algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-255

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PROPIEDADES
1º El módulo de la raíz es la raíz del módulo del
radicando.
2º El argumento de la raíz es el argumento del ra-
dicando incrementado en 2kπ, dividido entre el
índice.
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Efectuar:
1 + i 1 - i 10 + 3i
E = ––––––– - ––––––– + –––––––
12 - 5i 5 - 12i 169
Solución:
Racionalizando las dos primeras fracciones:
(1 + i)(12 + 5i) (1 - i)(5 + 12i) (10 + 3i)
E = ––––––––––––– - –––––––––––– + ––––––––
122 - 25i2 52 - 122i2 169
12+5i+12i -5 5+12i -5i+12 10 + 3iE = ––––––––––––– - –––––––––––––– + ––––––
169 169 169
7 + 17i - 17 - 7i + 10 + 3i 13i i
E = ––––––––––––––––––––––– = –––– = –––
169 169 13
2.- Dos números complejos tienen el mismo módu-
lo. Uno de ellos es conjugado del otro. Sus argu-
mentos suman 510°. Calcular los argumentos de
ambos complejos.
Solución:
Sean los complejos:
r (cos θ1 + i sen θ1) y r(cos θ2 + i sen θ2) 
Por datos:
r cos θ1 + ri sen θ1 = r
2 cos 2θ2 - r
2i sen 2θ2
identificando las partes reales y las partes imagi-
narias entre sí:
r cos θ1 = r
2 cos 2θ2 (1)
r sen θ1 = -r
2 sen 2θ2 (2)
dividiendo (2) : (1) miembro a miembro:
sen θ1 sen 2θ2
–––––– = - –––––––
cos θ1 cos 2θ2
tg θ1 = - tg 2θ2
pero: -tg α = tg(-α)
tg θ1 = tg(-2θ2) 
de aquí por por propiedad trigonométrica: 
θ1 - (-2θ2) = 360k 
θ1 + 2θ2 = 360k (3)
Por datos: 
θ1 + θ2 = 510° (4)
La solución aceptable de (3) y (4) es:
θ1 = 300º
θ2 = 210°
3.- Obtener “x” e “y” sabiendo que el siguiente poli-
nomio tiene raíz cuadrada exacta:
P = a2 + 6a + 2ai + cx - yi
Solución:
Representando como (a+b) la raíz cuadrada del
polinomio:
a2 + 6a + 2ai + x - yi = (a + b)2
a2 + 2a(3 + i) + (x - yi) = a2 + 2ab + b2
identificando términos: 
b = 3 + i (1)
b2 = x - yi (2)
sustituyendo (1) en (2):
(3 + i)2 = x - yi
8 + 6i = x - yi
Identificando términos nuevamente:
x = 8 
y = -6
Á L G E B R A
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Algebra 21/7/05 15:55 Página 267