Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos

Vista previa del material en texto

10/8/23, 13:23 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 1/34
Identidades Trigonométricas Fundamentales
Las identidades trigonométricas son aquellas igualdades entre las
razones trigonométricas de un ángulo y todos los valores posibles que
admite dicho ángulo.
TABLA DE CONTENIDO
Identidades Recíprocas
Identidades de Cociente
Identidades Pitagóricas
Identidades Auxiliares
Tabla de Identidades Trigonométricas
Problemas Resueltos
Simplificación de Identidades Trigonométricas
Demostraciones de Identidades Trigonométricas
Problemas con Condición
Problemas de Eliminación
Recordando:    
sen2x = senx. senx
sen3x = senx. senx. senx
cos5x = cosx. cosx. cosx. cosx. cosx
tan4x = tanx. tanx. tanx. tanx Así sucesivamente. 
MathBlas
Cookies
https://mathblas.com/
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 2/34
También recordando las operaciones 
• senx + senx = 2senx
• senx + 2senx + 3senx = 6senx
• 
sen2x
senx =
senx. senx
senx = senx
Ahora que recordamos las razones trigonométricas estudiemos las
principales identidades trigonométricas. Las cuales son las identidades
reciprocas, las identidades de cociente y las identidades pitagóricas.
Identidades Recíprocas
Las identidades recíprocas se refieren a las inversas de las razones
trigonométricas  de un mismo ángulo.
cscx =
1
senx obtenemos
senx =
1
cscx
senx. cscx = 1
secx =
1
cosx obtenemos
cosx =
1
secx
cosx. secx = 1
tanx =
1
cotx obtenemos
cotx =
1
tanx
tanx. cotx = 1
Ejemplos:
Veamos la cosecante y su recíproca el seno.
{
{
{
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 3/34
✓La recíproca de la cosecante es el seno
csc200 =
1
sen20o
✓ La recíproca del seno es la cosecante
sen20o =
1
csc200
✓ El producto del seno y su reciproca la cosecante es 1
sen20o. csc20o = 1
     nota: 
Si senα. cscβ = 1 entonces α = β
Veamos la secante y su recíproca el coseno:
✓ La recíproca de la secante es el coseno
sec45o =
1
cos45o
✓ La recíproca del coseno es la secante
cos45o =
1
sec45o
✓ El producto del coseno y su recíproca la secante es 1
cos45o. sec45o = 1
    nota:
Si cosα. secβ = 1 entonces α = β
Veamos la tangente y su recíproca la cotangente:
✓ La recíproca de la cotangente es la tangente
cot30o =
1
tan300
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 4/34
✓ La recíproca de la tangente es la cotangente
tan30o =
1
cot300
✓ El producto de la tangente y su recíproca la cotangente es 1
tan45o. cot45o = 1
  nota: Si tanα. cotβ = 1 entonces α = β
Identidades de Cociente
tanx =
senx
cosx
cotx =
cosx
senx
Ejemplos:
✓tan53o =
sen53o
cos53o
  ✓cot53o =
cos53o
sen53o
  ✓tan45o =
sen45o
cos45o
  ✓cot53o =
cos53o
sen53o
Identidades Pitagóricas
sen2x + cos2x = 1 obtenemos
sen2x = 1 − cos2x
cos2x = 1 − sen2x{
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 5/34
  1 + tan2x = sec2x obtenemos
tan2x = sec2x − 1
sec2x − tan2x = 1
  1 + cot2x = csc2x obtenemos
cot2x = csc2x − 1
csc2x − tan2x = 1
Ejemplos:
Apliquemos la primera identidad pitagórica.
✓sen230o + cos230o = 1
✓sen230o = 1 − cos230o
✓cos230o = 1 − sen230o
Apliquemos la segunda identidad pitagórica
✓1 + tan245o = sec245o
✓tan245o = sec245o − 1
✓sec245o − tan245o = 1
Apliquemos la tercera identidad pitagórica
✓1 + cot237o = csc237o
✓cot237o = csc237o − 1
✓csc237o − cot237o = 1
Identidades Auxiliares
1. tanx + cotx = secx. cscx
2. sec2x + csc2x = sec2x. csc2
3. sen4x + cos4x = 1 − 2sen2x. cos2x
{
{
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 6/34
4. sen6x + cos6x = 1 − 3sen2x. cos2x
5. (senx + cosx)2 = 1 + 2senx. cosx
(senx − cosx)2 = 1 − 2senx. cosx
6. (1 ± senx ± cosx)2 = 2(1 ± senx)(1 ± cosx)
Tabla de Identidades Trigonométricas
Aquí tenemos un resumen de las principales identidades trigonométricas
o fórmulas trigonométricas.
Identidades
Recíprocas
Identidades de
Cociente
Identidades
Pitagóricas
cscx =
1
senx
secx =
1
cosx
cotx =
1
tanx
tanx =
senx
cosx
cotx =
cosx
senx
sen2x + cos2x = 1
1 + tan2x = sec2x
1 + cot2x = csc2x
 
Problemas Resueltos
Para poder resolver nuestros primeros problemas solo basta recordar la
tabla de identidades trigonométricas o fórmulas trigonométricas.Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 7/34
Iniciaremos con problemas muy elementales.
Simplificación de Identidades Trigonométricas
1. Reducir:
M = sen2x + cos2x + tan2x
Solución
Recordando la identidad pitagórica 
sen2x + cos2x = 1
reemplazando
M = sen2x + cos2x
⏟
1
+ tan2x
M = 1 + tan2x
recordando la identidad pitagórica 1 + tan2x = sec2x
M = sec2x
2. Simplificar:
Q = 1 − sen2x + cos2x
Solución
Recordando 
sen2x + cos2x = 1
cos2x = 1 − sen2x
Q = 1 − sen2x
⏟
cos2x
+ cos2x
reemplazando
Q = cos2x + cos2x
sumando
Q = 2cos2x
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 8/34
3. Simplificar:
M = cosx. tanx + senx
Solución
Recordando la identidad de cociente
tanx =
senx
cosx
M = cosx. tanx
⏟
senx
cosx
+ senx
M = cosx.
senx
cosx + senx
M = senx + senx
M = 2senx
4. Reducir:
M = 2senx − cosx. tanx
Solución
Recordando la identidad de cociente
tanx =
senx
cosx
M = 2senx − cosx. tanx
⏟
senx
cosx
M = 2senx − cosx.
senx
cosx
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 9/34
M = 2senx − senx
M = senx
5. Reducir:
Q =
tanx + cotx
cscx
Solución
Recordando la identidad auxiliar tanx + cotx = secx. cscx
Q =
secx . cscx
⏞
tanx + cotx
cscx
Reemplazando
Q =
secx. cscx
cscx
Q = secx
6. Simplificar:
N = tanx(cotx + tanx)
Solución
Recordando la multiplicación a(b + c) = a. b + a. c
Multiplicando
N = tanx. cotx + tanx. tanx
N = tanx. cotx + tan2x
Recordando la identidad recíproca 
tanx =
1
cotx entonces tanx. cotx = 1
N =
1
⏞
tanx. cotx + tan2x
N = 1 + tan2x
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 10/34
Recordando la identidad pitagórica 1 + tan2x = sec2x
N = sec2x
7. Simplificar:
E =
1 − sen2x
cos2x
+
1 − cos2x
sen2x
Solución
Recordando
cos2x = 1 − sen2x
sen2x = 1 − cos2x
E =
cos2x
⏞
1 − sen2x
cos2x
+
sen2x
⏞
1 − cos2x
sen2x
E =
cos2x
cos2x
+
sen2x
sen2x
E = 1 + 1
E = 2
8. Simplificar:
M =
1 + tan2x
sec2x
+
1 + cot2x
csc2x
Solución
Recordando
1 + tan2x = sec2x
1 + cot2x = csc2x Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 11/34
M =
sec2x
⏞
1 + tan2x
sec2x
+
csc2x
⏞
1 + cot2x
csc2x
M =
sec2x
sec2x
+
csc2x
csc2x
M = 1 + 1
M = 2
9. Simplificar:
M = sen2x. cotx
Solución
Recordando:
cotx =
cosx
senx
M = sen2x. cotx
⏟
cosx
senx
M = sen2x.
cosx
senx
Recuerde sen2x = senx. senx
M = senx. senx.
cosx
senx
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 12/34
M = senx. cosx
10. Simplificar:
Q =
tanx + cotx
secx
solución
Recordando la identidad auxiliar
tanx + cotx = secx. cscx
Q =
secx . cscx
⏞
tanx + cotx
secx
Q =
secx. cscx
secx =
secx. cscx
secx
Q = cscx
11. Simplificar:
Q =
1 − senx
cosx + tanx
Solución
Recordando tanx =senx
cosx
Q =
1 − senx
cosx + tanx⏟
senx
cosx
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 13/34
Q =
1 − senx
cosx +
senx
cosx
Q =
1 − senx + senx
cosx
Q =
1
cosx
Q = secx
12. Simplificar:
E = (1 + tan2x)(1 − sen2x)
Solución
Recordando
E = (1 + tan2x)
⏟
sec2x
(1 − sen2x)
⏟
cos2x
E = sec2x. cos2x
secx. cosx = 1 por identidad recíproca
(secx. cosx)2 = (1)2 obtenemos  sec2x. cos2x = 1
E = 1
13. Simplificar:
Q =
sen3x
1 − cos2x
Solución
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 14/34
Q =
sen3x
1 − cos2x
⏟
sen2x
Q =
sen3x
senx2x
=
senx. senx. senx
senx. senx = senx
La próxima vez solo haremos
Q =
sen3x
sen2x
= senx
14. Reducir
K =
sec2x − tan2x
secx + tanx + tanx
Solución
Recuerda caracterización  a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Es decir  sec2x − tan2x = (secx + tanx)(secx − tanx)
Reemplazando
K =
(secx + tanx)(secx − tanx)
secx + tanx + tanx
K = secx − tanx + tanx
K = secx
15. Simplificar:
M =
cosx − cos3x
senx − sen3x
Solución
Recuerda factorización  a − a3 = a(1 − a2)
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 15/34
M =
cosx(1 − cos2x)
senx(1 − sen2x)
M =
cosx
sen2x
⏞
(1 − cos2x)
senx(1 − sen2x)
⏟
cos2x
M =
cosx. sen2x
senx. cos2x
=
cosx. senx. senx
senx. cosx. cosx
M =
senx
cosx = tanx
16. Reducir la siguiente expresión
E = secx. cscx. cos2x
Solución
Ponemos en función de senos y cosenos
E =
1
cosx .
1
senx . cos
2x
Simplificamos un coseno del numerador con un cosenos del
denominador
E =
1
cosx .
1
senx . cos
2x
E =
cosx
senx
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 16/34
E = cotx
17. Reducir la expresión:
M = (secx + 1)(secx − 1)
Solución
Recordando diferencia de cuadrados
(a + b)(a − b) = a2 − b2
M = (secx + 1)(secx − 1) = (secx)2 − 12
M = secx2 − 1
Recordando sec2x = tan2x + 1
Por lo tanto obtenemos sec2x − 1 = tan2x
M = tan2x
18. Simplificar:
E = tanx(cotx + tanx)
Solución
Recordando a(b+c)=a.b+a.c
E = tanx. cotx
⏟
1
+ tanx. tanx
⏟
tan2x
)
E = 1 + tan2x
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 17/34
E = sec2x
19. Reducir la expresión
P =
senx − sen3x
cosx − cos3x
Solución
P =
senx − senx. sen2x
cosx − cosx. cos2x
Factorizando senx en el numerador y cosx en el denominador
P =
senx(1 − sen2x)
cosx(1– cos2x)
P =
senx. cos2x
cosx. sen2x
P =
senx. cosx. cosx
cosx. senx. senx
P =
cosx
senx = cotx
20. Reducir
M = (tanx + cotx)senx
Solución
Poniendo en función de senos y cosenos
M = (
senx
cosx +
cosx
senx )senx
recordando 
a
b +
c
d =
a. d + b. c
bd  
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 18/34
M = [
senx. senx + cosx. cosx
cosx. senx ]senx
M = [
senx2x + cosx2x
cosx. senx ]senx
M =
1
cosx. senx . senx
M =
1
cosx = secx
21. Reducir
N = (1 − cos2x)(1 + cot2x) + (1 − sen2x)(1 + tan2x)
Solución
N = (1 − cos2x)
⏟
sen2x
(1 + cot2x)
⏟
cosec2x
+ (1 − sen2x)
⏟
cos2x
(1 + tan2x)
⏟
sec2x
N = sen2x. cosec2x + cos2x. sec2x
Por identidades recíprocas senx. cosecx = 1  y cosx. secx = 1
Elevando al cuadrado sen2x. cosec2x = 1  y cos2x. sec2x = 1
N = 1 + 1 = 2
22. Reducir:
C =
tan2x
secx − 1 − secx
Solución
  tan2x = sec2x − 1 Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 19/34
reemplazando
C =
(sec2x − 1)
secx − 1 − secx
Recuerda a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Es decir sec2x − 1 = (secx + 1)(secx − 1)
C =
(secx + 1)(secx − 1)
secx − 1 − secx
C = secx + 1 − secx
C = 1
23. Reducir: 
P = cosx√1 + cot2x
Solución
Recuerda  1 + cot2x = cosec2x
P = cosx√cosec2x
P = cosx. cosecx
Recureda cosecx =
1
senx
P = cosx
1
senx
P =
cosx
senx
P = tanx
24. Simplificar:
I=  tanx√1 − sen2x Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 20/34
Solución
I = tanx.√cos2x
I = tanx. cosx
I =
senx
cosx . cosx
I = senx
25. Calcular «m»
cosx
1 + senx +
cosx
1 − senx = 2m
Solución
Recordando 
a
b +
c
d =
a. d + b. c
bd  
cosx(1 − senx) + cosx(1 + senx)
(1 + senx)(1 − senx) = 2m
cosx − cosx. senx + cosx + cosx. senx
1 − sen2x
= 2m
Reduciendo términos semejantes
2cosx
cos2x
= 2m
2
cosx = 2m
2secx = 2m
secx = m
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 21/34
26. Reducir 
C =
sen2x − sen4x
cos2x − cos4x
Solución
C =
sen2x − sen2x. sen2x
cos2x − cos2x. cos2x
C =
sen2x(1 − sen2x)
cos2x(1 − cos2x)
C =
sen2x. cos2x
cos2x. sen2x
C = 1
27. Simplificar
Q = senx. cosx. tanx + senx. cosx. cotx
Solución
Q = senx. cosx.
senx
cosx + senx. cosx.
cosx
senx
Q = senx. cosx.
senx
cosx + senx. cosx.
cosx
senx
Q = senx. senx + cosx. cosx
Q = sen2x + cos2x = 1
28. Simplificar 
M = sen4x + cos4x + 2sen2x. cos2x
Solución Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 22/34
Recuerda las identidades auxiliares
M = sen4x + cos4x
⏟
1−2sen2x . cos2x
+ 2sen2x. cos2x
M = 1 − 2sen2x. cos2x + 2sen2x. cos2x
M = 1
29. Reducir 
P = (1 + senx + cosx).
(1 − senx)
(1 + cosx)
Donde  «x» pertenece al I Cuadrante
Solución
Recuerda (1 + senx + cosx)2 = 2(1 + senx)(1 + cosx)
P = √(1 + senx + cosx)2.
(1 − senx)
(1 + cosx)
P = √2(1 + senx)(1 + cosx).
(1 − senx)
(1 + cosx)
P = √2(1 + senx)(1 − senx)
P = √2(1 − sen2x)
P = √2.cos2x
P = √2cosx
30. Simplificar 
√
√
√
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 23/34
M = sen6x + cos6x + 3sen2x. cos2x
Solución
Recuerda las identidades auxiliares
M = sen6x + cos6x
⏟
1−3sen2x . cos2x
+ 2sen2x. cos2x
M = 1 − 3sen2x. cos2x + 3sen2x. cos2x
M = 1
31. Simplificar
R = √1 + 2sena. cosa
Solución
Recuerda 1 = sen2a + cos2a
R = √sen2a + cos2a + 2sena. cosa
R = √sen2a + 2sena. cosa + cos2a
R = √(sena + cosa)2
R = sena + cosa
32. Calcular
E = sec4x − tan4x − 2tan2x
Solución
Por diferencia de cuadrados
sec4x − tan4x = (sec2x − tan2x)(sec2x + tan2x)
Reemplazamos
E = (sec2x − tan2x)(sec2x + tan2x) − 2tan2x
Recuerda  sec2x − tan2x = 1
E = (sec2x + tan2x) − 2tan2x
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 24/34
E = sec2x − tan2x
E = 1
33. Calcular
Si: senx = a y tanx = b
E = (1 − a2)(1 + b2)
Solución
Reemplazando los datos
E = (1 − sen2x)(1 + tan2x)
E = cos2x. sec2x
E = 1
Demostraciones de Identidades Trigonométricas
Para demostrar solo vamos a transformar el primer miembro de la
igualdad. 
1. Demostrar la siguiente identidad.
1 + tan2x = sec2x
Solución
Solo vamos a transformar el primer miembro 
1 + tan2x
⏟
sen2x
cos2x
= sec2x
1 +
sen2x
cos2x
= sec2x
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 25/34
cos2x + sen2x
cos2x
= sec2x
Recuerda que cos2x + sen2x = 1
          
1
cos2x
= sec2x
          sec2x = sec2x
2. Demostrar la siguiente identidad.
1 + cot2x = csc2x
Solución
Solo vamos a transformar el primer miembro 
1 + cot2x
⏟
cos2x
sen2x
= csc2x
1 +
cos2x
sen2x
= csc2x
sen2x + cos2x
sen2x
= csc2x
Recuerda que sen2x + cos2x = 1
          
1
sen2x
= csc2x
          csc2x= csc2x
3. Demostrar
1 +
tanx
cotx = sec
2x
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 26/34
Solución
Poniendo en función de senos y cosenos
1 +
senx
cosx
cosx
senx
= sec2x
Recordando 
a
b
c
d
=
a. d
b. c
1 +
senx. senx
cosx. cosx = sec
2x
1 +
sen2x
cos2x
= sec2x
1 + tan2x = sec2x
sec2x = sec2x
4. Demostrar
tanx + cotx = secx. cscx
Solución
Poniendo en función de senos y cosenos
senx
cosx +
cosx
senx = secx. cscx
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 27/34
recordando 
a
b +
c
d =
a. d + b. c
bd  
senx. senx + cosx. cosx
cosx. senx = secx. cscx
sen2x + cos2x
cosx. senx = secx. cscx
1
cosx. senx = secx. cscx
1
cosx .
1
senx = secx. cscx
secx. cscx = secx. cscx
5. Demostrar
1 − senx
cosx =
cosx
1 + senx
Solución
Multiplicando numerador y denominador por (1 + senx)
(1 − senx)(1 + senx)
cosx(1 + senx) =
cosx
1 + senx
Recuerda (a − b)(a + b) = a2 − b2
Es decir (1 − senx)(1 + senx) = 1 − sen2x
Reemplazando
1 − sen2x
cosx(1 + senx) =
cosx
1 + senx
Recuerda 1 − sen2x = cos2x Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 28/34
cos2x
cosx(1 + senx) =
cosx
1 + senx
cosx. cosx
cosx(1 + senx) =
cosx
1 + senx
cosx
(1 + senx) =
cosx
1 + senx
6. Demostrar
1 + cosx
senx =
senx
1 − cosx
Solución
Multiplicando numerador y denominador por (1 − cosx)
(1 + cosx)(1 − cosx)
senx(1 − cosx) =
senx
1 − cosx
Recuerda (a − b)(a + b) = a2 − b2
Es decir (1 − cosx)(1 + cosx) = 1 − cos2x
Reemplazando
1 − cos2x
senx(1 − cosx) =
senx
1 − cosx
sen2x
senx(1 − cosx) =
senx
1 − cosx
senx
(1 − cosx) =
senx
1 − cosx
7. Demostrar
sec2x + cosec2x = sec2x. csc2x
Solución
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 29/34
Sabemos
secx =
1
cosx   es decir sec
2x =
1
cos2x
cscx =
1
senx   es decir csc
2x =
1
sen2x
Reemplazando
1
cos2x
+
1
sen2x
= sec2x. csc2x
cos2x + sen2x
cos2x. sen2x
= sec2x. csc2x
1
cos2x. sen2x
= sec2x. csc2x
1
cos2x
.
1
sen2x
= sec2x. csc2x
sec2x. csc2x = sec2x. csc2x
8. Demostrar
Sen4x + cos4x = 1 − 2sen2x. cos2x
Solución
  Sabemos sen2x + cos2x = 1 
elevando al cuadrado
(sen2x + cos2x)2 = 12
Recuerda (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
aplicando
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 30/34
(sen2x
⏟
a
)2 + 2sen2x
⏟
a
. cos2x
⏟
b
+ (cos2x
⏟
b
)2 = 12
sen4x + 2sen2x. cos2x + cos4x = 1
sen4x + cos4x = 1 − 2sen2x. cos2x
9. Demostrar 
Sen6x + cos6x = 1 − 3sen2x. cos2x
Solución
Sabemos sen2x + cos2x = 1
elevando al cubo 
(sen2x + cos2x)3 = (1)3
Recuerda (a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3
aplicando
(sen2x)3 + 3sen2x. cos2x(sen2x + cos2x
⏟
1
) + (cos2x)3 = 13
sen6x + 3sen2x. cos2x + cos6x = 1
sen6x + cos6x = 1– 3sen2x. cos2x
10. Demostrar que:
tan2x − sen2x = sen2x. tan2x
Solución
sen2x
cos2x
− sen2x = sen2x. tan2x
sen2x − sen2x. cos2x
cos2x
= sen2x. tan2x
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 31/34
sen2x(1 − cos2x)
cos2x
= sen2x. tan2x
sen2x(sen2x)
cos2x
= sen2x. tan2x
sen2x. tan2x = sen2x. tan2x
Problemas con Condición
1. Si tanx + cotx = 3
Hallar: senx.cosx
Solución
Por identidades auxiliares tanx + cotx = secx. cscx
tanx + cotx
⏟
secx . cscx
= 3
secx. cscx = 3
1
cosx .
1
senx = 3
1
cosx. senx = 3
invertimos ambos lados de la ecuación
cosx. senx =
1
3    Respuesta
2. Si secx + tanx = 3
Calclular: secx– tanx
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 32/34
Solución
Sabemos sec2x = 1 + tan2x
Entonces  sec2x − tan2x = 1
recuerda a2 − b2 = (a + b)(a − b)
(secx − tanx)(secx + tanx)
⏟
pordato3
= 1
(secx − tanx)3 = 1
secx − tanx =
1
3
3. Si tanx = 5
Calcular 
C =
senx + cosx
senx − cosx
Solución
Dividiendo al numerador como al denominador por cosx.
C =
senx
cosx
+
cosx
cosx
senx
cosx −
cosx
cosx
C =
tanx + 1
tanx − 1
C =
5 + 1
5 − 1 =
6
4 =
3
2   Respuesta!!
4. Si  tanx = a
Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 33/34
Hallar  cos2x
Solución
Sabemos por identidades pitagóricas
sec2x = tan2x + 1
Por dato tanx = a
sec2x = a2 + 1
Ahora por identidades recíprocas
1
cos2
= a2 + 1
cos2x =
1
a2 + 1
Problemas de Eliminación
1. Calcular «y»
ysenx = a
ycosx = b
Solución
Elevando al cuadrado
(ysenx)2 = (a)2
y2sen2x = a2 …(1)
(ycosx)2 = (b)2
y2cos2x = b2 …(2)
Sumando (1)+(2)
y2sen2x + y2cos2x = a2 + b2
y2(sen2x + cos2x) = a2 + b2
y2 = a2 + b2 Cookies
10/8/23, 13:24 Identidades trigonométricas con ejercicios resueltos ✅✅✅
https://mathblas.com/trigonometria/identidades-trigonometricas/ 34/34
2. Eliminar el ángulo «x»
a = senx + cosx
b = senx − cosx
Solución
Elevando al cuadrado
(a)2 = (senx + cosx)2
a2 = 1 + 2senx. cosx …(1)
(b)2 = (senx − cosx)2
b2 = 1 − 2senx. cosx …(1)
Sumando (1)+(2)
a2 + b2 = 1 + 2sexcosx + 1 − 2senxcosx
a2 + b2 = 2
Política de Privacidad Políticas de Cookies
Copyright © 2023 MathBlas
Cookies
https://mathblas.com/politica-de-privacidad/
https://mathblas.com/politicas-de-cookies/