2022-03-03 Resolución de problemas integradores sobre Derivadas e Integrales_

Vista previa del material en texto

Take it easy 
 
• ¿Qué información resulta fundamental para poder resolver este 
problema? 
• ¿Qué significa intervalo de amplitud 6? 
• ¿Cómo representamos simbólicamente la frase “la integral de 𝑓 
sobre ese intervalo”? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_______________________________________________________________________________________ 
Como ya tenemos 𝑓, la integramos en el intervalo [𝑎, 𝑏]: 
∫
1
2
𝑥3 − 4𝑥2 +
5
2
𝑥 + 7
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 =
1
8
𝑥4 −
4
3
𝑥3 +
5
4
𝑥2 + 7𝑥 |
𝑏
𝑎
 
 = (
1
8
𝑏4 −
4
3
𝑏3 +
5
4
𝑏2 + 7𝑏) − (
1
8
𝑎4 −
4
3
𝑎3 +
5
4
𝑎2 + 7𝑎) 
 
 
Si 𝑏 − 𝑎 = 6, entonces 𝑏 = 𝑎 + 6: 
= (
1
8
(𝑎 + 6)4 −
4
3
(𝑎 + 6)3 +
5
4
(𝑎 + 6)2 + 7(𝑎 + 6)) − (
1
8
𝑎4 −
4
3
𝑎3 +
5
4
𝑎2 + 7𝑎) (*) 
 
Tenemos que buscar el valor de 𝑎 en el que la expresión (*) da el mayor valor. Por lo tanto, debemos derivarla 
respecto de 𝒂 y buscar los ceros de la expresión resultante. Se puede usar regla de la cadena para derivar (*) 
o simplemente usar el hecho de que, si derivamos (*), obtendremos 𝑓(𝑎 + 6) − 𝑓(𝑎). Luego: 
(
1
2
(𝑎 + 6)3 − 4(𝑎 + 6)2 +
5
2
(𝑎 + 6) + 7) − (
1
2
𝑎3 − 4𝑎2 +
5
2
𝑎 + 7) = 0 
Desarrollamos el cubo y el cuadrado del binomio: 
(𝑎 + 6)3 = 𝑎3 + 3𝑎26 + 3𝑎62 + 63 
(𝑎 + 6)2 = 𝑎2 + 2𝑎6 + 62 
Por lo tanto: 
(
1
2
(𝑎3 + 3𝑎26 + 3𝑎62 + 63) − 4(𝑎2 + 2𝑎6 + 62) +
5
2
(𝑎 + 6) + 7) − (
1
2
𝑎3 − 4𝑎2 +
5
2
𝑎 + 7) = 0 
(
1
2
𝑎3 + 9𝑎2 + 54𝑎 + 108 − 4𝑎2 − 48𝑎 − 144 +
5
2
𝑎 + 15 + 7) − (
1
2
𝑎3 − 4𝑎2 +
5
2
𝑎 + 7) = 0 
Aplicamos regla de signos en el segundo paréntesis: 
1
2
𝑎3 + 9𝑎2 + 54𝑎 + 108 − 4𝑎2 − 48𝑎 − 144 +
5
2
𝑎 + 15 + 7 −
1
2
𝑎3 + 4𝑎2 −
5
2
𝑎 − 7 = 0 
 
Operamos y nos queda: 
𝟗𝒂𝟐 + 𝟔𝒂 − 𝟐𝟏 = 0 
(La expresión de la derivada de (*) es 9𝑎2 + 6𝑎 − 21) 
 
Aplicamos fórmula resolvente: 
𝑎1, 𝑎2 =
−6 ± √62 − 4.9. (−21)
2.9
=
−6 ± √792
18
 
 =
−6 ± 6√22
18
 
Usamos que √792 = √23 ⋅ 32 ⋅ 11 = 6√22: 
𝑎1 =
−6 + 6√22
18
= −
6
18
+
6√22
18
= −
𝟏
𝟑
+
𝟏
𝟑
√𝟐𝟐 ≈ 1,230 
𝑎2 =
−6 − 6√22
18
= −
6
18
−
6√22
18
= −
𝟏
𝟑
−
𝟏
𝟑
√𝟐𝟐 ≈ −1,897 
Los valores anteriores son aquellos en los que la expresión (*) tiene puntos críticos. Como la función 𝑓 está 
definida en [−2,8], analizamos el signo de la derivada de (*) en los siguientes intervalos y aplicamos el criterio 
de la primera derivada: 
 [−2, 𝑎2] 𝑎2 = −
1
3
−
1
3
√22 [𝑎2, 𝑎1] 𝑎1 = −
1
3
+
1
3
√22 [𝑎1, 8] 
𝑓(𝑎 + 6) − 𝑓(𝑎)
= 9𝑎2 + 6𝑎 − 21 
(Derivada de (*)) 
Evaluando en 
-1.9, da + 
𝑓(𝑎1 + 6)
− 𝑓(𝑎1) = 0 
Evaluando en 
0, da - 
𝑓(𝑎2 + 6) − 𝑓(𝑎2)
= 0 
Evaluando en 
7, da + 
𝐹(𝑎 + 6) − 𝐹(𝑎) 
(*) 
(*) es 
creciente 
 
(*) alcanza 
máximo en 𝑎2 
 
(*) es 
decreciente 
 
(*) alcanza mínimo 
en 𝑎1 
 
(*) es creciente 
 
Luego, el valor de 𝑎 en el que (*) da el resultado máximo es −
1
3
−
1
3
√22 ≈ −1,897 y, como 𝑏 = 𝑎 + 6, 
resulta que 𝑏 =
17
3
−
1
3
√22 ≈ 4,103. La integral de 𝑓 en el intervalo [−
1
3
−
1
3
√22, 
17
3
−
1
3
√22 ] da el 
resultado máximo. (Respuesta al ítem a) 
Por otro lado, el valor de 𝑎 en el que (*) da el resultado mínimo es −
1
3
+
1
3
√22 ≈ 1,230 y, como 𝑏 = 𝑎 + 6, 
resulta que 𝑏 =
17
3
+
1
3
√22 ≈ 7,230. La integral de 𝑓 en el intervalo [−
1
3
+
1
3
√22, 
17
3
+
1
3
√22 ] da el 
resultado mínimo. (Respuesta al ítem b) 
En el aula virtual del EEM, en la pestaña “Preparación de exámenes”, 
encontrarán una hoja dinámica de GeoGebra en la que podrán explorar 
los resultados obtenidos.