Unidad 7 2018

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07/05/2018
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Física IV
Licenciatura en Geofísica 
Licenciatura en Astronomía
Universidad Nacional de San Juan 
Descubrimiento del electrón
(J.J.Thomson, 1897).
Determinación de la carga del
electrón (e) y de la masa del
electrón (me<<mátomo).
Efecto fotoeléctrico y dispersión de
rayos X por átomos: se demuestra
que el átomo contiene electrones y
que el número de electrones es
Z A/2.
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Un átomo neutral
contiene una carga
positiva Ze que es
igual a la de los
electrones.
La mayor parte de
la masa del átomo
debe estar asociada
con la carga
positiva.
¿Cómo están 
dispuestos en un 
átomo los electrones 
y la carga positiva?
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"El átomo se encuentra formado por una
esfera de carga positiva, con un diámetro
aproximado de 1Å, en la cual se
encuentran incrustadas las cargas negativas
(electrones) de forma similar a como se
encuentran las pasas de uva en un budín.
Además, como el átomo es neutro la
cantidad de cargas positivas es igual a la
cantidad de cargas negativas".
Modelo de Thomson 
para los átomos de 
uno, dos y tres 
electrones 
respectivamente.
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Intenta explicar la periodicidad de las propiedades
químicas de los elementos.
Constituye una disposición estable de “las pasas” en
el “budín” cargado positivamente.
Explica la emisión de radiación por los átomos a
partir de oscilaciones inducidas de los electrones en
sus posiciones de equilibrio.
El movimiento de cada electrón es un M.A.S. Existe
así una frecuencia correspondiente del movimiento
del electrón para los diferentes átomos. La existencia
de una sola frecuencia característica se contradice
con el gran número de frecuencias observadas, por
ejemplo para el hidrógeno, en su espectro.
Modelo nuclear.
Toda la carga positiva del átomo y
toda su masa, excluyendo la masa
de los electrones, está concentrada
en una región muy pequeña en el
centro del átomo llamada NÚCLEO.
Los electrones giran alrededor del
núcleo a manera de sistema
planetario.
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 El experimento consistía en
bombardear una fina lámina
de oro con partículas alfa
(4He++, núcleos de 4He
doblemente ionizados)
emitidas espontáneamente
por diferentes materiales
radiactivos.
 Para observar el resultado
de dicho bombardeo,
alrededor de la lámina de
oro colocó una pantalla
fluorescente.
Si ignoramos en primera aproximación
los electrones, la interacción entre las
partículas  y los núcleos de oro es
repulsiva y dará lugar a que las
partículas , en función del parámetro
de impacto, se desvíen de su dirección
de incidencia.
Con mediciones cuidadosas de la
dispersión se logra saber acerca de la
naturaleza de las fuerzas con las que se
topan las partículas , revelando así la
disposición real de las cargas de los
átomos de la lámina delgada.
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Los resultados esperados son:
 La deflexión promedio de una
partícula  causada por un átomo de
Thomson no pasa de
aproximadamente 10-4 rad.
 El efecto acumulativo después de
pasar por varios átomos no es grande
por lo fortuito de las interacciones.
 La probabilidad de obtener
dispersiones en ángulos mayores a 3°
es menor al 1% y de obtener
dispersión a 90° o más (dispersión
hacia atrás) es aproximadamente de
1 / 103500.
Los resultados fundamentales de las
observaciones fueron:
 La mayoría de las partículas  se
dispersaban hacia adelante (ángulos de
desviación muy pequeños).
Unas pocas (1 / 104) se desviaban ángulos
grandes (incluso, algunas retrocedían,
180°).
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Para explicar estos resultados debió suponerse
que:
 Las dispersiones hacia atrás se deben a una
sola colisión. Así, la mayor parte de la masa
del átomo estaría concentrada en un núcleo
diminuto. Como el átomo de Rutherford es
vacío en su mayor parte, las partículas  con
frecuencia no se acercan al núcleo, pero
cuando lo hacen experimentan fuerzas muy
grandes.
 La predominancia de dispersiones en ángulos
pequeños se debe a que la mayoría de los
encuentros son distantes.
 La dispersión de partículas  debida a los
electrones puede despreciarse para ángulos
de dispersión mayores a unos pocos grados.
Mediciones de Z
 El valor de Z (número atómico que nos indica la
carga nuclear y la cantidad de electrones en el
átomo neutro) no se conocía para diferentes
átomos.
 Como la carga del núcleo Ze influye en la
distribución de la dispersión según Rutherford, se
utilizaron los resultados experimentales para
determinar Z.
 Se comprobó que el Z hallado de esta manera
coincidía con el número atómico químico del átomo
en la tabla periódica, lo que se confirmó
posteriormente en experimentos de dispersión de
rayos X por átomos.
 Esta confirmación del modelo justificó su adopción
universal, aunque no fuera capaz de explicar la
estabilidad del átomo.
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Mediciones del radio nuclear
 Cuando la energía de las partículas  incidentes
aumenta a valores grandes, la distribución de
partículas  dispersadas en ángulos grandes se
desvía de las predicciones de Rutherford.
 Esto hace pensar que las partículas  con mucha
energía pueden penetrar el núcleo y la dispersión
se ve afectada por la fuerza de Coulomb y por las
fuerzas nucleares.
 Definimos el radio nuclear como la gama de fuerzas
nucleares.
 El radio nuclear puede determinarse a partir del
valor de la distancia de mayor aproximación en una
colisión de frente cuando la energía de las
partículas  es tal que comienzan las desviaciones
de la dispersión de Rutherford.
 Radio nuclear del oro = 6,9 . 10-15 m.
 En el modelo de Rutherford:
Alrededor del núcleo atómico y dentro de
una distancia 10 000 veces mayor que el
radio nuclear, existen Z electrones que
neutralizan el átomo en su totalidad.
¿Cómo podrían estar dispuestos los 
electrones para garantizar la estabilidad 
del átomo?
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 Si los electrones estuvieran en reposo, caerían
hacia el núcleo por la fuerza de Coulomb y
volvemos al modelo de Thomson.
 Si los electrones giran alrededor del núcleo en
órbitas de radio igual al tamaño atómico
(modelo planetario), estarían acelerados y,
según Maxwell, radiarían energía sin cesar y
terminarían cayendo al núcleo en una
trayectoria espiral. Si así fuera el átomo
disminuiría al tamaño del núcleo y el espectro
emitido sería continuo en vez de discreto.
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Se llama espectro atómico de un elemento al
resultado de descomponer una radiación
electromagnética compleja en todas las radiaciones
sencillas que la componen, caracterizadas cada una
por un valor de longitud de onda, .
En Astronomía, la espectroscopía es el estudio de
los espectros emitidos por los cuerpos celestes.
Cada elemento tiene un espectro característico;
por tanto, un modelo atómico debería ser capaz de
justificar el espectro de cada elemento.
Cuando por medio del espectroscopio se
descompone la luz proveniente de un cuerpo
celeste, se obtienen tres tipos fundamentales de
espectros:
1.- El espectro continuo, típico de los sólidos, los
líquidos y los gases llevados a la incandescencia y a
altas temperaturas y presiones. Está caracterizado
por una emisión continua en todas las longitudes
de onda y no presenta líneas.
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2.- El espectro de emisión, típico de los gases
luminosos a baja presión y temperatura. Está
constituido por líneas de longitud de onda
definida, característica de cada especie
atómica y molecular.
Experimentalmente se obtiene haciendo pasar
una descarga eléctrica que excite los átomos
de un recipiente con gas. Los átomos liberan
energía emitiendo radiación y así vuelven a su
estado más bajo de energía.
3.- El espectro de absorción: se obtiene cuando se
hace pasar a través de un gas la luz de un cuerpo
llevado a la incandescencia y está caracterizado
por líneas negras, llamadas líneas de absorción,
que acompañan al espectro en la misma posición
en la que el propio gas habría producido las líneas
de emisión.
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El Sol y las estrellas presentan espectros de absorción y por
la posición de las líneas se pueden establecercuáles son los
elementos presentes en el astro. Por ejemplo el Sol, en la
parte amarilla del espectro, presenta dos líneas que ocupan
la misma posición de las que aparecerían en el espectro
producido por vapores de sodio llevados a la incandescencia.
De esta manera se puede establecer que el sodio es uno de
los elementos presentes en nuestra estrella.
En el gráfico se muestran tres espectros de 
emisión y uno de absorción. 
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Es el más simple de todos los átomos.
Las líneas parecen formar una serie convergente,
pues el espacio entre ellas disminuye
paulatinamente hacia un límite en el ultravioleta.
En 1884 Johann Balmer encontró una fórmula empírica para hallar las
frecuencias de las líneas del hidrógeno entonces conocidas.
donde RH = 1.097 x 10
7 m-1 (Constante de Rydberg)
n = 3, 4, 5, 6, ...
Primera línea: n=3; =6563Å
Límite de la serie: n=; =3638Å







²
1
2
11
2 n
RH

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Generalización de la fórmula de Balmer 
para otras series de líneas del hidrógeno
Fórmula de Rydberg: Permite calcular la
longitud de onda de cualquiera de las
líneas que forman el espectro del
hidrógeno.
m toma un valor entero fijo
nm+1







²
1
²
11
nm
RH

Series espectrales del hidrógeno
m = 1: serie de Lyman
m = 2: serie de Balmer
m = 3: serie de Paschen
m = 4: serie de Brackett
m = 5: serie de Pfund
m = 6: serie de Humphreys
La serie de Lyman corresponde a radiación
ultravioleta; la serie de Balmer, a radiación
visible; y el resto, a radiación infrarroja.
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 Series espectrales de otros elementos
También consisten en una serie de líneas.
Para los elementos alcalinos, la constante de
Rydberg toma valores apenas mayores que la
del hidrógeno.
Para realizar su modelo
atómico utilizó el átomo de
hidrógeno.
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 Primer postulado (Cuantificación de la energía de los átomos)
El electrón gira alrededor del núcleo en órbitas circulares
correspondientes a “estados estacionarios” de energía (sin
emitir energía radiante).
 La idea de que "el electrón gira alrededor del núcleo en órbitas
circulares" existía ya en el modelo de Rutherford, pero Bohr
supone que, por alguna razón desconocida por el momento, el
electrón está incumpliendo las leyes del electromagnetismo y no
emite energía radiante, pese a que se trata de una carga
eléctrica en movimiento, que debería emitirla continuamente.
 En este modelo los electrones tienden a ocupar la órbita de
menor energía posible, o sea la órbita más cercana posible al
núcleo.
 Segundo postulado (Condición de radiación que
contiene la idea de conservación de la energía y el
concepto cuántico de Einstein de la radiación)
El átomo emite o absorbe energía radiante
únicamente cuando va de un estado estacionario a
otro y el cambio de energía del átomo es igual a la
energía del fotón que se emite o se absorbe.
Si emite un fotón: donde E2>E1
21 es la frecuencia del fotón emitido.
Si absorbe un fotón: donde E2>E1
12 es la frecuencia del fotón absorbido.
2112 hEE 
2211 EhE  
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Consecuencias del Segundo postulado
 Cuando el átomo absorbe (o emite) una radiación, el
electrón pasa a una órbita de mayor (o menor) energía, y
la diferencia entre ambas órbitas se corresponderá con
una línea del espectro de absorción (o de emisión).
 El electrón no puede estar a cualquier distancia del
núcleo, sino que sólo hay unas pocas órbitas posibles, las
cuales vienen definidas por los valores permitidos para un
parámetro que se denomina número cuántico, n.
 Tercer postulado (Cuantización de la cantidad de 
movimiento angular)
n
h
nLn 
2
donde n = 1, 2, 3, …
La cantidad de movimiento angular orbital del
electrón está cuantizada tomando únicamente
múltiplos enteros de ћ.
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Principio de correspondencia o regla de la 
cuantización para determinar los estados 
permitidos de energía del átomos
La teoría cuántica debe dar los mismos
resultados que la teoría clásica, en el límite en
que la teoría clásica se conoce como correcta.
 En el límite de sistemas grandes donde las
energías permitidas forman un continuo, la
condición de radiación cuántica debe dar el
mismo resultado que el cálculo clásico.
 Para radios orbitales muy grandes (átomo de
tamaño macroscópico), la frecuencia de la
radiación emitida por el hidrógeno debe ser la
misma que la frecuencia de revolución del
electrón.
Determinación de las energías permitidas del átomo 
de hidrógeno
Fórmula de Balmer:
La energía del fotón radiado es: 
Según el 2do Postulado en una transición n→m:
Comparando las dos ecuaciones encontramos las 
energías permitidas de los estados estacionarios:







²
1
²
11
nm
RH








²
1
²
1
nm
hcRh Hnm
nmmn hEE 
²n
hcR
E Hn 
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 El número entero n determina una energía
permitida (cuantizada).
 La energía más baja corresponde a n=1 y la más
alta a n=∞.
 El signo negativo indica que el sistema (átomo de
hidrógeno) está enlazado, siendo negativa la
energía total.
 El enlace se rompe cuando se entrega suficiente
energía para separar el electrón del núcleo. En ese
caso la energía total del sistema es cero (ambos
separados infinitamente y en reposo).
 Si se entrega esta energía o más, el átomo se
ioniza.
²n
hcR
E Hn 
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Los niveles se acercan más uno al otro
al aumentar n y como hay un número
infinito de niveles se alcanza el
continuo clásico para valores altos de n.
Normalmente el átomo está en el estado
de energía más bajo (n=1) o estado
basal o fundamental.
Cuando el átomo absorbe energía pasa a
un estado de energía permitido más alto
llamado estado excitado. Luego puede
emitir esta energía en forma de fotones.
El espectro muestra así distintas series
de líneas.
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Utilizando el principio de
correspondencia es posible predecir
teóricamente el valor de la constante de
Rydberg en función de otras constantes
fundamentales, en buena conformidad
con los experimentos.
Así las energías permitidas pueden 
expresarse como:
ch
me
RH 32
0
4
8

²
1
²8 20
4
nh
me
En 









El modelo explica los espectros de absorción considerando que
el átomo de Bohr puede absorber únicamente ciertas energías
de un haz de radiación incidente. Cada línea de absorción tiene
la misma longitud de onda que una línea de emisión, pero no
todas las líneas de emisión aparecen en el espectro de
absorción (debido a que generalmente los átomos de un gas se
encuentran en el estado basal).
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Bohr construyó un modelo de átomo de
un solo electrón en el que éste se
mueve clásicamente en todos los
estados estacionarios del átomo y no
sólo para n grandes.
Este modelo planetario semiclásico no
sobrevivió al esquema final de la
mecánica cuántica pero hizo posible la
observación de muchas propiedades de
los átomos e introdujo ideas que
ayudaron a desarrollar la nueva teoría.
 El electrón de carga e gira alrededor del núcleo 
de carga Ze en una órbita circular.
 Como F=ma entonces:
 Energía cinética:
 Energía potencial eléctrica:
 Energía total:
r
mv
r
Ze ²
²
²
4
1
0


r
Ze
mvK
²
8
1
²
2
1
0

r
Ze
U
²
4
1
0

r
Ze
E
2
²
4
1
0

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 Si Z=1 → átomo de hidrógeno
 Si Z=2 → átomo de helio simplemente ionizado
 Si Z=3 → átomo de litio doblemente ionizado
Generalización de la fórmula empírica de 
Balmer y Rydberg para átomos de un electrón:
 Confirmación experimental: serie de Pickering
en el espectro del He+ en las estrellas.







²
1
²
1
²
1
nm
RZ H

Reemplazando e² por Ze², las 
expresiones obtenidas por Bohr para el 
hidrógeno pueden generalizarse para 
átomos de un solo electrón.
Energía de los estados permitidos:
²
1
²8
²
2
0
4
nh
me
ZEn 









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Radio de las órbitas permitidas:
Llamando: radio de Bohr
(Si Z=1; a0 ≈0,5Å)
Podemos escribir: Los valores concuerdan con los valores conocidos 
del tamaño del átomo de hidrógeno en su estado 
normal.
²
²
²)4( 0 n
mZe
rn


²
²)4( 0
0
mZe
a


²0narn 
,...3,2,1n
Representación de las 
órbitas
n radio
El siguiente gráfico no está a escala.
1 0,53 Å
2 2,12 Å
3 4,76 Å
4 8,46 Å
5 13,22 Å
6 19,05 Å
7 25,93 Å
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Las órbitas de los estados excitados con
valor de n grande se aproxima al átomo
macroscópico clásico.
En el espacio interestelar donde la
densidad de átomos es muy baja, es
probable que existan átomos de
hidrógeno en estados tan altamente
excitados de radio orbital grande con
poca perturbación. Las emisiones
características de estos estados se
observan allí mejor que en el
laboratorio.
Velocidad orbital permitida:
 La velocidad más alta es la del estado basal.
Para el hidrógeno v1=1/137 c. De este modo se
justifica el uso de la mecánica no-relativista,
aunque tenerlas en cuenta ayuda a explicar la
estructura fina de algunas líneas espectrales. En
átomos con un solo electrón con carga nuclear Ze
se hacen más importantes las consideraciones
relativistas.
n
Ze
vn
1
)4(
²
0 
 ,...3,2,1n
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Energía de enlace: diferencia de energía
entre el estado basal de un átomo y su
estado de energía cero. Es la energía
mínima requerida para ionizar un átomo
normal.
Para energías totales positivas, el átomo
estaría ionizado y el electrón sería una
partícula libre (r = ∞). La energía de una
partícula libre no está cuantificada ya
que existe un continuo de energía por
encima del estado cuantificado más
alto.
n
h
nLn 
2














 ²
²
²41
4
² 0
0
n
mZen
Ze
mrmvL nnn




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 De Broglie interpretó físicamente este resultado:
Si p es la cantidad de movimiento lineal del electrón, tenemos:
donde n = 1, 2, 3, …
En función de la longitud de onda de de Broglie:
Entonces:
Únicamente son permitidas aquellas órbitas en que la
circunferencia contiene un número entero de longitudes
de onda de de Broglie.
2
h
npr 
 2
h
nr
h

 nr 2
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Hasta ahora hemos considerado que el núcleo
permanece en reposo mientras el electrón
gira, lo cual equivale a considerar que tiene
masa infinita comparada con la del electrón.
Debido a que los datos espectrales suelen
determinarse con gran precisión a veces hay
que tener en cuenta la masa finita real del
núcleo y su efecto en el movimiento.
Sustituir en las ecuaciones anteriores µ por
m, donde:
La constante de Rydberg para la masa
nuclear finita será:
Esta constante aumenta ligeramente
cuanto más pesado es el átomo.








Mm
M
m







 R
Mm
M
RM
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En una teoría más detallada del átomo de
hidrógeno se consideran órbitas elípticas
tridimensionales y efectos relativistas del
movimiento del electrón. Esto permite
explicar algunas líneas dobles de los espectros
pero no fue de utilidad más que en sistemas
simples.
Wilson, Sommerfeld e Ishiwara encontraron
una regla general que explica la cuantización
de Planck de la energía de un oscilador y la
cuantización de Bohr de la cantidad de
movimiento angular.
Si q representa una coordenada generalizada
en un sistema físico periódico y pq la
cantidad de movimiento canónica asociada
con esa coordenada, la regla establece que :
donde la integral abarca un ciclo completo
del movimiento periódico y nq es un número
cuántico entero.
  hndqp qq
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 La experiencia que realizaron Frank y
Hertz en 1914 es uno de los experimentos
claves que ayudaron a establecer la teoría
atómica moderna.
 Nos muestra que los átomos absorben
energía en pequeñas porciones o cuantos de
energía, confirmando los postulados de Bohr.
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 En la figura, se muestra un esquema del tubo que
contiene vapor de mercurio a baja presión con el que
se realiza el experimento. El cátodo caliente emite
electrones con una energía cinética casi nula. Ganan
energía cinética debido a la diferencia de potencial
existente entre el cátodo y la rejilla.
 Durante el viaje chocan con los átomos de vapor de
mercurio y pueden perder energía. Los electrones que
lleguen a la rejilla con una energía cinética de 1.5 eV o
más, impactarán en el ánodo y darán lugar a una
corriente I. Los electrones que lleguen a la rejilla con
una energía menor que 1.5 eV no podrán alcanzar el
ánodo y regresarán a la rejilla. Estos electrones no
contribuirán a la corriente I.
 La corriente I presenta varios picos espaciados
aproximadamente 4.9 eV.
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 El primer valle, corresponde a los electrones que han
perdido toda su energía cinética después de una
colisión inelástica con un átomo de mercurio.
 El segundo valle, corresponde a electrones que han
experimentado dos colisiones inelásticas consecutivas
con átomos de mercurio, y así sucesivamente.
 Cuando un electrón experimenta una colisión
inelástica con un átomo de mercurio lo deja en un
estado excitado, volviendo al estado normal después
de emitir un fotón de aproximadamente 4.9 eV. Esta
radiación se puede observar durante el paso del haz
de electrones a través del vapor de mercurio.
 La energía del fotón es igual a la diferencia entre dos
niveles de energía del átomo de mercurio. Esta
energía es la que pierde el electrón en su choque
inelástico con el átomo de mercurio.
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Moseley midió, 
usando métodos 
desarrollados por 
Bragg, las longitudes 
de onda del espectro 
de líneas 
característico de 
rayos X para 40 
elementos blanco 
diferentes.
Observó que:
 El espectro de líneas de los rayos X varía en
forma regular de un elemento a otro.
Sospechó que:
Dichos espectros correspondían a
transiciones en las que intervenían los
electrones más internos del átomo.
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Bohr
2
1 qE 
Moseley
Representación
2Z
)(Z
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Ecuación:
An y b son constantes para cada línea de rayos X
Familia de líneas:
Serie K: b=1 y diferentes valores de An
Serie L: b=7,4 y diferentes valores de An.
)(2/1 bZAn 
El electrón bombardeante en el tubo de
rayos X choca con un electrón de la órbita
más interna (n=1) de un átomo blanco y lo
expulsa del átomo.
Se emiten fotones correspondientes a las
transiciones de otros electrones a la
vacante creada en la órbita (n=1 o capa
K) dando lugar a la serie K.
Línea Kα n=2 n=1
La frecuencia es proporcional a (Z-1)² y
no a Z² (como en la relación de Bohr) por
el apantallamiento de la carga nuclear
por el otro electrón que queda en la capa
K.
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Serie K:
n= 2,3,4,…
Serie L:
n=3,4,5,…







2
2 1
²2
1
)4,7(
n
ZcR







2
2 11)1(
n
ZcR
Al ordenar los elementos por el
número Z obtenido del gráfico de
Moseley y no por su peso se obtuvo
una tabla periódica de acuerdo con
las propiedades químicas.