algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-179

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Luego, el producto de n factores (x + a) es igual
a (x + a)n y su desarrollo es:
n n
(x + a)n = xn + C1x
n-1a + C2x
n-2a2
n
+ C3x
n-3a3 +…+ an
o también:
n(n - 1)
(x + a)n = xn + nxn-1a + ––––––– a2xn-2
1 . 2
n(n - 1)(n - 2)
+ ––––––––––––––– a3xn-3 + … +an
1 . 2 . 3
Ejemplo. Desarrollar:
4 4 4 4
(x + a)4 = x4 + C1x
3a + C2x
2a2 + C3xa
3 + C4a
4
= x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4
FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL
Esta fórmula permite escribir un término cualquiera
del desarrollo del binomio.
Se sabe que:
n n n
(x + a)n = C0x
n + C1x
n-1a + C2x
n-2 a2
n n
+ C3x
n-3a3 +…+ Cna
n
Siguiendo la ley de formación de todos los térmi-
nos del desarrollo:
n
1er. término: C1-1 x
n-(1-1) a1-1
n
2do. término:C2-1x
n-(2-1) a2-1
n
3er. término: C3-1x
n-(3-1) a3-1
n
4to. término: C4-1x
n-(4-1) a4-1
.
.
. n
10mo. término: C10-1x
n-(10-1) a10-1
.
.
. n
kmo. término: Ck-1x
n-(k-1) ak-1
n
(k + 1) término: Ck+1-1x
n-(k+1-1) ak-1-1
n
∴ tk+1= Ckx
n-kak
donde: 
(k + 1) = lugar que ocupa el término buscado.
Ck = combinaciones de “n” elementos tomados
de “k” en “k”.
n = exponente del binomio.
x = primer término del binomio.
a = segundo término del binomio.
k = lugar menos 1 del término buscado
Ejemplo.- Hallar el término 10 del desarrollo de
la potencia:
1 12(27x5 + ––– )3x
Solución:
Nótese que:
n = 12 ; k + 1 = 10 ; k = 9
1er. término: 27x5
12do término: (–––)3x
Aplicando la fórmula:
12 1 9t9+1= t10 = C9 (27x
5)12-9 (–––)3x
12
t10 = C9 (3
3x5)3(3-1x-1)9
12 . 11 . 10t10 = ––––––––––– . (3
9 . x15)(3-9x -9)
3 . 2 . 1
t10 = 220x
6
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Hallar “n” para que el t25 del desarrollo de:
x2 y2 5n+2(––– + –––)––y √x
contenga a “x” con exponente 44.
Á L G E B R A
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Algebra 27/7/05 16:30 Página 191