Números Complejos forma trigonometrica_operaciones

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Números Complejos 
Representación gráfica de un número complejo 
Para representar el número complejo 𝑧 = (𝑥; 𝑦) = 𝑥 + 𝑖𝑦 le hacemos corresponder el punto 𝑃 del 
plano tal que tiene como abscisa 𝑥 y ordenada 𝑦 de un sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonales. 
El eje de abscisas lo denominamos eje real y el eje de ordenadas lo llamamos eje imaginario. 
Hay una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y los números complejos: a cada punto 
del plano le corresponde un único número complejo y recíprocamente. 
También, usaremos para identificar el complejo 𝑧 el vector 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 
Figura 1 
El módulo del número complejo 𝑧 es 
|𝑧| = |𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗| → |𝑧| = √𝑥2 + 𝑦2 
y lo denotamos como |𝑧| = 𝜌 
El argumento del número complejo 𝑧 es el ángulo 𝜑 de la Figura 1 o cualquier otro congruente con él. 
arg(𝑧) = 𝜑 + 2𝑘𝜋, ∀𝑘 ∈ ℤ 
El argumento principal de 𝑧 lo obtenemos para 𝑘 = 0 
arg(𝑧) = 𝜑 ∕ 0 ≤ 𝜑 < 2𝜋 
y lo calculamos como 
arg(𝑧) = 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑦
𝑥
) ∕ 𝑥 ≠ 0 
Si 𝜌1, 𝜑1, 𝜌2, 𝜑2 son respectivamente los módulos y los argumentos de dos números complejos 𝑧1 
y 𝑧2 entonces las condiciones necesarias y suficientes para que esos complejos sean iguales son que 
los módulos sean iguales y los argumentos congruentes. 
𝑧1 = 𝑧2 ⇔ {
𝜌1 = 𝜌2
𝜑1 = 𝜑2 + 2𝑘𝜋
∕ 𝑘 ∈ ℤ 
 
Forma trigonométrica o polar de un número complejo 
2 
 
Consideramos en número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 (1) 
A partir de la Figura 1, escribimos 
{
𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜑 
Reemplazamos en (1) y queda 
𝑧 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜑 
Luego, 
𝒛 = 𝝆(𝒄𝒐𝒔𝝋 + 𝒊 𝒔𝒆𝒏𝝋) 
que denominamos forma polar o trigonométrica de un número complejo. 
Esta forma es particularmente apta para calcular productos, cocientes, potencias y raíces como 
veremos a continuación. 
 
Multiplicación en forma trigonométrica o polar 
 
Consideramos 𝑧1 = 𝜌1(𝑐𝑜𝑠𝜑1 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜑1) y 𝑧2 = 𝜌2(𝑐𝑜𝑠𝜑2 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜑2) , entonces 
 
𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝜌1(𝑐𝑜𝑠𝜑1 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜑1) ∙ 𝜌2(𝑐𝑜𝑠𝜑2 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜑2) 
𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝜌1𝜌2 (𝑐𝑜𝑠𝜑1 𝑐𝑜𝑠𝜑2 − 𝑠𝑒𝑛𝜑1𝑠𝑒𝑛𝜑2⏟ 
𝑐𝑜𝑠(𝜑1+𝜑2)
+ 𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜑1𝑠𝑒𝑛𝜑2 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜑1𝑐𝑜𝑠𝜑2⏟ 
𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝜑1+𝜑2)
 ) 
 
𝒛𝟏 ∙ 𝒛𝟐 = 𝝆𝟏𝝆𝟐 (𝒄𝒐𝒔(𝝋𝟏 +𝝋𝟐) + 𝒊 𝒔𝒆𝒏(𝝋𝟏 +𝝋𝟐)) 
 
La fórmula obtenida nos permite concluir que cuando multiplicamos dos números complejos usando 
la forma trigonométrica, los módulos se multiplican entre sí y los argumentos se suman. 
Ejemplo, 
Si 𝑧1 = 2(𝑐𝑜𝑠
𝜋
3
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
) , 𝑧2 = 3(𝑐𝑜𝑠
2𝜋
3
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
2𝜋
3
) entonces 
𝑧1 ∙ 𝑧2 = 2 ∙ 3 (𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
3
+
2𝜋
3
) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
3
+
2𝜋
3
)) → 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 6(𝑐𝑜𝑠(𝜋) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝜋)) 
Luego, queda 
𝑧1 ∙ 𝑧2 = −6 
 
Cociente en forma trigonométrica o polar 
3 
 
 
Consideramos 𝑧1 = 𝜌1(𝑐𝑜𝑠𝜑1 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜑1) y 𝑧2 = 𝜌2(𝑐𝑜𝑠𝜑2 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜑2) ∕ 𝑧2 ≠ 0 , entonces 
𝑧1
𝑧2
= 𝑤 → 𝑧1 = 𝑤 ∙ 𝑧2 
sí y solo si |𝑧1| = |𝑤| ∙ |𝑧2| y arg(𝑧1) = arg(𝑤) + arg (𝑧2) 
Podemos escribir, como sigue 
|𝑤| =
|𝑧1|
|𝑧2|
 , arg(𝑤) = arg(𝑧1) − arg (𝑧2) 
En consecuencia, 
𝒛𝟏
𝒛𝟐
=
𝝆𝟏
𝝆𝟐
 (𝒄𝒐𝒔(𝝋𝟏 −𝝋𝟐) + 𝒊 𝒔𝒆𝒏(𝝋𝟏 −𝝋𝟐)) 
 
Potenciación en forma trigonométrica o polar 
Sea 𝑧 = 𝜌(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜑) entonces 
𝑧2 = 𝑧. 𝑧 = 𝜌. 𝜌(𝑐𝑜𝑠(𝜑 + 𝜑) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜑 + 𝜑)) 
Por lo tanto, 
𝑧2 = 𝜌2(cos(2𝜑) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(2𝜑)) 
De manera similar, podemos llegar a 
𝑧3 = 𝜌3(cos(3𝜑) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(3𝜑)) 
 
Estos resultados nos conducen a la fórmula de Moivre como sigue 
 
𝒛𝒏 = 𝝆𝒏(𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝋) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝒏𝝋)), ∀𝒏 ∈ ℤ 
Ejemplo 1, 
Sea 𝑧 =
1
2
+ 𝑖
√3
2
= 1. (𝑐𝑜𝑠
𝜋
3
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
) , la potencia quinta de 𝑧 resulta 
𝑧5 = 15 (𝑐𝑜𝑠5
𝜋
3
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛5
𝜋
3
) → 𝑧5 = 𝑐𝑜𝑠
5𝜋
3
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
5𝜋
3
→ 𝑧5 =
1
2
− 𝑖
√3
2
 
 
Ejemplo 2, 
Calculemos para el mismo z del ejemplo anterior la potencia 𝑧−5 y queda 
𝑧−5 = 1−5 (𝑐𝑜𝑠 (−5
𝜋
3
) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (−5
𝜋
3
)) → 𝑧−5 = 𝑐𝑜𝑠 (−
5𝜋
3
) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (−
5𝜋
3
) → 𝑧−5 =
1
2
+ 𝑖
√3
2
 
4 
 
Ejemplo 3, 
Podemos verificar que 
𝑧5. 𝑧−5 = (
1
2
− 𝑖
√3
2
) . (
1
2
+ 𝑖
√3
2
) = (
1
2
)
2
+ (
√3
2
)
2
= 1 
 
Radicación en el campo complejo 
En el campo de los números reales, la radicación presenta ciertas anomalías como las siguientes 
𝑥2 = 4 → √𝑥2 = √4 → |𝑥| = 2 → 𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = −2 
𝑥3 = −8 → √𝑥3
3
= √−8
3
→ 𝑥 = −2 
𝑥2 = −4 → √𝑥2 = √−4 → ∄𝑥 ∈ ℝ 
Esta falta de uniformidad se corrige en el campo complejo donde hay una única regla: “Todo número 
complejo distinto de cero tiene exactamente 𝛼 raíces 𝛼 − é𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠 diferentes” 
Dado el número complejo 𝑧 = 𝜌(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜑) y un número entero positivo 𝑛, calculemos la raíz 
𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 de 𝑧 , es decir, hallaremos el número complejo 𝑤 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃) (1) tal que w 
elevado a la potencia 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 de igual a 𝑧, es decir, 
𝑤 = √𝑧
𝑛
 (2) 
𝑤𝑛 = 𝑧 (3) 
Reemplazamos en (3) 𝑧 y 𝑤 por sus respectivas formas trigonométricas como sigue 
(𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃))
𝑛
= 𝜌(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜑) 
𝑟𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜃) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃)) = 𝜌(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜑) (4) 
donde 𝑟 y 𝜃 son nuestras incógnitas. 
Para que se verifique la igualdad (4), los módulos deben ser iguales y los argumentos congruentes. 
Entonces resulta que, 
{
𝑟𝑛 = 𝜌
𝑛𝜃 = 𝜑 + 2𝑘𝜋
→ {
𝑟 = √𝜌
𝑛
𝜃 =
𝜑 + 2𝑘𝜋
𝑛
 (5) 
 
De (1), (2) y (5), queda 
𝑤 = √𝑧
𝑛
→ 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃) = √𝑧
𝑛
→ √𝜌
𝑛 (𝑐𝑜𝑠
𝜑 + 2𝑘𝜋
𝑛
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
𝜑 + 2𝑘𝜋
𝑛
) = √𝑧
𝑛
 
Luego, expresamos como sigue 
𝒘𝒌 = √𝒛
𝒏
= √𝝆
𝒏 (𝒄𝒐𝒔
𝝋 + 𝟐𝒌𝝅
𝒏
+ 𝒊 𝒔𝒆𝒏
𝝋+ 𝟐𝒌𝝅
𝒏
) 𝒌⁄ ∈ ℤ(𝟔) 
5 
 
El subíndice 𝑘 de 𝑤 es porque se obtiene una expresión diferente de la raíz para cada valor de k. 
Aparentemente, se obtiene por cada 𝑤 infinitos valores (puesto que 𝑘 es arbitrario) pero vamos a 
comprobar que estas infinitas expresiones de 𝑤 no dan todas valores diferentes, sino que sólo hay 𝑛 
valores diferentes de √𝑧
𝑛
 que se repiten periódicamente. 
Demos valores consecutivos de 𝑘 en la expresión (6) como sigue 
𝑤0 = √𝜌
𝑛 (𝑐𝑜𝑠
𝜑 + 2.0. 𝜋
𝑛
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
𝜑 + 2.0. 𝜋
𝑛
) → 𝑤0 = √𝜌
𝑛 (𝑐𝑜𝑠
𝜑
𝑛
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
𝜑
𝑛
) 
 
𝑤1 = √𝜌
𝑛 (𝑐𝑜𝑠
𝜑 + 2.1. 𝜋
𝑛
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
𝜑 + 2.1. 𝜋
𝑛
) → 𝑤1 = √𝜌
𝑛 (𝑐𝑜𝑠 (
𝜑
𝑛
+
2𝜋
𝑛
) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (
𝜑
𝑛
+
2𝜋
𝑛
)) 
 
𝑤2 = √𝜌
𝑛 (𝑐𝑜𝑠
𝜑 + 2.2. 𝜋
𝑛
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
𝜑 + 2.2. 𝜋
𝑛
) → 𝑤2 = √𝜌
𝑛 (𝑐𝑜𝑠 (
𝜑
𝑛
+ 2 ∙
2𝜋
𝑛
) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (
𝜑
𝑛
+ 2 ∙
2𝜋
𝑛
)) 
𝑤3 = √𝜌
𝑛 (𝑐𝑜𝑠 (
𝜑
𝑛
+ 3 ∙
2𝜋
𝑛
) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (
𝜑
𝑛
+ 3 ∙
2𝜋
𝑛
)) 
… 
𝑤𝑛−1 = √𝜌
𝑛 (𝑐𝑜𝑠 (
𝜑
𝑛
+ (𝑛 − 1) ∙
2𝜋
𝑛
) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (
𝜑
𝑛
+ (𝑛 − 1) ∙
2𝜋
𝑛
)) 
𝑤𝑛 = √𝜌
𝑛 (𝑐𝑜𝑠 (
𝜑
𝑛
+ 𝑛 ∙
2𝜋
𝑛
) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (
𝜑
𝑛
+ 𝑛 ∙
2𝜋
𝑛
)) → 𝑤𝑛 = √𝜌
𝑛 (𝑐𝑜𝑠 (
𝜑
𝑛
+ 2𝜋) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (
𝜑
𝑛
+ 2𝜋)) 
𝑤𝑛+1 = √𝜌
𝑛 (𝑐𝑜𝑠 (
𝜑
𝑛
+ (𝑛 + 1) ∙
2𝜋
𝑛
) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (
𝜑
𝑛
+ (𝑛 + 1) ∙
2𝜋
𝑛
)) → 𝑤𝑛+1
= √𝜌
𝑛 (𝑐𝑜𝑠 (
𝜑
𝑛
+ (
2𝜋
𝑛
+ 2𝜋)) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (
𝜑
𝑛
+ (
2𝜋
𝑛
+ 2𝜋))) 
 
Observamos que sólo son diferentes los 𝑛 primeros valores porque sus argumentos no son 
congruentes; en cambio, 𝑤0 = 𝑤𝑛, 𝑤1 = 𝑤𝑛+1, etc. En general, las raíces son iguales para valores de 
𝑘 que dieren en 𝑛. 
 
Si los argumentos se miden en el sistema sexagesimal, la fórmula toma la forma 
𝒘𝒌 = √𝒛
𝒏
= √𝝆
𝒏 (𝒄𝒐𝒔
𝝋 + 𝒌𝟑𝟔𝟎°
𝒏
+ 𝒊 𝒔𝒆𝒏
𝝋 + 𝒌𝟑𝟔𝟎°
𝒏
) 𝒌⁄ ∈ ℤ 
 
Geométricamente, las 𝑛-raíces se corresponden con los vértices de un polígono regular de 𝑛-lados 
inscripto en una circunferencia centrada en el origen de radio √𝜌
𝑛 
 
6 
 
Ejemplo, 
Calculemos √
1
2
− 𝑖
√3
2
5
 como sigue, 
√1
2
− 𝑖
√3
2
5
= √1. (𝑐𝑜𝑠300° + 𝑖𝑠𝑒𝑛300°)
5
 
𝑤𝑘 = √1
5
(𝑐𝑜𝑠
300° + 𝑘360°
5
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
300° + 𝑘360°5
) 𝑘⁄ = 0, 1, 2, 3, 4 
Los cinco valores diferentes de la raíz buscada son 
𝑤0 = 𝑐𝑜𝑠
300° + 0 ∙ 360°
5
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
300° + 0 ∙ 360°
5
→ 𝑤0 = 𝑐𝑜𝑠60° + 𝑖𝑠𝑒𝑛60° =
1
2
+ 𝑖
√3
2
 
𝑤1 = 𝑐𝑜𝑠
300° + 1 ∙ 360°
5
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
300° + 1 ∙ 360°
5
→ 𝑤0 = 𝑐𝑜𝑠132° + 𝑖𝑠𝑒𝑛132° 
𝑤2 = 𝑐𝑜𝑠
300° + 2 ∙ 360°
5
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
300° + 2 ∙ 360°
5
→ 𝑤2 = 𝑐𝑜𝑠204° + 𝑖𝑠𝑒𝑛204° 
𝑤3 = 𝑐𝑜𝑠
300° + 3 ∙ 360°
5
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
300° + 3 ∙ 360°
5
→ 𝑤0 = 𝑐𝑜𝑠276° + 𝑖𝑠𝑒𝑛276° 
𝑤4 = 𝑐𝑜𝑠
300° + 4 ∙ 360°
5
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
300° + 4 ∙ 360°
5
→ 𝑤0 = 𝑐𝑜𝑠348° + 𝑖𝑠𝑒𝑛348° 
Cada una de las raíces, si la elevamos a la quinta potencia da el radicando. Por ejemplo, 
𝑤0
5 = (
1
2
+ 𝑖
√3
2
)
5
=
1
2
− 𝑖
√3
2
 
según el ejemplo 1 (página 3) correspondiente a la potenciación. 
Geométricamente, las raíces son los vértices de un pentágono regular inscripto en una circunferencia 
de radio uno como sigue