Unidad 5B

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UNIDAD 5
ASTRONOMÍA – GEOFÍSICA – Univ. Nac. de San Juan
TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD
Cinemática
Para calcular intervalos de tiempo entre dos sucesos usamos
La Relatividad de la Simultaneidad
Medidas hechas con un solo reloj: obviamente es posible cuando los sucesos ocurren en un mismo lugar. Si el tiempo medido para cada evento es el mismo, los eventos serán simultáneos
Para calcular intervalos de tiempo entre dos sucesos usamos
La Relatividad de la Simultaneidad
E1,2
Medidas hechas con un solo reloj: obviamente es posible cuando los sucesos ocurren en un mismo lugar. Si el tiempo medido para cada evento es el mismo, los eventos serán simultáneos
Medidas hechas con dos relojes: es cuando los sucesos ocurren en lugares diferentes. Debo entonces restar los tiempos medidos usando relojes sincronizados
Para calcular intervalos de tiempo entre dos sucesos usamos
La Relatividad de la Simultaneidad
E1,2
E2
E1
Medidas hechas con un solo reloj: obviamente es posible cuando los sucesos ocurren en un mismo lugar. Si el tiempo medido para cada evento es el mismo, los eventos serán simultáneos
Medidas hechas con dos relojes: es cuando los sucesos ocurren en lugares diferentes. Debo entonces restar los tiempos medidos usando relojes sincronizados
Para calcular intervalos de tiempo entre dos sucesos usamos
La Relatividad de la Simultaneidad
E1,2
E2
E1
¿Cómo sincronizar correctamente los relojes?
Tenemos al menos 4 formas de hacerlo
La Relatividad de la Simultaneidad
Poner los relojes de manera que indiquen el mismo tiempo para uno de los observadores
Tenemos al menos 4 formas de hacerlo
La Relatividad de la Simultaneidad
1
Poner los relojes de manera que indiquen el mismo tiempo para uno de los observadores
Tenemos al menos 4 formas de hacerlo
La Relatividad de la Simultaneidad
1
Poner los relojes de manera que indiquen el mismo tiempo y luego trasladarlos a las posiciones donde ocurren los eventos
2
Poner los relojes de manera que indiquen el mismo tiempo para uno de los observadores
Tenemos al menos 4 formas de hacerlo
La Relatividad de la Simultaneidad
1
Poner los relojes de manera que indiquen el mismo tiempo y luego trasladarlos a las posiciones donde ocurren los eventos
2
Cada observador, A y B, posee una fuente de luz y un reloj. A prende su fuente de luz cuando su reloj marca t=0 y B pone su reloj en t=L/c cuando recibe la señal
3
Poner los relojes de manera que indiquen el mismo tiempo para uno de los observadores
Tenemos al menos 4 formas de hacerlo
La Relatividad de la Simultaneidad
1
Poner los relojes de manera que indiquen el mismo tiempo y luego trasladarlos a las posiciones donde ocurren los eventos
2
Cada observador, A y B, posee una fuente de luz y un reloj. A prende su fuente de luz cuando su reloj marca t=0 y B pone su reloj en t=L/c cuando recibe la señal
3
Poner la fuente de luz en el punto medio de la recta que va desde A hasta B. Cada observador pone su reloj en cero cuando recibe la señal
4
Poner los relojes de manera que indiquen el mismo tiempo para uno de los observadores
Tenemos al menos 4 formas de hacerlo
La Relatividad de la Simultaneidad
1
Poner los relojes de manera que indiquen el mismo tiempo y luego trasladarlos a las posiciones donde ocurren los eventos
2
Cada observador, A y B, posee una fuente de luz y un reloj. A prende su fuente de luz cuando su reloj marca t=0 y B pone su reloj en t=L/c cuando recibe la señal
3
Poner la fuente de luz en el punto medio de la recta que va desde A hasta B. Cada observador pone su reloj en cero cuando recibe la señal
4
Para el otro observador no estarán sincronizados y el otro reloj atrasaría en 2L/c
ERROR !
Poner los relojes de manera que indiquen el mismo tiempo para uno de los observadores
Tenemos al menos 4 formas de hacerlo
La Relatividad de la Simultaneidad
1
Poner los relojes de manera que indiquen el mismo tiempo y luego trasladarlos a las posiciones donde ocurren los eventos
2
Cada observador, A y B, posee una fuente de luz y un reloj. A prende su fuente de luz cuando su reloj marca t=0 y B pone su reloj en t=L/c cuando recibe la señal
3
Poner la fuente de luz en el punto medio de la recta que va desde A hasta B. Cada observador pone su reloj en cero cuando recibe la señal
4
Para el otro observador no estarán sincronizados y el otro reloj atrasaría en 2L/c
ERROR !
El movimiento de los relojes afecta sus lecturas
ERROR !
Poner los relojes de manera que indiquen el mismo tiempo para uno de los observadores
Tenemos al menos 4 formas de hacerlo
La Relatividad de la Simultaneidad
1
Poner los relojes de manera que indiquen el mismo tiempo y luego trasladarlos a las posiciones donde ocurren los eventos
2
Cada observador, A y B, posee una fuente de luz y un reloj. A prende su fuente de luz cuando su reloj marca t=0 y B pone su reloj en t=L/c cuando recibe la señal
3
Poner la fuente de luz en el punto medio de la recta que va desde A hasta B. Cada observador pone su reloj en cero cuando recibe la señal
4
Para el otro observador no estarán sincronizados y el otro reloj atrasaría en 2L/c
ERROR !
El movimiento de los relojes afecta sus lecturas
ERROR !
El observador en B compensa correctamente el tiempo de transmisión de la señal
BIEN !
Poner los relojes de manera que indiquen el mismo tiempo para uno de los observadores
Tenemos al menos 4 formas de hacerlo
La Relatividad de la Simultaneidad
1
Poner los relojes de manera que indiquen el mismo tiempo y luego trasladarlos a las posiciones donde ocurren los eventos
2
Cada observador, A y B, posee una fuente de luz y un reloj. A prende su fuente de luz cuando su reloj marca t=0 y B pone su reloj en t=L/c cuando recibe la señal
3
Poner la fuente de luz en el punto medio de la recta que va desde A hasta B. Cada observador pone su reloj en cero cuando recibe la señal
4
Para el otro observador no estarán sincronizados y el otro reloj atrasaría en 2L/c
ERROR !
El movimiento de los relojes afecta sus lecturas
ERROR !
El observador en B compensa correctamente el tiempo de transmisión de la señal
BIEN !
Aunque claro, es una configuración muy particular
BIEN !
Definición de Simultaneidad
La Relatividad de la Simultaneidad
Dos sucesos que ocurren en dos lugares diferentes de un sistema de referencia deben considerarse simultáneos cuando los relojes de los lugares respectivos registran el mismo tiempo para ellos
Definición de Simultaneidad
La Relatividad de la Simultaneidad
Dos sucesos que ocurren en dos lugares diferentes de un sistema de referencia deben considerarse simultáneos cuando los relojes de los lugares respectivos registran el mismo tiempo para ellos
Si dos eventos independientes son simultáneos para un observador inercial 
¿Lo serán para otro que se mueva con velocidad v respecto al primero?
Definición de Simultaneidad
La Relatividad de la Simultaneidad
Dos sucesos que ocurren en dos lugares diferentes de un sistema de referencia deben considerarse simultáneos cuando los relojes de los lugares respectivos registran el mismo tiempo para ellos
Si dos eventos independientes son simultáneos para un observador inercial 
Imaginemos que dos rayos caen simultáneamente en los extremos de un tren moviéndose con velocidad v en el sistema S unido al andén. La luz procedente de estos sucesos simultáneos alcanza al observador C situado en el punto medio entre ambos al mismo tiempo
¿Lo serán para otro que se mueva con velocidad v respecto al primero?
Definición de Simultaneidad
La Relatividad de la Simultaneidad
Dos sucesos que ocurren en dos lugares diferentes de un sistema de referencia deben considerarse simultáneos cuando los relojes de los lugares respectivos registran el mismo tiempo para ellos
Si dos eventos independientes son simultáneos para un observador inercial 
Imaginemos que dos rayos caen simultáneamente en los extremos de un tren moviéndose con velocidad v en el sistema S unido al andén. La luz procedente de estos sucesos simultáneos alcanza al observador C situado en el punto medio entre ambos almismo tiempo
¿Lo serán para otro que se mueva con velocidad v respecto al primero?
Para C, los eventos AA’ y BB’ son simultáneos
La Relatividad de la Simultaneidad
En cambio, el observador C’ en S’ que continua desplazándose hacia la derecha durante el tiempo de viaje de las señales, encuentra que el evento AA’ ocurrió antes que BB’
 
La Relatividad de la Simultaneidad
En cambio, el observador C’ en S’ que continua desplazándose hacia la derecha durante el tiempo de viaje de las señales, encuentra que el evento AA’ ocurrió antes que BB’
 
Para C’, los eventos AA’ y BB’ NO son simultáneos
La simultaneidad es un concepto relativo
La Transformación de Lorentz
Consideremos dos observadores O y O’, con O’ moviéndose con relación a O a velocidad de magnitud v en la dirección positiva de los ejes x y x’
y
x, x’
O
y’
O’
v
S
z
z’
S’
La Transformación de Lorentz
Consideremos dos observadores O y O’, con O’ moviéndose con relación a O a velocidad de magnitud v en la dirección positiva de los ejes x y x’
y
x, x’
O
y’
O’
v
S
Los planos x’y’ y xy coinciden siempre y los orígenes de sus sistemas de referencia coinciden en el instante t=t’=0
z
z’
S’
La Transformación de Lorentz
Consideremos dos observadores O y O’, con O’ moviéndose con relación a O a velocidad de magnitud v en la dirección positiva de los ejes x y x’
y
x, x’
O
y’
O’
v
S
Los planos x’y’ y xy coinciden siempre y los orígenes de sus sistemas de referencia coinciden en el instante t=t’=0
En ese instante, O’ enciende una lámpara localizada en el origen de su sistema de referencia y se produce un frente de onda de luz que se extiende en todas direcciones desde el punto de emisión con una velocidad de magnitud c
z
z’
S’
(A)
La Transformación de Lorentz
Consideremos dos observadores O y O’, con O’ moviéndose con relación a O a velocidad de magnitud v en la dirección positiva de los ejes x y x’
y
x, x’
O
y’
O’
v
S
Los planos x’y’ y xy coinciden siempre y los orígenes de sus sistemas de referencia coinciden en el instante t=t’=0
En ese instante, O’ enciende una lámpara localizada en el origen de su sistema de referencia y se produce un frente de onda de luz que se extiende en todas direcciones desde el punto de emisión con una velocidad de magnitud c
z
z’
S’
Las coordenadas de cualquier punto del frente de onda satisfacen la ecuación de una esfera centrada en el origen
Según O
Según O’
(B)
Queremos encontrar la relación entre los dos conjuntos de variables (x, y, z, t) y (x’, y’, z’, t’) que permita que ambas ecuaciones sean válidas y permitan transformar una ecuación en la otra
La Transformación de Lorentz
Podemos suponer la siguiente forma para las ecuaciones de transformación
 es una cantidad adimensional que puede depender de v y c pero no de las coordenadas
 debe tener dimensiones de tiempo y depender también de estas velocidades
La Transformación de Lorentz
Podemos suponer la siguiente forma para las ecuaciones de transformación
 es una cantidad adimensional que puede depender de v y c pero no de las coordenadas
 debe tener dimensiones de tiempo y depender también de estas velocidades
Reescribiendo la ecuación (A) en función de las variables no primadas
La Transformación de Lorentz
Podemos suponer la siguiente forma para las ecuaciones de transformación
 es una cantidad adimensional que puede depender de v y c pero no de las coordenadas
 debe tener dimensiones de tiempo y depender también de estas velocidades
Reescribiendo la ecuación (A) en función de las variables no primadas
Para obtener la ecuación (B) debemos cancelar el término que contiene la combinación de variables . La cancelación se cumple para todo valor de la variable cuando
La Transformación de Lorentz
Podemos suponer la siguiente forma para las ecuaciones de transformación
 es una cantidad adimensional que puede depender de v y c pero no de las coordenadas
 debe tener dimensiones de tiempo y depender también de estas velocidades
Reescribiendo la ecuación (A) en función de las variables no primadas
Para obtener la ecuación (B) debemos cancelar el término que contiene la combinación de variables . La cancelación se cumple para todo valor de la variable cuando
Reemplazando y sacando factor común y en los términos restantes
La Transformación de Lorentz
Comparando esta expresión con la forma (B), obtenemos que
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La Transformación de Lorentz
Comparando esta expresión con la forma (B), obtenemos que
factor gamma
Adimensional
Siempre >1
Si 
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La Transformación de Lorentz
Comparando esta expresión con la forma (B), obtenemos que
factor gamma
Adimensional
Siempre >1
Si 
En conclusión
La transformación de Lorentz relaciona las coordenadas de espacio y tiempo de un suceso en el sistema S (x,y,z,t) y las coordenadas del mismo suceso en el sistema S’ (x’,y’,z’,t’), que se mueve respecto de S con velocidad v a lo largo del eje común xx’
Obviamente, si las transformaciones de Lorentz se reducen a las transformaciones galileanas
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La Transformación de Lorentz
Comparando esta expresión con la forma (B), obtenemos que
factor gamma
Adimensional
Siempre >1
Si 
En conclusión
La transformación de Lorentz relaciona las coordenadas de espacio y tiempo de un suceso en el sistema S (x,y,z,t) y las coordenadas del mismo suceso en el sistema S’ (x’,y’,z’,t’), que se mueve respecto de S con velocidad v a lo largo del eje común xx’
Obviamente, si las transformaciones de Lorentz se reducen a las transformaciones galileanas
Las consecuencias de la tranf. de Lorentz son
Dilatación del Tiempo
Contracción del espacio
32
Consecuencias de Lorentz 1 : dilatación del tiempo
El intervalo de tiempo entre dos sucesos que ocurren en el mismo lugar en cierto sistema de referencia, es siempre menor que el intervalo de tiempo existente entre los mismos sucesos, medido en otro sistema de referencia en el que los sucesos se producen en lugares diferentes
tiempo propio 
Dos sucesos se producen en x0’ en los instantes t1’ y t2’ en el sistema S’. En el sistema S, los tiempos correspondientes son t1 y t2 tal que:
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Consecuencias de Lorentz 1 : dilatación del tiempo
El intervalo de tiempo entre dos sucesos que ocurren en el mismo lugar en cierto sistema de referencia, es siempre menor que el intervalo de tiempo existente entre los mismos sucesos, medido en otro sistema de referencia en el que los sucesos se producen en lugares diferentes
tiempo propio 
Dos sucesos se producen en x0’ en los instantes t1’ y t2’ en el sistema S’. En el sistema S, los tiempos correspondientes son t1 y t2 tal que:
Tiempo transcurrido entre dos sucesos que ocurren en un mismo lugar en un sistema de referencia (en este caso es medido por S’). Como , es el menor tiempo plausible de medición por cualquier observador 
Tiempo Propio
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Consecuencias de Lorentz 1 : dilatación del tiempo
El intervalo de tiempo entre dos sucesos que ocurren en el mismo lugar en cierto sistema de referencia, es siempre menor que el intervalo de tiempo existente entre los mismos sucesos, medido en otro sistema de referencia en el que los sucesos se producen en lugares diferentes
tiempo propio 
El intervalo de tiempo medido en cualquier otro sistema es siempre más largo que el tiempo propio. Cualquier medición de tiempo en lugares diferentes será de tiempos dilatados o impropios
Dos sucesos se producen en x0’ en los instantes t1’ y t2’ en el sistema S’. En el sistema S, los tiempos correspondientes son t1 y t2 tal que:
Tiempo transcurrido entre dos sucesos que ocurren en un mismo lugar en un sistema de referencia (en este caso es medido por S’). Como , es el menor tiempo plausible de medición por cualquier observador 
Tiempo Propio
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Consecuencias de Lorentz 1 : dilatación del tiempo
Relojes en satélites 
10-12
36
Consecuencias de Lorentz 1 : dilatación del tiempo
Se retrasan (resp. a la tierra) por su velocidad orbitalrelativa
Relojes en satélites 
10-12
37
Consecuencias de Lorentz 1 : dilatación del tiempo
Se retrasan (resp. a la tierra) por su velocidad orbital relativa
Relojes en satélites 
Se acelaran (resp. a la tierra) por su distancia a el pozo de potencial gravitatorio de la Tierra (dilatación gravitacional del tiempo)
10-12
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Consecuencias de Lorentz 1 : dilatación del tiempo
Se retrasan (resp. a la tierra) por su velocidad orbital relativa
Relojes en satélites 
Se acelaran (resp. a la tierra) por su distancia a el pozo de potencial gravitatorio de la Tierra (dilatación gravitacional del tiempo)
Efecto neto
10-12
39
Consecuencias de Lorentz 2 : contracción del espacio
Es la longitud de un objeto medida en el sistema de referencia en que dicho objeto se encuentra en reposo
Longitud Propia (L0)
En un sistema de referencia en el que el objeto se está moviendo, la longitud medida es más corta que su longitud propia
Supongamos una varilla en reposo en el sistema S’, con un extremo en x2’ y el otro en x1’
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Consecuencias de Lorentz 2 : contracción del espacio
Es la longitud de un objeto medida en el sistema de referencia en que dicho objeto se encuentra en reposo
Longitud Propia (L0)
En un sistema de referencia en el que el objeto se está moviendo, la longitud medida es más corta que su longitud propia
Supongamos una varilla en reposo en el sistema S’, con un extremo en x2’ y el otro en x1’
La longitud de la varilla es L=x2-x1 donde x1 es la posición de un extremo en un instante t1 y x2 la posición del otro extremo en el mismo instante t2=t1, medidos en S
long. propia L0
long. contraída L
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Consecuencias de Lorentz 2 : contracción del espacio
Es la longitud de un objeto medida en el sistema de referencia en que dicho objeto se encuentra en reposo
Longitud Propia (L0)
En un sistema de referencia en el que el objeto se está moviendo, la longitud medida es más corta que su longitud propia
Supongamos una varilla en reposo en el sistema S’, con un extremo en x2’ y el otro en x1’
La longitud de la varilla es L=x2-x1 donde x1 es la posición de un extremo en un instante t1 y x2 la posición del otro extremo en el mismo instante t2=t1, medidos en S
long. propia L0
long. contraída L
Esta contracción del espacio es a lo largo de la dirección del movimiento relativo
¿Qué ocurrirá con la dimensiones perpendiculares al movimiento (ej. el ancho de la varilla)?
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Consecuencias de Lorentz 2 : contracción del espacio
Es la longitud de un objeto medida en el sistema de referencia en que dicho objeto se encuentra en reposo
Longitud Propia (L0)
En un sistema de referencia en el que el objeto se está moviendo, la longitud medida es más corta que su longitud propia
Supongamos una varilla en reposo en el sistema S’, con un extremo en x2’ y el otro en x1’
La longitud de la varilla es L=x2-x1 donde x1 es la posición de un extremo en un instante t1 y x2 la posición del otro extremo en el mismo instante t2=t1, medidos en S
long. propia L0
long. contraída L
Esta contracción del espacio es a lo largo de la dirección del movimiento relativo
¿Qué ocurrirá con la dimensiones perpendiculares al movimiento (ej. el ancho de la varilla)?
nada, nothing, nichts !
Las longitudes perpendiculares al movimiento relativo son iguales en ambos sistemas
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Postulados de Einstein: deducción de la dilatación del tiempo
Consideremos un observador A’ en reposo en el sistema S’ que dispara destellos de luz y mide el tiempo que tardan en ir y volver hasta un espejo
Postulados de Einstein: deducción de la dilatación del tiempo
Consideremos un observador A’ en reposo en el sistema S’ que dispara destellos de luz y mide el tiempo que tardan en ir y volver hasta un espejo
En el sistema S’, A’ y el espejo están en reposo. El tiempo para que la señal viaje, se refleje y vuelva es
Postulados de Einstein: deducción de la dilatación del tiempo
Consideremos un observador A’ en reposo en el sistema S’ que dispara destellos de luz y mide el tiempo que tardan en ir y volver hasta un espejo
En el sistema S’, A’ y el espejo están en reposo. El tiempo para que la señal viaje, se refleje y vuelva es
En el sistema S, A’ y el espejo se están moviendo con velocidad v. El tiempo empleado por la luz en llegar hasta el espejo y volver es mayor porque mayor es la distancia recorrida. Del triángulo…
Postulados de Einstein: deducción de la contracción del espacio
En el mismo ejemplo anterior, supongamos que x1 y x2 están en los extremos de una varilla calibrada de longitud L0=x2-x1 medida en el sistema S en el cual la varilla está en reposo
El observador en Tierra mide la longitud L0 y afirma que un observador A’ en S’ cubrió esta distancia en un tiempo Δt tal que
En el sistema S’ la varilla se mueve con velocidad v y emplea un tiempo Δt’ para moverse pasando delante de A’
Como , resulta entonces que L’<L0, es decir la longitud propia se ve contraída en un factor desde el otro sistema de referencia
Ejemplo: decaimiento de muones 
Los muones () son partículas de masa muy pequeña y tiempo de vida muy cortos que aparecen en las interacciones de rayos cósmicos con átomos de la alta atmósfera terrestre
Su tiempo de vida medio es de y viajan a velocidad v=0.998c  apenas pueden recorrer ~600 m
En el sist. de referencia de la Tierra, el tiempo de vida medio se ve dilatado en un factor de  ahora este tiempo es de  puede recorrer ~9000 m
Si los muones se comportaran clásicamente, deberíamos detectar un flujo muy pequeño al nivel del mar, pero en la realidad se detectan flujos ~1.2 millones de veces más elevados, en concordancia con las predicciones relativistas
Suma Relativista de Velocidades
Derivando las ecuaciones de transformación de Lorentz, podemos hallar cómo se transforman las velocidades de un sistema a otro
En el sistema S’ 
y
x, x’
O
y’
O’
v
S
z
z’
S’
En el sistema S 
Suma Relativista de Velocidades
Derivando las ecuaciones de transformación de Lorentz, podemos hallar cómo se transforman las velocidades de un sistema a otro
En el sistema S’ 
y
x, x’
O
y’
O’
v
S
z
z’
S’
En el sistema S 
De las ecuaciones de transformación de Lorentz
Suma Relativista de Velocidades
Derivando las ecuaciones de transformación de Lorentz, podemos hallar cómo se transforman las velocidades de un sistema a otro
En el sistema S’ 
y
x, x’
O
y’
O’
v
S
z
z’
S’
En el sistema S 
De las ecuaciones de transformación de Lorentz
Procedemos análogamente para el ejes y y z
Suma Relativista de Velocidades
Las transformaciones completas (para un mov. relativo sobre el eje x-x’) son entonces
Suma Relativista de Velocidades
Las transformaciones completas (para un mov. relativo sobre el eje x-x’) son entonces
Notemos que cuando v y ux son pequeñas con relación a c
Las expresiones relativistas se reducen a las expresione clásicas
Efecto Doppler Relativista
Para las ondas de sonido, la variación de su frecuencia depende de si la fuente o el receptor se están moviendo (pues lo hacen respecto a un medio: el aire). Para las ondas electromagnéticas no cabe esta distinción y todo lo que importa el movimiento relativo
Efecto Doppler Relativista
Para las ondas de sonido, la variación de su frecuencia depende de si la fuente o el receptor se están moviendo (pues lo hacen respecto a un medio: el aire). Para las ondas electromagnéticas no cabe esta distinción y todo lo que importa el movimiento relativo
Consideremos una fuente que se mueve hacia un receptor con velocidad v emitiendo N ondas electromagnéticas en tiempo ∆tR
R
E
v
En este tiempo ∆tR la primer onda del tren recorre c∆tR 
En este tiempo ∆tR la fuente recorre v∆tR 
Efecto Doppler Relativista
Para las ondas de sonido, la variación de su frecuencia depende de si la fuente o el receptor se están moviendo (pues lo hacen respecto a un medio: el aire). Para las ondas electromagnéticas no cabe esta distinción y todo lo que importa elmovimiento relativo
Consideremos una fuente que se mueve hacia un receptor con velocidad v emitiendo N ondas electromagnéticas en tiempo ∆tR
R
E
v
En este tiempo ∆tR la primer onda del tren recorre c∆tR 
En este tiempo ∆tR la fuente recorre v∆tR 
En el sistema de la fuente, la misma emite ondas en un tiempo (propio) , con frecuencia 
Efecto Doppler Relativista
Si E y R se acercan  
Efecto Doppler Relativista
Si E y R se acercan  
Si E y R se alejan  
Efecto Doppler Relativista
Si E y R se acercan  
Si E y R se alejan  
Si y forman un ángulo 
(efecto Doppler transverso)
Efecto Doppler Relativista
Si E y R se acercan  
Si E y R se alejan  
Si y forman un ángulo 
(efecto Doppler transverso)
Lavf58.12.100