2022-02-24 Que las integrales no te desintegren_

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Problema 1. En la siguiente figura se observa el gráfico de la función 𝑓, cuyo dominio es ℝ. Entre las funciones 
𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 y 𝑓4 es posible encontrar al menos una función que es primitiva de 𝑓. Decidan cuál o cuáles de las 
funciones mencionadas cumplen con esa condición, aportando argumentos que permitan determinarlo. 
 
 
PARA PENSAR 
• ¿Qué es la primitiva de 𝒇? ¿Es única? 
 
Para conseguirnos una primitiva de 𝑓, que comúnmente se denomina 𝐹, basta con calcular la integral 
indefinida de 𝑓: 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑘 
 
Dicho en otros términos, se cumple que 𝑓(𝑥) = 𝐹′(𝑥). 𝒇 resulta ser la derivada de cualquier 
primitiva de 𝒇. 
 
• ¿Qué relación existe entre la función 𝒇 y sus primitivas? 
 
Hablando en términos de este problema, tenemos que: 
o Si 𝒇 es positiva en un intervalo, significa que la primitiva de 𝒇 es creciente en ese intervalo. 
o Si 𝒇 es negativa en un intervalo, significa que la primitiva de 𝒇 es decreciente en ese 
intervalo. 
o Si 𝒇 es 0 (se anula) en un valor de 𝒙, significa que la primitiva de 𝒇 tiene un punto crítico 
en dicho valor de 𝒙. 
Espacio Estudiar Matemática (EEM) 
Taller: “Que las integrales no te desintegren” 
Taller de Resolución de problemas sobre Integrales 
 
 
 
 
Para ilustrarlo: para distinguir 
los billetes verdaderos de los 
falsos, ¿qué conviene estudiar? 
¿Todas las falsificaciones 
posibles o las características de 
los billetes verdaderos? 
 
RESOLUCIÓN 
El objetivo principal es conocer las características del gráfico de una primitiva de 𝒇, a la cual podemos llamar 
temporalmente 𝐹. Para ello, utilizamos el criterio de la primera derivada, es decir, analizamos el signo de 𝑓 
en todo su dominio sabiendo que 𝐹 tiene 3 puntos críticos (𝑓 corta el eje 𝑥 tres veces): 𝑥 = −5, 𝑥 = 3, 𝑥 =
7. Por lo tanto, los intervalos en los que analizaremos el signo de 𝑓 son los siguientes: 
• (−∞, −5) 
• (−5,3) 
• (3,7) 
• (7, +∞) 
 
 
 
 (−∞, −5) 𝑥 = −5 (−5,3) 𝑥 = 3 (3,7) 𝑥 = 7 (7, +∞) 
𝑓 Negativa 𝑓(−5) = 0 Positiva 𝑓(3) = 0 Negativa 𝑓(7) = 0 Positiva 
𝐹 
(cualquier 
primitiva de 
𝑓) 
Decrecien
te 
Hay un 
mínimo 
Creciente Hay un 
máximo 
Decreciente Hay un 
mínimo 
Creciente 
 
 
 
Comparemos las funciones 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 y 𝑓4 con 𝐹. Organizaremos la información en un cuadro comparativo. 
 
 
 
Tras aplicar el criterio de la primera derivada, establecimos las características que debe poseer toda primitiva 
de 𝑓: 
• debe tener mínimos en 𝑥 = −5 y 𝑥 = 7 y un máximo en 𝑥 = 3. 
• debe decrecer en los intervalos (−∞, −5) y (3,7), y crecer en los intervalos 
(−5,3) y (7, +∞). 
Las funciones que presentan el mismo comportamiento que toda primitiva de 𝑓 son 𝑓1 y 𝑓3. Luego, las 
funciones 𝑓2 y 𝑓4 no cumplen con las características mencionadas previamente: 𝑓4 tiene un solo extremo y la 
𝑓2 tiene dos máximos y un mínimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_______________________________________________________________________________________ 
Problema 2. Sea 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 8𝑥 − 6. Sea 𝐿 la recta tangente al gráfico de 𝑓 en el punto (3; 𝑓(3)) y sea 
𝑀 la recta tangente al gráfico de 𝑓 en el punto (6; 𝑓(6)). Hallen el área de la región delimitada por 𝐿, 𝑀 y 𝑓, 
aportando explicaciones que permitan entender sus razonamientos. 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: La opción de graficar exige que justifiquemos nuestro gráfico. 
Una opción rápida para encarar el problema es definir los puntos de tangencia. Para ello, calculamos 𝑓(3) y 
𝑓(6). 
𝑓(3) = −2. (3)2 + 8. (3) − 6 = 0 
𝑓(6) = −2. (6)2 + 8. (6) − 6 = −30 
Entonces los puntos son: (3; 0) y (6; −30). 
Ahora podemos buscar las fórmulas de las rectas tangentes al gráfico de 𝑓. 
RECTA 𝑳: 
Para averiguar la pendiente de la recta, debemos derivar 𝑓. Si 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 8𝑥 − 6, 𝑓′(𝑥) = −4𝑥 + 8. 
Ahora evaluamos: 𝑓′(3) = −4.3 + 8 = −4. La pendiente de la recta 𝐿 es −4. Entonces, 𝑦 = −4𝑥 + 𝑏. Para 
obtener la ordenada al origen, planteamos una ecuación usando el punto (3; 0): 
0 = −4.3 + 𝑏 
12 = 𝑏 
Por lo tanto, la fórmula de la recta 𝐿 es 𝑦 = −4𝑥 + 12. 
RECTA 𝑴: 
Para averiguar la pendiente de la recta, como ya tenemos 𝑓′ y la recta 𝑀 es tangente a 𝑓 en 𝑥 = 6, evaluamos: 
𝑓′(6) = −4.6 + 8 = −16. La pendiente de la recta 𝑀 es −16. Entonces, 𝑦 = −16𝑥 + 𝑏. Para obtener la 
ordenada al origen, planteamos una ecuación usando el punto (6; −30): 
−30 = −16 . 6 + 𝑏 
66 = 𝑏 
Por lo tanto, la fórmula de la recta 𝑀 es 𝑦 = −16𝑥 + 66. 
IMPORTANTE: El enunciado no nos pide graficar. Por lo tanto, para graficar la función cuadrática, debemos 
averiguar: vértice, raíces (si existen), ordenada al origen, algún otro punto simétrico. Es decir, tenemos que 
justificar nuestro gráfico.