FCE_UNJu_Me de Cap y Elem de Cálculo Fin_GUIA_2021_U5 (1)

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PARTE II: “ELEMENTOS DE CÁLCULO 
FINANCIERO” 
 
 
 
 
Unidad Nº 5: “Sistemas de Amortización de 
Deudas” 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS A RESOLVER 
CON ACOMPAÑAMIENTO 
DEL DOCENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidad Nacional de Jujuy 
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Cátedra: “Mercado de Capitales y Elementos de Cálculo Financiero” (L.E.P) 
Guía de estudio y ejercicios 2021 
 
 
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4. Sistemas de Amortización de Deudas 
 
 
Temas de la Unidad: 
 
Unidad 5 
5.1. Sistemas de amortización de deudas. Amortizaciones periódicas y globales. Características y 
condiciones. Composición de la cuota. 
5.2. Sistema de Amortización Francés. Análisis y cálculo de las variables. Construcción de cuadros de 
marcha. Representación gráfica del comportamiento de las variables. 
5.3. Sistema de Amortización Alemán. Características. Cálculo de sus variables. Vinculación con rentas 
variables. Construcción de cuadros de marcha. Representación gráfica del comportamiento de las 
variables. 
5.4. Sistema de Amortización Americano. Características y cálculo de sus variables. Sistema de 
amortización americano sin y con fondo amortizante (sinking fund). Construcción de cuadros de marcha. 
Representación gráfica del comportamiento de las variables. 
5.5. Método con Interés Cargado. Características y cálculo de sus variables. Determinación de la tasa 
resultante. Construcción de cuadros de marcha. Representación gráfica del comportamiento de las 
variables. 
5.6. Similitudes y diferencias entre los sistemas. Tasas variables en los distintos sistemas de amortización. 
Período de gracia en las deudas. Costo Financiero Total: determinación, normativa del B.C.R.A. 
Amortización de Deudas y Costo Financiero en épocas de inflación. Deudas ajustables por CER y UVA. 
 
Objetivos específicos: 
 
 Estudiar los diferentes sistemas de amortización de deudas. 
 Distinguir las características distintivas de los sistemas de amortización. 
 Aprender a determinar el costo financiero total. 
 Conocer los diferentes coeficientes de ajuste de deudas y su aplicabilidad. 
 
Definición: 
 
“Amortizar alude al proceso que extingue una deuda mediante el pago del capital, también llamado 
frecuentemente principal. Entonces cuando hablamos de amortizar un préstamo nos referimos al proceso 
por el cual se devuelve el capital que originó a obligación” (López Dumrauf,2004, p.235). 
Existen métodos en que los intereses se calculan sobre saldo (de capital) y otros con interés directo. 
Las modalidades más extendidas de los sistemas con intereses sobre saldo son: sistema francés, sistema 
alemán y sistema americano. 
Entre aquellos en que los intereses se calculan de manera “directa” sobre el capital que constituye el 
préstamo, encontramos: tasa directa cargada, tasa directa descontada y tasa directa promediada. 
En algunas ocasiones también existen sistemas de amortización en que solo toman algunas características 
de los anteriores y que son diseñados para préstamos o actividades específicas. 
 
La notación que utilizaremos para la construcción de los correspondientes cuadros de marcha (cuadro 
donde se observa la evolución de un préstamo y un sistema determinado) es la siguiente: 
 
C(p) = Número de cuotas // Cuotas número “p” del préstamo. 
t(p) = Amortización del capital contenida en la cuota “p”. 
I(p-1;p) = Interés contenidos en la cuota número “p”, interés periódico. 
T(p) = Amortización acumulada luego de abonada la cuota “p”. 
V(p) = Saldo de la deuda luego de abonada la cuota número “p”. 
V(0) = Saldo de la deuda cuando aún no se abonó ninguna cuota. 
 
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n = Plazo del préstamo. 
i = Tasa efectiva del préstamo 
r = Tasa directa Cargada (para sistemas directos). 
 
A) Sistemas con intereses sobre saldo: 
 
1-Sistema francés-características: 
 
 Amortización periódica. 
 Saldo deudor decreciente. 
 Amortización de capital creciente en progresión geométrica. 
 Interés sobre saldos (sistema puro). 
 Cuota constante. 
 
Cada cuota se compone de una porción de interés y otra destinada a amortizar capital (amortización real). 
La amortización real de la primera cuota recibe el nombre de “fondo amortizante”. 
 
Gráficamente: 
Sistema Francés
0
20
40
60
80
100
120
1 2 3 4 5
Capital
Interés
 
 
 
Cuadro de marcha del préstamo: 
 
 
 
 
 
 
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Fórmulas más utilizadas: 
 
Valor del préstamo o deuda: V= c . a(1,n,i) = c . [(1+i)^n – 1 / (1+i)^n. i] 
 
Cuota del préstamo: c = V . [(1+i)^n. i / (1+i)^n -1] 
 
Fondo amortizante: t1 =V. [i / (1+i)^n -1] entonces tp = t1 .(1+i)^p-1 
 
Número de cuotas: n = ln (c/cV.i) / ln (1+i) 
 
Tasa de interés: interpolación lineal o métodos iterativos 
 
 
2-Sistema alemán-características: 
 
 Amortización periódica. 
 Saldo deudor decreciente. 
 Amortización de capital constante. 
 Interés sobre saldos (sistema puro) 
 Cuota decreciente en progresión aritmética. 
 
Gráficamente: 
 
0
50
100
150
200
250
300
350
1 2 3 4 5
Intereses
Capital
 
 
Cuadro de marcha del préstamo: 
 
 
 
 
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Fórmulas más utilizadas: 
 
Amortización periódica: tp = V/ n V: valor del préstamo 
 
Tasa de amortización: r = 1 /n-p 
 
Cuota: cp = V/n . [1 + i(n-p + 1)] 
 
Tasa de interés: interpolación lineal o métodos iterativos 
 
 
3-Sistema americano-características: 
 
 Amortización única al vencimiento. 
 Saldo deudor constante. 
 Fondo de Amortización o sinking fund, voluntario a tasa pasiva. 
 Intereses sobre el capital (sistema puro) a tasa de interés activa. 
 Cuota total: cuota obligatoria más cuota voluntaria. 
 
Gráficamente: 
 
 
CCUUOOTTAA TTOOTTAALL 
FFOONNDDOO AAMMOORRTTIIZZAANNTTEE 
 
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Cuadro de marcha del préstamo: 
 
 
 
Fórmulas más utilizadas: 
 
Interés periódico: I = V. i V: valor del préstamo 
 
Cuota facultativa: cf = V . [i´ / (1+i´)^n -1] 
 
Fonfo de amortización: F(p) = cf . [ (1+i´)^p -1/ i´] 
 
Cuota total : cp = V. i + cf 
 
 
B) Sistemas con intereses directos: 
 
Son sistemas de amortización que calculan los intereses sobre el capital de diversas formas (no sobre 
saldo), lo cual hace que la tasa de interés de estos sistemas se transforme en una tasa ficticia, toda vez 
que la tasa implícita es diferente a la de contrato.1-Tasa directa cargada-características: 
 
Los Intereses se calculan sobre el capital, luego el total de los intereses se suman al valor del préstamo, y 
para calcular el valor de la cuota se divide la suma de VEI (0,n) por el número de períodos “n”. 
La tasa de interés se denomina “r” para distinguirla de “i” que es la tasa sobre saldos. 
 
C = V + I(0;n) / n = V +V*r*n/n = V * [(1+r. n)/n] r =i 
 
Los intereses se calculan directamente sobre el capital inicial y luego se prorratean, surge de este sistema 
una tasa equivalente sobre saldos que es mayor que la tasa directa “r”, con lo cual se transforma en una 
tasa ficticia. 
 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
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2-Intereses directos descontados - características: 
 
Los intereses se descuentan sobre la deuda inicial. Éstos se calculan bajo el régimen simple y el 
prestatario recibe un préstamo efectivo igual al capital nominal solicitado menos los intereses. 
 
N = V/ (1 –t*n) V = N –N*t*n = N/(1-t*n) t=i 
 
Donde: 
N: Capital nominal de la operación (préstamo que debemos pedir para recibir “V”) 
 t: tasa de interés directa cargada 
V: Préstamo Efectivo 
Gráficamente: 
 
 
 
3-Intereses promediados - características: 
 
Los intereses se calculan igual que en el sistema alemán, y luego se distribuyen en partes iguales para 
cada cuota del préstamo. 
 
Interés Promediado = I (0,n) /n 
 
 
 
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Las cuotas son constantes. Los intereses se calculan sobre saldo y son decrecientes en progresión 
aritmética, pero a efectos de su cobro, se suman y se promedian. 
 
 I (p -1,p) = u * V/n (n –p+1) u=i 
 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 En los tres casos estudiados de sistemas con intereses directos, habrá que buscar aquella tasa de 
interés que igual la sumatoria de las cuotas totales abonadas (capital, intereses, gastos, impuestos no 
deducibles) con el capital recibido (Tasa Interna de Retorno –TIR-) de modo de conocer la tasa de interés 
verdadera que se está pagando. Es lo que conocemos comúnmente como costo financiero total (CFT). 
Lo mismo sucede en los sistemas de amortización sobre saldo. Cuando además del capital e intereses por 
la financiación, el deudor debe abonar gastos, comisiones, seguros e impuestos que no podrá deducir 
impositivamente, se debe calcular el CFT (matemáticamente la TIR). Esto es así, ya que la tasa de interés 
que efectivamente terminará abonando por el préstamo es toda vez mayor que la tasa de contrato. 
 
 
Preguntas de Autoevaluación: 
 
1. ¿Qué entiende por amortizar una deuda? 
2. ¿Cómo se pueden clasificar los distintos sistemas de amortización de deuda? 
3. Cuáles son las características de cada uno de los sistemas de amortización y cómo se calculan las 
cuotas o servicios, la amortización de capital y los intereses? 
4. ¿Qué sucede con la tasa de interés en aquellos sistemas en que los intereses se calculan de manera 
directa sobre el préstamo, aún sin la existencia de costos adicionales? 
5. ¿En qué sistema se pagan mayores intereses absolutos? Por ejemplo en un préstamo de $100 a 4 años a 
una tasa de 10%. 
6. ¿Qué es el costo financiero total (CFT)? ¿Cómo se determina? ¿Cuál es la normativa del BCRA? 
7. ¿Qué es la unidad de valor adquisitivo (UVA)? ¿Qué normativa lo regula? ¿Cómo se aplica a un 
préstamo determinado? ¿Cuál es su valor en el día de la fecha? 
8. ¿Qué es el coeficiente de estabilización de referencia (CER)? ¿Qué normativa lo regula? ¿Cómo se 
aplica a un préstamo determinado? ¿Cuál es su valor en el día de la fecha? 
 
 
 
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Bibliografía básica (sugerida y en orden alfabético): 
1.Gianneschi, Mario. Curso de Matemática Financiera” Ediciones Macchi-1º Edición-Buenos Aires, 
2005. Capítulos 14 y 15. 
2.López Dumrauf, Guillermo . Cálculo Financiero Aplicado. LA LEY-1º Edición-Buenos Aires, 2004. 
Capítulos 8 y 9. 
 
Ejercicios de Aplicación Práctica: 
 
1. Se toma un préstamo de $ 10.000 a 5 años al 10%. Construir el correspondiente cuadro de marcha 
aplicando aquellos sistemas que calculan los intereses sobre el saldo. Para el sistema de amortización 
americano, suponga que se crea un fondo de amortización (sinking fund) al 5%. 
 
a) Sistema de amortización francés 
 
c = V . [(1+i)^n. i / (1+i)^n -1] 
c = 10.000* [(1+0,10)^5. *0,10 / (1+0,10)^5 -1] = 2.637,97 
 
MES 
Capital Intereses Cuota Pura Cuota Total Saldo s/deuda 
0 
 
10.000,00 
1 1.637,97 1.000,00 2.637,97 2.637,97 8.362,03 
2 1.801,77 836,20 2.637,97 2.637,97 6.560,25 
3 1.981,95 656,03 2.637,97 2.637,97 4.578,30 
4 2.180,14 457,83 2.637,97 2.637,97 2.398,16 
5 2.398,16 239,82 2.637,97 2.637,97 0,00 
TOTAL 10.000,00 3.189,87 13.189,87 13.189,87 
 
b) Sistema de amortización alemán 
 
Amortización periódica: tp = V/ n 
 
Amortización periódica: tp = 10.000/5 = 2.000 
MES Capital Intereses Cuota Pura Cuota Total Saldo s/deuda 
0 
 
10.000,00 
1 2.000,00 1.000,00 3.000,00 3.000,00 8.000,00 
2 2.000,00 800,00 2.800,00 2.800,00 6.000,00 
3 2.000,00 600,00 2.600,00 2.600,00 4.000,00 
4 2.000,00 400,00 2.400,00 2.400,00 2.000,00 
5 2.000,00 200,00 2.200,00 2.200,00 0,00 
TOTAL 10.000,00 3.000,00 13.000,00 13.000,00 
 
 
 
 
 
 
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c) Sistema de amortización americano con sinking fund 
 
Interés periódico: I = V. i 
I= 10.000*0,10 =1.000 
 
Cuota facultativa: cf = V . [i´ / (1+i´)^n -1] 
Cf = 10.000 * [0,05 / (1+0,05)^5 -1] = 1.809,75 
 
MES Capital 
Intereses 
Pagados 
Cuota 
Pura 
Cuota al Fondo 
Intereses 
Ganados 
Fondo 
Acumulado 
Cuota Total 
Saldo 
s/deuda 
0 
 
10.000,00 
1 - 1.000,00 1.000,00 1.809,75 
 
1.809,75 2.809,75 10.000,00 
2 - 1.000,00 1.000,00 1.809,75 90,49 3.709,98 2.809,75 10.000,00 
3 - 1.000,00 1.000,00 1.809,75 185,50 5.705,23 2.809,75 10.000,00 
4 - 1.000,00 1.000,00 1.809,75 285,26 7.800,24 2.809,75 10.000,00 
5 10.000,00 1.000,00 11.000,00 1.809,75 390,01 10.000,00 12.809,75 0,00 
TOTAL 10.000,00 5.000,00 15.000,00 9.048,74 951,26 
 
24.048,74 
 
 
2. Se toma un préstamo de $ 100 a 4 años al 10%. Construir el correspondiente cuadro de marcha 
aplicando aquellos sistemas que calculan los intereses directos. Calcular la tasa interna de retorno (TIR) a 
efectos de determinar el CFT del préstamo. Analizar los resultados obtenidos. 
 
a) Sistema de Amortización tasa directa cargada. 
 
C = V + I(0;n) / n = V +V*r*n/n = V * [(1+r.n)/n] 
C= 100 *(1+0,10*4)/4 = 35 
 
MES Saldo Intereses 
Amort. 
Períodica 
CuotaTotal Amortizado 
Interés 
sobre Saldo 
(%) 
0 
 
- 100,00 
 
1 100,00 10,00 25,00 35,00 25,00 10,00 
2 75,00 10,00 25,00 35,00 50,00 13,30 
3 50,00 10,00 25,00 35,00 75,00 20,00 
4 25,00 10,00 25,00 35,00 100,00 40,00 
TOTAL 
 
40,00 100,00 140,00 
 
 
14,96% TIR 
 
b) Sistema de Amortización intereses descontados. 
 
N = V/ (1 –t*n) 
 
V= 100 n= 4 t (i) = 10% 
 
N = 100/ (1-0,10*4) = 166,66 
 
C = 166,66/ 4 = 41,66 
 
 
 
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MES Saldo Intereses 
Amort. 
Períodica 
Cuota 
Total 
Amortizado 
Interés sobre Saldo 
(%) 
0 - 100,00 
1 
 
100,00 
 
16,66 25,00 41,66 25,00 10,00 
2 
 
75,00 
 
16,66 25,00 41,66 50,00 13,30 
3 
 
50,00 
 
16,66 25,00 41,66 75,00 20,00 
4 
 
25,00 
 
16,66 25,00 41,66 100,00 40,00 
TOTAL 
 
66,64 100,00 166,64 
 
24,09% TIR 
 c) Sistema de Amortización intereses promediados. 
 
Interés Promediado = I (0,n) /n 
 
Cuota en sistema alemán = 100/4 = 25; los intereses se calculan igual que en sistema alemán (sobre saldo 
de capital), luego se promedia el total: 25/4 = 6,25. Etonces la cuota de este sistema será: c= 25+6,25 
=31,25 
 
MES Saldo 
Intereses 
Alemán 
Interés 
promediado 
Amort. 
Períodica 
Cuota Alemán 
Cuota c/Int. 
Promediado 
Total 
Amortizado 
0 -100 
1 
 
100,00 
 
10,00 
 
6,25 
 
25,00 35,00 31,25 
 
25 
2 
 
75,00 
 
7,50 
 
6,25 
 
25,00 32,50 31,25 50 
3 
 
50,00 
 
5,00 
 
6,25 
 
25,00 30,00 31,25 75 
4 
 
25,00 
 
2,50 
 
6,25 
 
25,00 27,50 31,25 100 
TOTAL 
 
25,00 
 
25,00 
 
100,00 125,00 125,00 250,00 
 
9,56% TIR 
 
En este sistema la TIR es menor a la tasa de interés del préstamo (9,6%<10%) 
 
3. Un préstamo de $70.000 se cancela mediante 18 cuotas mensuales calculadas por el sistema de 
amortización francés al 10%(TNA). 
 Se Pide: a) determinar el servicio de amortización. b) Fondo amortizante. c) Amortización acumulada 
después de pagadas 11 cuotas. d) Intereses pagados entre el periodo 6 y 10 inclusive. e) Saldo de deuda 
luego de pagados 8 servicios. f) Amortización del último periodo. g) Demostrar los resultados obtenidos 
en los puntos anteriores mediante un cuadro de marcha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PARTE II: “ELEMENTOS DE CÁLCULO 
FINANCIERO” 
 
 
 
 
Unidad Nº 5: “Sistemas de Amortización de 
Deudas” 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS A RESOLVER 
POR EL ALUMNO Y PRESENTAR PARA 
SU EVALUACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. Sistemas de amortización de deudas 
 
1. Se toma un préstamo en una entidad bancaria por $ 150.000 a devolver en 12 cuotas mensuales al 36% 
(TNA). Construir el cuadro de marcha del préstamo utilizando los siguientes sistemas de amortiazción: a) 
francés; b) alemán; c) americano con sinking fund con una tasa pasiva del 26%; d) tasa directa cargada; e) 
intereses descontados; f) intereses promediados. Graficar las principales variables (cuota, amortización de 
capital e intereses) en cada sistema. Construya una matriz con un ranking de los intereses pagado en cada 
sistema. ¿A qué conclusiones puede arribar? 
 
 
2. Se toma un préstamo en una agencia de desarrollo. El monto solicitado es de $1,5 millones a 24 meses 
con 6 meses de gracia (incluidos) a un 24,50% (TNA). Los gastos de otorgamiento y sellado son del 3% 
y 1% respectivamente. El seguro de vida sobre saldo deudor es del 0,25%. El IVA sobre gastos de 
otorgamiento y Seguro de Vida es del 21% y sobre los intereses periódicos 10,5% El sistema de 
amortización aplicado es el francés. Se Pide: a) Determinar el monto del préstamo recibido. b) El monto 
de la cuota pura. c) Cuadro de marcha del préstamo. d) costo financiero mensual y anual del préstamo. 
Comente los resultados obtenidos. 
 
3. Un préstamo hipotecario de $ 10.000.000 tomado en UVA el 01/09/2021 a devolver en 15 Años, con 
cuotas mensuales (180 meses), sistema de amortización francés y una tasa fija del 8% (TNA). Construir el 
correspondiente cuadro de marcha de la operación mostrando los distintos componentes de la cuota en 
UVA y en pesos, para ello buscar el valor UVA publicado por el BCRA. A partir de esa fecha suponer 
que se mantiene constante. 
 
 
 
Nota: La presentación del presente trabajo práctico será de carácter individual, deberá realizarse de 
manera completa en archivo de Microsot Excel mostrando en todos los casos las fórmulas de cálculo. 
Dicha presentación será en la fecha publicada en el Aula Virtual de la Cátedra en un link abierto para esos 
fines. En ningún caso se recibirá el mismo en otro formato y por otro medio. 
El nombre del archivo deberá ser: FCE_UNJu_05_2021_APELLIDO_LU. 
P.ej: FCE_UNJu_04_2020_PEREZ_20550