algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-178

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DESARROLLO DEL BINOMIO DE 
NEWTON 
con exponente entero y positivo.
Haciendo uso de los productos notables, se calcula el
producto de “n” factores binomios; y de esta manera,
se indica cuál es el desarrollo de un binomio de la
forma (x + a)n.
PROPIEDADES DEL BINOMIO DE NEWTON
1º Su desarrollo es un polinomio completo de (n+1)
términos.
2º Los coeficientes de los términos equidistantes de
los extremos son iguales; lo cual es evidente, por
ser números combinatorios complementarios.
3º El exponente de “x” en cada término es igual al
número de términos que le siguen y el de “a” al
que le preceden.
4º El coeficiente del primer término, es 1 y el coefi-
ciente del segundo término es igual al exponente
del primer término.
5º El coeficiente de cada término es igual al del ante-
rior multiplicado por el exponente de “x”, tam-
bién en el término anterior y dividido por el de
“a”, del término anterior aumentado en una
unidad.
6º Si los términos del binomio tienen signos contrar-
ios, los términos del desarrollo serán alternativa-
mente positivos y negativos siendo negativos los
que contengan potencias impares del término
negativo del binomio. Basta sustituir en el desar-
rollo “a” por “-a”.
7º Si los dos términos del binomio son negativos,
todos los términos del desarrollo serán positivos o
negativos según que el exponente sea par o impar.
En efecto, se tiene:
(-x - a)m = [-1(x + a)]m = (-1)m(x + a)m
8º La suma de los coeficientes de los términos del
desarrollo de un binomio de cualquier grado es
igual a 2 elevado a esa potencia. Basta hacer en el
desarrollo de Newton x = a = 1 y se tiene:
m m m m m
2 = 1 + C1 + C2 + C3 + … + Cm
9º La suma de los coeficientes de los términos de
lugar impar es igual a la suma de los de lugar par.
10º Con respecto a las letras “x” y “a”, el desarrollo
es un polinomio homogéneo de grado n.
MÉTODO DE INDUCCIÓN
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x + a)(x + b)(x + c) 
= x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc
(x + a)(x + b)(x + c) - (x + d)
= x4 + (a + b + c + d)x3+(ab + ac + ad 
+ bc + bd + cd)x2
+ (abc + abd + bcd + acd)x + abcd
Para n factores:
(x + a)(x + b)(x + c) … (x + k)
n n-1 n-2 n-3
= x +S1x + S2x + S3x +…+ Sn
donde:
S1 = suma de las letras a, b, c, …, k.
S2 = suma de los productos de estas “n” letras
tomadas de 2 en 2.
S3 = suma de los productos de estas “n” letras
tomadas de 3 en 3.
Sn = producto de todas las “n” letras.
Ahora:
Si a = b = c = d = … = k
es decir, si todas las letras son “a”:
n nS1 = C1a = (––––) a = na1
n n (n - 1)S2 = C2a
2 = –––––––– a2
2
n n(n - 1)(n - 2)S3 = C3a
3 = –––––––––––––– a3
1 . 2 . 3
n nSn = Cna
n = (––––)an = a2n
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α
α α
Algebra 27/7/05 16:30 Página 190