ARCOS COMPUESTOS 2018

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IDENTIDADES 
TRIGONOMÉTRICAS DE 
ÁNGULOS COMPUESTOS 
Sede : COLONIAL
SENO DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
𝑺𝒆𝒏(𝜽 + 𝜶) = 𝑺𝒆𝒏𝜽𝑪𝒐𝒔𝜶+ 𝑪𝒐𝒔𝜽𝑺𝒆𝒏𝜶
𝑺𝒆𝒏(𝜽 − 𝜶) = 𝑺𝒆𝒏𝜽𝑪𝒐𝒔𝜶 − 𝑪𝒐𝒔𝜽𝑺𝒆𝒏𝜶
𝑺𝒆𝒏𝟏𝟓𝒐
= 𝑺𝒆𝒏𝟒𝟓𝒐 −
= 𝑺𝒆𝒏( )−45𝑜 30𝑜
Ejemplo:
𝑪𝒐𝒔𝟑𝟎𝒐 𝑪𝒐𝒔𝟒𝟓𝒐𝑺𝒆𝒏𝟑𝟎𝒐
𝟐
𝟐
−= 𝒙
𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝒙
𝟏
𝟐
=
𝟔
𝟒
𝟐
𝟒
−
𝑺𝒆𝒏𝟏𝟓𝒐∴ =
𝟔 − 𝟐
𝟒
15𝑜
75𝑜
𝟔 − 𝟐
𝟔 + 𝟐
𝟒
COSENO DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
Cos(𝜽 + 𝜶) = 𝑪𝒐𝒔𝜽𝑪𝒐𝒔𝜶 − 𝑺𝒆𝒏𝜽 𝑺𝒆𝒏𝜶
𝑪𝒐𝒔(𝜽 − 𝜶) = 𝑪𝒐𝒔𝜽𝑪𝒐𝒔𝜶+ 𝑺𝒆𝒏𝜽 𝑺𝒆𝒏𝜶
𝑪𝒐𝒔𝟏𝟔𝒐
= 𝑪𝒐𝒔𝟓𝟑𝒐 +
= 𝑪𝒐𝒔( )−𝟓𝟑𝒐 𝟑𝟕𝒐
Ejemplo:
𝑪𝒐𝒔𝟑𝟕𝒐 𝑺𝒆𝒏𝟓𝟑𝒐𝑺𝒆𝒏𝟑𝟕𝒐
𝟑
𝟓
+= 𝒙
𝟒
𝟓
𝟒
𝟓
𝒙
𝟑
𝟓
=
𝟏𝟐
𝟐𝟓
𝟏𝟐
𝟐𝟓+
Cos𝟏𝟔𝒐∴ =
𝟐𝟒
𝟐𝟓
16𝑜
74𝑜 7
24
𝟐𝟓
TANGENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
𝑻𝒂𝒏 𝜶 + 𝜷 =
𝑻𝒂𝒏𝑻𝒂𝒏
𝑻𝒂𝒏𝑻𝒂𝒏
𝟏
+
− 𝛼
𝜷𝛼
𝜷
𝑻𝒂𝒏 𝜶 − 𝜷 =
𝑻𝒂𝒏𝜷𝑻𝒂𝒏
𝑻𝒂𝒏
𝟏
−
+ 𝛼
𝜷𝑻𝒂𝒏𝛼𝑖𝑖)
Demostración de i 
𝑺𝒆𝒏(𝜶 + 𝜷)
=
𝑖)
𝑻𝒂𝒏 𝜶 + 𝜷
𝑪𝒐𝒔(𝜶 + 𝜷)
=
𝑺𝒆𝒏𝜶 𝑪𝒐𝒔𝜷 + 𝑪𝒐𝒔𝜶 𝑺𝒆𝒏𝜷
𝑪𝒐𝒔𝜶𝑪𝒐𝒔𝜷 − 𝑺𝒆𝒏𝜶 𝑺𝒆𝒏𝜷
=
𝑺𝒆𝒏𝜶 𝑪𝒐𝒔𝜷
+
𝑪𝒐𝒔𝜶 𝑺𝒆𝒏𝜷
𝑪𝒐𝒔𝜶 𝑪𝒐𝒔𝜷
−
𝑺𝒆𝒏𝜶𝑺𝒆𝒏𝜷
=
𝑪𝒐𝒔𝜶 𝑪𝒐𝒔𝜷
𝑪𝒐𝒔𝜶 𝑪𝒐𝒔𝜷𝑪𝒐𝒔𝜶 𝑪𝒐𝒔𝜷
𝑪𝒐𝒔𝜶 𝑪𝒐𝒔𝜷 + 𝑻𝒂𝒏𝜷𝑻𝒂𝒏𝜶
−𝟏 𝑻𝒂𝒏𝜷𝑻𝒂𝒏𝜶
Ejercicio
𝛼
Solución
𝑺𝒊 𝑨𝑩𝑪𝑫 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐
𝒚𝑴 𝒆𝒔 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝑨𝑩,
𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 ∶ 𝑻𝒂𝒏𝜽
De la fig: 
+
𝜽
𝟒𝟓𝒐
𝑻𝒂𝒏 ∝
=
𝑻𝒂𝒏( )
=
𝑻𝒂𝒏
𝜽
𝟒𝟓𝒐
=
−𝟏
𝟏
𝟏
𝒂
𝑨
𝜽
𝑩
𝑪𝑫
𝑴
𝑨
𝜽
𝑩
𝑪𝑫
𝑴 𝒂
𝟐𝒂
𝟐𝒂
𝒂
= 𝟐
= 𝛼 𝟒𝟓𝒐+
−
𝑻𝒂𝒏 𝑻𝒂𝒏
𝑻𝒂𝒏 𝑻𝒂𝒏
𝛼 𝟒𝟓𝒐+
𝛼 𝟒𝟓𝒐
𝑻𝒂𝒏𝜽=
+
−
𝟐 𝟏
𝟏𝟐.
=
𝟑
∴ 𝑻𝒂𝒏𝜽=−𝟑
𝜽 𝒐𝒃𝒕𝒖𝒔𝒐; 𝜽 ∈ 𝑰𝑰𝑪
𝑺𝒊:
𝑬𝒋𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒊𝒐
𝒙 + 𝒚
𝑇𝑎𝑛(𝑥 − 𝑦) = 4
;
𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 ∶ 𝑻𝒂𝒏(𝟐𝒙)
𝑻𝒂𝒏 𝟐𝒙 = 𝑇𝑎𝑛( )
𝑨 𝑩
𝑨 𝑩+
𝑇𝑎𝑛(𝑥 + 𝑦) = 5
𝒙 − 𝒚
=
𝑻𝒂𝒏𝑩𝑻𝒂𝒏𝑨
𝟏 𝑻𝒂𝒏𝑨𝑻𝒂𝒏𝑩
+
−
𝑻𝒂𝒏 𝟐𝒙 =
5 + 4
1− 5x 4
𝑻𝒂𝒏 𝟐𝒙 =∴
𝟗
−𝟏𝟗
𝑻𝒂𝒏(𝒙 − 𝒚) = 4𝑻𝒂𝒏(𝒙 + 𝒚) = 5
Solución
;Datos:
Piden:
𝑺𝒊 𝐬𝐞 𝐜𝐮𝐦𝐩𝐥𝐞 𝐪𝐮𝐞 ∶
𝑬𝒋𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒊𝒐
𝒂 + 𝟑𝒃
𝑻𝒂𝒏(𝒂 + 𝟑𝒃) = 4
;
Calcule ∶ 𝑻𝒂𝒏(𝟐𝒃)
𝑻𝒂𝒏 𝟐𝒃 = 𝑇𝑎𝑛( )
𝑨 𝑩
𝑩 𝑨−
𝑻𝒂𝒏(𝒂 + 𝒃) = 5
𝒂 + 𝒃
=
𝑻𝒂𝒏𝑨𝑻𝒂𝒏𝑩
𝟏 𝑻𝒂𝒏𝑩𝑻𝒂𝒏𝑨
−
+
𝑻𝒂𝒏 𝟐𝒃 =
4 − 5
1+ 4x 5
𝑻𝒂𝒏 𝟐𝒃 =∴
−𝟏
𝟐𝟏
𝑻𝒂𝒏(𝒂 + 𝟑𝒃) = 4𝑻𝒂𝒏(𝒂 + 𝒃) = 5
Solución
;Datos:
Piden:
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES
𝑺𝒆𝒏(𝜶 + 𝜽)𝑺𝒆𝒏(𝜶 − 𝜽) −
Demostración de ii
= 𝑺𝒆𝒏𝟐𝜽𝑺𝒆𝒏𝟐𝜶
𝑪𝒐𝒔(𝜶 + 𝜽)𝑪𝒐𝒔(𝜶 − 𝜽) −= 𝑺𝒆𝒏𝟐𝜽𝑪𝒐𝒔𝟐𝜶
𝑪𝒐𝒔(𝜶 + 𝜽) 𝑪𝒐𝒔(𝜶 − 𝜽)
(𝑪𝒐𝒔𝜶𝑪𝒐𝒔𝜽 − 𝑺𝒆𝒏𝜶𝑺𝒆𝒏𝜽) (𝑪𝒐𝒔𝜶 𝑪𝒐𝒔𝜽 +𝑺𝒆𝒏𝜶𝑺𝒆𝒏𝜽)
𝑺𝒆𝒏𝟐𝜶 𝑺𝒆𝒏𝟐𝜽𝑪𝒐𝒔𝟐𝜶 𝑪𝒐𝒔𝟐𝜽 −
𝑪𝒐𝒔𝟐𝜶 (𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐𝜽) − (𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝟐𝜶) 𝑺𝒆𝒏𝟐𝜽
𝑪𝒐𝒔𝟐𝜶 − 𝑪𝒐𝒔𝟐𝜶 𝑺𝒆𝒏𝟐𝜽 − 𝑺𝒆𝒏𝟐𝜽+ 𝑪𝒐𝒔𝟐𝜶𝑺𝒆𝒏𝟐𝜽
𝑪𝒐𝒔𝟐𝜶 𝑺𝒆𝒏𝟐𝜽−
i)
ii)
Ejercicio: Hallar
𝑆𝑒𝑛2100 + 𝑆𝑒𝑛200𝑆𝑒𝑛400
𝑆𝑒𝑛2100 + 𝑺𝒆𝒏(𝟑𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎) 𝑺𝒆𝒏(𝟑𝟎𝟎 + 𝟏𝟎𝟎)
𝑆𝑒𝑛2100 + −𝑺𝒆𝒏𝟐𝟑𝟎𝟎 𝑺𝒆𝒏𝟐𝟏𝟎𝟎
𝟏
𝟐
𝟐
1
4
Solución:
𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝒚 + 𝑪𝒐𝒔𝟐𝒚 − 𝟐𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝒚 𝑪𝒐𝒔𝒙𝑪𝒐𝒔𝒚
𝑹𝒆𝒅𝒖𝒄𝒊𝒓
𝟐𝑪𝒐𝒔𝒙𝑪𝒐𝒔𝒚−𝑪𝒐𝒔(𝒙 + 𝒚) +
−
𝑪𝒐𝒔𝟐𝒚
Ejercicio :
𝑪𝒐𝒔(𝒙 + 𝒚)
𝑪𝒐𝒔𝒙 −𝑪𝒐𝒔𝒚 𝑺𝒆𝒏𝒙𝑺𝒆𝒏𝒚
𝑪𝒐𝒔(𝒙 + 𝒚) 𝑪𝒐𝒔𝒙𝑪𝒐𝒔𝒚 + 𝑺𝒆𝒏𝒙𝑺𝒆𝒏𝒚 + 𝑪𝒐𝒔𝟐𝒚
− 𝑪𝒐𝒔(𝒙 + 𝒚) 𝑪𝒐𝒔(𝒙 − 𝒚) + 𝑪𝒐𝒔𝟐𝒚
− 𝑪𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝑺𝒆𝒏𝟐𝒚 + 𝑪𝒐𝒔𝟐𝒚 = 𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝟐𝒙 =𝑺𝒆𝒏
𝟐𝒙
Sol :
Análogamente :
𝑺𝒆𝒏(𝜶 + 𝜷)
𝑪𝒐𝒔𝜶𝑪𝒐𝒔𝜷
=
𝑺𝒆𝒏𝜶 𝑪𝒐𝒔𝜷 + 𝑪𝒐𝒔𝜶 𝑺𝒆𝒏𝜷
𝑪𝒐𝒔𝜶 𝑪𝒐𝒔𝜷
= +
𝑺𝒆𝒏𝜶 𝑪𝒐𝒔𝜷 𝑪𝒐𝒔𝜶 𝑺𝒆𝒏𝜷
𝑪𝒐𝒔𝜶 𝑪𝒐𝒔𝜷 𝑪𝒐𝒔𝜶 𝑪𝒐𝒔𝜷
𝑺𝒆𝒏(𝜶 + 𝜷)
𝑪𝒐𝒔𝜶𝑪𝒐𝒔𝜷
= 𝑻𝒂𝒏𝜶 𝑻𝒂𝒏𝜷+
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES
𝑺𝒆𝒏(𝜶 − 𝜷)
𝑪𝒐𝒔𝜶𝑪𝒐𝒔𝜷
= −
Ejemplo:
𝑻𝒂𝒏𝟒𝟎𝟎 + 𝑻𝒂𝒏𝟐𝟎𝟎 =
𝑺𝒆𝒏(𝟒𝟎𝟎 + 𝟐𝟎𝟎)
𝑪𝒐𝒔𝟒𝟎𝟎𝑪𝒐𝒔𝟐𝟎𝟎
=
𝟔𝟎𝟎
3
2
𝑆𝑒𝑐400𝑆𝑒𝑐200
𝑻𝒂𝒏𝜶 𝑻𝒂𝒏𝜷
iii)
iv)
Problema
𝑺 = 𝑺𝒆𝒄𝒙𝑺𝒆𝒄𝟐𝒙 + 𝑺𝒆𝒄𝟐𝒙𝑺𝒆𝒄𝟑𝒙 + 𝑺𝒆𝒄𝟑𝒙𝑺𝒆𝒄𝟒𝒙 +⋯𝒏 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔
Simplificar: 
Sol: 
𝑆 =
𝐶𝑜𝑠𝑥𝐶𝑜𝑠2𝑥
1
𝐶𝑜𝑠𝑛𝑥𝐶𝑜𝑠(𝑛 + 1)𝑥
1
𝐶𝑜𝑠2𝑥𝐶𝑜𝑠3𝑥
1
𝐶𝑜𝑠3𝑥𝐶𝑜𝑠4𝑥
1
+ + + +…
=
𝐶𝑜𝑠𝑥𝐶𝑜𝑠2𝑥
𝑆𝑒𝑛𝑥
+ + + +…
𝑆𝑒𝑛𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥
𝑆𝑆𝑒𝑛𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑛𝑥𝐶𝑜𝑠(𝑛 + 1)𝑥𝐶𝑜𝑠2𝑥𝐶𝑜𝑠3𝑥 𝐶𝑜𝑠3𝑥𝐶𝑜𝑠4𝑥
(𝟐𝒙 − 𝒙) (𝟑𝒙 − 𝟐𝒙) (𝟒𝒙 − 𝟑𝒙) ((𝒏 + 𝟏)𝒙 − 𝒏𝒙)
𝑆𝑒𝑛𝑥𝑆 = 𝑇𝑎𝑛2𝑥 − 𝑇𝑎𝑛𝑥 𝑇𝑎𝑛3𝑥 − 𝑇𝑎𝑛2𝑥 𝑇𝑎𝑛4𝑥 − 𝑇𝑎𝑛3𝑥 𝑇𝑎𝑛(𝑛 + 1)𝑥 − 𝑇𝑎𝑛𝑛𝑥+ + + … +
𝑆𝑒𝑛𝑥𝑆 = 𝑇𝑎𝑛(𝑛 + 1)𝑥 − 𝑇𝑎𝑛𝑥 𝑆 =
𝑇𝑎𝑛(𝑛 + 1)𝑥 − 𝑇𝑎𝑛𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
v) 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES
𝑻𝒂𝒏 𝜶 + 𝜷𝑻𝒂𝒏𝜶 𝑻𝒂𝒏𝜷+ + 𝑻𝒂𝒏𝜶𝑻𝒂𝒏𝜷 = 𝑻𝒂𝒏 𝜶 + 𝜷
vi) 𝑻𝒂𝒏 𝜶 − 𝜷𝑻𝒂𝒏𝜶 𝑻𝒂𝒏𝜷− 𝑻𝒂𝒏𝜶𝑻𝒂𝒏𝜷 = 𝑻𝒂𝒏 𝜶 − 𝜷−
Ejemplos 
1) 𝟑𝑻𝒂𝒏𝟒𝟎𝟎 + + =𝑻𝒂𝒏𝟐𝟎𝟎 𝑻𝒂𝒏𝟒𝟎𝟎 𝑻𝒂𝒏𝟐𝟎𝟎 𝟑
Suman: 𝟔𝟎𝟎
𝑻𝒂𝒏𝟔𝟎𝟎
2) 1 x𝑻𝒂𝒏𝟐𝟑𝟎 + + =𝑻𝒂𝒏𝟐𝟐𝟎 𝑻𝒂𝒏𝟐𝟑𝟎𝑻𝒂𝒏𝟐𝟐𝟎 1
Suman: 𝟒𝟓𝟎
𝑻𝒂𝒏𝟒𝟓𝟎
𝐴 + 𝐵
PROPIEDAD:
𝑇𝑎𝑛𝐴 + 𝑇𝑎𝑛𝐵 + 𝑇𝑎𝑛𝐶 =
𝑇𝑎𝑛𝐴𝑇𝑎𝑛𝐵𝑇𝑎𝑛𝐶
Demostración :
𝑆𝑖: 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 1800
= 1800 − 𝐶
𝑇𝑎𝑛(𝐴 + 𝐵) = 𝑇𝑎𝑛(1800 − 𝐶)
𝑇𝑎𝑛𝐵𝑇𝑎𝑛𝐴
1 𝑇𝑎𝑛𝐴 𝑇𝑎𝑛𝐵−
=
+ 𝑇𝑎𝑛C𝑇𝑎𝑛1800
1 𝑇𝑎𝑛𝐶+
−
𝑇𝑎𝑛1800
0
0
=
𝑇𝑎𝑛C−
1
𝑇𝑎𝑛𝐵𝑇𝑎𝑛𝐴 + = 𝑇𝑎𝑛C− + 𝑇𝑎𝑛𝐴 𝑇𝑎𝑛𝐵 𝑇𝑎𝑛C
𝑇𝑎𝑛𝐴 + 𝑇𝑎𝑛𝐵 + 𝑇𝑎𝑛𝐶
𝑇𝑎𝑛𝐴𝑇𝑎𝑛𝐵𝑇𝑎𝑛𝐶
=∴
Observación
𝑆𝑖 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 , 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑎𝑆𝑒𝑛𝑥 + 𝑏𝐶𝑜𝑠𝑥 = 𝑺𝒆𝒏𝒙 𝒂 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝒃+
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
( )
𝜃
𝒃
𝒂
𝑎𝑆𝑒𝑛𝑥 + 𝑏𝐶𝑜𝑠𝑥 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝑺𝒆𝒏𝒙( 𝑪𝒐𝒔𝜽 𝑪𝒐𝒔𝒙+ 𝑺𝒆𝒏𝜽 )
𝒂𝑺𝒆𝒏𝒙 + 𝒃𝑪𝒐𝒔𝒙 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝑺𝒆𝒏(𝒙 + 𝜽)
𝒂𝑺𝒆𝒏𝒙 − 𝒃𝑪𝒐𝒔𝒙 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝑺𝒆𝒏(𝒙 − 𝜽)
Teorema: 𝒂𝑺𝒆𝒏𝒙 𝒃𝑪𝒐𝒔𝒙− 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 ≤≤ 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐± ∀𝒙 ∈ ℝ
Ejercicio: 
𝑺𝒆𝒏𝜽 + 𝟑𝑪𝒐𝒔𝜽 = 𝑨𝑺𝒆𝒏(𝜽 + 𝜷)
Piden: 𝟑𝑨𝟐𝑪𝒐𝒕𝜷
Dato:
𝑺𝒆𝒏𝜽 +𝑪𝒐𝒔𝜷 𝑪𝒐𝒔𝜽𝑺𝒆𝒏𝜷
+= 𝑪𝒐𝒔𝜷𝑨 𝑺𝒆𝒏𝜽 𝑺𝒆𝒏𝜷𝑨 𝑪𝒐𝒔𝜽𝑺𝒆𝒏𝜽 + 𝟑𝑪𝒐𝒔𝜽𝟏.
𝑪𝒐𝒔𝜷𝑨 = 𝟏
𝑺𝒆𝒏𝜷𝑨 = 𝟑
÷ 𝑪𝒐𝒕𝜷 = 𝟏
𝟑
𝑪𝒐𝒔𝟐𝜷𝑨𝟐 = 𝟏
𝑺𝒆𝒏𝟐𝜷𝑨𝟐 = 𝟗
+
𝑨𝟐 = 𝟏𝟎(𝑪𝒐𝒔𝟐𝜷 + 𝑺𝒆𝒏𝟐𝜷)
𝟏
𝑨𝟐 =𝟏𝟎
𝑹𝒕𝒂: 𝟏𝟎
Sol: