AM1 2020

Esta es una vista previa del archivo. Inicie sesión para ver el archivo original

1 
 
Unidad 1: Funciones en una variable 
 
Con mucha frecuencia, en la vida cotidiana, podemos observar figuras e imágenes que ilustran 
ejemplos de funciones. Así por ejemplo las que se muestran en las Figuras 1 a 5. 
 
 Figura 1: Diámetro ecuatorial de planetas Figura 2: Relación tiempo y distancia de viaje 
 
 
 
Figura 3 : Presión del aire vs altitud Figura 4 Aceleración vertical de un terremoto 
 
 
 
Figura 5 Curva de luz observada durante 78 días de la estrella EPIC 204278916 (Scaringi et al) 
https://milesdemillones.com/category/kepler-2/ 
 
El concepto de función es de gran importancia en las ciencias básicas y aplicadas, como son la 
Matemática, Física, Astronomía, Geofísica, Ingeniería, etc., ya que, a partir de dicho concepto y 
resultados del Cálculo o Análisis Diferencial e Integral, se han logrado grandes avances en las 
2 
 
ciencias actuales, apoyados de la tecnología moderna. El Análisis Diferencial e Integral 
constituye, de esta manera, un área del saber pilar para muchas ciencias, de gran importancia 
de estudio. 
Para introducir el concepto de función revisaremos primero algunas definiciones y conceptos 
previos que serán de utilidad. 
 
1 PRECALCULO 
1.1 Los conjuntos numéricos y operaciones 
Para comenzar, recordemos: 
Un conjunto es una colección de objetos. A cada uno de esos objetos se los llama elemento del 
conjunto. 
Los conjuntos suelen designarse mediante letras mayúsculas: 𝐴, 𝐵, 𝐶 ,…, etc. Los elementos de 
un conjunto se simbolizan con letras imprentas minúsculas: 𝑎, 𝑏, 𝑐,…, etc. 
Para indicar que un elemento x pertenece al conjunto A escribiremos: 𝑥 ∈ 𝐴. Para indicar que 
un elementos y no pertenece a un conjunto A, escribimos: 𝑦 ∉ 𝐴. 
Un conjunto puede definirse por comprensión (dando la propiedad que caracterizan a todos 
sus elementos) o por extensión (listando cada uno de los elementos que lo componen). 
Por ejemplo: 𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} es un conjunto definido por extensión. Dicho conjunto puede 
también definirse por comprensión como sigue: 𝐴 = {𝑥/ 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙}. 
Entre los conjuntos especiales se encuentran el conjunto vacío y el conjunto universal. El 
conjunto vacío, que no tiene elementos, se simboliza con el símbolo ∅; mientras que al conjunto 
universal, al cual pertenecen todos los elementos de referencia, con la letra 𝑈. 
Un conjunto puede ser finito o infinito. Si un conjunto es finito, este puede definirse por 
comprensión y por extensión. Caso contrario, cuando el conjunto no tiene un número finito de 
elementos (es decir, el conjunto es infinito), sólo se puede definir por comprensión. 
 
Una relación importante, entre conjuntos, es la relación de inclusión. Este nos será de mucha 
utilidad para trabajar con el conjunto de números reales. 
 
 
 
 
 
Entre las operaciones definidas para conjuntos se encuentran: la unión, intersección, complemento 
y diferencia. 
 
 
 
 
Relaciones entre Conjuntos 
Definición: Dados dos conjuntos 𝐴, 𝐵. 
 Se dice que 𝐴 ⊂ 𝐵, y se lee 𝐴 está contenido estrictamente en 𝐵, si se cumplen las 
siguientes dos condiciones: 
(1) todo elemento de 𝐴, es elemento de 𝐵 y 
(2) existe al menos un elemento en 𝐵, que no pertenece al conjunto 𝐴. 
 Se dice que 𝐴 ⊆ 𝐵, y se lee 𝐴 está contenido en 𝐵, si todo elemento de 𝐴, es elemento 
de 𝐵. 
 Se dice que A=B, y se lee A igual a B, si y sólo si 𝐴 ⊆ 𝐵 y 𝐴 ⊆ 𝐵. 
 
Definición: Dados dos conjuntos 𝐴 𝑦 𝐵 se define la intersección de los conjuntos, y se denota 
por 𝐴 ∩ 𝐵, al conjunto dado por 
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵} 
Definición: Dados dos conjuntos 𝐴 𝑦 𝐵 se define la unión de los conjuntos, y se denota por 
 𝐴 ∪ 𝐵, al conjunto dado por 
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ∈ 𝐴 ˅ 𝑥 ∈ 𝐵} 
3 
 
 
 
 
 
 
 
Algunos símbolos útiles a tener en cuenta son los que se muestran en la Tabla 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabla 1 
 
Ahora recordemos los conjuntos numéricos: 
 ℕ, el conjunto de números naturales, que sirven para contar. Se simboliza con ℕ y tiene 
como elementos: 1, 2, 3, . . . . , 𝑛, …., etc. 
Con ℕ0 se representa el conjunto de los números naturales donde se le agrega el número 
0(cero). 
Dentro del conjunto de las operaciones entre números naturales, podemos destacar una 
operación especial denominada “factorial”, de aplicación para conteo objetos 
construidos por re-agrupamiento de ciertos elementos dados. También para determinar 
el número de casos en que ocurre un evento o suceso, en experimentos de distintas 
naturalezas. La rama de la matemática que le dedica especial atención al factoreo se 
denomina “Análisis Combinatorio” (de mucha utilidad en el Análisis Estadístico). 
Muchos modelos y fórmulas matemáticas, de interés en las Ciencias Exactas, de la Tierra 
y del Espacio, aparecen números factoriales. 
Símbolo Se lee 
∀ “cualquiera sea” o “para todo” 
∃ “existe” o “existe al menos uno” 
𝒙 ∈ 𝑨 “el elemento 𝒙 pertenece al conjunto 𝐴” 
𝒙 ∉ 𝑨 “el elemento 𝒙 no pertenece al conjunto 𝐴” 
𝐴 ⊆ 𝐵 “𝐴 es subconjunto de 𝐵” 
𝐴 ⊈ 𝐵 “𝐴 no es subconjunto de 𝐵” 
⇒ “implica” o “entonces” 
⇔ “si y sólo si” o “es necesario y suficiente” 
∧ “y” 
˅ “o” 
Definición: Dados dos conjuntos 𝐴 𝑦 𝐵 se define la diferencia de los conjuntos, y se denota por 
𝐴 − 𝐵, al conjunto dado por: 
𝐴 − 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵} 
Definición: Dado el conjunto 𝐴 se define el complemento de los conjuntos, y es denotado por 
𝐴̅ o también 𝐴𝐶 al conjunto dado por 
𝐴̅ = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ∉ 𝐴} 
4 
 
 
 
 
 Ejemplo 1 
3!=3.2.1=6 
5!=5.4.3.2.1=120 
1!=1 
0!=1 
 
 ℤ , el conjunto de números enteros, que surgen de agregarle a los números naturales sus 
opuestos y el 0 (cero):tiene entre sus elementos …, −𝑛, … , −3, −2, −1,0,1,2, . . . , 𝑛, …, etc. 
 ℚ, el conjunto de números racionales, que son todas las fracciones con numerador y 
denominador entero y denominador distinto de cero. 
Esto es: ℚ = {
𝑚
𝑛
 / 𝑚 ∈ ℤ 𝑦 𝑛 ∈ ℤ 𝑦 𝑛 ≠ 0}. 
Por ejemplo: 
2
3
 , 
5
4
, −
1
10
, −
7
2
, etc. son números racionales. 
La igualdad de fracciones se define como sigue: 
𝑚
𝑛
=
𝑝
𝑞
 si y sólo si 𝑚. 𝑞 = 𝑛. 𝑝. 
La suma y producto de dos números racionales 
𝑚
𝑛
 y 
𝑝
𝑞
 se define: 
 Suma: 
𝑚
𝑛
+
𝑝
𝑞
=
𝑞.𝑚+𝑛.𝑝
𝑛.𝑞
 
 Producto: 
𝑚
𝑛
.
𝑝
𝑞
=
𝑚.𝑝
𝑛.𝑞
 
Todos estos conjuntos numéricos cumplen con la relación: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. 
 
Observaciones sobre los números racionales: 
 Propiedad de Tricotomía: Dados dos números racionales 𝑥 e 𝑦, siempre se pueden 
comparar, es decir, siempre vale una de las siguientes afirmaciones: o bien 𝑥 < 𝑦, o bien 
x > y, o bien 𝑥 = 𝑦. 
 Cada número racional admite una expresión decimal finita o periódica, y cada expresión 
decimal finita o periódica representa un número racional. Por ejemplo: 
1
2
= 0.5 , 
1
3
= 0. 3̅ = 0.333 … , 
73
30
= 2.43̅ = 2.4333 … 
 Los números racionales se pueden representar en una recta numérica donde se fijan el 
0 (cero) en el punto fijo 𝑶 llamado origen, y la unidad de longitud, es decir el 1 (uno), 
correspondiente al segmento unitario. A la derecha del origen 𝑶 se indican los puntos 
que corresponden a los números positivos y a la izquierda del origen 𝑶 los puntos que 
corresponden a los números negativos. Para representar gráficamente un número 
fraccionario en la recta numérica, se divide la unidad en tantas partes como lo indique 
el denominador de la fracción y luego se toman tantas partes de la subdivisión como lo 
indique el numerador. Por ejemplo, si representamos 
1
2
 , −
5
2
 , 
1
1
 ( que representa el entero 
1) 𝑦 −
2
1
 (que representa al entero −2) resulta:
Origen 
 
 
 Negativo Positivo 
Definición: Sea 𝑛 ∈ ℕ0. Se llama factorial del número n (o n-factorial), y lo indicaremos 
con n!, al número: 𝑛! = {
1 , 𝑠𝑖 𝑛 = 0
𝑛. (𝑛 − 1). (𝑛 − 2) … 3.2.1 , 𝑠𝑖 𝑛 > 0
. 
5 
 
 Densidad de los números racionales: Entre dos números racionales distintos siempre 
hay otro racional. Por ejemplo, entre 1.9 y 2 se encuentra el 1.99; y entre 1.99 y 2 
podemos ubicar al número racional 1.999, etc. En realidad, de esta afirmación se deduce 
que entre dos números racionales siempre hay infinitos números racionales. 
 
Sin embargo, si se lograra marcar todos los números racionales en una recta, igual quedarían 
puntos sin marcar. Por ejemplo, el punto que representa al valor √2 cuya expresión decimal no 
es finita ni periódica. 
Los números decimales que tienen infinitas cifras no periódicas, por ejemplo √2, π, √3, √5
3
... se 
llaman números irracionales . El conjunto de los números irracionales se simboliza 𝕀. 
 
 
La recta real 
A la unión entre el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales 
se lo llama el conjunto de números reales y se lo designa ℝ. 
ℝ = ℚ ∪ 𝕀 
Los números reales se representan geométricamente como la colección de todos los puntos de 
una recta, eligiendo una unidad arbitraria. Esta recta se denomina “recta real”. Proporciona una 
visualización perfecta de los números reales. Esto es, a cada punto de la recta le corresponde 
uno y sólo un número real, y viceversa. Este tipo de correspondencia se llama “biyectiva” o “uno 
a uno”. 
Representamos geométricamente los números reales mediante la recta real. 
 
 
Observaciones: 
1- ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. 
2- 𝕀 ⊂ ℝ. 
3- ℚ ∩ 𝕀 = ∅. 
4- Densidad de los números reales: Entre dos números reales siempre hay otro número 
real. Como antes, decir que entre dos números reales siempre hay otro real, es lo mismo 
que decir que entre dos números reales hay infinitos números reales. 
5- ℝ = ℝ− ∪ {0} ∪ ℝ+, siendo ℝ− el conjunto de los números reales negativos, y ℝ+ el 
conjunto de los reales positivos. 
 
 Geométricamente: 
 
 
 Números reales positivos 
 Números reales negativos 
 
 
A continuación, se muestra un esquema ilustrativo sobre los distintos conjuntos numéricos. 
 
Naturales (ℕ) 
Cero (0) Enteros (ℤ) 
Enteros Negativos (ℕ -) Racionales (ℚ ) 
 
 Reales (ℝ ) 
 Fraccionarios 
 Irracionales (𝕀) 
6 
 
1.2 Definición axiomática de los números reales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entendemos que: 
𝑎 < 𝑏 si y sólo si 𝑏 − 𝑎 𝜖 ℝ+. 
 
𝑎 < 𝑏 se lee “𝑎 es menor que 𝑏”. 
 
 
 
 
 
 
 
Así pues, 1 < 2 pues en la recta real el 1 está a la izquierda del 2. 
 
 
Sobre el conjunto ℝ de los números reales, consideramos las operaciones de suma 
(+), producto (.) y la relación <, de modo que cualesquiera que sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ se 
verifican los siguientes axiomas: 
(A1) 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ. 
 
(A2) 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 (Propiedad asociativa de la suma) 
 
(A3) 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 (Propiedad conmutativa de la suma) 
 
(A4) Existe 0 ∈ ℝ, llamado cero, tal que 0 + 𝑎 = 𝑎. (El 0 (cero) es el elemento neutro 
de la suma) 
 
(A5) Para cada 𝑎 ∈ ℝ, existe un único elemento – 𝑎 ∈ ℝ, llamado el opuesto de 𝑎, tal que 
𝑎 + (−𝑎) = 0. 
 
(A6) 𝑎. 𝑏 ∈ ℝ. 
 
(A7) 𝑎. (𝑏. 𝑐) = (𝑎. 𝑏). 𝑐 (Propiedad asociativa del producto) 
 
(A8) 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎 (Propiedad conmutativa del producto) 
 
(A9) Existe el elemento 1 ∈ ℝ, llamado uno, tal que 1. 𝑎 = 𝑎. (El 1(uno) elemento neutro 
del producto) 
 
(A10) Para cada 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0, existe un único elemento 
1
𝑎
∈ ℝ, llamado el inverso 
(recíproco) de a, tal que 
 𝑎. (
1
𝑎
) = 1. 
 
(A11) 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 (Propiedad distributiva del producto respecto a la suma) 
 
 
Por verificar los axiomas A1,A2,…A11, diremos que (ℝ, +, . ) tiene estructura de 
cuerpo, y se lo conoce con el nombre de “cuerpo de los números reales”. 
Geométricamente: 
𝑎 < 𝑏 si y sólo si 𝑎 está a la izquierda de b. 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al definir “<” (la relación “es menor que”) en ℝ, diremos que ℝ es un conjunto ordenado por 
la relación <, escribimos ( ℝ, <) es un conjunto ordenado, y por verificar los axiomas A1, A2,…, 
A15 diremos que (ℝ, +, . , <) representa el cuerpo ordenado de los números reales. 
 
Notaciones: 
(1) 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏). 
(2) Si 𝑎 ≠ 0 entonces notaremos 
1
a
= a−1 al “recíproco del número a”. 
(3) Si 𝑏 ≠ 0 entonces 
a
b
= a. b−1. Al número real 
a
b
 se llama “el cociente de 𝑎 por 𝑏”, a es el 
numerador y b el denominador. 
(4) a ≤ b se lee “𝑎 precede a 𝑏” o “𝑎 es menor o igual a 𝑏”. 
 a ≤ b , si vale una de las dos propiedades siguientes: (i) 𝑎 = 𝑏 , (ii) 𝑎 < 𝑏. 
(5) 𝑎 > 𝑏 se lee 𝑎 mayor que 𝑏” 
 𝑎 > 𝑏, si se cumple 𝑏 < 𝑎. 
(6) 𝑎 ≥ 𝑏 se lee “𝑎 sucede a 𝑏” ó “𝑎 es mayor o igual a 𝑏”. 
 𝑎 ≥ 𝑏 , si se cumple 𝑏 ≤ 𝑎. 
(7) 𝑎 < 𝑏 < 𝑐, indica que 𝑎 < 𝑏 y 𝑏 < 𝑐. 
 Mientras que a≤b≤c indica que 𝑎 ≤ 𝑏 y 𝑏 ≤ 𝑐. 
(8) Se dirá que 𝑎 ∈ ℝ es positivo si se verifica que 𝑎 > 0; y negativo si 𝑎 < 0. 
(9) Para simplificar, escribiremos cuando no hay dudas, ab en lugar 𝑎. 𝑏. 
 También 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 y 𝑎𝑏𝑐 en lugar de (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 y 𝑎. 𝑏. 𝑐, respectivamente. 
 
Otras propiedades importantes respecto a la suma y el producto de números reales 
a) Si 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑐, entonces 𝑏 = 𝑐. (Ley de simplificación para la suma) 
b) Si 𝑎. 𝑏 = 𝑎. 𝑐 y 𝑐 ≠ 0, entonces 𝑏 = 𝑐. (Ley de simplificación para el producto) 
c) Dados 𝑎 y 𝑏 dos números reales y 𝑎 ≠ 0, entonces existe un único número real 𝑥 tal 
que 𝑎. 𝑥 = 𝑏. A dicho número 𝑥 se lo simboliza 𝑏/𝑎 o 
𝑏
𝑎
 y se denomina “cociente de 𝑏 sobre 𝑎”. 
(Propiedad de posibilidad del cociente) 
d) Si 𝑎. 𝑏 = 0 entonces o 𝑎 = 0 o 𝑏 = 0. (Propiedad del producto cero) 
e) Si a≠0 entonces (𝑎−1)−1 = 𝑎 . 
 
Otras propiedades importantes de la relación de orden son: 
a) Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑐 < 𝑑, entonces 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑. 
b) Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑐𝜖 ℝ, entonces 𝑎 − 𝑐 < 𝑏 − 𝑐 . 
c) Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑘 < 0, entonces 𝑎. 𝑘 > 𝑏. 𝑘 . 
d) Si 𝑎 > 0, entonces 
1
𝑎
> 0 . 
 e) Si 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0 y 𝑎 < 𝑏, entonces 
1
𝑏
<
1
𝑎 
 . 
 
1.3 Otras operaciones definidas en ℝ 
Recordemos brevemente otras operaciones definidas en el conjunto de los números reales y 
algunas de sus propiedades. 
 
Axiomas de Orden 
(A12) Propiedad de Tricotomía: Vale una y sólo una de las tres condiciones siguientes: 
 (i) 𝑎 = 𝑏, (ii) 𝑎 < 𝑏, (iii) 𝑏 < 𝑎 . 
(A13) Propiedad Transitiva: Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑏 < 𝑐, entonces 𝑎 < 𝑐. 
(A14) Propiedad Aditiva: Si 𝑎 < 𝑏 entonces 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐. 
(A15) Si 𝑎 < 𝑏 y 0 < 𝑘 , entonces 𝑎. 𝑘 < 𝑏. 𝑘. 
8 
 
Potencia natural de un número real 
Sean 𝑥𝜖 ℝ y 𝑛𝜖ℕ. Definimos la potencia n-ésima de x, como sigue 
𝑥𝑛 = 𝑥. 𝑥 … 𝑥 (*)
𝑛 − 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 
Propiedades: Sean a, bϵ ℝ y n, mϵℕ, entonces se verifican: 
1) 𝑎𝑛+𝑚 = 𝑎𝑛. 𝑎𝑚 
2) 𝑎𝑛𝑚 = (𝑎𝑛)𝑚 
3) (𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏𝑛 
4) (
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 
5) Cuadrado de un binomio: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
6) Cubo de un binomio: (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
7) Diferencia de cuadrados: 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) 
 
Potencia entera de un número real 
Sea 𝑥𝜖 ℝ y 𝑘𝜖ℤ. Definimos la potencia 𝑘 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 de 𝑥, como sigue: 
1) Si 𝑘 = 0, entonces 𝑥0 = 1, 
2) Si 𝑘𝜖ℕ, entonces 𝑥𝑘 se calcula con (*). 
3) Si 𝑘 < 0 y 𝑥 ≠ 0, entonces 𝑥𝑘 =
1
𝑥−𝑘
. 
 
Raíz n-ésima de un número real 
Sean 𝑥𝜖 ℝ y 𝑛𝜖ℕ. Entonces se define la raíz n-ésima de x, que se simboliza √𝑥
𝑛
 , al número real 
𝑦 que cumple: 𝑦𝑛=x. 
Esto es: √𝑥
𝑛
= 𝑦 , si 𝑦𝑛=𝑥. 
 
Propiedades 
a) Sean 𝑥𝜖 ℝ y 𝑛𝜖ℕ, entonces: 
 Si 𝑛 es impar, la raíz 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 de número real x es un único número real 𝑦 tal que 
𝑦𝑛=𝑥. 
 Si 𝑛 es par y 𝑥 ≥ 0 
I. Existe un único número real 𝑦, con y ≥0, tal que 𝑦n= 𝑥. Al número y se lo 
simboliza + √𝑥
𝑛
. 
II. Existe un único número real 𝑧, con 𝑧 ≤ 0, tal que 𝑧𝑛 = 𝑥. Al número 𝑧 se lo 
simboliza − √𝑥
𝑛
. 
 
 
Notas: De lo expuesto resulta que si 𝑥 es mayor que 0 y 𝑛 es un número par, entonces existen 
dos únicos números reales, uno positivo y el otro negativo tales que al elevarlos a la 𝑛 
obtenemos 𝑥. es usual representar a dicho par de números con la notación ± √𝑥
𝑛
. 
Si 𝑛 = 2, escribiremos √𝑥 en lugar de √𝑥
2
. 
 
b) Sean 𝑎, 𝑏 ϵ ℝ , 𝑎 ≥ 0 y 𝑏 ≥ 0, 𝑛, 𝑚, 𝑠𝜖ℕ, entonces se verifican: 
I. √𝑎. 𝑏
𝑛
= √𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛
 (Propiedad distributiva de la raíz n-ésima respecto al producto) 
II. √𝑎𝑛
𝑚
= ( √𝑎
𝑚 )
𝑛
 
III. √ √𝑎
𝑛𝑚 = √𝑎
𝑚.𝑛
 
IV. √𝑎𝑛.𝑠
𝑚.𝑠
= √𝑎𝑛
𝑚
 
 
 
 
9 
 
Potencia racional de un número real no negativo 
Sean 𝑥ϵ ℝ , 𝑥 ≥ 0 y 𝑟 =
𝑚
𝑛
ϵℚ. Definimos la potencia 𝑟 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 de 𝑥 por medio de las siguientes 
reglas: 
1) Si 𝑥 ≠ 0, entonces 𝑥0 = 1. 
2) Si 𝑟 > 0 , entonces 𝑥𝑟 = 𝑥
𝑚
𝑛 = √𝑥𝑚
𝑛
 
3) Si 𝑟 < 0 y 𝑥 ≠ 0, entonces 𝑥𝑟 =
1
𝑥−𝑟
. 
 
 
Ejercicios: 
1) Límite del comportamiento de potencias. Completar las tablas siguientes. ¿Qué ocurre 
con la raíz 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 de 2 a medida que 𝑛 aumenta? ¡ Qué puede decir acerca de la 𝑛 −
é𝑠𝑖𝑚𝑎 sería de 
1
2
? 
 
𝑛 
2
1
𝑛 
 𝑛 
(
1
2
)
1
𝑛
 
1 1 
2 2 
5 5 
10 10 
100 100 
 
 
2) Distancia de la Tierra al Sol. Se deduce de la Tercera Ley de Kepler del movimiento 
planetario, que el promedio de distancia de un planeta al Sol (en metros) es 
𝑑 = (
𝐺𝑀
4𝜋2
)
1/3
. 𝑇2/3 
donde 𝑀 = 1.99 𝑥 1030𝑘𝑔 es la masa del Sol, 𝐺 = 6.67 𝑥 10−11.
𝑚2
𝑘𝑔2
 es la constante 
gravitacional, y 𝑇 es el período del planeta (en segundos). Utilizar que el período de la 
órbita de la Tierra es de alrededor de 365,25 días para hallar la distancia de la Tierra al 
Sol. 
 
3) Resistencia eléctrica. Si dos resistores eléctricos con resistencias 𝑅1 y 𝑅2 se conectan en 
paralelo (ver Figura siguiente) , entonces la resistencia total 𝑅 está dada por 
𝑅 =
1
1
𝑅1
+
1
𝑅2
. 
a) Simplifique la expresión de 𝑅. 
b) Si 𝑅1 = 10 𝑜ℎ𝑚𝑠 y 𝑅2 = 20𝑜ℎ𝑚𝑠 ¿cuál es la resistencia total 𝑅? 
 
 
 
 
10 
 
Logaritmo de un número real positivo 
Sean 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ con 𝑎 > 0 𝑦 𝑏 > 0 y 𝑎 ≠ 1. Definimos logaritmo en base 𝑎 de b como 
sigue: 
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑦 si y sólo si 𝑏 = 𝑎
𝑦 . 
 
Observación: Simbolizaremos con "𝑙𝑜𝑔(𝑥)" al logaritmo en base 10, y con "𝑙𝑛" al logaritmo 
natural, es decir, al logaritmo cuya base es el número irracional 𝑒 = 2.7172 … 
 
Se cumple: 𝑙𝑛(𝑥) = 𝑦 si y sólo si 𝑥 = 𝑒𝑦. 
 
Esto es: 
 
 
Propiedades: 
Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 números reales positivos, 𝑎 ≠ 1 y 𝑛𝜖ℝ, entonces se verifican: 
1) 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑏. 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐 
2) 𝑙𝑜𝑔𝑎 (
𝑏
𝑐
) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐 
3) loga (b
n) = n. logab 
4) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 =
𝑙𝑜𝑔 𝑏
𝑙𝑜𝑔 𝑎
 
 
1.4 Ecuaciones lineales en una variable 
 Variable 
Para nosotros una variable será un símbolo al que no le asignaremos ningún significado fijo, 
pero que puede ser reemplazado por objetos bien definidos. Las variable también pueden 
denominarse incógnitas y las designaremos con x,y,z,..etc (las últimas letras del alfabeto). 
Las variables reales son todas aquellas que solamente pueden ser reemplazadas por números 
reales. Las utilizaremos para definir ecuaciones lineales, cuadráticas y polinómicas, etc. 
 
Ecuaciones 
Definición: Sea 𝑥 una variable. Llamaremos ecuación lineal en una variable 𝑥, a toda expresión 
de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑, con 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ y 𝑎 ≠ 𝑐. 
 
Soluciones de una ecuación lineal 
Definición: Sea la ecuación lineal 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑, con 𝑎 ≠ 𝑐. Diremos que 𝑟 ∈ ℝ es solución de 
dicha ecuación, si verifica que 𝑎𝑟 + 𝑏 = 𝑐𝑟 + 𝑑. 
 
Observación: Si 𝑟 es solución de la ecuación, entonces se verifica: (𝑎 − 𝑐) 𝑟 = 𝑑 − 𝑏 y 𝑟 =
𝑑−𝑏
𝑎−𝑐
 . 
Luego, la ecuación tiene una única solución dada en (2), si 𝑎 ≠ 𝑐. 
 
Nota importante: La ecuación no es una igualdad entre números reales, pues 𝑥 no es un número 
real (ya que es un símbolo sin significado, es una variable). Sin embargo, con el objeto de 
simplificar los cálculos, para hallar una solución, en algunos casos actuaremos como si se 
tratase de una igualdad numérica. 
 
 
Ejercicio: 
Hallar la solución de 3𝑥 − 1 = 2𝑥 + 2. 
 
𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥) si y sólo si 𝑒𝑦 = 𝑒ln (𝑥) = 𝑥. 
11 
 
Inecuaciones lineales en una variable 
Inecuación lineal 
Definición: Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 números reales y 𝑥 una variable. Llamaremos inecuación lineal en una 
variable a expresiones de las siguientes formas: 
I) 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 𝑐𝑥 + 𝑑. 
II) 𝑎𝑥 + 𝑏 < 𝑐𝑥 + 𝑑. 
Notaciones: Escribimos: 
 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 𝑐𝑥 + 𝑑, para indicar 𝑐𝑥 + 𝑑 ≤ 𝑎𝑥 + 𝑏. 
 𝑎𝑥 + 𝑏 > 𝑐𝑥 + 𝑑, para indicar 𝑐𝑥 + 𝑑 < 𝑎𝑥 + 𝑏. 
 
Soluciones de una inecuación 
Definición: Llamaremos solución de una inecuación 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 𝑐𝑥 + 𝑑, a todo número real 𝑟 que 
verifica 𝑎𝑟 + 𝑏 ≤ 𝑐𝑟 + 𝑑. 
 
La solución de la inecuación II) 𝑎𝑥 + 𝑏 < 𝑐𝑥 + 𝑑 se define en forma análoga. 
 
 
Ejercicio: 
Determinar las soluciones de las siguientes inecuaciones. 
(a) 3𝑥 + 1 ≤ 2𝑥 − 1 (b) 2𝑥 − 1 ≥ 3𝑥 + 5 (c) 2𝑥 − 1 < 2𝑥 + 3. 
 
 
 
 
2. ALGUNOS CONCEPTOS TOPOLÓGICOS 
Sea el conjunto ℝ de los números reales. Como vimos en la sección anterior, dicho conjunto 
numérico es denso y puede representarse geométricamente como la colección de todos los 
puntos de una recta, eligiendo una unidad arbitraria. Dicha recta, denominada “recta real”, 
proporciona una visualización perfecta de los números reales. 
 
 
 
2.1 Distancia entre números reales 
Para introducir un concepto muy importante: el de distancia entre dos números reales, 
necesitamos del concepto de valor absoluto de un número real. 
Observemos que: 
 Si 𝑎 > 0, el número real es positivo. 
 Si 𝑎 < 0, el número real es negativo. 
 Si – 𝑎 > 0 entonces 𝑎 < 0. 
 Si −𝑎 < 0 entonces 𝑎 > 0. 
Hacemos esta consideración para evitar el error de considerar al número –a siempre como un 
número positivo. 
 
 
 
Definición: Sea 𝑎 un número real. Se llama valor absoluto de 𝑎, y lo indicaremos con |𝑎|, al 
número |𝑎| = {
𝑎 , 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 , 𝑠𝑖 𝑎 < 0
. 
12 
 
Propiedades del valor absoluto 
Sean 𝑎 y 𝑏 números reales. 
(1) |𝑎| = 0 si
y sólo si 𝑎 = 0. 
(2) |𝑎| ≥ 0. 
(3) |𝑎| = | − 𝑎| 
(4) |𝑎 − 𝑏| = |𝑏 − 𝑎| 
(5) |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏| 
(6) |𝑎. 𝑏| = |𝑎|. |𝑏| 
(7) |
𝑎
𝑏
| =
|𝑎|
|𝑏|
 , si b≠0. 
(8)||𝑎| − |𝑏|| ≤ |𝑎 − 𝑏| 
(9)|𝑎|2 = |𝑎2| = 𝑎2 
(10) √𝑎2 = |𝑎| 
(11) i. Si 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏 entonces |𝑎| ≤ |𝑏|. 
 ii. Si 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 0 entonces |𝑎| ≥ |𝑏|. 
 
Propiedades: Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 números reales. 
(1) 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑑(𝑏, 𝑎) 
(2) 𝑑(𝑎, 𝑏) ≥ 0. Además: 𝑑(𝑎, 𝑏) = 0 si y sólo si 𝑎 = 𝑏. 
(3) 𝑑(𝑎, 𝑏) ≤ 𝑑(𝑎, 𝑐) + 𝑑(𝑐, 𝑏). 
 
2.2 Intervalos y Entornos 
Antes de definir entorno, resulta conveniente recordar los distintos tipos de intervalos y 
caracterizar algunos de ellos mediante el empleo de valor absoluto. 
 
Intervalos 
 
Nota: A los intervalos cerrado-abierto y abierto-cerrado también se los llama intervalos semi-
abiertos o semi-cerrados. 
 
Intervalos infinitos 
 
Nota: En algunos casos, es usual escribir a ℝ como un intervalo en la forma ℝ = (−∞, +∞). 
 
Definición: Dados dos números 𝑎 y 𝑏 reales. Se llama distancia entre 𝑎 y 𝑏 al número real 
𝑑(𝑎, 𝑏) que se obtiene 𝑑(𝑎, 𝑏) = |𝑎 − 𝑏|. 
Definición: Sea 𝑎 ∈ ℝ. Llamaremos intervalo infinito a cualquiera de los siguientes conjuntos: 
(𝑎, +∞) = {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 < 𝑥} 
[𝑎, +∞) = {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 ≤ 𝑥} 
(−∞, 𝑎) = {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑥 < 𝑎} 
(−∞, 𝑎] = {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑥 ≤ 𝑎} 
Definición: Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ y 𝑎 < 𝑏. Llamaremos intervalo abierto, abierto-cerrado, cerrado-
abierto, cerrado, a los conjuntos: 
(𝑎, 𝑏) = {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} 
(𝑎, 𝑏] = {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} 
[𝑎, 𝑏) = {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} 
[𝑎, 𝑏] = {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} 
respectivamente. 
13 
 
Ejemplo 1 
Los siguientes conjuntos se expresan con notación de intervalo: 
 A = {x ∈ ℝ: 1 ≤ x ≤
3
2
} → A = [ 1 ,
 3
2
 ] Intervalo cerrado. 
 B = {x ∈ ℝ: √2 ≤ x} → B = [√2 , +∞) Intervalo infinito. 
 C = {x ∈ ℝ: − 3 < 𝑥 < −
1
2
} → C = (−3 , − 
 1
2
 ) Intervalo abierto. 
 D = {x ∈ ℝ: − 2 < 𝑥} ∩ {x ∈ ℝ: x ≤
7
2
} → D = (−2,
7
 2
 ] Intervalo abierto-cerrado. 
 E = {x ∈ ℝ: −
5
2
< 𝑥} ∪ {x ∈ ℝ: 1 ≤ x < 7}→ E = (−
5
 2
, +∞) Intervalo infinito. 
 
 
Caracterización de intervalos por medio del valor absoluto 
Lema: Sea 𝑎 > 0. Luego: 
(i) |𝑥| < 𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−𝑎, 𝑎). 
(ii) |𝑥|> 𝑎 si y sólo si x> 𝑎 o x<- 𝑎. Esto es: 𝑥 ∈ (−∞, 𝑎) ∪ (𝑎, +∞) . 
 
Geométricamente: 
 
 |𝑥| < 𝑎 se representa ( ) 
 -a a 
 
 
 |𝑥| > 𝑎 se representa ) ( 
 -a a 
 
Nota 1: Sea a > 0. 
 
 |𝑥| ≤ 𝑎 se representa [ ] 
 -a a 
 
 
 |𝑥| ≥ 𝑎 se representa ] [ 
 -a a 
 
 
Ejemplo 
Esbozar el conjunto solución de |𝑥 − 3| ≤ 2 . 
Solución: Teniendo en cuenta la propiedad |𝑥| ≤ 𝑎 si y sólo si −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 , se deduce que: 
−2 ≤ 𝑥 − 3 ≤ 2 
−2 + 3 ≤ 𝑥 − 3 + 3 ≤ 2 + 3 
1 ≤ 𝑥 ≤ 5 
Luego el conjunto solución es el intervalo cerrado [1,5], como se muestra en la siguiente figura.
 
 
 
Actividad IMPORTANTE: Sea 𝑎 < 0. Analizar y completar determinando los valores de 𝑥 reales 
que cumplen cada una de las siguientes condiciones: 
 
14 
 
 
 (1) |𝑥| < 𝑎 si y solo si 𝑥 ∈ … 
(2) |𝑥|> 𝑎 si y sólo si 𝑥 ∈ … 
 
 
Lema: Sea (𝑐 − ℎ, 𝑐 + ℎ) un intervalo centrado en c y radio h, entonces: 
𝑥 ∈ (𝑐 − ℎ, 𝑐 + ℎ) si y sólo si |𝑥 − 𝑐| < ℎ. 
Demostración: 
𝑥 ∈ (𝑐 − ℎ, 𝑐 + ℎ) 𝑠𝑖𝑖 𝑐 − ℎ < 𝑥 < 𝑐 + ℎ 𝑠𝑖𝑖 − ℎ < 𝑥 − 𝑐 < ℎ 𝑠𝑖𝑖 |𝑥 − 𝑐| < ℎ. 
c.q.d 
 
Entorno y entorno reducido 
Sean 𝑐 ∈ ℝ y ℎ ∈ ℝ+. 
 
 
 
2.3 Cotas de un conjunto 
Conjuntos acotados y no acotados 
 
 
Se visualiza esta noción en la recta numérica como sigue: 
 𝐴 
 
 k 
 
Se visualiza esta noción en la recta numérica como sigue: 
 𝐴 
 
 c 
 
Definición: Sean c ∈ ℝ y h ∈ ℝ+. Diremos que un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) está centrado en c 
y tiene radio h, si se cumple (𝑎, 𝑏) = (𝑐 − ℎ, 𝑐 + ℎ). 
Definición: Llamaremos entorno de centro 𝑐 y amplitud h (o radio h) al conjunto {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 ∈
(𝑐 − ℎ, 𝑐 + ℎ)} y lo notaremos 𝐸(𝑐, ℎ). 
Es decir: 𝐸(𝑐, ℎ) = (𝑐 − ℎ, 𝑐 + ℎ). 
Definición: Llamaremos entorno reducido de centro c y amplitud h, y lo notaremos 𝐸𝑅(𝑐, ℎ), 
al conjunto {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ∈ (𝑐 − ℎ, 𝑐 + ℎ) 𝑦 𝑥 ≠ 𝑐}. 
Esto es: 𝐸𝑅(𝑐, ℎ) = (𝑐 − ℎ, 𝑐 + ℎ) − {𝑐}. 
Definición: Dado un subconjunto 𝐴 de números reales, diremos que un número real 𝑘 es 
cota superior de 𝐴 si y sólo si para todo elemento 𝑥 ∈ 𝐴 se cumple 𝑥 ≤ 𝑘. 
Si el conjunto A tiene una cota superior, se dice que A está acotado superiormente. Definición: Dado un subconjunto 𝐴 de números reales, diremos que un número real 𝑐 es cota 
inferior de 𝐴 si y sólo si para todo elemento 𝑥 ∈ 𝐴 se cumple 𝑐 ≤ 𝑥. 
Si el conjunto 𝐴 tiene una cota inferior, se dice que 𝐴 está acotado inferiormente. 
15 
 
 
Nota: En el Ejemplo 1, los conjuntos 𝐴, 𝐶 y 𝐷 son acotados. 
 
 
Ínfimo y supremo de conjuntos de números reales 
 
 
 
 
Ejercicio: 
Analizar si los conjuntos definidos en el Ejemplo 1 son acotados. Determinar, en cada caso, el 
ínfimo y supremo (en caso de que existan). 
 
 
 
Axiomas del Supremo y del Ínfimo (Axiomas de Completitud) 
Si 𝐴 ⊂ ℝ, 𝐴 ≠ ∅ y 𝐴 es acotado superiormente, entonces tiene supremo en ℝ. 
 
También es válido: 
 
 
3 Relaciones y Funciones 
Los matemáticos tienen en cuenta que no toda relación representa una función. Para clarificar 
dichos conceptos, introducimos las siguientes definiciones. 
3.1 Producto cartesiano 
En este curso el concepto de par ordenado lo consideraremos un concepto primitivo. 
Sea 𝐴 ⊆ ℝ. 
Definición 1: Diremos que 𝐴 es un conjunto acotado si y sólo 𝐴 es acotado inferior y 
superiormente. 
 
Definición 2: Diremos que 𝐴 es un conjunto acotado si y sólo si existe un número real positivo 
ℎ tal que 𝐴 ⊆ 𝐸(0, ℎ). 
 
Esto es: 
𝐴 es un conjunto acotado si y sólo si existe un número real ℎ ∈ ℝ+ 
 tal que 𝐴 ⊆ (−ℎ, ℎ). 
Definición: Si un conjunto de números reales 𝐴 es acotado superiormente, la menor de todas 
las cotas superiores (si existe) se llama supremo. 
Definición: Si un conjunto de números reales 𝐴 es acotado inferiormente, la mayor de todas 
las cotas inferiores (si existe) se llama ínfimo. 
Todo subconjunto no vacío de los reales acotado superiormente, siempre tiene supremo. 
Todo subconjunto no vacío de los reales acotado inferiormente, siempre tiene ínfimo. 
16 
 
Par ordenado 
Simbolizaremos con (𝑎, 𝑏) al par ordenado cuyo
primer elemento es 𝑎 y segundo elemento 
es 𝑏. 
 
Ejemplos 
 (3,2); (−1, п) ; (1,1) son pares ordenados cuyos primeros elementos pertenecen al conjunto 
𝐴=ℤ (conjunto de los números enteros) y los segundos a 𝐵=ℝ (conjunto de los números 
reales). 
 
Observación: Es claro que, si 𝑎 ≠ 𝑏 entonces (𝑎, 𝑏) ≠ (𝑏, 𝑎). 
 
 
Producto Cartesiano 
 
En consecuencia: 
(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 
(𝑥, 𝑦) ∉ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∉ 𝐴 ∨ 𝑦 ∉ 𝐵 
Nota: Recuerde: 
 El símbolo “∧” se lee “𝑦”. 
 El símbolo “∨” se lee “𝑜”. 
 El símbolo “⇔” se lee “𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖”. 
 
Ejemplo 
Sean los conjuntos 𝐴 = {2,3} y 𝐵 = {1,2,4}, entonces: 
𝐴𝑥𝐵 = {(2,1); (2,2); (2,4); (3,1); (3,2); (3,4)}. 
 
Representación gráfica 
El producto cartesiano puede ser representado de las siguientes formas. 
 Mediante Ejes Cartesianos 
 
 
𝐴𝑥𝐵 
Intuitivamente entenderemos como par ordenado a un conjunto formado por dos elementos 
donde se ha definido un criterio de ordenación que establece cuál es el primer elemento y 
cuál el segundo. 
Definición: Dos pares ordenados (𝑎, 𝑏) y (𝑐, 𝑑) son iguales si y sólo si 𝑎 = 𝑐 y 𝑏 = 𝑑 . 
 Esto es: 
(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) si y sólo si 𝑎 = 𝑐 y 𝑏 = 𝑑. 
Definición: Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos, se define el producto cartesiano de 𝐴 por 𝐵, y lo 
indicamos 𝐴𝑥𝐵, al conjunto de todos los pares ordenados (𝑥, 𝑦), donde 𝑥 pertenece al 
conjunto 𝐴 e y pertenece al conjunto 𝐵. 
Simbólicamente: 𝐴𝑥𝐵 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵}. 
17 
 
 Mediante diagramas de Venn (si los conjuntos 𝐴 y 𝐵 son finitos). 
 
 𝐴 𝐴𝑥𝐵 𝐵 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos 
1) Sean 𝐴 = {1,2} y 𝐵 = ℝ entonces 𝐴𝑥𝐵 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑥 ∈ {1,2} ∧ 𝑦 ∈ ℝ}. 
 
 
 
2) Sean 𝐴 = {𝑥/ 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 } y 𝐵 = ℝ. 
 
 
 
 
 
𝐴𝑥𝐵 
𝐴𝑥𝐵 
2. 
 
3. 
.1 
.2 
.4 
18 
 
3) Sean 𝐴 = ℝ y 𝐵 = ℝ. Entonces 𝐴𝑥𝐵 = ℝ𝑥 ℝ = ℝ2 . 
 
 
 
 
3.2 Relaciones 
Relaciones binarias 
 
Esto es: 
 
 
 
 
Ejemplo 2 
Si observamos la Tabla 2, podemos distinguir un conjunto 𝐴 de planetas del sistema solar 
(primera columna de la tabla), un conjunto 𝐵 de diámetros ecuatoriales (𝑘𝑚) (segunda 
columna) correspondientes a dichos planetas. Esta tabla permite establecer una relación, que 
llamaremos R, entre ambos conjuntos. 
Planeta Diámetro ecuatorial aproximado (𝑲𝒎) 
Mercurio 4.878 
Venus 12.100 
Tierra 12.756 
Marte 6.787 
Júpiter 142.984 
Saturno 120.536 
Urano 51.108 
Nepturno 49.538 
 Tabla 2 
Sea 𝑥 un elemento de 𝐴 e 𝑦 un elemento de 𝐵. Entonces simbólicamente se puede escribir: 
(𝑥, 𝑦)𝜖𝑅 si y sólo si “𝑥 es un planeta cuyo diámetro ecuatorial (𝑘𝑚) es 𝑦”. 
 
En este caso podemos indicar: 
𝑅
= {(𝑀𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜, 4.878), (𝑉𝑒𝑛𝑢𝑠, 12.100), (𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎, 12.756), (𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒, 6.787), (𝐽𝑢𝑝𝑖𝑡𝑒𝑟, 142.984), 
(𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜, 120.536), (𝑈𝑟𝑎𝑛𝑜, 51.108), (𝑁𝑒𝑝𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜, 49.538)} 
 
Como 𝑅 ⊆ 𝐴𝑥𝐵, entonces R es una relación binaria del conjunto 𝐴 en el conjunto 𝐵. 
 
𝐴𝑥𝐵 
Definición: Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos. Diremos que 𝑅 es una relación binaria del conjunto 𝐴 
en el conjunto 𝐵 a cualquier subconjunto, de pares ordenados, contenido en 𝐴𝑥𝐵. 
𝑅 relación binaria del conjunto 𝐴 en el conjunto 𝐵 si y sólo si R ⊆ AxB. 
19 
 
Ejemplo 3 
Sean 𝐴 = 𝐵 = ℝ. Sea 𝑅 una relación definida de 𝐴 en 𝐵 dada por 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐵/ 𝑦 ≥ 𝑥2}. 
Gráficamente 𝑅 se puede representar mediante sistema de ejes cartesianos como sigue. 
 
 
 
 
 
Observación: De la definición de relación, es claro que ∅ (el conjunto vacío) y 𝐴𝑥𝐵 son 
relaciones de 𝐴 en 𝐵. 
 
Dominio, Conjunto de llegada e imagen de una relación binaria 
Notación: Si 𝑅 es una relación del conjunto 𝐴 en el conjunto 𝐵. Al dominio de 𝑅 lo simbolizamos 
con 𝐷𝑜𝑚(𝑅) o también 𝐷(𝑅) y es tal que: 
𝐷𝑜𝑚(𝑅) = { 𝑥𝜖𝐴 /(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅} 
Nota: Si 𝑅 relación y 𝑅 ⊆ 𝐴𝑥𝐵 entonces se cumple que 𝐷𝑜𝑚(𝑅) ⊆ 𝐴. 
 
Notación: Si 𝑅 es una relación del conjunto 𝐴 en el conjunto 𝐵, a la imagen de 𝑅, que 
simbolizamos 𝐼𝑚(𝑅) o también 𝐼(𝑅), es tal que: 𝐼𝑚(𝑅) = { 𝑦𝜖𝐵 / (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}. 
Nota: Si 𝑅 es una relación tal que 𝑅 ⊆ 𝐴𝑥𝐵 entonces se cumple que 𝐼𝑚(𝑅) ⊆ 𝐵. 
 
Ejemplo 
En el caso del Ejemplo 2, 𝐷𝑜𝑚(𝑅) = 𝐴 y 𝐼𝑚(𝑅) = 𝐵. 
 
 
Relación Inversa 
A partir de una relación se puede definir una nueva relación llamada relación inversa cuyos 
elementos son los pares ordenados invertidos en el orden de sus componentes. 
Definición: Se llama dominio de una relación al conjunto de todas las primeras componentes 
que integran los pares ordenados que pertenecen a la relación. 
Definición: Se llama imagen de una relación al conjunto de las segundas componentes que 
integran los pares ordenados que pertenecen a la relación. 
Definición: Sea la relación 𝑅 ⊆ 𝐴𝑥𝐵. Entonces al conjunto 𝐵 se lo llama el conjunto de llegada 
de la relación 𝑅. 
20 
 
 
Ejemplo 
En el caso del Ejemplo2, 
𝑅−1 = {(4.878, 𝑀𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜), ( 12.100, 𝑉𝑒𝑛𝑢𝑠), (12.756, 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎), (6.787, 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒), 
 ( 142.984, 𝐽ú𝑝𝑖𝑡𝑒𝑟), (120.536, 𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜),
( 51.108, 𝑈𝑟𝑎𝑛𝑜), (49538, 𝑁𝑒𝑝𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜)}. 
 
Observemos que 𝐷𝑜𝑚(𝑅−1) = 𝐼𝑚(𝑅). Esto es: “la 𝐼𝑚(𝑅) coincide con el dominio de la relación 
inversa 𝑅−1”. 
 
Nota: Es claro que, si 𝑅 es una relación binaria, la relación inversa siempre existe y se cumple: 
𝑅 ⊆ 𝐴𝑥𝐵 si y sólo si 𝑅−1 ⊆ 𝐵𝑥𝐴. 
 
 
3.3 Funciones 
 
De todas las relaciones que se pueden definir a partir del producto cartesiano entre dos 
conjuntos 𝐷 y 𝐵, vamos a diferenciar unas, en particular, que tienen singular importancia. Son 
aquellas relaciones que hacen corresponder a cada elemento del conjunto 𝐷 un único elemento 
del segundo conjunto (conjunto de llegada). Este tipo de relaciones se denominan funciones. 
Como sinónimos de función se utilizan también: función uniforme, aplicación, transformación, 
correspondencia y función total (esta última denominación la emplean los especialistas en 
Ciencias de la Computación). 
 
 
 
Ejemplo 
 La relación definida en el Ejemplo 2 es una función de 𝐷 en 𝐵. Mientras que la relación 
𝑅 definida en el Ejemplo 3 no es una función, pues no cumple con la condición de unicidad. 
 
 
Observación: Si 𝑓 es una función de 𝐷 en 𝐵, al conjunto 𝐷, también llamado “conjunto de 
partida”, es el dominio de la función 𝑓 (es decir 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝐷), y el conjunto 𝐵 es el “conjunto 
de llegada” de 𝑓 (que puede o no coincidir con la imagen de la función 𝑓). 
 
Notación: Sea 𝑓 es una función de 𝐷 en 𝐵, esto es 𝑓: 𝐷 → 𝐵. 
 Si (𝑥, 𝑦)𝜖𝑓 entonces escribimos 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
 “𝑦 = 𝑓(𝑥)” se lee “𝑦 está en función de 𝑥, por medio de 𝑓” 
 ó también “𝑦 es igual a 𝑓 de 𝑥”. 
 𝑥: se llama variable independiente. 
 𝑦: variable dependiente. 
Definición: Sea 𝑅 una relación binaria de 𝐴 en 𝐵. Llamaremos relación inversa de 𝑅 y lo 
notaremos 𝑅−1, a la relación 𝑅−1 = {(𝑦, 𝑥)/ (𝑥, 𝑦)𝜖𝑅}. 
Definición: Dados dos conjuntos 𝐷 y 𝐵 no vacíos. Diremos que 𝑓 es una función de 𝐷 en 𝐵 y 
escribiremos 𝑓: 𝐷 → 𝐵, cuando f sea una relación binaria que cumpla con las siguientes tres 
condiciones: 
1) 𝑓 ⊆ 𝐷𝑥𝐵. “𝑓 es una relación binaria de 𝐷 en 𝐵” 
2) Para cada 𝑥𝜖𝐷 existe 𝑦𝜖𝐵 tal que (𝑥, 𝑦)𝜖𝑓. “Condición de existencia” 
3) Si (𝑥, 𝑦)𝜖𝑓 y (𝑥, 𝑧)𝜖𝑓 entonces 𝑦 = 𝑧. “Condición de unicidad” 
21 
 
 
En general, utilizaremos el símbolo f para representar funciones, y el símbolo x para 
representar la variable independiente, pero también se pueden emplear otros símbolos. Por 
ejemplo, las siguientes
funciones son las mismas. 
𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 10. 
𝐹: ℝ → ℝ tal que 𝐹(𝑠) = 𝑠2 − 3𝑠 + 10. 
𝑣 : ℝ → ℝ tal que 𝑣(𝑡) = 𝑡2 − 3𝑡 + 10. 
Como toda función es una relación, el dominio y la imagen se definen tal como se hizo para 
relaciones. 
 
Nota: Resultando, si 𝑓 es función de 𝐷 en 𝐵: 
 
 
 
 
Ejemplo 
Sean 𝐷 = {1,2,3} y 𝐵 = {2,4,6,7}, se define 𝑓 = {(𝑥, 𝑦)𝜖𝐷𝑥𝐵/ 𝑦 = 2𝑥}. 
Resulta: 𝑓 = {(1,2), (2,4), (3,6)} , 𝑓 es una función de 𝐷 en 𝐵. 
 El 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝐷 y 𝐼𝑚(𝑓) = {2,4,6}. 
 
 
Ejemplo 5 
A) Sea la función 𝑓: 𝐷 → ℝ , con 𝐷 ⊆ ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 
1
3𝑥+1
. 
Para determinar 𝐷 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) : 
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) sii 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑓(𝑥) ∈ ℝ 𝑠𝑖𝑖 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 
1
3𝑥 + 1
∈ ℝ 𝑠𝑖𝑖 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 3𝑥 + 1 ≠ 0 𝑠𝑖𝑖 
𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑥 ≠ −
1
3
 
Luego: 𝐷 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ −
1
3
} = ℝ − {−
1
3
}. 
Observar que para determinar el dominio de una función 𝑓 se tuvo en cuenta las operaciones 
que intervienen en la definición de 𝑓(𝑥). En este caso nos preguntamos si existe alguna 
operación que no podamos efectuar dentro de ℝ, el cuerpo de los reales, cuando evaluamos –
paso a paso- la imagen de la función, 𝑓(𝑥). Dado que siempre podemos multiplicar un real como 
el 3 por la variable independiente 𝑥 y luego efectuar la suma con 1, no vemos con estas 
operaciones a realizar riesgo alguno. No obstante, el número obtenido después de evaluar 3𝑥 +
1 puede ser cero (0). Dado que no podemos dividir en cero (0), 𝑥 tiene que ser tal que 3𝑥 + 1 
sea distinto de cero. Despejando x de 3𝑥 + 1 ≠ 0, resulta 𝑥 ≠ −
1
3
. 
 
Para determinar 𝐼𝑚(𝑓), se tiene en cuenta que la 𝐼𝑚(𝑓) coincide con el dominio de la relación 
inversa 𝑓−1. 
Por lo que se realizarán los siguientes pasos: 
1°) Hallamos la relación inversa: despejando 𝑥 de la igualdad 𝑦 = 𝑓(𝑥), y luego intercambiando 
𝑥 por 𝑦. 
2°) Determinamos el dominio de la relación obtenida en 1°). 
Definición: Dada f una función de 𝐷 en 𝐵. Entonces 
𝐷 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥/ ∃𝑦 ∈ 𝐵: (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 } = {𝑥 / ∃𝑦 ∈ 𝐵: 𝑦 = 𝑓(𝑥) } = {𝑥 / 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵 }. 
Definición: Dada 𝑓 una función de 𝐷 en 𝐵, 𝐼𝑚(𝑓) = { 𝑦𝜖𝐵 / ∃𝑥 ∈ 𝐷: 𝑦 = 𝑓(𝑥)} ⊆ 𝐵. 
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) sii 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵 
22 
 
3°) Consideramos como 𝐼𝑚(𝑓) al conjunto obtenido en el paso 2°). 
 
De lo que resulta: 
1°) 𝑦 = 
1
3𝑥+1
 → ⋯ → 𝑥 =
1
𝑦
−1
3
 ⇒ 𝑓−1(𝑥) =
1
𝑥
−1
3
 Relación inversa. 
2°) 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) = ℝ − {0} (Aquí observamos que la única dificultad es con la división, cuando x 
es cero). 
3°) 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ − {0}. 
 
B) Sea la función 𝑓: 𝐷→ ℝ , con 𝐷 ⊆ ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥. 
Para determinar 𝐷 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) : 
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) sii 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑓(𝑥) ∈ ℝ 𝑠𝑖𝑖 𝑥 ∈ ℝ ∧ √4 − 𝑥 ∈ ℝ 𝑠𝑖𝑖 𝑥 ∈ ℝ ∧ 4 − 𝑥 ≥ 0 𝑠𝑖𝑖 
𝑥 ∈ ℝ ∧ 4 ≥ 𝑥 
Luego: 𝐷 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞, 4]. 
 
Para determinar 𝐼𝑚(𝑓) se tiene en cuenta, como en el ejemplo A), que la 𝐼𝑚(𝑓) coincide con el 
dominio de la relación inversa 𝑓−1 y se realizan los siguientes pasos: 
1°) Se despeja 𝑥 de la igualdad 𝑦 = 𝑓(𝑥), y luego se intercambia 𝑥 por 𝑦. 
𝑦 = √4 − 𝑥 → 𝑦2 = 4 − 𝑥 ∧ y≥ 0 → 𝑥 = 4 − 𝑦2 ∧ y ≥ 0 
 ⇒ 𝑓−1(𝑥) = 4 − 𝑥2 con 𝑥 ≥ 0 Relación inversa. 
2°) Se determina el dominio de la relación inversa. 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) = [0, +∞) 
3°) Se considera como 𝐼𝑚(𝑓) al conjunto obtenido en el paso 2°). 𝐼𝑚(𝑓) = [0, +∞). 
 
 
Ejemplos 
a) Sea la función 𝑓: ℝ → ℝ que a cada número real 𝑥 le asocia el número 𝑥2. Es decir 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 
En particular: 𝑓(2) = 4, 𝑓(√2) = 2, 𝑓(𝑥 + 1) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1. Cuando determinamos 
𝑓(2) decimos que “calculamos la imagen de f en el punto 2”. Se tiene: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ e 
𝐼𝑚(𝑓) = ℝ+ ∪ {0}. 
 
b) Consideremos un rectángulo de perímetro 10 𝑐𝑚. Si queremos expresar el área del 
rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados: 
como 2. 𝑎 + 2. 𝑏 = 10 entonces 𝑏 = 5 − 𝑎. 
 𝑎 
Área del rectángulo= 𝑎. 𝑏 = 𝑎. (5 − 𝑎) = 5𝑎 − 𝑎2 
 𝑏 
𝑓: 𝐷→ℝ+, con D ⊆ ℝ+, tal que 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 𝑥2 define el área de un rectángulo con perímetro 
10 𝑐𝑚, en función de uno de sus lados. 
 
c) Dado 𝑓:ℕ→ ℝ tal que 𝑓(𝑛) =
1
𝑛
 . Si evaluamos 𝑓 para distintos valores de ℕ, a partir de 1 en 
adelante, se tiene: 𝑓(1) = 1; 𝑓(2) = 
1
2
 ; 𝑓(3) = 
1
3
 ; 𝑓(4)= 
1 
4
; …; 𝑓(100)= 
1
100
; etc. 
El 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℕ , las imágenes son número reales comprendidos entre 0 y 1, pero no todos!!. 
En este caso particular, se puede notar que a medida que n aumenta, 𝑓(𝑛) se aproxima al valor 
0 (cero). 
Este tipo de funciones 𝑓: ℕ→ ℝ se llaman “sucesiones” y su estudio merece un capítulo especial. 
 
 
Formas de representar funciones 
Existen diferentes formas de representar funciones. Veamos algunos de ellas para el Ejemplo 3. 
 
23 
 
 Mediante una expresión algebraica: Escribiendo 𝑓: 𝐷 → B tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥. 
 
 
 Utilizando diagramas de Venn 
 
 𝐷 𝑓 𝐵 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Por medio de tablas: 
𝑥 𝑦 = 2𝑥 
1 2 
2 4 
3 6 
 
 Utilizando ejes cartesianos: Mediante la representación, en el plano, del conjunto de 
puntos 𝑓 = {(𝑥, 𝑦)𝜖𝐷𝑥𝐵/ 𝑦 = 2𝑥} . 
 
 
 
 
Ejercicio: 
¿El siguiente gráfico representa una función? Analizar y justificar. 
 
 
 
.2 
.4 
.6 
.7 
. 
1. 
2. 
3. 
24 
 
Igualdad de funciones 
 
Ejemplos 
a) Las funciones 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 , 𝑔: ℝ+ → ℝ tal que 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 1 no son 
iguales, pues no tienen el mismo dominio de definición. 
b) Dadas 𝑓: 𝐷 → 𝐵 definida en el Ejemplo 3 y la función ℎ: 𝐷 → 𝐵 dada por ℎ =
{(1,2); (2,4); (3,4)} no son iguales, pues no cumplen la segunda condición, 𝑓(3) ≠ ℎ(3). 
 
3.4 Función real de variable real 
 
 
Es decir, las funciones reales de variable real son funciones donde el conjunto de llegada es el 
conjunto de números reales o un subconjunto de él (funciones reales) y el conjunto de partida 
o dominio es el conjunto de los números reales o un subconjunto de números reales (variable 
real). 
 
Ejemplos 
Son funciones reales de variable real, las siguientes: 
a) 𝑓:𝐷 → ℝ, con D⊆ ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2. 
b) 𝑔:𝐷 → ℝ, con D⊆ ℝ tal que 𝑔(𝑥) =
𝑥−1
𝑥+1
. 
c) 𝐴:𝐷 → ℝ, con D⊆ ℝ tal que 𝐴(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥). 
d) ℎ:𝐷 → ℝ0
+, con D⊆ ℝ tal que ℎ(𝑥) = +√1 − 𝑥2 
e) 𝐹: ℝ → [−1,1], con D⊆ ℝ tal que 𝐹(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
 
 
Campo de existencia 
 
 
Ejemplo 
 Hallar el campo de existencia (dominio) de la función real de variable real dada por 𝑔(𝑥) =
1
𝑥2−𝑥
. 
 
Solución: 
Dado que 𝑔(𝑥) =
1
𝑥2−𝑥
=
1
𝑥 (𝑥−1)
 se tiene que: 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) 𝑠𝑖𝑖 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠
1 . 
Por lo tanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ − {0,1}. 
 
 
Definición: Dadas dos funciones 𝑓 y 𝑔. Diremos que 𝑓 y 𝑔 son iguales, y escribimos 𝑓 = 𝑔, si 
cumplen las siguientes dos condiciones: 
I) 𝑓 y 𝑔 tiene iguales dominios y 
II) 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), para todo 𝑥 perteneciente al dominio común. 
Definición: Llamaremos función real de variable real a toda función 𝑓: 𝐷 → 𝐵, con 𝐷 ⊆ ℝ y 
𝐵 ⊆ ℝ . 
El campo de existencia de una función real de variable real es el dominio de dicha función. 
25 
 
Gráfico de funciones reales de variable real 
 
 
 
 
 
Para hacer la representación gráfica de una función real de variable real consideraremos: 
(1) que 𝑓 ⊆ ℝ𝑥ℝ y ℝ𝑥ℝ = ℝ2. 
(2) Debemos considerar dos rectas perpendiculares
una horizontal y otra vertical (sistema de 
coordenadas cartesianas ortogonales). 
(3) La recta horizontal se denomina eje de las abscisas (𝑥) y en él marcamos el dominio de 𝑓. 
(4) La recta vertical se denomina eje de las ordenadas (𝑦) y en él marcamos las imágenes de la 
función. 
(5) Para cada valor 𝑥𝜖𝐷𝑜𝑚(𝑓), marcamos el correspondiente valor 𝑦 que es la imagen de 𝑥 por 
medio de la función 𝑓, se obtiene el punto (𝑥, 𝑦). 
La figura así obtenida representa el gráfico de la función 𝑓. 
 
 
Observación: El método más común para visualizar una función real de variable real es a través 
de su gráfica en el plano, mediante un sistema de ejes cartesianos. La gráfica de una función f 
da una idea útil del comportamiento de la función. 
Como la coordenada “𝑦” de cualquier punto (𝑥, 𝑦) de la gráfica cumple 𝑦 = 𝑓(𝑥), es posible leer 
el valor de 𝑓(𝑥) a partir de la gráfica como la altura de esta última arriba del punto 𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
Definición: Sea la función 𝑓: 𝐷 → 𝐵, con 𝐷 ⊆ ℝ y 𝐵 ⊆ ℝ, dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
Llamaremos gráfico de 𝑓 y lo simbolizaremos 𝐺(𝑓) al conjunto: 
𝐺(𝑓) = {(𝑥, 𝑦)𝜖 ℝ𝑥ℝ/ 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑐𝑜𝑛 𝑥𝜖𝐷} = {(𝑥, 𝑓(𝑥)) / 𝑥𝜖𝐷}. 
26 
 
La gráfica de 𝑓 también permite visualizar el dominio de 𝑓 sobre el eje 𝑥, y su imagen en el eje 
𝑦, como lo muestran las siguientes figuras, mediante las proyecciones correspondientes de 
𝐺(𝑓). 
 
 
 
 
Ejemplo 
En la siguiente figura se muestra la gráfica de una función 𝑓. 
a) Encuentre los valores de 𝑓(−1), 𝑓(0) y 𝑓(3), en caso de que existan. 
b) ¿Cuáles son el dominio e imagen de 𝑓? 
 
 
 
27 
 
Solución: 
a) En la gráfica anterior se visualizan los puntos (−1,1) y (0, −2) pertenecientes a 𝐺(𝑓), 
mientras que no existe ningún punto (3, 𝑦) perteneciente a 𝐺(𝑓) , con y número real. 
Por lo tanto, se cumple: 
𝑓(−1) = 1 “ la imagen del −1, por medio de 𝑓, es el número 1” 
𝑓(0) = −2 “ la imagen del 0, por medio de 𝑓, es el número real −2” 
y 
 𝑓(3) no existe “el número real 3, por medio de 𝑓, no tiene imagen” (esto es, 3 no 
pertenece al dominio de 𝑓). 
 
b) Proyectando la gráfica de f sobre el eje 𝑥 se observa que: 𝑓(𝑥) están definidas para todo 
número real 𝑥 ∈ [−2,3). Por lo tanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−2,3). 
Proyectando la gráfica de 𝑓 sobre el eje 𝑦, se obtiene que 𝐼𝑚(𝑓) = [−3,6]. 
 
 
Ejemplo 
Trazar una gráfica y encuentre el dominio y la imagen de cada función. 
i) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 ii) 𝑔(𝑥) = 𝑥2 
 Solución: 
i) La ecuación de la gráfica de f es 𝑦 = 3𝑥 + 1 y esta se reconoce como la ecuación de 
una recta con pendiente 3 y ordenada al origen 1. (Recuerde la ecuación de la recta 
pendiente-ordenada al origen de una recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. Esta permite trazar la gráfica 
de 𝑓. 
 
 
La expresión 3𝑥 + 1 está definida para todos los números reales, de modo que 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ. Desde la gráfica podemos ver también que 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ. 
 
ii) Para determinar la gráfica de 𝑔 determinamos algunos puntos de la gráfica, 
completando la Tabla 3. 
 
 
𝑥 𝑦 = 𝑥2 
-2 (−2)2 = 4 
-1 (−1)2 = 1 
0 02 = 0 
1 12 = 1 
2 22 = 4 
Tabla 3 
28 
 
Podemos representar gráficamente los puntos (−2,4) , (−1,1), (0,0), (1,1) , (2,4) y otros puntos 
más, obtenidos con el proceso de la tabla anterior, para unirlos y así obtener la gráfica de la 
función 𝑔 en el plano. Podemos observar que: 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ y 𝐼𝑚(𝑔) = [0, +∞). 
 
 
 
 
Ejemplo 
Sea 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 1, 𝑎 y ℎ números reales y tal que ℎ ≠ 0 . Calcular 
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
 . 
Solución: 
 Primero calculamos 𝑓(𝑎 + ℎ) reemplazando 𝑥 por 𝑎 + ℎ en la expresión que define 𝑓(𝑥). 
𝑓(𝑎 + ℎ) = 3(𝑎 + ℎ)2 + 1 = 3(𝑎2 + 2𝑎ℎ + ℎ2) + 1 = 3𝑎2 + 6𝑎ℎ + 3ℎ2 + 1. 
Luego calculamos 𝑓(𝑎) reemplazando 𝑥 por a en la expresión que define 𝑓(𝑥). 
𝑓(𝑎) = 3𝑎2 + 1. 
Por lo tanto, al sustituir en la expresión a calcular y trabajar algebraicamente resulta: 
 
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
=
3𝑎2 + 6𝑎ℎ + 3ℎ2 + 1 − (3𝑎2 + 1)
ℎ
 
=
6𝑎ℎ+3ℎ2
ℎ
=
ℎ(6𝑎+3ℎ)
ℎ
= 6𝑎 + 3ℎ. 
 
 
Nota: La expresión 
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
 aparece en muchos cálculos del Análisis Matemático. Se 
denomina “cociente incremental”. Representa una relación de cambio promedio de 𝑓(𝑥), entre 
𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑎 + ℎ. 
 
Como podemos observar, las gráficas de las funciones reales de variable real son curvas del 
plano 𝑥𝑦. Pero surge la cuestión ¿cuáles curvas en el plano 𝑥𝑦 son gráficas de funciones? La 
siguiente prueba responde lo anterior. 
 
 
Prueba de la Vertical: Una curva en el plano 𝑥𝑦 es la gráfica de una función de 𝑥 si y sólo si 
ninguna línea vertical se intersecta con la curva más de una vez. 
29 
 
Si existe al menos existe un valor 𝑎 ∈ ℝ tal que la recta vertical 𝑥 = 𝑎 intersecta a la curva al 
menos dos veces, como muestra la siguiente figura, entonces en ese caso la curva no representa 
la gráfica de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
 
 
 
 
Por ejemplo, la parábola 𝑥 = 𝑦2 + 1 que aparece en la siguiente figura (a) no es la gráfica de 
una función de 𝑥 porque existen líneas verticales que intersectan dos veces esa parábola. Sin 
embargo, la parábola en realidad contiene las gráficas de dos funciones de 𝑥. Observe que 𝑥 =
𝑦2 + 1 significa 𝑦2 = 𝑥 − 1, por lo que 𝑦 = ±√𝑥 − 1. Por esto, las partes de la parábola sobre el 
eje 𝑥 y por debajo del eje 𝑥, son las gráficas de las funciones 𝑦 = √𝑥 − 1 e 𝑦 = −√𝑥 − 1 que se 
representan en (b) y (c) respectivamente. 
 
 
 
 
 
(a) 𝑥 = 𝑦2 + 1 (b) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 (c) 𝑔(𝑥) = −√𝑥 − 1 
 
 
 
Ejercicio: 
Determine en cada caso si la curva es la gráfica de una función de x o no. En caso afirmativo 
defina el dominio e imagen correspondiente. 
30 
 
 
 
 
Nota: Tenga presente que a partir del gráfico de una función, para hallar su dominio debemos 
proyectar los puntos de la gráfica sobre el eje 𝑥. Mientras que la imagen de la función se obtiene 
proyectando los puntos de la gráfica sobre el eje 𝑦. 
 
 
 
3.5 Combinación de funciones: Álgebra de funciones 
Dos funciones reales 𝑓 y 𝑔 se pueden combinar para formar nuevas funciones: suma, diferencia, 
producto y cociente, como se observa en la Tabla 4: 
 
Suma (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝐷𝑜𝑚(𝑓 + 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) 
Resta (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝐷𝑜𝑚(𝑓 − 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) 
Producto (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝐷𝑜𝑚(𝑓. 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) 
Cociente 
(
𝑓
𝑔
) (𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 𝐷𝑜𝑚 (
𝑓
𝑔
) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) − {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)/𝑔(𝑥)
= 0} 
Tabla 4 
 
3.6 Composición de funciones 
En esta sección veremos una propiedad que tienen las funciones, de mucha utilidad, que es que 
se pueden componer. Para comenzar supongamos que queremos calcular el costo de 
combustible (nafta) para ir y volver desde San Juan a Barreal, sabiendo que hay que recorrer 
aproximadamente 180 𝑘𝑚 para ir de un lugar al otro, y por Km el vehículo gasta 1,8$. Entonces 
primero comenzamos calculando la distancia total a recorrer (180𝐾𝑚 + 180𝑘𝑚 = 2. 180𝑘𝑚 =
360𝑘𝑚) y luego calculamos el valor de costo (360. 1,8 = 648). 
Pensemos matemáticamente cómo fue nuestro proceder: 
 
 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑔(𝑥) = 1.8 𝑥 
Distancia San Juan a Barreal(Km) Distancia total para ir y regresar(km) costo($) 
 180 → 360 → 648
𝑥 → 𝑓(𝑥) → 𝑔(𝑓(𝑥)) 
 
 
El esquema anterior nos indica que estamos aplicando dos funciones, primero 𝑓(𝑥) = 2𝑥, que 
es la función encargada de vincular la distancia que une los pueblos con la distancia trayectoria 
total a recorrer (ida y vuelta), y luego 𝑔(𝑥) = 1.8 𝑥 que es la que relaciona el valor del 
recorrido total con el costo de combustible por 𝑘𝑚. Podemos resumir todo este trabajo 
construyendo una única función que sea la encargada de calcular el valor total a partir de la 
distancia que une a los pueblos directamente. Veamos que el resultado final es 𝑔(𝑓(𝑥)), es decir, 
31 
 
aplicar 𝑔 al resultado de aplicarle 𝑓 a 𝑥. Entonces definimos ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) y lo notamos como 
ℎ = 𝑔𝑜𝑓. 
 
Gráficamente, sean 𝑓: 𝐴 → 𝐵 y 𝑔: 𝐵 → 𝐶 dos funciones que se representan gráficamente como 
sigue: 
 
 
 𝐴 𝐵 = 𝐷𝑜𝑚(𝑔) 𝐶 
 
 𝑓 𝑔 
 
 
 
 
 ℎ = 𝑔𝑜𝑓 
 
Vemos que, debe cumplirse que 𝐼𝑚(𝑓) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔), para que sea posible definir una función 
ℎ: 𝐴 → 𝐶 tal que dado cualquier elemento 𝑎𝜖𝐴 le corresponda 𝑐𝜖𝐶, el mismo que se determina 
al aplicar sucesivamente 𝑓 y 𝑔. 
 
 
Notas Importantes: 
 𝑔𝑜𝑓 se lee “g compuesta con f”. 
 A veces no se cumple la condición 𝐼𝑚(𝑓) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔). Sin embargo, en muchos casos, se 
puede definir la función 𝑔𝑜𝑓 en un dominio restringido 𝐷, con 𝐷 ⊂ 𝐴 y 𝐷 ≠ ∅. Para que 
exista la función compuesta 𝑔𝑜𝑓 para un dominio restringido 𝐷, se debe cumplir 
𝐼𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) ≠ ∅. 
 Si 𝑓: 𝐴 → 𝐵 y 𝑔: 𝐵 → 𝐶 son dos funciones tales que 𝐼𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ∅ entonces 
podemos concluir que la función 𝑔𝑜𝑓: 𝐴 → 𝐶 no existe (ni tampoco existe la función 
𝑔𝑜𝑓: 𝐷 → 𝐶 , para cualquier 𝐷 ⊂ 𝐴 (dominio restringido)). 
 
 
Ejemplo 
Sean las funciones reales de variables reales 𝑓: 𝐴 → ℝ y 𝑔: 𝐵 → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = √𝑥 y 𝑔(𝑥) =
√2 − 𝑥. 
 
Solución: 
Para determinar si existe la función 𝑔𝑜𝑓, según lo visto anteriormente, debemos analizar si 
𝐼𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) ≠ ∅. 
Como 𝐼𝑚(𝑓) =[0,+∞) y 𝐷𝑜𝑚(𝑔)=(−∞, 2], resulta 𝐼𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [0,2] ≠ ∅. Se 
concluye que existe la función compuesta. Como además 𝐼𝑚(𝑓) ⊈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔), la función 
𝑔𝑜𝑓 está definida en un dominio restringido de 𝑓. 
 
Para encontrar 𝑔𝑜𝑓: 
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(√𝑥) = √2 − √𝑥 
𝐼𝑚(𝑓) 
Definición: Dadas 𝑓: 𝐴 → 𝐵 y 𝑔: 𝐵 → 𝐶 dos funciones. Llamaremos composición de 𝑓 con 𝑔 a 
la función que se obtiene de aplicar sucesivamente 𝑓 y 𝑔, en ese orden, y la denotaremos 𝑔𝑜𝑓. 
Esto es, la función 𝑔𝑜𝑓: 𝐴 → 𝐶 tal que (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)). 
32 
 
D=Dom(𝑔𝑜𝑓) = {𝑥 / 𝑥𝜖ℝ ∧ 𝑥 ≥ 0 ∧ 2 − √𝑥 ≥ 0} = {𝑥/ 𝑥𝜖ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ≤ 4} = [0,4] 
 
 𝑔𝑜𝑓: 𝐷 → ℝ tal que 𝑔𝑜𝑓(𝑥) = √2 − √𝑥. 
 
 
 
Ejercicio: 
En un estanque en calma se deja caer una piedra. Al hacerlo, se producen ondas en forma de 
círculos concéntricos. El radio, en metros, de la onda externa viene dado por 𝑟(𝑡) = 0.3𝑡, 
donde 𝑡 es el tiempo en segundos transcurrido desde que la piedra toca el agua. El área del 
mismo círculo viene dada por 𝐴(𝑟) = 𝜋𝑟2 . Determinar e interpretar la función 𝐴𝑜𝑟(𝑡). 
 
 
 
3.7 Clasificación de funciones 
Función inyectiva 
Sea 𝑓: 𝐷 → 𝐵 una función, tal que para cada 𝑏 𝜖 𝐼𝑚(𝑓) existe un único 𝑎𝜖𝐷 tal que 𝑏 = 𝑓(𝑎), 
diremos que 𝑓 es inyectiva. 
Lema: Sea 𝑓: 𝐷 → 𝐵 una función. Las siguientes condiciones son equivalentes: 
a) 𝑓 es inyectiva. 
b) Para todo 𝑎, 𝑏 𝜖𝐷: si 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) entonces 𝑎 = 𝑏. 
 
 
Método gráfico: 
Dada la gráfica de una función 𝑓, real de variable real en un sistema de ejes cartesianos. Si una 
línea horizontal intersecta la gráfica en más de un punto, esto significa que la función 𝑓 no es 
inyectiva. Pues existen dos valores 𝑥1 y 𝑥2 distintos tales que 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2). 
 
 
 
Ejemplo de función no inyectiva 
 
Definición: Diremos que una función 𝑓: 𝐷 → 𝐵 es inyectiva, si para todo 𝑎, 𝑏 𝜖𝐷 se cumple: 
si 𝑎 ≠ 𝑏 entonces 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏). 
33 
 
 
 
 
 
Función sobreyectiva 
 
 
Función biyectiva 
 
 
Ejercicio: 
Clasificar las siguientes funciones en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, según corresponda. 
Justificar su respuesta. 
 a) b) c) 
 
d) 𝑓: 𝐷→ ℝ , con 𝐷 ⊆ ℝ y tal que 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 ; e) ℎ: 𝐷→ ℝ , con 𝐷 ⊆ ℝ y ℎ(𝑥) = 3𝑥2 − 1. 
 
 
3.8 Función inversa 
Dada una función 𝑓: 𝐷 → 𝐵, como es una relación entre 𝐷 y 𝐵, puede definirse su relación 
inversa. Lo que interesa analizar es si esa relación inversa es también función. En cuyo caso lo 
llamaremos función inversa y se simboliza 𝑓−1. 
 
Ejemplos 
Sean 𝐷 = {1,2,3} , 𝐵 = {2,4,6} y las funciones 𝑓 y 𝑔 definidas de 𝐷 en 𝐵 siguientes: 
1) la función 𝑓 = {(1,2), (2,4), (3,4)} tiene como relación inversa 𝑓−1 = {(2,1), (4,2), (4,3)} y 
𝑓−1no es una función. 
2) La función 𝑔 = {(1,2), (2,4), (3,6)} tiene relación inversa 𝑔−1 = {(2,1), (4,2), (6,3)} y 𝑔−1si 
es función. 
 
Se observa que: 
1) Dada cualquier función, siempre existe la relación inversa 𝑓−1. 
2) Dada cualquier función 𝑓 , la relación inversa 𝑓−1puede ser una función o no. 
 
Importante: 
Se puede demostrar que: 
Definición: Sea 𝑓: 𝐷 → 𝐵 una función. 𝑓 es sobreyectiva (suryectiva o sobre), si 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐵 ( 
es decir, cuando la imagen de 𝑓 coincide con el conjunto de llegada de 𝑓). 
Definición: Sea 𝑓: 𝐷 → 𝐵 una función. 𝑓 es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva. 
Prueba de la Horizontal: Una función es inyectiva si y sólo si ninguna línea horizontal 
intersecta su grafica más de una vez. 
34 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos 
Sea f una función de 𝐷 = {1,3,8} en 𝐵 = {5,7, −10} tal que 𝑓(1) = 5, 𝑓(3) = 7,y 𝑓(8) = −10. 
a) Mostrar que 𝑓 admite función inversa. 
b) Encontrar 𝑓−1(7), 𝑓−1(5) 𝑦 𝑓−1(−10). 
Solución: 
a) Sabemos que: dada cualquier función, la relación inversa siempre existe. 
 Nos planteamos si la relación inversa 𝑓−1 cumple con las condiciones de ser una 
función. 
Se tiene en cuenta: 
La relación inversa 𝑓−1es función si y sólo si 𝑓 es biyectiva si y solo si 𝑓 es inyectiva y 
sobreyectiva. 
 
Como 𝑓 cumple: 
para todo 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷, si 𝑥1 ≠ 𝑥2 entonces 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2). Se tiene que 𝑓 es inyectiva. 
Además, como 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐵 entonces 𝑓 es sobreyectiva. 
Se concluye que, 𝑓 es biyectiva. 
Por lo tanto, 𝑓 admite función inversa. 
b) De la definición de 𝑓−1: 
𝑓 = {(1,5); (3,7); (8, −10)} entonces 𝑓−1 = {(5,1); (7,3); (−10,8)}. 
𝑓(1) = 5 entonces 𝑓−1(5) = 1 
𝑓(3) = 7 entonces 𝑓−1(7) = 3 
𝑓(8) = −10 entonces 𝑓−1(−10) = 8. 
 
 D 𝑓 B B 𝑓−1 D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observaciones Importantes: 
(1) La función inversa no es igual a la inversa de la función. Esto es: 
 
 
 
 
 
 
Definición: Sea 𝑓: 𝐷 → 𝐵 una función biyectiva. Se define la función inversa 𝑓−1 : 𝐵 → 𝐷 tal 
que: 
Para todo (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓: si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 entonces (𝑦, 𝑥)𝜖𝑓−1. 
No confundir el −1 de 𝑓−1 con un exponente. De esta manera 
 
𝑓−1(𝑥) no significa 
1
𝑓(𝑥)
. 
Dada una función 𝑓, 
la relación inversa
𝑓−1 es función si y sólo si 𝑓 es biyectiva. 
1. 
3. 
8. 
.5 
.7 
.-10 
1. 
3. 
8. 
.5 
.7 
. -10 
35 
 
(2) La composición de cualquier función con su función inversa equivale a la función 
identidad. La función identidad hace corresponder a la variable independiente, la misma 
variable independiente. 
 
Esto es: 𝑓𝑜𝑓−1(𝑥) = 𝑥 y 𝑓−1𝑜𝑓(𝑥) = 𝑥. 
 
 Así por ejemplo para 𝑓(𝑥) = 𝑥3 y la función inversa 𝑓−1(𝑥) = √𝑥
3
 al componer: 
 
𝑓−1𝑜𝑓(𝑥) = 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑓−1(𝑥3) = √𝑥3
 3
= 𝑥 
𝑓𝑜𝑓−1(𝑥) = 𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑓(√𝑥
3
) = (√𝑥
3
)3=x. 
 
 
Procedimiento para hallar la función inversa de una función 𝒇: 𝑫 → 𝑩 , con 𝑫 ⊆ ℝ y B⊆ ℝ, 
biyectiva 
I) Método Analítico 
Sea 𝑓 una función real de variable real que admite función inversa (esto es, 𝑓 es una función 
biyectiva). 
Si 𝑓 es definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥) (esto es, en forma algebraica), para hallar la expresión analítica 
de 𝑓−1 procedemos realizando los pasos ya vistos para hallar la relación inversa. 
 
Ejemplo 
Sea 𝑓: 𝐷 → ℝ, 𝐷 ⊆ ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4. 
a) Mostrar que f admite función inversa. 
b) Hallar la función inversa de 𝑓. 
Solución: 
a) Tenemos en cuenta que: 
𝑓 admite función inversa sii 𝑓 es función biyectiva 
 sii 𝑓 es función inyectiva y 𝑓 es función sobreyectiva 
 
Mostremos que 𝑓 es función inyectiva: 
“𝑓 es función inyectiva sii para todo 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷 se cumple: si 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) entonces 
𝑥1 = 𝑥2.” 
 
Sean 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷 dos elementos cualesquiera tales que 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2). 
Luego, como 𝑓(𝑥1) = 𝑥1
3 − 4 y 𝑓(𝑥2) = 𝑥2
3 − 4 se cumple: 
 
𝑥1
3 − 4 = 𝑥2
3 − 4 → 𝑥1
3 = 𝑥2
3 → √𝑥13
3
= √𝑥23
3
→ 𝑥1 = 𝑥2. 
Por lo tanto, 𝑓 es función inyectiva. 
 
Mostremos que 𝑓 es sobre. 
Se tiene en cuenta: “𝑓 es función sobreyectiva sii 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐵”. 
 
Como en nuestro caso 𝐵= ℝ “conjunto de llegada de 𝑓” se tiene: 
 “𝑓 es función sobreyectiva sii 𝐼𝑚(𝑓)= ℝ.” 
Pasos para encontrar la expresión algebraica que define la función inversa de 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
Paso 1: Escriba 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
Paso 2: Resuelva la ecuación para 𝑥 en términos de 𝑦 de ser posible). 
Paso 3: Para expresar 𝑓−1 como una función de 𝑥, intercambie 𝑥 e 𝑦. 
 La ecuación resultante es y=𝑓−1(𝑥). 
36 
 
 
Se determina el conjunto 𝐼𝑚(𝑓): 
1°) 𝑦 = 𝑥3 − 4 
2°) Se escribe 𝑥 en términos de 𝑦: 
 𝑦 = 𝑥3 − 4 sii 𝑦 + 4=𝑥3 sii 𝑥 = √𝑦 + 4
3 
3°) Se intercambia 𝑥 por 𝑦 en la última igualdad: 𝑦 = √𝑥 + 4
3
 
 𝑓−1(𝑥) = √𝑥 + 4
3
 → 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1)= ℝ → 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ . 
Por lo tanto, 𝑓 es sobre. 
 
Como se demuestra que 𝑓 es inyectiva y sobreyectiva, se concluye que 𝑓 admite 
función inversa. 
 
b) La expresión de la función inversa es la misma que la de la relación inversa hallada en 
a) paso 3°). 
En consecuencia: 
la función 𝑓−1: ℝ → 𝐷, D ⊆ ℝ tal que 𝑓−1(𝑥) = √𝑥 + 4
3
. 
 
 
II) Método Gráfico 
El principio de intercambiar 𝑥 por 𝑦 para hallar la función inversa proporciona un método para 
obtener la gráfica de 𝑓−1 a partir de la gráfica de 𝑓. Puesto que 𝑓(𝑎) = 𝑏 si y solo si 𝑓−1(𝑏) = 𝑎, 
el punto (𝑎, 𝑏) se encuentra en la gráfica de 𝑓 si y solo si el punto (𝑏, 𝑎) está sobre la gráfica de 
𝑓−1. Se obtiene el punto (𝑏, 𝑎) desde el punto (𝑎, 𝑏) al reflejar este último respecto a la recta 
𝑦 = 𝑥. 
 
 
 
 
La gráfica de 𝑓 −1 se obtiene reflejando la gráfica de 𝑓 respecto a la recta 𝑦 = 𝑥. 
 
La gráfica de 𝑓 y 𝑓 −1son simétricas respecto a la recta 𝑦 = 𝑥. 
 
 
37 
 
 
Ejercicio: 
I) Determinar, si existe la función inversa. En caso afirmativo hallarla. 
a) 𝑓: 𝐷 → ℝ , con 𝐷 ⊆ ℝ y tal que 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1. 
b) ℎ: 𝐷 → ℝ , con 𝐷 ⊆ ℝ y tal que ℎ(𝑥) = 3𝑥2 − 1. 
 
II) Hallar en cada caso: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) e 𝐼𝑚(𝑓). 
y responder: ¿ 𝑓 es inyectiva?¿ 𝑓 es sobreyectiva?¿ 𝑓 es biyectiva?,¿existe la función 𝑓 −1? 
a) (Función Constante) 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 2. 
 
 
 
b)(Función Identidad) 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥. 
 
 
 
c) (Función Lineal) 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. 
 
 
 
d) (Función Cuadrática) 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 
 
38 
 
 
 
e) 𝑓: 𝐷→ ℝ , con 𝐷 ⊆ ℝ y tal que 𝑓(𝑥) = {
𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 > 1
𝑥2 , 𝑠𝑖 𝑥 < 1
. 
 
 
 
 
El dominio de esta función es 𝐷 = ℝ − {1}. En temas más adelante se verá la posibilidad de 
ampliar el dominio de una función. 
 
 
 
Ejercicio 1: Resolver las siguientes desigualdades y representar gráficamente el conjunto 
solución. 
a) 31x  h) 3x21  
b) 52x  
c) 4 3
2
1
x2  
d) -3 31x  
e) - 522x  
f) 3 61
2
1
x2  
g) 5x21  
j) 2
2
x21


 
 
k) 2
4
1

x
 
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
39 
 
Ejercicio 2: Representar, de ser posible, los siguientes intervalos mediante entornos: 
(11,19); (−10,12); (0,15); (−∞, 6); [7, ∞); (−4,12) − {4}. 
 
Ejercicio 3: Representar los siguientes conjuntos, expresados mediante entornos, utilizando 
intervalos: 
a) 𝐸 (3,
11
2
) 𝑏)𝐸(1,1) 𝑐)𝐸(3,4) ∪ {6} 𝑑)𝐸(−5,5) ∩ 𝐸(3,2) 
 
Ejercicio 4: La relación entre las escalas Celsius y Fahrenheit de temperatura está dada por 𝐶 =
5
9
(𝐹 − 32), donde 𝐶 es la temperatura en grados Celsius y 𝐹 la temperatura en grados 
Fahrenheit. 
i. ¿Qué intervalo en la escala de Celsius corresponde a un rango de temperatura de 50 ≤
𝐹 ≤ 95? 
ii. Hallar el intervalo en la escala Fahrenheit correspondiente al rango de temperatura de 
20 ≤ 𝐶 ≤ 30. 
 
Ejercicio 5: a) Dados 𝐴 = {−1,0,1}, 𝐵 = {−2,2} 𝑦 𝐶 = {0,1,2,3} 
Representar por extensión a 𝐴 × 𝐵, 𝐵 × 𝐴, 𝐵 × 𝐶 y 𝐴 × 𝐴 = 𝐴2 
b) Dados 𝐴 = {0,1,2,3} 𝑦 𝐵 = {0,1,2,3,4}. Escribir por extensión las relaciones de 𝐴 en 𝐵 
que se indican a continuación: 
a) 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐵: 𝑥 + 𝑦 = 4} 
b) 𝑅2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐵: 𝑦 = 2} 
c) 𝑥𝑅3𝑦 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑦 = 2𝑥 𝑜 𝑦 = 5 − 𝑥} 
d) (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅4 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑦 
 Indicar dominio e imagen de las relaciones anteriores. 
 
Ejercicio 6: Determinar cuáles de las siguientes relaciones son funciones. Para las que no lo sean, 
precisar la propiedad de la definición de función que no se verifica. 
 
a)𝑅  𝐴𝑥𝐵 b) 𝑅  {𝑥, 𝑦, 𝑧}𝑥{𝑎, 𝑏, 𝑐} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
z 
 a 
 c 
 b 
R 
A B 
2  
6 
4  
 1 
 2 
7 
40 
 
Ejercicio 7: La figura siguiente representa una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
 
A partir de la gráfica anterior: 
a) Determinar el dominio y la imagen 
b) ¿Qué número le corresponde a −2? 
c) ¿Cuánto vale 𝑓(2)? 
d) ¿De cuántos números es imagen el 3? 
e) Es la función del gráfico inyectiva? Justificar 
f) ¿A cuántos números le asigna 𝑓 el valor 1? 
g) ¿Cuánto vale 𝑓(6) ? 
 
Ejercicio 8: 
I) Indicar si las siguientes relaciones son funciones reales de variable real. Justificar 
a) Temperatura de un objeto en cada instante. 
b) Relación de cada número real y con su triple. 
c) Temperaturas máximas y mínimas de los pacientes de un hospital. 
 
II)Identificar en los siguientes ejemplos la variable independiente y la dependiente. 
a) Consumo de nafta y velocidad de un automóvil. 
b) Área de un cuadrado y longitud de sus lados. 
c) Número de páginas de un libro y su grosor. 
III) La siguiente gráfica, ¿corresponde a una función? Justificar. 
 
 
 
IV) Determinar el dominio de las siguientes funciones reales de variable real. Analizar si las 
siguientes funciones admiten función inversa, en caso afirmativo, determinarla y graficar
ambas funciones en un mismo sistema de coordenadas cartesianas. 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2 
41 
 
 c) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 𝑑)𝑔 (𝑥) = √2𝑥 + 3 
 e) ℎ(𝑥) =
𝑥
𝑥−2
 f) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − ln(2) 
 
Ejercicio 9: Consideremos las siguientes funciones reales de variables reales: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 , 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 1)−1, ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 2), 𝐹(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥 + 3) , G(x)= √𝑥 + 2 
i) Calcular las siguientes imágenes: 𝑓(−1), 𝑔(3), ℎ(2), 𝐹(−2) y 𝐺(7). 
ii) Determinar el dominio para cada una de ellas. 
iii) Hallar las expresiones de (𝑓 + 𝑔)(𝑥), (ℎ − 𝐺)(𝑥), 3𝐹(𝑥), (𝑔. 𝐺)(𝑥) y 
𝑓
𝐺
(𝑥). 
Determinando el dominio de las funciones en cada caso. 
 
Ejercicio 10: Para cada una de las siguientes funciones reales de variable real, analizar si es 
posible realizar la composición 𝑓°𝑔 o 𝑔°𝑓 exhibiendo primeramente la condición que debe 
cumplir. En caso afirmativo, hallar la composición. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 𝑔(𝑥) = 𝑥2 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑥) 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 4 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
 
A partir de la lectura de la Unidad 1, responder si son Verdaderas (V) a Falsas (F) las siguientes 
afirmaciones. 
1. Los números reales se pueden representar gráficamente mediante una recta numérica. 
2. El conjunto de los Números Reales es denso. 
3. Siempre entre dos números reales hay otro número real. 
4. La propiedad que asegura que: entre dos números reales siempre hay otro número real se 
llama Densidad. 
5. Si 𝑥 < 𝑦 entonces −3𝑥 < −3𝑦. 
6. Si 0 < 𝑥 < 𝑦 entonces 
1
𝑥
<
1
𝑦
 . 
7. El elemento neutro de la suma de números reales es el número 1. 
8. Dados dos números reales cualesquiera 𝑥 e 𝑦, la distancia entre 𝑥 e 𝑦, se simboliza 𝑑(𝑥, 𝑦) y 
se define 𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑦 − 𝑥|. 
9. La distancia entre dos números naturales 𝑥 e 𝑦, que se simboliza 𝑑(𝑥, 𝑦) cumple con las 
siguientes propiedades: 𝑑(𝑥, 𝑦) ≥ 0 ; 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 𝑠𝑖𝑖 𝑥 = 𝑦 ; 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) y 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤
𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦). 
10. El intervalo (2,4) es un entorno de centro 3 y radio 1. 
11. El entorno de centro 4 y radio 2 es el intervalo [2,4] . 
12. Si 𝑥 ∈ 𝐸𝑅(−1,5) entonces |x+1|<5. 
13. Si la distancia entre los números x y −2 es menor a 0.5, entonces |𝑥 + 2| < 0.5. 
14. El intervalo (−5, +∞) es acotado inferiormente, tiene como ínfimo al número −5, pero no 
tiene supremo. 
15. El par ordenado (2,3) = (3,2). 
16. Producto cartesiano 𝐴𝑥𝐵 es una relación entre el conjunto 𝐴 y el conjunto 𝐵. 
17. Toda relación admite relación inversa. 
18. Toda función de 𝐴 en 𝐵, es una relación de 𝐴 en 𝐵. 
PREGUNTAS PARA COMPRENSIÓN LECTORA 
 
42 
 
19. Toda Relación de 𝐴 en 𝐵 es una función de 𝐴 en 𝐵. 
20. El Dominio de una función de 𝐴 en 𝐵 es el conjunto 𝐴. 
21. La imagen de una función 𝑓 de 𝐴 en 𝐵 siempre es el conjunto 𝐵. 
22. Dos funciones son iguales cuando tienen iguales dominios. 
22. f: ℚ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 es función real de variable real. 
23. f: ℚ → ℚ tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 es función real de variable real. 
24. El campo de existencia de una función es el dominio de dicha función. 
25. Las funciones reales de variable real se pueden representar mediante un sistema de ejes 
cartesianos. 
26. Siempre existe la composición entre dos funciones, y el resultado es una función. 
27. Si 𝑓 y 𝑔 son funciones tales que 𝐼𝑚(𝑓) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) entonces existe la función compuesta 𝑔𝑜𝑓. 
28. Si 𝑓 y 𝑔 son funciones tales que 𝐼𝑚(𝑓) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) entonces existe la función compuesta 𝑓𝑜𝑔. 
29. Si 𝑓 y 𝑔 son funciones tales que 𝐼𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ∅ entonces existe la función compuesta 
𝑔𝑜𝑓. 
30. Si 𝑓 y 𝑔 son funciones tales que 𝐼𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) ≠ ∅ y 𝐼𝑚(𝑓) ⊈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) entonces existe 
la función compuesta 𝑔𝑜𝑓, en un dominio restringido de 𝑓. 
31. Si 𝑓 y 𝑔 son funciones tales que 𝐼𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) ≠ ∅ entonces existe la función compuesta 
𝑔𝑜𝑓, cuyo dominio puede ser el de 𝑓 o un subconjunto de 𝑓. 
32. Las funciones inyectivas y sobreyectivas se dicen biyectivas. 
33. Si 𝑓 es una función de 𝐴 en 𝐵 y 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐵 entonces 𝑓 es sobreyectiva. 
34. 𝐹 es inyectiva si a elementos distintos del dominio de 𝑓 le corresponden imágenes distintas, 
por medio de 𝑓. 
35. Toda función de 𝐴 en 𝐵 admite función inversa. 
36. Toda función biyectiva admite inversa. 
37. La función inversa es igual a la inversa de la función. 
38. 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)) = 𝑥, para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
39. 𝑙𝑛(𝑒𝑥) = 𝑥, para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
40. La gráfica de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta 𝑦 = 𝑥. 
 
 
 
1. Defina el conjunto de los números reales. Indique como se representan gráficamente. Enuncie 
la propiedad de Densidad de números. 
2. Dar la definición axiomática de los números reales. Axiomas y propiedades de orden. 
3. Defina la operación Valor absoluto. Enunciar sus Propiedades. 
4. Defina Distancia entre dos números reales. Dar sus propiedades. 
5. Enunciar el lema que caracterizan intervalos mediante el valor absoluto. Dar interpretaciones 
geométricas. 
6. Dar las definiciones de: Intervalo de centro c y radio h, entorno y entorno reducido. 
7. Enunciar y demostrar la propiedad que caracteriza a los entornos mediante valor absoluto. 
8. Dar las definiciones de: Cotas de un conjunto. Ínfimo y supremo. Enunciar el Axioma de 
completitud (del supremo). 
9: Dar la noción de par ordenado. Definir: producto cartesiano y relación binaria. 
10: Definir relación inversa. Dar ejemplos. 
11. Defina formalmente función, dominio e imagen. Dar ejemplos. 
PREGUNTAS DE EXAMEN ESTANDARIZADO 
 
Lista de preguntas para Examen Estandarizado. 
 
43 
 
12. Dar las formas de representación de funciones. 
13. Defina igualdad de funciones. 
14. Defina Función real de variable real. Dar ejemplos. 
15. Porque son importantes las funciones? ¿y las funciones reales de variable real? 
16. Defina Campo de existencia de una función real de variable real. 
17. Defina suma, resta, multiplicación y división de funciones reales de variable real. 
18. Defina composición de funciones. Enunciar las condiciones de existencia. Dar ejemplos. 
19. Definir: función inyectiva, función sobreyectiva y función biyectiva. Dar ejemplos. 
20. Definir función inversa. Enunciar la condición de existencia de la función inversa. 
21. Explicar el método analítico y gráfico para hallar la función inversa. 
 
 
 
 
En Matemática, resultados importantes son llamados Teoremas. En muchos casos se les dan 
nombres. Por ejemplo, el Teorema de Pitágoras. En contraste con los axiomas o definiciones, 
que se admiten, los teoremas requieren demostrarse. 
 
Muchos Teoremas pueden establecerse en la forma “Si 𝑃 entonces 𝑄” o bien pueden 
renunciarse en esta forma. Con frecuencia abreviamos el enunciado “ 𝑃 entonces 𝑄” por medio 
de 𝑃 ⇒ 𝑄, que también se lee “𝑃 implica 𝑄”. Llamamos a 𝑃 la hipótesis y a 𝑄 la conclusión del 
teorema. Una prueba consiste en demostrar que 𝑄 debe ser verdadera siempre que 𝑃 sea 
verdadera. 
Estudiantes recién ingresados (y algunos ya avanzados) pueden confundir 𝑃 ⇒ 𝑄 con su 
reciproco 𝑄 ⇒ 𝑃. Estas dos proposiciones no son equivalentes. “Si Juan es de Mendoza entonces 
Juan es argentino” es una proposición verdadera, pero su recíproco “Si Juan es argentino 
entonces es de Mendoza” podría ser no verdadera. 
 
La negación de la proposición 𝑃 se escribe ¬𝑃. Por ejemplo si 𝑃 es la proposición “Está 
lloviendo”, entonces ¬𝑃 es al proposición “No esta lloviendo”. La proposición ¬𝑄 ⇒ ¬𝑃 se 
denomina contra recíproco de la proposición 𝑃 ⇒ 𝑄, y es equivalente a 𝑃 ⇒ 𝑄. Por equivalente 
queremos decir que 𝑃 ⇒ 𝑄 y ¬𝑄 ⇒ ¬𝑃 son ambas verdaderas ó ambas falsas. Para nuestro 
ejemplo