FORMULARIO DE TRIGONOMÉTRIA

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FORM
ULAR
IO D
E
FORM
ULAR
IO D
E
TRIGO
NOMÉ
TRIA
TRIGO
NOMÉ
TRIA
M
Á
Q
U
IN
A
M
Á
Q
U
IN
A
UNI LI
MA
SAN M
ARCO
S
CATÓ
LICA
UNSA
UNA P
UNO
UNAJ
UNI LI
MA
SAN M
ARCO
S
CATÓ
LICA
UNSA
UNA P
UNO
UNAJ
SERAPIO CALCINA CUEVAS
a
bMakina
M
ÁQ
UI
NA
SISTEMAS DE MEDICIÓN ÁNGULAR
L1L1
L2
q
a
q
Número
entero
de vueltas
+ a
q-a = 360°k ; Número 
 de vueltas entero
1
4
4
2
4
4
3
1
4
4
2
4
4
3
Sentido horario
L2
Sentido de rotación del rayo (Convención)
Sentido antihorario
A todo ángulo trigonométrico le corresponde una
medida la cual puede expresarse por cualquier 
numero REAL.
-¥ < medida del ángulo trigonométrico < +¥
 PROPIEDADES FUNDAMENTALES
DE LOS ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Dos o mas ángulos trigonométricos son 
COTERMINALES sí:
Tienen el mismo lado inicial y lado Final
 Sin tener en cuenta su sentido y medida
SISTEMAS DE MEDICIÓN ÁNGULAR
SISTEMA
SEXAGESIMAL
(Inglés)
SISTEMA
CENTESIMAL
(francés)
SISTEMA
RADIAL
(internacional)
I
I II
1Vuelta 360
1 60 ; Minutos
1 60 ; Segundos
= °
° =
=
g
g m
m s
1Vuelta 400
1 100 ;Minutos
1 100 ;Segundos
=
=
=
I II
g
1Vuelta 2 ;valoresque
Asume
22 355
10
7 113
Tambien :1rad 57 17 45
Entonces :1rad 1 1
= p
p
p » p » p »
» °
ñ ° ñ
I II I II
El ánguloenel sistema sexagesinal con grados
minutos y segundos se escribe como :
a b c a b c° = ° + +
g m s g m sTambien : a b c a b c= + +
Para la conversión de grados a minutos y 
segundos usamos lo siguiente.
Grados SegundosMinutos×60 ×60
60 60
3600
x 3600
Makina
Grados SegundosMinutos×100 ×100
100 100
10000
x 10000
Makina
RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS
S = 9k C = 10k
πK
R =
20
En una vuelta: También 
De esta última ecuación garantizamos que:
De aquí ... !
o g , ,, sm 9 < > 10 27 < >50 81 < >250
MákinaTRIGONOMETRÍA
Formulario
Makina ...01
S C 20R
= = = K
9 10 p
S C R
= =
360 400 2π
Serapio C. Calcina Cuevas 
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
LONGITUD DE ARCO
Longitud de arco:
ÁREA SOMBREADAS:
Área de un sector circular ( S )
Exterior Interior
Área de un trapecio circular ( S )
Desplazamiento de una rueda sobre
una superficie circular
Ruedas tangentes: 
Ruedas concéntricas: 
Ruedas unidas por un eje: 
Ruedas unidas por una cuerda:
L=q.R
L
Rq
R
A
B
r
A BL L=
A BL L=
R r=q q
( )2 2
2 1
2 2
2 1
2 1
R r
S
2
L L
S .d
2
L L
S
2
L L
d
q -
=
æ ö+ ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
-
=
q
-
q =
2
2
r
S
2
L r
S
2
L
S
2
q
=
=
=
q
(R r)
n
2 r
q +
=
p
(R r)
n
2 r
q -
=
p
R r=q q R rn n=
R
A
B
r
RA
B
r
rq Rq
Rq
r
r
r
r
DONDE: n es el número de vueltas
q S L
r
r
S
q
r
d
2
1
R
L
L
Propiedad Importante
Las áreas son proporcionales a los
números impares consecutivos. 
S
3S
5S
7S
9S
A
B
Mákina
02Serapio C. Calcina Cuevas Makina ...
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Mákina
1
45º
45º
2
1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL
ÁNGULO AGUDO
A C
B
b
c
a
a
b 1
30º
60º
2
3
3
37º
53º
4
5
2 2 2
= a + b
Por el Teorema de
Pitagoras
c
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Secante 
Cosecante
C.O.
sen =
H
a
Nomenclatura Definición
C.A.
cos =
H
a
C.O.
tan =
C.A.
a
C.A.
cot =
C.O.
a
H
sec =
C.A.
a
H
csc =
C.O.
a
Nombre
sen
cos
tan
cot
sec
csc
DEFINICIÓN: Dato un triángulo rectángulo se
establece las siguientes relaciones. Respecto al 
ángulo a.
c: Hipotenusa
a: Cateto Opuesto
b: cateto adyacente
seno coseno
tangente cotangente
secante cosecante
RT CO - RT
Si: a y b son ángulos complementarios
se cumple: RT(a) = CO - RT (b)
 a + b = 90°
* sen10º = cos80º * sec5x = csc4x
 Þ x=10º
seno cosecante
coseno secante
tangente cotangente
RT RT RECÍPROCAS
senacsca = 1
cosaseca = 
tanacota = 
*sen10ºcsc10º=1 
cos5x sec50 = 1
1
1
* 
Þx=10º Þ x=20º
*tan4x cot80 = 1 20º
70º
4
11
137
5 2
8º
82º
1
7
16º
74º
25
24
7
36º
54º
4
5 +1
10 - 2 5
5 - 1
18º
72º
4
10 + 2 5
35º
55º
7
10
149
40º
50º
5
6
61
23º
67º
12
5
13
14º
76º
1
4
17
LOS TRIÁNGULAS NOTABLES MAS 
CONOCIDOS SON 
6 - 2
6 2+
15
75
4
o
o
10
37 /2
1
3
o
5
53 /2
1k
2k
o
21°
69°
117K
125K
44K
5K
3K
K34
31°
59°
32°
58°
527K
625K
336K
3116K
237K
 5°
85°
3125K
Mákina
03
k
Serapio C. Calcina Cuevas 
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Mákina
MÉTODO PRACTICO PARA ENCONTRAR
EL ÁNGULO MITAD DE UN ÁNGULO.
Formamos un triangulo isósceles y así podemos
encontrar el ángulo mitad de cualquier ángulo
A
a
b
b
c
A/2
A/2
B
C
A a
tan =
2 b + c
Þ
q
M
Mcotq
Mc
scq
q
Msenq
Mcosq
M
IMPORTANTE: Sí conocemos la 
Hipotenusa entonces los catetos son:
q
M 
MtanqMs
ec
q
Ahora si conoces 
el C.A.
RAZONES TRIGONOMÉTRICOS DE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS 
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
ÁNGULOS CUADRANTALES
ÁNGULOS COTERMINALES:
Dos ángulos son coterminales si la diferencia es
 igual a un número entero de vueltas.
q-a=360°n ó q-a=2pn.rad ; donde n e Z
SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
 EN CADA CUADRANTE
Ahora si conoces 
el C.O.
Sí dos ángulos son complementarios 
entonces se cumple que:
tan(2x)=cot70° ; x=10°
sen40°=cos50° ; tan20°=cot70°
sec15°=csc75° ; cos30°=sen60°
tan10°=cot80° ; tan10°.tan80°=1
tan40°=cot50° ; tan40°.tan50°=1
RAZÓN TRIGO. CORAZÓN TRIGO.
sen A cosB; A + B = 90°
cos x sen y ; x + y = 90°
tanM cot S ; M + S = 90°
cot w tan y ; w + y = 90°
sec csc ; + = 90°
csc sec ; + = 90°
= Þ
= Þ
= Þ
= Þ
= Þ
= Þ
q f q f
a b a b
q a
q a
q a
sen = sen
tan = tan
sec = sec
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
x
x
y y
m
mr
q
qa
ra
ra =180°-q ra =360°-q
0°
0°
90°
90°
180°
180°
I CII C
III C IV C
270°
270°
360°
360°
sen
csc
ü
ý
þ
Positivas
tan
cot
ü
ý
þ
Positivas
cos
sec
ü
ý
þ
Positivas
todos
son
ü
ý
þ
Positivas
Estos ángulos
son
sen(2x+20°)=cos(x+10°) ; 3x+30°=90° ;
 x= 20° Rpta
Mákina
04
q
a
Siendo q y a ángulos
coterminales y en posi-
ción Normal, Entonces
se cumple que:
Serapio C. Calcina Cuevas 
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Mákina
Mákina
ÁNGULOS VERTICALES
Dada su importancia básica y su 
relativa frecuencia en la vida diaria
conceptualmente son tácitos.
ÁNGULO DE
ELEVACIÓN ( )a
ÁNGULO DE
DEPRESIÓN ( )b
Estos son sus elementos
de los ángulos verticales
que se encuentran en el
mismo plano vertical
Ángulo de
observación = a+b
APLICACIÓN
RUMBOS:
NNE
NE
ENE
ESE
SE
SSE
S
SSO
SO
OSO
EO
ONO
NO
NNO
N
NAÚ TA IS CO AR
05
O
B
S
E
R
V
A
D
O
R
a
b
LINEA
HORIZONTAL
Objeto
observado
Objeto
observado
Li
ne
a 
Vi
su
al
Linea Visual
Makina
Los PUNTOS
CARDINALES
son:
* Norte (N)
* Sur (S)
* Este (E)
* Oeste (O)
RUMBOS PRINCIPALES
Nor - este (NE)
Sur - este (SE)
Sur - oeste (SO)
Nor - oeste (NO)
N
O
S
E
LA ROSA NÁUTICA :
es aquel instrumento que considera a ángulo
 trigonométrico de una vuelta dividida en 32 
 partes iguales. Siendo cada ángulo 11.25°
D : N 30° E
D : S 40° E
D : N 80° 0
1
2
3
30°
3D
1D
2D
80°
N
O
S
E
40°
m m
q q
mcosq
2mcosq
msenq
mcosq
IMPORTANTE
Serapio C. Calcina Cuevas 
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Mákina
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
1er CASO: Para ángulos menores de 360º
RT 180º
360º
q RT(q)
RT
90º
270º
q CO-RT(q)
- 
“ q ” S e a s u m e q u e e s a g u d o
- Indica el signo de la reducción y depende del
ángulo y la razón trigonométrica a reducir.
NOTA: Cuando el ángulo esta sobre el eje “x” su 
equivalente es la misma Razón Trigonométrica
NOTA: Cuando el ángulo esta sobre el eje “y” su 
equivalente es su Co-Razón Trigonométrico
2do CASO: Para ángulos negativos
sen(-q) = - senq
cos(-q) = cosq
tan(-q) = - tanq
cot(-q) = - cotq
sec(-q) = secq
csc(-q) = - cscq
si: a+b = 180º
si: a+b = 90º
(ángulos suplementarios)
 (Complementarios)
sen = sena b
cos = - cosa b
tan = - tana b
cot = - cota b
sec = - seca bcsc = csca b
sen = cosa b
cos = sena b
tan = cota b
cot = tana b
sec = csca b
 csc = seca b
IIIC IIC
IIIC IVC
Ejemplos :
sen 3 sen ; cos 7 cos
tan 5 tan ; csc 8 csc
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷p + q = - q p - q = - q
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
æ ö æ ö
ç ÷p + q = q p - q = - qç ÷ç ÷ç ÷ è øè ø
123 123
123 123
Ejemplos :
sen120 sen60
cos150 cos 30
tan135 tan45
csc140 csc 40
sec110 sec70
° = °
° = - °
° =- °
° = °
° = - °
Ejemplos :
sen60 cos 30
cos 20 sen70
tan35 co t 55
csc 50 sec 40
sec10 c sc 80
° = °
° = °
° = °
° = °
° = °
{
II CIVC
III C
IVC
Ejemplos :
3
sen cos ; cos sen
2 2
7
tan 270 cot ; csc sec
2
æ öæ ö
ç ÷ç ÷p p
+ q = - q + q = - qç ÷ç ÷
ç ÷ç ÷
è ø è ø
æ ö
æ ö ç ÷p
ç ÷° - q = q + q = - qç ÷ç ÷ ç ÷è ø
è ø
123
14243
123
y=sen
x=cos
 PAR IMPAR - q
- q+ q
+ q- q
+ q
IIC IC
IIIC IVC
- q
+ q
( )4n 1
2
p
+
( )4n 1
2
p
-
2np(2n 1)+ p
ÁNGULOS CUADRANTALES
EN FORMA GENERAL
Mákina
Máquina
06Serapio C. Calcina Cuevas 
( )
" x " n
n
" y " 2n 1 y " x " " y "
2 2
= p
p p
= + Ù =
En forma general los ejes son:
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Mákina
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Puntos Notables en la Circunferencia 
Trigonométrica
a P
R
E
U
r
M(x;y)
C.T.
x
y
C.T.
x=cos
x
y=sen
y
C.T.
C.T.
x
x
y
y
P(1;0) Origen de Arcos
R(0;1) Origen del Complemento
E(-1;0) Origen del Suplemento 
U(0;-1) No tiene un nombre especial 
2 2x y 1+ =
Su Ecuación
Mákina
VARIACIÓN DE LA LINEA SENO
VARIACIÓN DE LA LINEA COSENO
07
1
0
-1
sena
0
1-1
cosa
1 sen 1"a Î Þ - £ a £¡
1 cos 1"a Î Þ - £ a £¡
UN RADIAN ES EQUIVALENTE A: 1rad=57°17 45
sen1
sen2
sen5
sen4
sen6
sen3
cos3 cos4
cos2
cos5
cos1
cos6
1
2
3
4
5
6
sen2 sen1 sen3 sen6 sen4 sen5
cos6 cos1 cos5 cos 2 cos 4 cos 3
ñ ñ ñ ñ ñ
ñ ñ ñ ñ ñ
tan1 tan4 tan3 tan6 tan 2 tan5
cot 4 cot1 cot 5 cot 2 cot 6 cot 3
ñ ñ ñ ñ ñ
ñ ñ ñ ñ ñ
Ordenando de mayor a menor
Recta tangente
Recta cotangente
2
1
tan1
tan3
tan4
tan2
cot1 cot4cot2 cot5
RECTA TANGENTE Y COTANGENTE
3
L:cotx
L:tanx
-1 1
Serapio C. Calcina Cuevas 
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Mákina
Mákina
RECTA SECANTE Y COSECANTE
x
y
sec1sec6sec2 sec3
sec4
csc1
csc2
csc3
csc6
csc5
csc4
sec5
csc 3 csc1 csc 2 csc 5 csc 4 csc 6
sec 5 sec1 sec 6 sec 3 sec 4 sec 2
ñ ñ ñ ñ ñ
ñ ñ ñ ñ ñ
Ordenando en forma decreciente se tiene:
LOS ÁNGULOS CUADRANTALES EN FORMA
GENERAL 
C.T.
x
y
π 5π 9π π
90 ; ; ; ; ... ; (4n +1)
2 2 2 2
°
π;3π;5π;...; (2n+1)π 2π;4π;6π; ...; (2n)π
3π 7π 11π π
; ; ; ... ; (4n - 1)
2 2 2 2
PARIMPAR
( )
El eje "x " en general El eje " y " en general
"x " n " y " 2n 1
2
n
El eje "x " y " y " ; es : "x " " y "
2
p
= p = +
p
Ù =
ÁREA DE POLÍGONOS
Área =
1
2
A - B
P
2
(x
2
; y
2
)
P
3
(x
3
; y
3
)
P
4
(x
4
; y
4
)
P
5
(x
5
; y
5
)
P
1
(x
1
; y
1
)
x
1
y
1
x
2
y
2
x
3
y
3
x
4
y
4
x
5
y
5
x
n
y
n
x
1
y
1
x
1
y
2
x
2
y
3
x
3
y
4
xn
A
x4y5
x
2
y
1
x
3
y
2
x
4
y
3
x
1
y
n
B
x5y4
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
y
1
Para encontrar el área usamos la siguiente formula
Para encontrar los valores de A y B, Usamos la 
determinante.
( )
( ) ( )
n
OBSERVACIÓN (1): En el eje "X "
La función COSENO Es :
cos 2n 1 cos(2n 1) 1
cos(n ) 1
La función SENO Es :
sen2n 0 sen(2n 1) 0
sen(n ) 0
OBSERVACIÓN (1): En el eje " Y "
La función SENO Es :
sen 4n 1 1 sen 4n 1 1
2 2
La función COSENO E
p = + p =-
p = -
p= + p=
p =
p p
+ = - =-
( ) ( )
s :
cos 4n 1 0 cos 4n 1 0
2 2
p p
+ = - =
08Serapio C. Calcina Cuevas 
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Mákina
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICOS
IDENTIDADES PITAGÓRICOS
IDENTIDADES POR COCIENTE
IDENTIDADES RECIPROCAS
2 2
sen x +cos x = 1; x
π2 2
1+ tan x = sec x ; x - (2n+1)
2
2 2
1+cot x = csc x ; x - nπ
2 2
TAMBIEN : cos x = 1 - sen x
cosx senx +1
=
senx - 1 cosx
" Î
" Î
" Î
Þ
¡
¡
¡
senx π
tanx = ; x - (2n+1)
cosx 2
cosx
cotx = ; x - nπ
senx
" Î
" Î
¡
¡
senx.cscx = 1; x - nπ
π
.cosx secx = 1; x - (2n+1)
2
nπ
tanx.cotx = 1; x -
2
" Î
" Î
" Î
¡
¡
¡
IDENTIDADES AUXILIARES
4 4 2 2
sen x +cos x = 1- 2sen x.cos x
3+cos4x4 4
sen x +cos x = 
4
6 6 2 2
sen x +cos x = 1- 3sen x.cos x
5+ 3cos4x6 6
sen x +cos x =
8
8 8 2 2 4 4
sen x +cos x = 1 - 4sen xcos x + 2sen xcos x
2 2 2 2
sec +csc x .csc xx = sec x
.+cotx cscxtanx = secx
2
(1+ senx.cosx) = 2(1+ senx)(1+cosx)
4 4 2 2
Sec x + Tan x = 1+ 2Sec xTan x
4 4 2 2
Csc x +Cot x = 1+ 2Csc xCot x
tgx +ctgx = secx.cscx
2 2 2 2
Sec x +Csc x = Sec x.Csc x
ÁNGULOS COMPUESTOS
IMPORTANTE
Exsec = sec - 1a a
C.T.
1
a
a
sena
Cova=1-sena
cosa
Versa=1-cosa
x
y
sen(x ± y) = senx.cosy ±cosx.seny
seco cosido
cos(x ± y) = cosx.cosy senx.seny
coscos sensen
tanx + tany
tan(x + y) =
1 - tanx.tany
tanx - tany
-tan(x y) =
1+ tanx.tany
m
2 2
sen(x + y).sen(x - y) = sen x - sen y
2 2
cos(x + y).cos(x - y) = cos x - sen y
sen(x y)
tanx tany =
cosx.cosy
sen(y x)
cotx coty =
senx.seny
tan(x + y) = tanx + tany + tanx.tany.tan(x + y)
tan(x - y) = tanx - tany - tanx.tany.tan(x - y)
±
±
±
±
sen( ) tan tan cos( ) 1 tan tan
;
sen( ) tan tan cos( ) 1 tan tan
2 2asen ± bcos = a + b sen( ± )
b
para encontrar el valor de se hace; tg =
a
2 2acos ± bsen = a + b cos( )
para encontrar el valor de se 
a + q a + q a + q - a q
= =
a - q a - q a - q + a q
q q q a
a a
q q q a
a
m
b
hace; tg =
a
a
2 2
minimo valor = - a + b
2 2
maxmimo valor = a + b
Mákina
09Serapio C. Calcina Cuevas 
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Mákina
Sigue tus ciegas pasiones... la makina
Mákina
a 2a
1
O B x
cos
a
sena
a
a
FA
D E
2 2
2
2
2
4 4
cos2x = cos x - sen x
cos2x = 2cos x - 1
cos2x =1- 2sen x
1- tan x
cos2x =
21+ tan x
cos2x = cos x - sen x
2
sen2 2sen cos
2 tan
sen2
1 tan
a = a a
a
a =
+ a
sen(x y) senx cos y cos ysenx
x y ;Tenemos sen2 2sen cos
+ = +
= =a a = a a
2 2
2 2
4 4
DE FB; y DE FO OB
Entonces Tenemos :
cos sen cos 2
cos 2 cos sen
cos 2 cos sen
= = +
a = a + a
a = a- a
a = a- a
IDENTIDADES DE ARCOS DOBLES
SENO DEL ARCO DOBLE
TANGENTE DEL ARCO DOBLE
IDENTIDADES PARA DEGRADAR
a) Recordar que:
a) Recordar que:
b) Deducción gráfica:
b) Deducción gráfica:
2 2
cos(x+y)= cosx.cosy - senx.seny
si : x = y = , tenemos : cos2 = cos sena a a - a
DEL GRÁFICA OBSERVAMOS QUE:
2 2
4
4
2sen x =1- cos2x ; 2cos x =1+cos2x
8sen x = 3 - 4cos2x+cos4x
8cos x = 3+4cos2x+cos4x
2
2tan
tan2 =
1- tan
a
a
a
2a
2tana
2
1 - tan a
2
1 
+
 ta
n
a
COSENO DEL ARCO DOBLE
DEL GRÁFICO: BC=
a) Recordar que:
a
a
2a
2a
1
1 O B
C
y
x
2 2x + y = 1
2co
sa
A
2cos sena a tanx+tanytan(x+y)= .
1- tanx.tany
si : x = y = , tenemos :a
2
2tan
tan2 =
1- tan
a
a
a
a
2a
C
y
Sí: OEBC es un cuadrilátero inscriptible:
El triángulo EBC es isósceles.
a
O E x
cos
a
B
A
a
a
a a
D
tana
2 2
2
EC 2ED y ED AB tan
EC 2tan ;Del trianguloEAB :
EA tan ; OE 1 tan
EC 2tan
tan 2 ; tan 2
OE 1 tan
= = = a
Þ = a
= a \ = - a
a
Þ a = \ a =
- a
Exsec2x = tan2x.tanx
tan2x
1+ sec2x =
tanx
2csc2x = cotx + tanx
2cot2x = cotx - tanx
Tan2x
1+ Sec2x =
Tanx
2Csc2x = Cotx + Tanx
2Cot2x = Cotx - Tanx
sen2 2sen cosa = a a b) Deducción gráfica:
OEBC: 
Cuadrilátero
Inscriptible C
y
2
2
x + 
y =
 1
10Serapio C. Calcina Cuevas 
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Mákina
IDENTIDADES AUXILIARES
1+ sen2x = senx +cosx
1 - sen2x = senx - cosx
cotx + tanx = 2csc2x
cotx - tanx = 2cot2x
tan2x
1+ sec2x =
tanx
IDENTIDADES DE ARCO MITAD
x 1 - cosx
sen =±
2 2
x 1+cosx
cos =±
2 2
x 1 - cosx
tan =±
2 1+cosx
1 - cosx senx
=
Tg = senx 1+cosx
2
 cscx - cotx
1+cosx senx
=
Ctg = senx 1 - cosx
2
Cscx +Ctgx
x
2 cos = 2+ 2cosx ;
2
x
2 sen = 2 - 2cosx
2
x x
sen ±cos =± 1± senx
2 2
x
x
ì
ï
í
ïî
ì
ï
í
ïî
FORMULAS RACIONALIZADAS
NOTA: El signo menos depende del cuadrante a
donde pertenece. x/2
cos21 - 2sen
1 - cos2 1 - cos22
sen sen
2 2
Si 2
2
2
;
:
b = b
b b
b = b = ±
a
b = a Þ b =
DEMOSTRACIÓN:
Recordar que:
1 - cos
sen =±
2 2
aa
Luego tenemos que:
PROPIEDADES ADICIONALES
[ ]Si 0 ; ; se cumplen las siguientes formulas
2sen = 2 - 2+ 2+...+ 2+ 2cosn
2
n radicales
2cos = 2+ 2+ 2+...+ 2+ 2cosn
2
n radicales
n
2sen = 2 - 2+ 2+...+ 2+ 2cos2
n radicales
2cos = 2+
q Î p
q
q
q
q
q q
q
1444442444443
1444442444443
144444424444443
n n
csc csc 2 csc 4 csc 8 ... csc 2 cot cot 2
2
"n 1" Férminos
n
2+ 2+...+ 2+ 2cos2
n radicales
q
q + q + q + q + + q = - q
+
q
144444424444443
14444444244444443
ÁNGULOS TRIPLES
3
3senx - 4sen x
sen3x = 4senx.sen(60° + x).sen(60° - x)
senx.(2cos2x + 1)
 es muy usado en los ejercicos 
3
4cos x - 3cosx
cos3x = 4cosx.cos(60° + x)cos(60° - x)
cosx.(2cos2x -1)
es muy usada en los ejerc
ì
ï
ïï
í
ï
ï
ïî
1442443
icios tipos 
3
3tanx - tan x
 
2
1 - 3tan x
tan3x =
 tanx.tan.(60° - x).tan(60°+x)
ojo es usado en ejercicios tipos
3
3Cotx - Cot x
 
2Cot3x = 1 - 3Cot x
 Cotx.Cot(60° - x).Cot(60° + x
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
14243
144424443
)
ì
ï
í
ï
î
sen3x
= 2cos2x +1
senx
cos3x
= 2cos2x - 1
cosx
;
Mákina
11Serapio C. Calcina Cuevas 
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Mákina
IDENTIDADES ADICIONALES
PROPIEDADES IMPORTANTES: Sí en un triángulo
x+y+z=180° , Entonces se cumple que:
2 2 2
2 2 2
Sí: X Y  Z 90º  Se cumple :  
 Tan xTan y Tan yTanz TanxTanz 1  
  
Cotx Coty Cotz Cotx Coty Cotz 
   
Sen x Sen y Sen z 1 – 2SenxSenySenz
Cos x Cos y Cos z 2(1 SenxSenySenz) 
+ + = Þ
+ + =
+ + =
+ + =
+ + = +
Tan x Tan y Tanz TanxTanyTan z
CotxCoty CotyCotz CotxCot z 1
2 2 2
Sen x Sen y – Sen z 2SenxSenySen z
2 2 2
Cos x Cos y Cos z 1 – 2CosxCosyCos z
x y z
cosx +cosy +cosz = 4sen .sen .sen +1
2 2 2
sen2x + sen2y+ sen2z = 4senx.seny.sen
+ + =
+ + =
+ =
+ + =
z
cos2x +cos2y +cos2z = -4cosx.coxy.cosz - 1
m s
x s
m s
+
=
-
AHORA SI :
Obervación:
( )( )( )( )
( )
n+1
Sen 2n
Cos Cos2 Cos4 ... Cos2 =
n+1
2 Sen
"n 1" Factores
n
Sen 2n-1
Cos Cos2 Cos4 ... Cos2 = n
2 Sen
"n" Factores
sec 1 sec 2 1 sec 4 1 sec 8 1 ...
n
tan 2n
... sec 2 1
tan
q
q q q q
q
+
q
q q q q
q
q + q + q + q +
q
q + =
1444442444443
1444442444443
2
q
IDENTIDADES DE ADICIONALES
a
a
m
s
x
PROPIEDADES
4 4
6 6 8 8
10 10 12 12
2 3 7
sen .sen .sen
7 7 7 8
2 3 1
cos .cos .cos
7 7 7 8
2 3
tan . tan . tan 7
7 7 7
EXPRESIONES PRINCIPALES
1 1 1
sen cos ; sen cos 1
2 2 2
1 1
sen cos 1 ; sen cos 1
4 8
1 1
sen cos 1; sen cos 1
16 32
FormaGene
p p p
=
p p p
=
p p p
=
- £ a a £ £ a+ a £
£ a+ a £ £ a+ a £
£ a+ a £ £ a+ a £
2n 2n
n 1
ral Sí :n
1
sen cos 1
2
+
-
Î
£ a + a £
¢
2π 4π 6π 2nπ 1
cos + cos + cos +...+ cos = -
2n +1 2n +1 2n +1 2n +1 2
π 3π 5π (2n - 1)π
cos + cos + cos +...+ cos
2n +1 2n +1 2n +1
sen + sen2 + sen3 +...+ senk (k +1)
= tan
cos +cos2 +cos3 +...+cosk 2
2π 4π 6π 1
cos +cos +cos = -
7 7 7 2
π 3π 5π 1
cos +cos +cos =
7 7 7 2
a a a a a
a a a a
1
=
2n +1 2
2π 4π 2π 6π 4π 6π 1
cos cos +cos cos +cos cos = -
7 7 7 7 7 7 2
π 3π π 5π 3π 5π 1
cos cos +cos cos +cos cos = -
7 7 7 7 7 7 2
2π 4π 6π 1
cos cos cos =
7 7 7 8
π 2π 3π 1
cos cos cos =
7 7 7 8
RELACIONES COMPLEMENTARIAS
Mákina
12Serapio C. Calcina Cuevas 
M
ÁQ
UI
NA
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
TRIGONOMETRÍA
Formulario
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si A B se cumple
A B A B
1 sen A sen B 2 sen( )cos( )
2 2
A B A B
2 sen x sen y 2 cos ( ) sen( )
2 2
A B A B
3 cos A cos B 2 cos( )cos( )
2 2
A B A B
4 cos A cos B 2 sen( ) sen( )
2 2
> Þ
+ -
+ =
+ -
- =
+ -
+ =
+ -
- = -
1ER CASO: 
De suma ó diferencia de senos o cosenos a producto.
2 2 2
2 2 2
3
sen (x 120 ) sen x sen (x 120 )
2
3
cos (x 120 ) cos x cos (x 120 )
2
- ° + + + ° =
- ° + + + ° =
4 4 4
4 4 4
9
sen (x 120 ) sen x sen (x 120 )
8
9
cos (x 120 ) cos x cos (x 120 )
8
- ° + + + ° =
- ° + + + ° =
SUMA DE SENOS Y COSENOS
EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
A B C
sen A sen B sen C 4 sen sen sen
2 2 2
A B C
cos A cos B cos C 1 4 cos cos cos
2 2 2
+ + =
+ + + = -
sen(x 120 ) sen x sen(x 120 ) 0
cos(x 120 ) cos x cos(x 120 ) 0
- ° + + + ° =
- ° + + + ° =
n
k 1
n
k 1
n
2
K 1
n
2
K 1
n
n
k 1
n
n
k 1
n
k 1
1
cos(2k 1)
n 2
1
cos(2k)
n 2
n sen(nx)
sen (Kx) cos(n 1)x
2 2senx
n sen(nx)
cos (Kx) cos(n 1)x
2 2senx
k 2n 1
sen( )
2n 1 2
k 1
cos( )
2n 1 2
k
tan( ) 2n 1
2n 1
=
=
=
=
=
=
=
p
- =
p
= -
= - × +
= - × +
p +
=
+
p
=
+
p
= +
+
å
å
å
å
Õ
Õ
Õ
si A B se cumple
1 2 sen A.cos B sen(A B) sen(A B)
2 2 cos A.cos B cos(A B) cos(A B)
3 2 sen A. sen B cos(A B) cos(A B)
4 2 cos A. sen B sen(A B) sen(A B)
> Þ
= + + -
= + + -
= - - +
= + - -
2DO CASO: 
De producto de senos o cosenos a suma o diferencia.
PROPIEDADES:
A B C
sen A sen B sen C 4 cos cos cos
2 2 2
A B C
cos A cos B cos C 4 sen sen sen
2 2 2
+ + =
+ + =
Si A B C 180 , se cumple+ + = °
Si A B C 360 , se cumple+ + = °
Mákina
sen p sen(p r) sen(p 2r) ... sen u
nr
sen
p u2 sen( )
r 2sen
2
cos p cos(p r) cos(p 2r) ... cos u
nr
sen
p u2 cos ( )
r 2sen
2
+ + + + + +
+
=
+ + + + + +
+
=donde :
p : primer ángulo
n : número de tér min os
r : razón de la progresión
u : último ángulo
+"n ΢ , n ³ 1, se cumple:
13Serapio C. Calcina Cuevas 
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Mákina
Mákina
T
O Q L
P
R
A
B
S
C.T.A B
2
-
PQ senA
RS senB
A B
OT cos ..................(I)
2
A B
TL OTsen B ........(II)
2
PQ RS
TL .......................(III)
2
(I) y (II) en (III)
A B A B
senA senB 2sen cos
2 2
=
=
-æ ö
= ç ÷
è ø
-æ ö
= +ç ÷
è ø
+
=
+ -æ ö æ ö
+ = ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Demostración
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
ESTUDIO DE LAS F.T.
GRÁFICA DE FUNCIONES EXACTAS
Función SENO:
Función: y = senx xÎá-2p;2pñ
Dominio:¡
Rango:[-1;1]
Periodo:2p
Continuidad:Continuo
Intervalo de crecimiento:CDDC
Paridad:Impar
1
0.5
-0.5
-1
p/2-p/2 p-p 3p/2-3p/2 2p-2p
1
-1
p/2-p/2 p-p 3p/2-3p/2 2p-2p
Función COSENO:
Función: y = cosx xÎá-2p;2pñ
Dominio:¡
Rango:[-1;1]
Periodo:2p
Continuidad:Continuo
Intervalo de crecimiento: DDCC
Paridad:Par
Función TANGENTE:
Función: y = tanx xÎá-2p;2pñ
p/2-p/2 p-p 3p/2-3p/2 2p-2p
Dominio: 
Rango:á-¥ ;+¥ñ
Periodo: p
Continuidad:Discontinuo
Intervalo de crecimiento:CCCC
Paridad:Impar
(2n 1) ; n
2
p
- + Ρ ¢
14Serapio C. Calcina Cuevas 
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Mákina
Mákina
p/2-p/2 p-p 3p/2-3p/2 2p-2p
Función COTANGENTE:
Función: y = cotx x
Dominio: 
Rango:á-¥ ;+¥ñ
Periodo: p
Continuidad: Discontinuo
Intervalo de crecimiento: DDDD
Paridad: Impar
Función SECANTE:
Función: y = secx xÎá-2p ; 2pñ
Dominio:
Rango:[-1;1]
Periodo: 2p
Continuidad:Discontinuo
Intervalo de crecimiento:CCDD
Paridad:Par
( )2n 1 ,n
2
p
- + Ρ ¢
(n ); n- p Ρ ¢
p/2-p/2 p-p 3p/2-3p/2 2p-2p
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
p/2-p/2 p-p 3p/2-3p/2 2p-2p
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Función COSECANTE:
Función: y = cscx xÎá-2p ; 2pñ
Dominio:¡ - (np); n΢
Rango:[-1;1]
Periodo: 2p
Continuidad:Discontinuo
Intervalo de crecimiento:DCCD
Paridad:Impar
FUNCIONES AUXILIARES
Función VERSO:
Función: y = vers(x) xÎá-2p ; 2pñ
Definición: verx = 1 - cosx
p/2-p/2 p-p 3p/2-3p/2 2p-2p
1
2
Función COVERSO:
Función: y = cov(x) xÎá-2p ; 2pñ
Definición: cov = 1 - senx
p/2-p/2 p-p 3p/2-3p/2 2p-2p
1
2
15Serapio C. Calcina Cuevas 
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Mákina
Mákina
Función EXSECANTE:
Función: y = exsec(x) xÎá-2p ; 2pñ
Definición: ex secx = secx - 1
p/2-p/2 p-p 3p/2-3p/2 2p-2p
1
2
3
-1
-2
-3
DETERMINACIÓN DEL PERIODO PRINCIPAL
Sabemos que la funciones trigonométricas son 
periódicas(sen, cos, sec, csc: 2p; tg , ctg:p ). Sin
 embargo este periodo es susceptible de ser 
modificado. 
Dónde:
A: indica estiramiento o encogimiento vertical. 
Más conocida como la amplitud
B: indica “estiramiento” o “encogimiento” 
horizontal de la gráfica básica.
C: indica desplazamientohorizontal de la gráfica básica.
D: indica desplazamiento vertical de la gráfica básica.
T: es el periodo de la función, el cual solo va
 depender de “n” y “B” mediante el siguiente criterio.
f(x)=A(F.T.) (BX+C)+D
n
sen ; cos
csc ; sec
n
F.T. Par
Impar
T
B
p
=
T
B
p
=
2
T
B
p
=
tan ; cot
Makina
MÉTODO PARA CALCULAR EL PERIODO
DE UNA FUNCIÓN 
FUNCIONES DE TIPO
2 2
f(x) = asenx ± bcosx = a + b ,
El Rango de la funcion es;
2 2 2 2
- a + b f(x) + a + b maxmin
£ £
REGLA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE 
GRÁFICAS DE FUNCIONES
DESPLAZAMIENTO VERTICAL
DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL
DESPLAZAMIENTO VERTICAL Y HORIZONTAL
f(x) AsenBx D= +
f(x) Asen(Bx C)= +
f(x) Asen(Bx)=
f(x) Asen(Bx)=
0
y
 x
 x
Makina
y
 xQ P
f(x) Asen(Bx C) D= + +
0
y
 x
Makina
16Serapio C. Calcina Cuevas 
( )
( )
1 2 3
m ínimo
f(x) f (x) f (x) f (x) ...
MCM Numerador
T
MCD Deno min ador
= ± ± ±
=
Importante: sí la función es de tipo:
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Makina
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS
A C
B
O
R
a
b
c
LEY DE SENOS: Para el triángulo
 ABC, se cumple:
LEY DE COSENOS: Para un triángulo ABC, se 
 cumple:
LEY DE TANGENTES
a b c
= = = 2R
senA senB senC
a = 2RsenA b = 2RsenB
c = 2RsenC R = Circunradio
2 2
b + c - 2bc CosA
2 2
a + c - 2ac CosB
2 2
a + b - 2ab CosC
2 2 2
a = b +c - 2bc CosA
2 2 2
b = a +c - 2ac CosB
2 2 2
c = a + b - 2abCosC
;c =
; b =
; c =
A+B B+C
tan tan
a+b b+c2 2
= =
A - B B - Ca - b b - c
tan tan
2 2
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
A B C
p = 4Rcos cos cos
2 2 2
A B C
r = 4Rsen sen sen
2 2 2
(semiperimetro)
a + b+c
Donde : p =
2
ab
S = senB ; S = p(p-a)(p-b)(p-c)
2
m.n
S = sen
2
q
a = bcosC+c cosB b = acosC+c cosA
c = acosB+bcosA
A (p - b)(p - c)
sen =
2 bc
A p(p - a)
cos =
2 bc
A (p - b)(p - c)
tan =
2 p(p - a)
B (p - a)(p - c)
sen =
2 ac
B p(p - b)
cos =
2 ac
B (p - a)(p - c)
tan =
2 p(p - b)
a / 2
senA =
R
2RsenA = a
Para :b = 2RsenB
c = 2RsenC
Þ
Similarmente
,
DEMOSTRACION
En el triangulo BOM
2 2 2a +b +c cosA cosB cosC
= + +
2abc a b c
TEOREMA DE LAS PROYECCIONES
RAZONES TRIGONOMETRICAS
DE LOS SEMIANGULOS DE UN TRIANGULO
RELACIONES COMPLEMENTARIAS
ÁREA DEL TRIANGULO:
AC=m
BD=n
ÁREA DE UN CUADRILÁTEROS
q
A
B
C
D
S Makina 
Mákina
A
C
B
O
c
R
R
_a
2
_a
2
A
A
M
b
17
Para un triángulo se cumple:
:
A
B
C
a
c
b
c cosA a cosC
Sigue tus ciegas pasiones... Estudia CampeónSigue tus ciegas pasiones... Estudia Campeón
abc
S =
4R
El área del Triángulo se 
determina en función
de sus lados y su radio
Serapio C. Calcina Cuevas 
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Mákina
Mákina
18
PLANO CARTESIANO
IC
IVCIIIC
IIC .P(x; y)
1ra componente
(abscisa)
2da componente
(ordenada)
r
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS P Ù P1 2
1 2C.A.= x - x
( )2 2 2P = x ;y
( ) ( )2 21 2 2 1 2 1P P = x - x + y - y
2 1
2 1
y - y
tan = m =
x - x
q
( )1 1 1P = x ;y
1y
2y
1 2C.O.= y - y
1x 2
x
x
y
La distancia lo calculamos aplicando pitágoras
La pendiente es la tangente del ángulo formado
 entre la recta y el eje horizontal
q
q
d
ECUACIÓN INTERCEPTO CON EL EJE “y”
(0; b)
x
y
m = pendiente de recta
b: Ordenada de intercepto
y = mx + b:
ECUACIÓN PUNTO (P ) Y PENDIENTE (m)1
:y-y = m(x-x )
1 1
P(x ;y )
2 2
x
y
P(x;y)
P(x ;y )1 1
ECUACIONES DE LA RECTA
m =
y -y
2 1
x -x
2 1
Dy
Dx
=
ECUACIÓN
ECUACIÓN
ECUACIÓN SEGMENTARIA
(0; b)
(a; 0)
x
y
:
x
a
y
b
= 1
ECUACIÓN
ÁNGULO (q) ENTRE DOS RECTAS
1 Ù 2
2
1
y
x
q
q2q1
tan q =
m
2
 m
1
-
1 + m2 m1.
Ax + By + C = 0:
ECUACIÓN
GENERAL m =-
A
B
m1
2m
ECUACIÓN
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
1
3
y
x
2
m
1
m
1
m
m
3
3
m
2
 = -1.
m
2
m
3
 = -1.
2 3
m
1
m
2
= 
1 2
| d | =
|Ax + By + C |1 1
A
2
 + B
2
DISTANCIA(d) DE UN
PUNTO(P ) A UNA RECTA ( )1
P(x1 ; y1)
Ax
+ B
y +
C =
0
:
d
1
DISTANCIA (d) ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
Ax
+B
y +
C
=0
1
:
Ax
+B
y+
C
= 0
2
:
1
2d
d =
|C -C |
2 1
A
2
 + B
2
ECUACIÓN
ECUACIÓN
INTRODUCCIÓN A LA GEÓMETRIA
ANALÍTICA
Serapio C. Calcina Cuevas 
M
ÁQ
UI
NA
x = 
x
1
 + x
2
+ x
3
3
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Mákina
Mákina
19
.
x = 
x + r x1 2
1 + r
y = 
y + r y1 2
1 + r
Coordenadas del punto P(x; y)
que divide al segmento P 1P2
en una razón. (r = m )n
P(x; y)
P (x
1
; y
1
)
1
m
n
P (x
2
; y
2
)
2
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA
RAZÓN DADA
PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS
coordenadas del punto medio
M(x; y); (r = 1 y m = n) 
x = 
x + x1 2
2
y = 
y + y1 2
2
M(x; y)
P (x
1
; y
1
)
1
P (x
2
; y
2
)
2
y = 
y
1
 + y
2
+ y
3
3
Makina
C(x ;x )
3 3
A(x ;y )1 1
B(x ;y )
2 2
G(x;y)
COORDENADAS DEL BARICENTRO
G(x;y) DE UN TRIÁNGULO
r
r
Makina
P(x; y)
x
y
r
o
P(x; y)
P(x ;y )
C(h; k)
C(h; k)
x
y
2 2 2:(x-h) +(y-k) = r 2 2 2: x +y = r
circunferencia
Secciones
cónicas
CIRCUNFERENCIA
Es el lugar geométrico de todos los puntos de un 
plano que están a una misma distancia de otro 
punto fijo del mismo plano denominado centro.
ECUACIÓN GENERAL
2 2: x +y +Ax+By+C = 0
Ecuación
ordinaria
con centro
en: C(h; k)
 y radio (r)
Ecuación 
canónica
con centro 
O(0; 0) y
radio (r)
FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN
POR LA INTERSECCIÓN DE DOS CIRCUNF.
Si tenemos dos 
circunferencias:
2 2
1 1 1
2 2
2 2 2
x + y + A x +B y +C = 0
x + y + A x +B y +C = 0
ìï
í
ïî
( )
2 2
1 1 1
2 2
2 2 2
x + y + A x +B y +C
k x + y + A x +B y +C = 0 ;k
+
Ρ
0 0L : y - y = m(x - x ) ; y Sí conocemos
su pendiente "m" su ecuacion es :
L : y = mx + k
Luego la familia de circunferencias que pasan por la
intersección de estas dos circunferencias esta dado 
por:
Familia de 
circunferencias
x
x
x
y
y
y
sí k=-1; se obtiene una recta L llamada eje radical
L
L
1
1
2
RECTA TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA
0 0
Serapio C. Calcina Cuevas 
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Makina
Mákina
20
PARÁBOLA
p
p
Directriz
L
L
Eje Focal
A
B
CD
F
V p(x;y)
1
x
y
1
1
F : Foco(punto fijo)
V : Vértice(puntoMedio)
L : Eje focal ( a L )
CD :Cuerda focal
AB :LadoRecto( a L ); AB = 4p
VF p:Dis tancia focal
VF VL p; Parametro
ì
ï
ï
ï
ï ^
ï
ï
í
ï
^ï
ï
=ï
ï
= =ïî
2y = 4px
2y = -4px
2x = -4py
2: (x - h) = -4p(y - k)P2: (x - h) = 4p(y - k)P
2: (y - k) = 4p(x - h)P 2: (y - k) = -4p(x - h)P
2x = 4py
p 0ñ
p 0ñ
p 0ñ
p 0ñ
p 0á
p 0á
p 0á
p 0á
D
O
N
D
E
FORMAS DE LA PARÁBOLA
F(p;0)
yL
V(0;0)
P(x;y)
Parábola con vértice en el origen y Eje focal en
el eje “X” 
ECUACIÓN
ECUACIÓN
ECUACIÓN
ECUACIÓN
V0;0)V
P(x;y)
F(-p;0)
Ly
x
Parábola de Vertice en el Origen y eje focal en
el eje “Y”
F(0;p)
V(0;0)
P(x;y)
L
x
y
F(0;p)
V(0;0)
P(x;y)
L
x
Sí
Sí
La parábola se abre hacia
arriba.
La parábola se abre hacia
abajo.
FORMAS GENERALES DE LAS ECUACIONES
DE LA PARÁBOLA
F(h;k+p)
V(h;k)
P(x;y)
x
y
F(h;k+p)
F(h+p;k) F(h+p;k)
V(h;k)
V(h;k) V(h;k)
P(x;y)
x
y
y yL: x=h-p
L: x=h-p
x x
Serapio C. Calcina Cuevas 
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Mákina
Mákina
23
NÚMEROS COMPLEJOS
( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ + + = + + +
0 0h x
dy f(x h) f(x) f(x x) f(x)
lim lim
dx h x® ®
+ - + D -
= =
DV
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
n n-1
n n-1
2
d d
1) c = 0 2) cx = c
dx dx
d d du
3) cx = ncx 4) cu = c
dx dx dx
d dv du d du
5) uv = u + v 6) u = n u
dx dx dx dx dx
d dw dv du
7) uvw = uv + uw + vw
dx dx dx dx
d u v(du / dx) - u(dv / dx)
8) =
dx v v
dy dy du
9) = (Regla de la cadena)
dx du dx
æ ö
ç ÷
è ø
2 2
-1 -1
2 2
-1 -1
2
d du d du
1) senu = cosu 2) cosu = -senu
dx dx dx dx
d du d du
3) tanu = sec u 4) cotu = -csc u
dx dx dx dx
d du d du
5) secu = secu.tanu 6) cscu = -cscu.cotu
dx dx dx dx
d 1 du d -1 du
7) sen u = 8) cos u =
dx dx dx dx1 - u 1 - u
d 1 du d
9) tan u = 10) cot u =
dx dx dx1+ u 2
-1
2
-1
2
-1 du
dx1+ u
d 1 du
11) sec u =
dx dxxu - 1
d -1 du
12) csc u =
dx dxx u - 1
1a
a
u u u u
log ed du d du
1) log u = 2) lnu =
dx u dx dx u dx
d du d du
3) a = a lna 4) e = e
dx dx dx dx
( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ - + = - + -
( )( ) ( ) ( )a bi c di ac bd ad bc i+ + = - + +
x r cos y rsen= q Ù = q
x yi r(c os isen )+ = q + q
[ ][ ]
[ ]
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2
r (cos + isen ) r (cos + isen ) =
r r cos( + )+ isen( + )
q q q q
q q q q
[ ]1 1 1 1 1 2 1 2
2 2 2 2
r (cos +isen ) r
cos( )+isen( )
r (cos +isen ) r
q q
= q - q q - q
q q
( )
i i i i
i i i i
i ii i
e e e e
sen cos
2i 2
e e e e
tan cot i
e ei e e
q - q q - q
q - q q - q
q - qq - q
- +
q = q =
æ ö- +
q = q = ç ÷ç ÷-+ è ø
2 2 2 2
a + bi a + bi c - di ac + bd bc - ad
= = + i
c +di c +di c - di c +d c +d
æ ö
ç ÷
è ø
a
bi
Re(z)
Im(z)
z=(a;b)=a+bi
El conjunto de números de la forma a+bi,donde
 
£
1a ,b ,iÎ Î = -¡ ¡ ; se llama EL CONJUNTO DE
 LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICO DE LOS
NÚMEROS COMPLEJOS
OPERACIONES CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS
SUMA:
RESTA:
MULTIPLICACIÓN:
DIVISIÓN:
FORMA POLAR DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN FORMA POLAR
RELACIÓN ENTRE LAS FUNCIONES
 EXPONENCIALES Y LAS TRIGONOMÉTRICOS
(x ; y)
P
(r ; )
ì
í
qî
y
x
x
y
r
q
DERIVADAS
Sí y=f(x), la derivada de y o de f(x) con respecto a x
se define como:
Donde , La derivada también se designa por:h x= D
I I
.
y , df / dx , f (x) ó x
REGLAS GENERALES DE DIFERENCIACIÓN
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES 
TRIGONOMÉTRICAS
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES 
EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Serapio C. Calcina Cuevas 
M
ÁQ
UI
NA
TRIGONOMETRÍA
Formulario
Serapio C. Calcina Cuevas Mákina
Mákina
24
INTEGRALES
dy
Sí f(x), entonces y es la función cuya derivada es f(x)
dx
y se denomina anti - derivada de f(x) o integral indefinida
de f(x), lo cual se escribe f(x)dx.
=
ò
n+1
n
u u
u
u
1) adx = ax 2) af(x)dx = a f(x)dx
u 1
3) u du = 4) f(ax)dx = f(u)du
n+1 a
5) udv =uv - vdu 6) e du = e
a du
7) a du = 8) = lnu
lna u
ò ò ò
ò ò ò
ò ò ò
ò ò
REGLAS GENERALES DE INTEGRACIÓN
INTEGRALES DE LAS FUNCIONES 
TRIGONOMÉTRICAS
( )1
2 2
2 2
co coshudu = senhu
tanhudu = ln coshu 18) cothudu = ln senhu
u-sechudu = sen tanhu cschudu = ln tanh
2
sech udu = tanhu 22) csch udu = - cothu
tanh udu = u - tanhu 24) coth udu = u - cothu
15) senhudu = shu 16)
17)
19) 20)
21)
23)
2
ò ò
ò ò
ò ò
ò ò
ò ò
2
2
senh2u u
senh udu =
4 2
senh2u u
cosh udu =
4 2
5)
26)
-
+
ò
ò
( )
( )
( )
-1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
-1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
du u
30) = sen
2a - u
du
31) = ln u+ u +a
u +a
du
32) = ln u+ u - a
u - a
du 1 u
33) = sec
a au u - a
du 1 a + u +a
34) = - ln
a uu u +a
du 1 a + u - a
35) = - ln
a uu a - u
dx 1
36) = ln ax + b
ax + b a
xdx x
37) = -
ax + b a
æ ö
ç ÷
è ø
æ ö
ç ÷
ç ÷
è ø
æ ö
ç ÷
ç ÷
è ø
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò ( )
( )
( )
( )
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
-1
2 2
2 2
b
ln ax + b
a
dx 1 x
38) = ln
x ax + b b ax + b
dx 2 ax + b
39) =
aax + b
xdx 2(ax - 2b) ax + b
40) =
3aax + b
dx
41) =ln x + x - a
x - a
xdx
42) = x - a
x - a
x dx x x - a a
43) = + ln x + x - a
2 2x - a
dx x
44) = sen
aa - x
xdx
45) = - a
a - x
æ ö
ç ÷
è ø
æ ö
ç ÷
è ø
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
-1
2 2
2 2
2 2
n
n n nn n
n-1
n n
n n
m m-n m-n
n
r r -1 r
n n n n n n
- x
x dx x a - x a x
46) = - + sen
2 2 aa - x
dx 1 a + a - x
47) = - ln
a xx a - x
dx 1 a
48) = ln
na x +ax x +a
x dx 1
49) = ln x +a
nx +a
x dx x dx x dx
50) = - a
x +a x +a x +a
æ ö
ç ÷
è ø
æ ö
ç ÷
ç ÷
è ø
æ ö
ç ÷
è ø
ò
ò
ò
ò
ò ò ò
-1
2 2
2 2
2 2
du 1 u
27) = tan
u +a a 2
du 1 u - a
28) = ln
u - a 2a u+a
du 1 a + u
29) = ln
a - u 2a a - u
æ ö
ç ÷
è ø
æ ö
ç ÷
è ø
ò
ò
ò
2 2
2 2
2 2
lnsenu
u u
=ln tan + ln tan
2 4 2
-cotu - u
u sen2u
= -
2 4
1) senudu=-cosu 2) cosudu=senu
3) tanudu=-lncosu 4) cotudu=
5) secudu 6) cscudu=
7) sec udu= tanu 8) csc udu=-cotu
9) tan udu= tanu - u 10) cot udu=
11) sen udu 12) cos u
æ ö
ç ÷
è ø
ò ò
ò ò
ò ò
ò ò
ò ò
ò
u sen2u
+
2 4
=-cscu
du=
13) secutanudu=secu 14) cscucotudu
ò
ò ò
p
CUADER
NILLO
sistem
as ang
ulare
s
SERAPIO CALCINA CUEVAS
CUADER
NILLO
LONGI
TUD D
E ARCO
SERAPIO CALCINA CUEVASCUADER
NILLO
razone
s trigo
nométr
icas
SERAPIO CALCINA CUEVAS
CUADER
NILLO
circu
nfere
ncias
SERAPIO CALCINA CUEVAS
CUADER
NILLO
física
 i
SERAPIO CALCINA CUEVAS
CUADER
NILLO
física
 ii
SERAPIO CALCINA CUEVAS
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