algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-157

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Á L G E B R A
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MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y 
MÍNIMO COMÚN MULMÍNIMO COMÚN MULTIPLOTIPLO
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
De dos o más expresiones algebraicas, es la expresión
de mayor grado posible que está contenida como fac-
tor, un número entero de veces en dichas expre-
siones. Para determinar el Máximo Común Divisor
se factoriza las expresiones y se forma EL PRODUC-
TO DE LOS FACTORES COMUNES CON SU
MENOR EXPONENTE.
MÍNIMO COMÚN MULTIPLO
De dos o más expresiones algebraicas, es la expresión
de menor grado posible que contenga un número
entero de veces como factor a dichas expresiones.
Para determinar el Mínimo Común Múltiplo se fac-
toriza las expresiones y se forma EL PRODUCTO DE
LOS FACTORES COMUNES Y NO COMUNES
CON SU MAYOR EXPONENTE.
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Hallar el Máximo Común Divisor y el Mínimo
Común Múltiplo de:
A = x5- ax4 - a4x + a5
B = x4 - ax3 - a2x2 + a3x
Solución:
En A:
A = x4(x - a) - a4(x - a)
extrayendo factor común y desarrollando x4 - a4:
A = (x - a)(x2 + a2) (x + a)(x - a) 
A = (x - a)2(x2 + a2)(x + a)
En B; extrayendo factor común:
B = x(x3 - ax2 - a2x + a3)
B = x[x2(x - a) - a2(x - a)]
B = x(x - a)(x + a)(x - a) 
B = x(x - a)2(x + a)
Máximo Común Divisor (A,B)
(x - a)2(x + a)
Mínimo Común Múltiplo (A,B) :
x(x - a)2(x + a)(x2 + a2)
2.- Hallar el M.C.D. y el m.c.m. de:
A = x2(x2 + 2y2) + (y2 + z2)(y + z)(y - z)
B = (x2 + y2)(x2 + y2 + 2z2) + z4
C = x4 + 2x2z2 + z4 - y4
Solución:
Factorizando separadamente cada expresión:
Expesión A:
A = x4 + 2x2y2 + (y2 + z2)(y2 - z2)
A = (x4 + 2x2y2 + y4) - z4 = (x2 + y2)2 - (z2)2
A = (x2 + y2 + z2)(x2 + y2 - z2)
Algebra 27/7/05 16:30 Página 169