de ‘y’, e igualando entre sí las 
constantes, se obtiene: 
𝑔1(𝑥) = −𝜌𝑎0𝑥 𝑓1(𝑦) = −𝜌𝑔𝑦 𝑐1 = 𝑐2 = 𝑐 (44) 
Se tiene: 
𝑃(𝑥,𝑦) = −𝜌𝑎0𝑥 − 𝜌𝑔𝑦 + 𝑐 (45) 
Ahora, para determinar esta constante, hay que considerar que la superficie del 
fluido está expuesta a la presión atmosférica, es decir que se tiene esto como condición 
de borde. Colocando el origen de coordenadas en cualquier punto de la superficie, 
puede plantearse: 
 
𝑃(0,0) = −𝜌𝑎0(0) − 𝜌𝑔(0) + 𝑐 = 𝑃0 → 𝑐 = 𝑃0 (46) 
𝑃(𝑥,𝑦) = −𝜌𝑎0𝑥 − 𝜌𝑔𝑦 + 𝑃0 (47) 
Lo curioso ahora es preguntarse qué forma adopta la “superficie libre” (la que, 
en este caso, está expuesta a presión atmosférica), que no es más que la curva que se 
forma en la superficie del fluido. En la figura 4.3 pareciera ser una recta, pero ¿cómo 
llegar a esa conclusión o desmentirla de ser el caso? En primer lugar, hay que considerar 
que toda curva contenida en un plano puede escribirse de la forma: 
ℎ(𝑥𝑠, 𝑦𝑠) = 0 (48) 
𝑥𝑠: Abscisa de un punto del fluido ubicado en la superficie libre. 
𝑦𝑠: Ordenada de un punto del fluido ubicado en la superficie libre. 
Pero ¿Cómo obtener una ecuación de este estilo? Lo único que se sabe es que 
todo punto ubicado en la superficie libre se encuentra a presión atmosférica, por lo que 
sencillamente se utiliza ese dato: 
𝑃(𝑥𝑠,𝑦𝑠) = −𝜌𝑎0𝑥𝑠 − 𝜌𝑔𝑦𝑠 + 𝑃0 = 𝑃𝑠𝑢𝑝 = 𝑃0 (49) 
Manipulando un poco la expresión, se obtiene: 
𝑃0 = −𝜌𝑎0𝑥𝑠 − 𝜌𝑔𝑦𝑠 + 𝑃0 → −𝜌𝑎0𝑥𝑠 − 𝜌𝑔𝑦𝑠 = 0 (50) 
Ya se cuenta con una ecuación del estilo ℎ(𝑥𝑠,𝑦𝑠) = 0, de la cual puede despejarse 
una de las variables: 
𝑦𝑠 = −
𝑎0
𝑔
𝑥𝑠 (51) 
De este modo, se verifica que el fluido en la superficie toma forma de recta, no 
solo eso, sino que se trata de una recta con pendiente negativa (recta decreciente), tal 
como se sugiere en la figura 4.3. Todo esto se obtuvo partiendo de la premisa de que un 
contenedor con se movía con aceleración horizontal constante y que el fluido en su 
interior no presentaba ninguna clase de movimiento relativo, ni entre sus partículas, ni 
respecto al contenedor. ¿Es esto realmente posible? Muy probablemente, al iniciar el 
movimiento acelerado, el fluido presentaría unas oscilaciones amortiguadas, hasta 
estabilizarse y llegar a un estado estacionario en el que efectivamente ocurre la situación 
descrita en este problema. Desde el reposo hasta el estado estacionario o permanente 
debería transcurrir un “tiempo de establecimiento”, el cual podría determinarse 
mediante métodos numéricos, pero esto último excede los objetivos del curso. 
4.3. Flujo unidimensional. Teorema de Bernoulli: 
 
 
 
En este momento es prudente recordar la noción de un campo conservativo, que 
desde física I se define como aquel cuyo trabajo es independiente de la trayectoria, y 
además de eso, se aprendió en matemáticas VI que su rotacional debe ser nulo: 
 
La expresión 4-12 es: 
∇𝑥𝑓 = 0⃗⃗ (52) 
Por otro lado, de la expresión 4-13 cabe recalcar que toda fuerza conservativa 
tiene asociada una energía potencial, y el trabajo de esa fuerza conservativa suele ser 
igual al opuesto del cambio de la energía potencial asociada. Llevando esto a una 
expresión diferencial, el diferencial de trabajo de una fuerza conservativa es igual al 
negativo del diferencial de la energía potencial asociada. 
 
 
No debemos confundirnos al observar la expresión 4-17, recordemos la 
expresión 24: 
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡
+ (�⃗⃗�. ∇)�⃗⃗� = −
1
𝜌
∇𝑃 + �⃗� (24) 
Cuando se refieren a “fuerzas volumétricas”, esencialmente se está haciendo 
referencia al peso, el cual está normalizado respecto a la masa, por lo que solo aparece 
la gravedad (esto consecuencia de lo desarrollado al inicio del capítulo), básicamente se 
está planteando, de manera similar a física I y física 3: 
�⃗� = −∇𝛺 (53) 
En el Roca Vila se está denotando como “Ω” a la energía potencial asociada al 
campo gravitatorio, de modo que la ecuación de Euler puede expresarse de esta forma: 
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡
+ (�⃗⃗�. ∇)�⃗⃗� = −
1
𝜌
∇𝑃 − ∇𝛺 (54) 
Por otro lado, existe una identidad de cálculo vectorial que dicta: 
(�⃗⃗�. ∇)�⃗⃗� =
1
2
∇(�⃗⃗�. �⃗⃗�) − �⃗⃗�𝑥(∇x�⃗⃗�) (55) 
Esto puede demostrarse desarrollando el lado derecho de la expresión: 
1
2
∇(�⃗⃗�. �⃗⃗�) =
1
2
∇(𝑢2) =
1
2
∇𝑢2 =
1
2
∇(𝑢𝑥
2 + 𝑢𝑦
2 + 𝑢𝑧
2) =
1
2
(
 
 
 
 
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧)
 
 
 
 
(𝑢𝑥
2 + 𝑢𝑦
2 + 𝑢𝑧
2) (56) 
Desarrollando aún más, aplicando propiedades de linealidad: 
1
2
∇(�⃗⃗�. �⃗⃗�) =
1
2
(
 
 
 
 
𝜕(𝑢𝑥
2 + 𝑢𝑦
2 + 𝑢𝑧
2)
𝜕𝑥
𝜕(𝑢𝑥
2 + 𝑢𝑦
2 + 𝑢𝑧
2)
𝜕𝑥
𝜕(𝑢𝑥
2 + 𝑢𝑦
2 + 𝑢𝑧
2)
𝜕𝑥 )
 
 
 
 
=
1
2
(
 
 
 
 
𝜕(𝑢𝑥
2)
𝜕𝑥
+
𝜕(𝑢𝑦
2)
𝜕𝑥
+
𝜕(𝑢𝑧
2)
𝜕𝑥
𝜕(𝑢𝑥
2)
𝜕𝑦
+
𝜕(𝑢𝑦
2)
𝜕𝑦
+
𝜕(𝑢𝑧2)
𝜕𝑦
𝜕(𝑢𝑥
2)
𝜕𝑧
+
𝜕(𝑢𝑦
2)
𝜕𝑧
+
𝜕(𝑢𝑧
2)
𝜕𝑧 )
 
 
 
 
 (57) 
Aplicando propiedades de regla de la cadena: 
1
2
∇(�⃗⃗�. �⃗⃗�) =
1
2
(
 
 
 
 
2𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
+ 2𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
+ 2𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
2𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
+ 2𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
+ 2𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
2𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
+ 2𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
+ 2𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧 )
 
 
 
 
 (58) 
Sacando factor común de la matriz, se tiene: 
1
2
∇(�⃗⃗�. �⃗⃗�) =
(
 
 
 
 
𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧 )
 
 
 
 
 (59) 
Trabajando ahora con el otro término de la expresión: 
�⃗⃗�𝑥(∇x�⃗⃗�) = (
𝑢𝑥
𝑢𝑦
𝑢𝑧
)𝑥
(
 
 
 
 
(
 
 
 
 
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧)
 
 
 
 
𝑥 (
𝑢𝑥
𝑢𝑦
𝑢𝑧
)
)
 
 
 
 
 (60) 
Resolviendo el producto vectorial más interno: 
∇x�⃗⃗� =
(
 
 
 
 
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧)
 
 
 
 
𝑥 (
𝑢𝑥
𝑢𝑦
𝑢𝑧
) =
(
 
 
 
 
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
−
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦 )
 
 
 
 
 (61) 
Resolviendo ahora el producto vectorial más externo: 
�⃗⃗�𝑥(∇x�⃗⃗�) = (
𝑢𝑥
𝑢𝑦
𝑢𝑧
)𝑥
(
 
 
 
 
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
−
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦 )
 
 
 
 
 (62) 
�⃗⃗�𝑥(∇x�⃗⃗�) =
(
 
 
 
 
𝑢𝑦 (
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
) − 𝑢𝑧 (
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
−
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
)
𝑢𝑧 (
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
) − 𝑢𝑥 (
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
)
𝑢𝑥 (
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
−
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
) − 𝑢𝑦 (
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
)
)
 
 
 
 
 (63) 
�⃗⃗�𝑥(∇x�⃗⃗�) =
(
 
 
 
 
(𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
) − (𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
)
(𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
) − (𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
+ 𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
)
(𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
) − (𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
)
)
 
 
 
 
 (64) 
Hacer zoom a la expresión posterior de ser necesario: 
1
2
∇(�⃗⃗�. �⃗⃗�) − �⃗⃗�𝑥(∇x�⃗⃗�) =
(
 
 
 
 
𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧 )
 
 
 
 
−
(
 
 
 
 
(𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
) − (𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
)
(𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
) − (𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
+ 𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
)
(𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
) − (𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
)
)
 
 
 
 
 (65) 
Obteniéndose, finalmente: 
1
2
∇(�⃗⃗�. �⃗⃗�) − �⃗⃗�𝑥(∇𝑥�⃗⃗�) =
(
 
 
 
 
𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
𝑢𝑥
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑦
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧 )
 
 
 
 
 (66) 
De este modo, los lados derechos de las expresiones 21 y 66 son idénticos, por lo 
que se corrobora la veracidad de la identidad de cálculo vectorial presentada en la 
ecuación 55. De este modo, puede escribirse la expresión 54 como: 
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡
+
1
2
∇(�⃗⃗�. �⃗⃗�) − �⃗⃗�𝑥(∇𝑥�⃗⃗�) = −
1
𝜌
∇𝑃 − ∇𝛺 (67) 
Ahora, esta expresión será multiplicada escalarmente por un diferencial de 
longitud o de desplazamiento a lo largo de una línea de corriente 𝑑𝑟 de ambos lados de 
la expresión. Esta técnica se empleaba en física I para deducir la ley del trabajo y la 
energía cinética, y muy similarmente se hizo en Dinámica I, donde debe recordarse que 
ese diferencial 𝑑𝑟 es paralelo a la velocidad del fluido que se encuentra en ese tramo, es 
decir: 
�⃗⃗�. 𝑑𝑟 = |�⃗⃗�||𝑑𝑟| cos(𝜃) (68) 
|�⃗⃗�| = 𝑢 |𝑑𝑟| = 𝑑𝑟 (69) 
�⃗⃗� 𝑦 𝑑𝑟 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 → 𝜃 = 0º → cos(𝜃) = 1 (70) 
�⃗⃗�. 𝑑𝑟 = 𝑢 𝑑𝑟 (71) 
Ahora, efectivamente, multiplicando ambos lados de la expresión 67 por el 
diferencial de desplazamiento mencionado: 
(
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡
+
1
2
∇(�⃗⃗�. �⃗⃗�) − �⃗⃗�𝑥(∇𝑥�⃗⃗�)) . 𝑑𝑟 = (−
1
𝜌
∇𝑃 − ∇𝛺) . 𝑑𝑟 (72) 
Aplicando propiedad distributiva: 
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡
. 𝑑𝑟 +
1
2
∇(�⃗⃗�. �⃗⃗�). 𝑑𝑟 − (�⃗⃗�𝑥(∇𝑥�⃗⃗�)). 𝑑𝑟 = −
1
𝜌
∇𝑃. 𝑑𝑟 − ∇𝛺. 𝑑𝑟 (73) 
En primer lugar, si se observa el término que involucra los productos cruz: 
(�⃗⃗�𝑥(∇𝑥�⃗⃗�)). 𝑑𝑟 (74) 
Del producto más interno ∇𝑥�⃗⃗� se obtiene el rotacional del campo de 
velocidades, y por definición, el producto vectorial entre dos vectores da como resultado 
un tercer vector perpendicular a los dos originales. Es decir que, el rotacional, de no ser 
nulo, será ortogonal a la velocidad, y no solo eso. Por sintetizarlo de algún modo, este 
vector será perpendicular al plazo instantáneo de movimiento (como se sabe, el 
rotacional de la velocidad es proporcional y paralelo a la velocidad angular del fluido) , 
por otro lado, del producto más externo (�⃗⃗�𝑥(∇𝑥�⃗⃗�)) resulta un vector que es 
perpendicular tanto a la velocidad del fluido como a su rotacional, y ese vector 
resultante es el que se está multiplicando escalarmente por el diferencial de longitud. Al 
ser este vector resultante perpendicular a la velocidad del fluido (por definición del 
producto cruz), y al ser el diferencial de longitud paralelo a esta, implica que el vector 
resultante y el diferencial de longitud 𝑑𝑟 son perpendiculares entre sí, es decir: 
(�⃗⃗�𝑥(∇𝑥�⃗⃗�)). 𝑑𝑟 = 0 (75) 
De modo que la expresión 73 queda reducida a: 
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡
. 𝑑𝑟 +
1
2
∇(�⃗⃗�. �⃗⃗�). 𝑑𝑟 = −
1
𝜌
∇𝑃. 𝑑𝑟 − ∇𝛺. 𝑑𝑟 (73) 
Cabe recordar, de la expresión 4-11, que el diferencial absoluto de un campo 
escalar puede escribirse de la siguiente manera: 
𝐴 = 𝐴(𝑥,𝑦,𝑧) → 𝑑𝐴 =
𝜕𝐴
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝐴
𝜕𝑦
𝑑𝑦 +
𝜕𝐴
𝜕𝑧
𝑑𝑧 (74) 
Planteando: 
𝑑𝑟 = (
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
) → 𝑑𝐴 = ∇𝐴. 𝑑𝑟 (75) 
A partir de esta expresión, es posible escribir: 
1
2
∇(�⃗⃗�. �⃗⃗�). 𝑑𝑟 =
1
2
∇(𝑢2). 𝑑𝑟 =
1
2
∇𝑢2. 𝑑𝑟 =
1
2
𝑑(𝑢2) =
1
2
𝑑𝑢2 (76) 
Aquí es válido remarcar que lo que se obtuvo es el diferencial del cuadrado del 
módulo de la velocidad, lo que está al cuadrado es el módulo de la velocidad, no el 
diferencial completo. Esencialmente, se tiene un diferencial como cualquier otro, pero la 
función diferenciada resulta ser el cuadrado del módulo de la velocidad 
−
1
𝜌
∇𝑃. 𝑑𝑟 = −
1
 𝜌
𝑑𝑃 = −
𝑑𝑃
𝜌
 (77) 
−∇𝛺. 𝑑𝑟 = −𝑑𝛺 (78) 
Sustituyendo todo esto en la expresión 73: 
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡
. 𝑑𝑟 +
1
2
𝑑𝑢2 = −
𝑑𝑃
𝜌
− 𝑑𝛺 (79) 
Llevando todos los términos de la expresión a un mismo lado, se tiene: 
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡
. 𝑑𝑟 +
1
2
𝑑𝑢2 +
𝑑𝑃
𝜌
+ 𝑑𝛺 = 0 (80) 
Integrando todo esto indefinidamente para un instante de tiempo específico, con 
respecto al parámetro de diferencial de longitud. Del lado derecho no hay diferencial; no 
obstante, debe recordarse que, en principio, se había multiplicado de ambos lados de la 
expresión por un diferencial de longitud, por lo que, tranquilamente puede integrarse el 
escalar 0 respecto a un diferencial de longitud, de la siguiente manera: 
0 = 0 𝑑𝑟 = 0⃗⃗. 𝑑𝑟 → ∫ 0 = ∫0 𝑑𝑟 = ∫ 0⃗⃗. 𝑑𝑟 (81) 
Esto implica que 
 con el objeto deshacernos de algunos diferenciales y esclarecer un poco la 
expresión, se tiene: 
∫(
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡
. 𝑑𝑟 +
1
2
𝑑𝑢2 +
𝑑𝑃
𝜌
+ 𝑑𝛺) = ∫0 𝑑𝑟 (82) 
Separando, por linealidad, los términos de la integral del lado derecho, y 
considerando que la integral indefinida debe ser igual a una “constante” (y que de ese 
lado se van a concentrar todas las constantes de integración), se tiene: 
∫(
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡
. 𝑑𝑟 +
1
2
𝑑𝑢2 +
𝑑𝑃
𝜌
+ 𝑑𝛺) = ∫
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡
. 𝑑𝑟 + ∫
1
2
𝑑𝑢2 +∫
𝑑𝑃
𝜌
+ ∫𝑑𝛺 (83) 
∫
1
2
𝑑𝑢2 =
1
2
∫𝑑𝑢2 =
1
2
𝑑𝑢2 =
𝑢2
2
 (84) 
∫𝑑𝛺 = 𝛺 (85) 
En cuanto al término de la presión, no puede sencillamente integrarse, debido a 
que el diferencial de presión está dividido entre la densidad, la cual puede ser función 
del punto de la línea de corriente que setenga. En cuanto al lado derecho de la ecuación, 
se tiene: 
∫0 𝑑𝑟 = 𝐵 (86) 
Al integrar indefinidamente, todo esto debe ser igual a una especie de 
“constante”, que se denomina “B”, denominada Bernoulliano. Quedando: 
∫
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡
. 𝑑𝑟 +
𝑢2
2
+ ∫
𝑑𝑃
𝜌
+ 𝛺 = 𝐵 = "𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒" (87) 
Esta es la forma general de la ecuación de Bernoulli. Recordando que toda esta 
integración indefinida se dio sobre una línea de corriente (sin colocar límites físicos, lo 
que precisamente hace indefinida a la integral), y que fue para un instante de tiempo en 
particular, debe destacarse que, para ese instante de tiempo en particular, el 
Bernoulliano valdrá lo mismo para todos los puntos ubicados sobre una misma línea de 
corriente. Las comillas de “constante” se colocaron, debido a que, en general, en un 
flujo que varía en el tiempo, el Bernoulliano varía también según el instante de tiempo, 
en general: 
𝐵 = 𝐵(𝑡) (88) 
En síntesis, para un mismo instante de tiempo, puntos de un fluido que se 
ubiquen sobre la misma línea de corriente tendrán el mismo Bernoulliano. 
 
Ahora que se está integrando definidamente, entre dos puntos pertenecientes a la 
misma línea de corriente, la integral anterior es igual a 0, debido a que ya no es 
indefinida, sus límites de integración ahora son los puntos 1 y 2, pertenecientes a la 
misma línea de corriente, obteniéndose: 
∫
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡
. 𝑑𝑟
2
1
+
𝑢2
2
2
−
𝑢1
2
2
+ ∫
𝑑𝑃
𝜌
2
1
+ 𝛺2 − 𝛺1 = 0 (89) 
Algunas consideraciones pueden hacerse. Si el fluido es incompresible: 
𝜕𝜌
𝜕𝑥
=
𝜕𝜌
𝜕𝑦
=
𝜕𝜌
𝜕𝑧
=
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 0 → ∫
𝑑𝑃
𝜌
2
1
=
1
𝜌
∫ 𝑑𝑃
2
1
=
1
𝜌
(𝑃2 − 𝑃1) (90) 
Al tenerse un fluido incompresible, la densidad es constante y uniforme, por lo 
que puede salir de cualquier integral, pudiéndose integrar el diferencial de presión. Por 
otro lado, si el fluido es estacionario o permanente (el campo de velocidades no varía en 
el tiempo), se tiene: 
∫
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑡
. 𝑑𝑟
2
1
= 0 (91) 
Por lo que la ecuación de Bernoulli queda como: 
𝑢2
2
2
−
𝑢1
2
2
+
(𝑃2 − 𝑃1)
𝜌
+ 𝛺2 − 𝛺1 = 0 (92) 
Dejando todas las condiciones del punto 1 en el lado izquierdo, y pasando todas 
las del punto 2 al lado izquierdo, se tiene: 
𝑢1
2
2
+
𝑃1
𝜌
+ 𝛺1 =
𝑢2
2
2
+
𝑃2
𝜌
+ 𝛺2 (93) 
Recordando de la ecuación 53: 
�⃗� = −∇𝛺 → (
0
−𝑔
0
) = −
(
 
 
 
 
𝜕𝛺
𝜕𝑥
𝜕𝛺
𝜕𝑦
𝜕𝛺
𝜕𝑧)
 
 
 
 
 (94) 
De esto puede deducirse fácilmente: 
𝛺 = 𝑔𝑦 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (95) 
Esto muy similar a la energía potencial gravitatoria, pero básicamente 
normalizada respecto a la masa, vendría siendo una “energía potencial gravitatoria 
específica”. Al sustituir esto en la ecuación 93: 
𝑢1
2
2
+
𝑃1
𝜌
+ 𝑔𝑦1 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 =
𝑢2
2
2
+
𝑃2
𝜌
+ 𝑔𝑦2 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (96) 
La constante de la energía potencial gravitatoria específica se cancela al ser la 
misma de ambos lados, obteniéndose la ecuación de Bernoulli para un fluido 
incompresible en estado permanente: 
𝑢1
2
2
+
𝑃1
𝜌
+ 𝑔𝑦1 =
𝑢2
2
2
+
𝑃2
𝜌
+ 𝑔𝑦2 (96) 
Esto quiere decir que pueden relacionarse las velocidades, presiones y alturas de 
cualesquiera dos puntos pertenecientes a una misma línea de corriente con esta sencilla 
ecuación para cualquier fluido incompresible en estado estacionario.