2023-05-23Reglas básicas para derivar funciones

Vista previa del material en texto

Prof. Vanessa Pereyra 
 
DEFINICIONES: 
1) La derivada de una función 𝒇 en 𝒙𝟎 se define como la razón de cambio instantánea de una 
función 𝑓 en 𝑥 = 𝑥0 y coincide con la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función 
𝑓 en 𝑥 = 𝑥0. En notación matemática, se escribe 𝑓′(𝑥0) y se lee “𝑓 prima en 𝑥0”. 
En resumen, 𝑓’(𝑥0) tiene varios significados: 
• Es la derivada de 𝑓 en 𝑥0. 
• Es el valor de la razón de cambio instantánea de 𝑓 en 𝑥0. 
• Es el valor de la pendiente de la recta tangente a 𝑓 en 𝑥0. 
 
2) Para una función 𝑓 definimos la función derivada o simplemente derivada, como la función 
que llamaremos 𝑓′(𝑥) que, para cada 𝑥, está definida como la derivada de 𝑓 en ese 𝑥. Esta 
función nos da información sobre la pendiente de la recta tangente a 𝑓 en cada valor de 𝑥. 
 
 
EEM (ESPACIO ESTUDIAR MATEMÁTICA) 
presenta 
Taller “Reglas básicas para derivar funciones” 
Prof. Vanessa Pereyra 
Prof. Vanessa Pereyra 
¿Cómo calculamos la función derivada? 
 
1) 𝒇(𝒙) = 𝒂, 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ∈ 𝑹 → 𝒇′(𝒙) = 𝟎 (la derivada de una función constante es igual a 0) 
Ejemplos: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 6 
 
b) 𝑔(𝑥) = −
7
4
 
 
c) ℎ(𝑥) = log(11) 
 
2) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 → 𝒇′(𝒙) = 𝒏. 𝒙𝒏−𝟏 (cuando derivamos una potencia de 𝑥, “bajamos” el exponente 
multiplicando, y el exponente de la potencia de 𝑥 disminuye en una unidad). 
 
Ejemplos: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥9 
 
b) 𝑔(𝑥) = 𝑥13 
 
c) ℎ(𝑥) = 𝑥 
 
d) 𝑗(𝑥) =
1
𝑥
 
 
e) 𝑠(𝑥) = √𝑥 
 
Prof. Vanessa Pereyra 
 
3) 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙, 𝒄𝒐𝒏 𝒂 > 𝟎 𝒚 𝒂 ≠ 𝟏 → 𝒇′(𝒙) = 𝒂𝒙 ⋅ 𝒍𝒏 (𝒂) (la derivada de una función exponencial 
es igual a la misma función exponencial pero multiplicada por el logaritmo natural de su base). 
 
Ejemplos: 
a) 𝑓(𝑥) = 9,5𝑥 
 
 
b) 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 
 
c) ℎ(𝑥) = (
2
3
)
𝑥
 
 
4) (𝒈(𝒙) + 𝒉(𝒙))′ = 𝒈′(𝒙) + 𝒉′(𝒙) // (𝒈(𝒙) − 𝒉(𝒙))′ = 𝒈′(𝒙) − 𝒉′(𝒙) (cuando una función 
consiste en la suma o resta de términos, se deriva cada término por separado) 
 
Ejemplo: 
Si 𝑓(𝑥) = 3 + 𝑥2 − 𝑥4 
 
 
 
 
 
 
5) (𝒂. 𝒈(𝒙))′ = 𝒂. 𝒈′(𝒙), 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ∈ 𝑹 (cuando una función se multiplica por un número, se deriva la 
función y el resultado queda multiplicado por el mismo número). 
 
Ejemplo: 
Si 𝑓(𝑥) = 4𝑥7 
 
 
 
 
 
Prof. Vanessa Pereyra 
 
Ejemplo de combinación entre las reglas 4) y 5): 
Si 𝑓(𝑥) = −2 +
1
2
𝑥3 − 5𝑥8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) (𝒈(𝒙). 𝒉(𝒙))′ = 𝒈′(𝒙). 𝒉(𝒙) + 𝒈(𝒙). 𝒉′(𝒙) (la derivada de un producto de funciones es igual a 
la primera función derivada por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la segunda 
derivada) 
 
Ejemplo: 
Si 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 1). (−5𝑥2 + 4𝑥 − 2)