algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-105

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4.- Determinar “a” y “b” si el polinomio:
ax8 + bx7 + 1
es divisible entre (x-1)2
Solución:
Como es divisible entre (x - 1)2 será divisible
doblemente por (x - 1). Dividiendo consecutiva-
mente entre (x - 1), por Ruffini:
a b 0 0 0 0 0 0 1
↓
1 a a+b a+b a+b a+b a+b a+b a+b
a a+b a+b a+b a+b a+b a+b a+b a+b+1
↓
1 a 2a+b 3a+2b 4a+3b 5a+4b
6a+5b 7a+6b
a 2a+b 3a+2b 4a+3b 5a+4b 6a+5b
7a+6b 8a+7b
Por ser divisible debe cumplirse que:
i) a + b + 1 = 0 ⇒ a + b = -1 (α)
-7bii) 8a + 7b = 0 ⇒ a = –––– (β)
8
Sustituyendo en (β) en (α):
-7b
–––– + b = -1 
8
b = -8
Sustituyendo en (β):
-7ba = –––– (-8)
8
a = 7
5.- Hallar el cociente entre “q” y “r” si el cociente es
exacto:
x5 - 5qx + 4r
–––––––––––––
(x-c)2
Solución:
Si el cociente es exacto, el polinomio dividendo
es divisible entre (x - c)2 y también dos veces es
divisible entre (x - c), dividiendo por Ruffini:
1 0 0 0 -5q +4r 
↓
c c c2 c3 c4 -5qc+c5
1 c c2 c3 -5q+c4 4r-5qc+c5
↓
c c 2c2 3c3 +4c4
1 2c 3c2 4c3 -5q+c4+4c4
Como el cociente es exacto, debe cumplirse que:
i) 4r - 5qc + c5 = 0 (α)
ii) -5q + 5c4 = 0
c4 = q (β)
Sustituyendo (β) en (α):
4r - 5c5 + c5 = 0
r = c5 (γ)
De (β) a la quinta y (γ) a la cuarta potencia, se
obtiene:
c20 = q5 (ρ)
r4 = c20 (θ)
de estas dos últimas relaciones:
r4 = q5
6.- Hallar “n” y “a” si la división es exacta:
(x2 + x + 2)4 - a [(x + 1)2 - x + 1]3 - nx4(x + 1)4
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x3 - 1
Solución:
Como el divisor es:
x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1)
Por productos notables, el dividendo será divisi-
ble entre (x - 1)(x2 + x + 1) y también entre cada
uno de ellos. Si es divisible por (x - 1), aplicando
el Teorema del resto se obtiene:
Á L G E B R A
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Algebra 27/7/05 16:04 Página 117