algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-257

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7.- Hallar el módulo del complejo:
(4 + 3i)2 (-1 + i)4
Z = –––––––––––––––__
5
(√3 + i )
Solución:
Cálculo de los módulos r1, r2 y r3
______
r1 = √42 + 32 = 5
__________ __
r2 = √(-1)2 + 12 = √2
____________
2
r3 = √(√3 ) + 12 = 2
El módulo del complejo será:
__
4
(5)2 (√2 ) 25 . 4 
r = ––––––––––– = –––––––
(2)5 32
25
r = –––
8
8.- Calcular el valor de:
__
45
1 √3 E = ( –– + i ––––)2 2
Solución:
Aplicando las propiedades de los complejos:
______________
2
__
2
1 √3r = (––) + (––––) = 1√ 2 2
__ 
√3 
––––
2
__
q = arc tg –––– = arc tg √3 = 60°
1
––––
2
Por lo tanto:
E = [1(cos 60 + i sen 60°)]45
= (1)45 (cos 60 . 45 + i sen 60 . 45)
E = cos 2 700° + i sen 2 700°
= cos 180° + i sen 180°
E = -1
9.- Calcular la raíz cuadrada de 5 + 12i
Solución:
Suponiendo que la raíz cuadrada es de la forma
a + bi:
_______
√5 + 12i = a + bi
elevando al cuadrado:
5 + 12i = (a + bi)2 = a2 - b2 + 2abi
identificando términos:
a2 - b2 = 5 (1)
2ab = 12 (2)
resolviendo (1) y (2) se obtiene:
a = ± 3 
b = ± 2
_______
Rpta.: √5 + 12i = ± 3 ± 2i
RAÍCES CÚBICAS DE LA UNIDAD
EJEMPLO.- Determinar las raíces cúbicas de la
unidad.
Solución:
Utilizando la fórmula de la raíz se tendrá:
__ _____ ______________
3
√1 = 
3
√1 + 0i = 
3
√cos 0° + i sen 0°
0 + 2kπ 0 + 2kπ= cos ( ––––––––) + i sen (––––––––)3 3
dando valores a k:
1) Para k = 0:
__
3
√1 = cos 0 + i sen 0 = 1 (A)
2) Para k = 1:
__
0 + 2π 0 + 2π3√1 = cos ––––––– + i sen –––––––
3 3
2π 2π= cos –––– + i sen ––––
3 3
Á L G E B R A
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Algebra 21/7/05 15:55 Página 269