Calculo diferencial Universidad-96

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CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
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3.2.3 Notación de derivadas
Para denotar la derivada puede existir distintas nomenclaturas 
siendo y una función de x:
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦′ =
𝑑𝑑𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑥𝑥
=
𝑑𝑑𝑓𝑓
𝑑𝑑𝑥𝑥
=
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐷𝐷𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑓𝑓(𝑥𝑥) 
3.2.4 Cuando una funcion no es derivable
Una función no es derivable en los siguientes casos:
1. Si la gráfica de una función f tiene esquinas o rizos, es decir no 
tiene tangentes en esos puntos.
2. Si al intentar derivar los límites por la izquierda y por la derecha 
son diferentes.
3. Cuando la curva tenga una tangente vertical cuando x = a
Ejemplo 4: Considerar la función definida por:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥
2 + 𝑥𝑥 + 1 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≥ 1
4𝑥𝑥 − 1 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 1
 
Si se desea determinar la existencia o no de la derivada de f en el 
punto x
1
=1, para lo cual las derivadas laterales f ‘
+
 (1) y f ‘
-
 (1) nos pro-
porcionan la información
𝑓𝑓′+(1) = lím𝑥𝑥→1+
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(1)
𝑥𝑥 − 1
= lím
𝑥𝑥→1+
(𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 1) − 3
𝑥𝑥 − 1
 
= lím
𝑥𝑥→1+
𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2
𝑥𝑥 − 1
= lím
𝑥𝑥→1+
(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 1)
𝑥𝑥 − 1
= lím
𝑥𝑥→1+
(𝑥𝑥 + 2) = 3 
𝑓𝑓′−(1) = lím𝑥𝑥→1−
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(1)
𝑥𝑥 − 1
= lím
𝑥𝑥→1−
(4𝑥𝑥 − 1) − 3
𝑥𝑥 − 1
= lím
𝑥𝑥→1−
4𝑥𝑥 − 4
𝑥𝑥 − 1
= lím
𝑥𝑥→1−
4(𝑥𝑥 − 1)
𝑥𝑥 − 1
= 4 
Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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Puede notarse que las derivadas laterales son diferentes, y en con-
secuencia, f ’ (1) no existe.
En la figura se muestra el comportamiento de la función f en el 
punto x = 1. Nótese que en el punto P (1, 3) la gráfica presenta un “pico”, 
indicando con esto de manera intuitiva que f no es derivable allí.
Figura 6 
Gráfica ejemplo 4
3.3 Reglas de derivación
3.3.1 Derivadas de funciones básicas
En la figura 7 tenemos una función constante f(x)=2
Utilizamos la definición de derivada para determinar la derivada 
de dicha función:
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𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = lím
ℎ→0
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
ℎ
 
Tenemos:
 y 
 x 
B
A
P (X, Y)
Figura 7 
Derivada de una función constante
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
(𝑐𝑐) = 0 
En la figura 8 tenemos la función lineal f(x)=x
Utilizamos la definición de derivada para determinar la derivada 
de dicha función:
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = lím
ℎ→0
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
ℎ