algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-106

Vista previa del material en texto

R =P(1)= (1+1+2)4 - a(4 -1+1)3 - n(1)4(2)4 = 0
256 - 64a - 16 n = 0
4a + n = 16 (α)
Si es divisible entre (x2 + x + 1), aplicamos el Teore-
ma del Resto, previo cambio de forma del dividen-
do, de esta manera:
(x2 + x + 2)4 - a(x2 + 2x + 1 - x + 1)3 - n(x2 + x)4
o: (x2 + x + 2)4 - a (x2 + x + 2)3 - n(x2 + x)4
(Dividendo)
Igualando a cero el divisor:
x2 + x + 1 = 0 x2 + x= -1
Sustituyendo en el dividendo:
R = (-1 + 2)4 - a(-1 + 2)3 - n(-1)4 = 1 - a - n 
Como la división es exacta el resto es cero, esto es:
1 - a - n = 0 
a + n = 1 (β)
Restando (α) - (β):
3a = 15 
a = 5
Sustituyendo en (α):
n = -4
7.- Calcular “a” y “b” si el polinomio:
2x4 + ax3 + bx2 + 27x - 10
es divisible entre x2 - 6x + 5
Solución:
Transformando a producto el divisor por produc-
tos notables, entonces el polinomio será divisible
separadamente por (x - 5) y (x - 1)
x2 - 6x + 5 = (x - 5)(x - 1)
Dividiendo por Ruffini dos veces:
2 +a +b 27 -10
↓
1 2 a+2 a+b+2 a+b+29
2 a+2 a+b+2 a+b+29 a+b+29-10
↓
5 10 5a+60 30a+5b+310
2 a+12 6a+b+62 31a+6b+339
Por condición del problema:
a + b + 29 - 10 = 0
a + b = -19 (α)
También: 
31a + 6b + 339 = 0
31a + 6b = -339 (β)
De (α):
b = -19 - a
sustituyendo en (β):
31a + 6(-19 - a) = -339
a = -9
sustituyendo en (α):
-9 + b = -19
b = -10
8.- Un polinomio de tercer grado cuyo primer coefi-
ciente es 1, es divisible por (x - 2) y (x - 1) y al
ser dividido por (x - 3) da resto 20. Hallar su tér-
mino independiente.
Solución:
Datos:
i) P(x) es de tercer grado
ii) Primer coeficiente es 1
iii) P(x) ÷ (x - 2), R = 0
iv) P(x) ÷ (x - 1), R = 0
v) P(x) ÷ (x - 3), R = 20
Incógnita: T.I. = P(0)
- 118 -
α
α α
Algebra 27/7/05 16:04 Página 118