Unidad 07B_narrada

Vista previa del material en texto

UNIDAD 7
ASTRONOMÍA – GEOFÍSICA – UNIV. NAC. DE SAN JUAN
Modelos Atómicos
Modelo de Bohr : postulados
N. Bohr desarrolló su modelo para explicar el átomo de hidrógeno y solucionar el problema de su estabilidad
Modelo de Bohr : postulados
N. Bohr desarrolló su modelo para explicar el átomo de hidrógeno y solucionar el problema de su estabilidad
1º Postulado de Bohr
El electrón gira alrededor del núcleo en órbitas circulares correspondientes a
“estados estacionarios” de energía (sin emitir energía radiante)
Modelo de Bohr : postulados
N. Bohr desarrolló su modelo para explicar el átomo de hidrógeno y solucionar el problema de su estabilidad
1º Postulado de Bohr
El electrón gira alrededor del núcleo en órbitas circulares correspondientes a
“estados estacionarios” de energía (sin emitir energía radiante)
La idea de un electrón orbitando existía ya en el modelo de Rutherford, pero Bohr
supone que, por alguna razón desconocida por el momento, el electrón está
incumpliendo las leyes del electromagnetismo y no emite energía radiante, pese a
que se trata de una carga eléctrica en movimiento, que debería emitir continuamente
En este modelo los electrones tienden a ocupar la órbita de menor
energía posible, o sea la órbita más cercana posible al núcleo
Modelo de Bohr : postulados
2º Postulado de Bohr
El átomo emite o absorbe energía radiante únicamente cuando va de un estado estacionario a
otro y el cambio de energía del átomo es igual a la energía del fotón que se emite o se absorbe
Sean dos niveles energéticos 𝐸1 y 𝐸2, con 𝐸2 > 𝐸1
Modelo de Bohr : postulados
2º Postulado de Bohr
El átomo emite o absorbe energía radiante únicamente cuando va de un estado estacionario a
otro y el cambio de energía del átomo es igual a la energía del fotón que se emite o se absorbe
Si la transición es de 𝐸2 → 𝐸1 𝐸2 = 𝐸1 + ℎ𝑣21
Sean dos niveles energéticos 𝐸1 y 𝐸2, con 𝐸2 > 𝐸1
𝜈21 ∷ frecuencia del fotón emitido
fotón 𝑣21𝑒
Modelo de Bohr : postulados
2º Postulado de Bohr
El átomo emite o absorbe energía radiante únicamente cuando va de un estado estacionario a
otro y el cambio de energía del átomo es igual a la energía del fotón que se emite o se absorbe
Si la transición es de 𝐸2 → 𝐸1 𝐸2 = 𝐸1 + ℎ𝑣21
Sean dos niveles energéticos 𝐸1 y 𝐸2, con 𝐸2 > 𝐸1
𝜈21 ∷ frecuencia del fotón emitido
𝐸1 + ℎ𝑣12 = 𝐸2
𝜈12 ∷ frecuencia del fotón absorbido
Si la transición es de 𝐸1 → 𝐸2
fotón 𝑣21𝑒
fotón 𝑣12
𝑒
Modelo de Bohr : postulados
2º Postulado de Bohr
El átomo emite o absorbe energía radiante únicamente cuando va de un estado estacionario a
otro y el cambio de energía del átomo es igual a la energía del fotón que se emite o se absorbe
Si la transición es de 𝐸2 → 𝐸1 𝐸2 = 𝐸1 + ℎ𝑣21
Sean dos niveles energéticos 𝐸1 y 𝐸2, con 𝐸2 > 𝐸1
𝜈21 ∷ frecuencia del fotón emitido
𝐸1 + ℎ𝑣12 = 𝐸2
𝜈12 ∷ frecuencia del fotón absorbido
Si la transición es de 𝐸1 → 𝐸2
fotón 𝑣21𝑒
fotón 𝑣12
𝑒
A diferencia de Rutherford, la frecuencia 𝑣 de la radiación
no tiene nada que ver con la frecuencia de revolución del
electrón (hasta el límite clásico)
Modelo de Bohr : postulados
3º Postulado de Bohr
El momento angular de cualquier electrón en un átomo está cuantizado
Modelo de Bohr : postulados
3º Postulado de Bohr
El momento angular de cualquier electrón en un átomo está cuantizado
El electrón no puede estar a cualquier distancia del núcleo. Sólo unas pocas órbitas están permitidas, de acuerdo
al valor del número cuántico n
De lo contrario, los electrones podrían estar a cualquier radio y observaríamos un espectro continuo de radiación
Modelo de Bohr : postulados
3º Postulado de Bohr
El momento angular de cualquier electrón en un átomo está cuantizado
𝐿𝑛 = 𝑛
ℎ
2𝜋
= 𝑛ℏ 𝑛 = 1, 2, 3…
El electrón no puede estar a cualquier distancia del núcleo. Sólo unas pocas órbitas están permitidas, de acuerdo
al valor del número cuántico n
De lo contrario, los electrones podrían estar a cualquier radio y observaríamos un espectro continuo de radiación
La cantidad de movimiento angular orbital
del electrón está cuantizada, tomando
únicamente múltiplos enteros de ћ
fotón 𝑣13
𝑒
𝑛 = 1
𝑛 = 2
𝑛 = 3
Modelo de Bohr : Principio de Correspondencia
Principio de Correspondencia
La teoría cuántica debe dar los mismos resultados que la teoría clásica, en el límite en que la
teoría clásica se conoce como correcta
En el límite de sistemas grandes donde las energías permitidas forman un continuo  la condición de radiación
cuántica debe dar el mismo resultado que el cálculo clásico
Para radios orbitales muy grandes (átomo de tamaño macroscópico)  la frecuencia de la radiación emitida
debe ser la misma que la frecuencia de revolución del electrón
Modelo de Bohr : Diagramas Atómicos
Diagrama de Niveles Atómicos y
Transiciones del H
Modelo de Bohr : Diagramas Atómicos
Diagrama Grotriano
Otra alternativa es el diagrama Grotriano, que
permite ilustrar transiciones entre orbitales en
átomos polielectrónicos y reglas de transición
específicas
Diagrama de Niveles Atómicos y
Transiciones del H
Modelo de Bohr : Energías Permitidas
Determinación de las energías permitidas del átomo de hidrógeno
Según Rydberg
1
𝜆𝑛𝑚
= 𝑅𝐻
1
𝑚2
−
1
𝑛2
ℎ
𝜈𝑛𝑚
𝑐
= ℎ𝑅𝐻
1
𝑚2
−
1
𝑛2
ℎ𝜈𝑛𝑚 = ℎ𝑐𝑅𝐻
1
𝑚2
−
1
𝑛2
Modelo de Bohr : Energías Permitidas
Determinación de las energías permitidas del átomo de hidrógeno
Según Rydberg
1
𝜆𝑛𝑚
= 𝑅𝐻
1
𝑚2
−
1
𝑛2
ℎ
𝜈𝑛𝑚
𝑐
= ℎ𝑅𝐻
1
𝑚2
−
1
𝑛2
ℎ𝜈𝑛𝑚 = ℎ𝑐𝑅𝐻
1
𝑚2
−
1
𝑛2
Según el 2º Postulado 𝐸𝑛 − 𝐸𝑚 = ℎ𝜈𝑛𝑚
transición
𝑛 → 𝑚
Modelo de Bohr : Energías Permitidas
Determinación de las energías permitidas del átomo de hidrógeno
Según Rydberg
1
𝜆𝑛𝑚
= 𝑅𝐻
1
𝑚2
−
1
𝑛2
ℎ
𝜈𝑛𝑚
𝑐
= ℎ𝑅𝐻
1
𝑚2
−
1
𝑛2
ℎ𝜈𝑛𝑚 = ℎ𝑐𝑅𝐻
1
𝑚2
−
1
𝑛2
Según el 2º Postulado 𝐸𝑛 − 𝐸𝑚 = ℎ𝜈𝑛𝑚
transición
𝑛 → 𝑚
Comparando ambas ecuaciones 𝐸𝑛 − 𝐸𝑚 = ℎ𝑐𝑅𝐻
1
𝑚2
−
1
𝑛2
𝐸𝑛 = −
ℎ𝑐𝑅𝐻
𝑛2
energías permitidas de
estados estacionarios
Modelo de Bohr : Energías Permitidas
Determinación de las energías permitidas del átomo de hidrógeno
Según Rydberg
1
𝜆𝑛𝑚
= 𝑅𝐻
1
𝑚2
−
1
𝑛2
ℎ
𝜈𝑛𝑚
𝑐
= ℎ𝑅𝐻
1
𝑚2
−
1
𝑛2
ℎ𝜈𝑛𝑚 = ℎ𝑐𝑅𝐻
1
𝑚2
−
1
𝑛2
Según el 2º Postulado 𝐸𝑛 − 𝐸𝑚 = ℎ𝜈𝑛𝑚
transición
𝑛 → 𝑚
Comparando ambas ecuaciones 𝐸𝑛 − 𝐸𝑚 = ℎ𝑐𝑅𝐻
1
𝑚2
−
1
𝑛2
𝐸𝑛 = −
ℎ𝑐𝑅𝐻
𝑛2
energías permitidas de
estados estacionarios
El número cuántico n determina la energía permitida del nivel cuántico
Si n=1  energía más baja. Si n=∞ energía más alta posible
El signo negativo indica que el sistema (átomo de hidrógeno) está enlazado, siendo negativa la energía total
El enlace se rompe cuando se entrega suficiente energía para separar el electrón del núcleo.
En ese caso la energía total del sistema es cero (ambos separados infinitamente y en reposo)
Si se entrega una energía igual o mayor a esta energía de enlace  el átomo se ioniza
Modelo de Bohr
Los niveles se acercan más uno al otro al aumentar n y como hay un número infinito
de niveles se alcanza el continuo clásico para valores altos de n
Normalmente el átomo está en el estado de energía más bajo
(n=1) o estado basal o fundamental
estado basal (n=1)
límite del continuo clásico
Modelo de Bohr
Los niveles se acercan más uno al otro al aumentar n y como hay un número infinito
de niveles se alcanza el continuo clásico para valores altos de n
Normalmente el átomo está en el estado de energía más bajo
(n=1) o estado basal o fundamental
El átomo absorbe energía  pasa a un estado excitado de
energía más alta  puede emitir esta energía en forma de
fotones  espectro de líneas de emisión
𝑒
estado basal (n=1)
fotón emitido
fotón absorbido
𝑒
límite del continuo clásico
Modelo de Bohr
𝑅𝐻 =
𝑚𝑒4
8𝜀0
2ℎ3𝑐
Constante de Rydberg
del hidrógeno
Los niveles se acercan más uno al otro al aumentar n y como hay un número infinito
de niveles se alcanza el continuoclásico para valores altos de n
Normalmente el átomo está en el estado de energía más bajo
(n=1) o estado basal o fundamental
El átomo absorbe energía  pasa a un estado excitado de
energía más alta  puede emitir esta energía en forma de
fotones  espectro de líneas de emisión
Utilizando el principio de correspondencia, es posible
predecir teóricamente el valor de la constante de Rydberg
Así, las energías permitidas pueden expresarse como
𝐸𝑛 = −
𝑚𝑒4
8𝜀0
2ℎ2
1
𝑛2
Energías permitidas de
estados estacionarios
𝑒
estado basal (n=1)
fotón emitido
fotón absorbido
𝑒
límite del continuo clásico
Modelo de Bohr
La energía de enlace o ionización es diferencia de energía entre
el estado basal de un átomo y su estado de energía cero, y es la
energía mínima requerida para ionizar un átomo normal
Para energías totales positivas, el átomo está ionizado y el
electrón es una partícula libre (r = ∞). La energía de una
partícula libre puede tener cualquier valor en principio : no está
cuantificada como las energías de partículas en estados ligados
estado basal (n=1)
fotón incidente
(E>13.6 eV)
𝑒
𝑒 libre
límite del continuo clásico
Modelo de Bohr : Átomos Hidrogenoides
1
4𝜋𝜀
𝑍𝑒2
𝑟2
= 𝑚
𝑣2
𝑟
Modelo para átomos con un sólo electrón que gira alrededor del núcleo de carga Ze en una órbita circular
𝐹𝑒𝑙𝑒𝑐 𝑚𝑎
𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2 =
1
8𝜋𝜀
𝑍𝑒2
𝑟
energía cinética
𝑈 = −
1
4𝜋𝜀
𝑍𝑒2
𝑟
energ. pot. eléctrica
𝐸 = −
1
4𝜋𝜀
𝑍𝑒2
2𝑟
Modelo de Bohr : Átomos Hidrogenoides
1
4𝜋𝜀
𝑍𝑒2
𝑟2
= 𝑚
𝑣2
𝑟
Modelo para átomos con un sólo electrón que gira alrededor del núcleo de carga Ze en una órbita circular
𝐹𝑒𝑙𝑒𝑐 𝑚𝑎
𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2 =
1
8𝜋𝜀
𝑍𝑒2
𝑟
energía cinética
𝑈 = −
1
4𝜋𝜀
𝑍𝑒2
𝑟
energ. pot. eléctrica
𝐸 = −
1
4𝜋𝜀
𝑍𝑒2
2𝑟
Z=1,2,3  átomo de H, átomo de He+, átomo de Li++ , y así sucesivamente
Modelo de Bohr : Átomos Hidrogenoides
1
4𝜋𝜀
𝑍𝑒2
𝑟2
= 𝑚
𝑣2
𝑟
Modelo para átomos con un sólo electrón que gira alrededor del núcleo de carga Ze en una órbita circular
𝐹𝑒𝑙𝑒𝑐 𝑚𝑎
𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2 =
1
8𝜋𝜀
𝑍𝑒2
𝑟
energía cinética
𝑈 = −
1
4𝜋𝜀
𝑍𝑒2
𝑟
energ. pot. eléctrica
𝐸 = −
1
4𝜋𝜀
𝑍𝑒2
2𝑟
Z=1,2,3  átomo de H, átomo de He+, átomo de Li++ , y así sucesivamente
1
𝜆
= 𝑍2𝑅𝐻
1
𝑚2
−
1
𝑛2
Fórmula de Rydberg para átomos hidrogenoides
𝑛 ≥ 𝑚 + 1
𝑚 ∷ entero fijo
Generalización de Rydberg para líneas de transiciones electrónicas
en átomos hidrogenoides
Espectro de estrella WR137
líneas de HeII
Pickering comprobó la validez de esta expresión para explicar las líneas de He ionizado
en espectros de estrellas pulsantes WR
Modelo de Bohr : Átomos Hidrogenoides
Reemplazando 𝑒2 por 𝑍𝑒2, las expresiones obtenidas por Bohr para el H pueden generalizarse para átomos de un 𝑒−
𝐸𝑛 = −𝑍
2
𝑚𝑒4
8𝜀0
2ℎ2
1
𝑛2
Energías permitidas de
estados estacionarios
Modelo de Bohr : Átomos Hidrogenoides
Reemplazando 𝑒2 por 𝑍𝑒2, las expresiones obtenidas por Bohr para el H pueden generalizarse para átomos de un 𝑒−
𝐸𝑛 = −𝑍
2
𝑚𝑒4
8𝜀0
2ℎ2
1
𝑛2
Energías permitidas de
estados estacionarios
𝑟𝑛 =
4𝜋𝜀0 ℏ
2
𝑚𝑍𝑒2
𝑛2
Radios de órbitas
permitidas
radio de Bohr 𝑎0
𝑟𝑛 = 𝑎0𝑛
2
n radio
1 0,53 Å
2 2,12 Å
3 4,76 Å
4 8,46 Å
5 13,22 Å
6 19,05 Å
7 25,93 Å
Radios experimentales
para Z=1 (hidrógeno)
En el espacio interestelar  densidad muy
baja  pueden existir fácilmente átomos
de H en estados altamente excitados y
radios orbitales muy grandes
Modelo de Bohr : Átomos Hidrogenoides
Reemplazando 𝑒2 por 𝑍𝑒2, las expresiones obtenidas por Bohr para el H pueden generalizarse para átomos de un 𝑒−
𝐸𝑛 = −𝑍
2
𝑚𝑒4
8𝜀0
2ℎ2
1
𝑛2
Energías permitidas de
estados estacionarios
𝑟𝑛 =
4𝜋𝜀0 ℏ
2
𝑚𝑍𝑒2
𝑛2
Radios de órbitas
permitidas
radio de Bohr 𝑎0
𝑟𝑛 = 𝑎0𝑛
2
n radio
1 0,53 Å
2 2,12 Å
3 4,76 Å
4 8,46 Å
5 13,22 Å
6 19,05 Å
7 25,93 Å
Radios experimentales
para Z=1 (hidrógeno)
𝑣𝑛 =
𝑍𝑒2
4𝜋𝜀0ℏ
1
𝑛
Velocidades orbitales permitidas
Claramente para n=1 se obtiene la velocidad orbital más alta
Para el H, 𝑣1 = Τ(1 137)𝑐, lo cual justifica el tratamiento no relativista
para el movimiento del electrón, al menos hasta un primer orden
Para cargas nucleares Ze grandes o para estudios de estrucura fina de
líneas espectrales, los efectos relativistas aumentan en importancia
En el espacio interestelar  densidad muy
baja  pueden existir fácilmente átomos
de H en estados altamente excitados y
radios orbitales muy grandes
Cuantización de la Cantidad de Movimiento
Con estas expresiones cuantizadas de velocidades 𝒗𝒏 y radios 𝒓𝒏, es sencillo derivar la cuantización del mom. angular
Cuantización de la Cantidad de Movimiento
Con estas expresiones cuantizadas de velocidades 𝒗𝒏 y radios 𝒓𝒏, es sencillo derivar la cuantización del mom. angular
𝐿𝑛 = 𝑚𝑣𝑛𝑟𝑛 = 𝑚
𝑍𝑒2
4𝜋𝜀0ℏ
1
𝑛
4𝜋𝜀0 ℏ
2
𝑚𝑍𝑒2
𝑛2 𝐿𝑛 = 𝑛
ℎ
2𝜋
= 𝑛ℏ
Fue de Broglie quien interpretó físicamente este resultado de la siguiente forma :
Cuantización de la Cantidad de Movimiento
Con estas expresiones cuantizadas de velocidades 𝒗𝒏 y radios 𝒓𝒏, es sencillo derivar la cuantización del mom. angular
long. de onda de de Broglie
𝐿𝑛 = 𝑚𝑣𝑛𝑟𝑛 = 𝑚
𝑍𝑒2
4𝜋𝜀0ℏ
1
𝑛
4𝜋𝜀0 ℏ
2
𝑚𝑍𝑒2
𝑛2 𝐿𝑛 = 𝑛
ℎ
2𝜋
= 𝑛ℏ
Fue de Broglie quien interpretó físicamente este resultado de la siguiente forma :
Si 𝑝 es la cant. de movimiento lineal de un 𝑒 girando con
momento angular 𝐿 en una órbita circular de radio 𝑟, entonces
𝐿 = 𝑚𝑣𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑛
ℎ
2𝜋
→
ℎ
𝜆
𝑟 = 𝑛
ℎ
2𝜋
Las únicas órbitas permitidas son aquellas en que su long.
de circuferencia 2𝜋𝑟 contenga un número entero de long.
de onda de de Broglie
2𝜋𝑟 = 𝑛𝜆
Cuantización de la Cantidad de Movimiento
Cuantización de la Cantidad de Movimiento
Cuantización de la Cantidad de Movimiento
Un onda estacionaria permanece
estacionaria, sin movimiento orbital
aparente respecto al núcleo
No hay movimiento circular de la
onda electrónica, no hay aceleración,
no hay radiación emitida y no hay
pérdidas energéticas
La condición de cuantización 
hace estables a los átomos !
y feliz a de Broglie!
Corrección por Masa Nuclear
Hasta ahora hemos considerado que el núcleo permanece en reposo mientras el electrón gira, lo cual equivale a
considerar que tiene masa infinita comparada con la del electrón
La espectroscopía suele permitir mediciones de gran precisión en las que debe considerarse la masa finita real del
núcleo y su efecto en el movimiento
Corrección por Masa Nuclear
Hasta ahora hemos considerado que el núcleo permanece en reposo mientras el electrón gira, lo cual equivale a
considerar que tiene masa infinita comparada con la del electrón
𝜇 = 𝑚
𝑀
𝑚 +𝑀
La espectroscopía suele permitir mediciones de gran precisión en las que debe considerarse la masa finita real del
núcleo y su efecto en el movimiento
Sustituir la masa m en las ecuaciones anteriores por la masa reducida µ
Corrección por Masa Nuclear
Hasta ahora hemos considerado que el núcleo permanece en reposo mientras el electrón gira, lo cual equivale a
considerar que tiene masa infinita comparada con la del electrón
𝜇 = 𝑚
𝑀
𝑚 +𝑀
La espectroscopía suele permitir mediciones de gran precisión en las que debe considerarse la masa finita real del
núcleo y su efecto en el movimiento
Sustituir la masa m en las ecuaciones anteriores por la masa reducida µ
La constante de Rydberg RM para la masa nuclear finita será
Esta constante aumenta ligeramente cuanto más pesado es el átomo
𝑅𝑀 =
𝜇𝑒4
8𝜀0
2ℎ3𝑐
=
𝜇
𝑚
𝑅∞ ≈
𝑀
𝑚 +𝑀
𝑅∞
𝑅∞es la constante de Rydberg considerando
que la masa nuclear es infinita
Para el hidrógeno, 𝑀/𝑚 ~ 2000, por lo que 𝑅𝑀~1/2000 𝑅∞
Corrección por Masa Nuclear
Hasta ahora hemos considerado que el núcleo permanece en reposo mientras el electrón gira, lo cual equivale a
considerar que tiene masa infinita comparada con la del electrón
𝜇 = 𝑚𝑀
𝑚 +𝑀
La espectroscopía suele permitir mediciones de gran precisión en las que debe considerarse la masa finita real del
núcleo y su efecto en el movimiento
Sustituir la masa m en las ecuaciones anteriores por la masa reducida µ
La constante de Rydberg RM para la masa nuclear finita será
Esta constante aumenta ligeramente cuanto más pesado es el átomo
𝑅𝑀 =
𝜇𝑒4
8𝜀0
2ℎ3𝑐
=
𝜇
𝑚
𝑅∞ ≈
𝑀
𝑚 +𝑀
𝑅∞
𝑅∞es la constante de Rydberg considerando
que la masa nuclear es infinita
Y las líneas espectrales producidas responden a la relación
1
𝜆
= 𝑅𝑀𝑍
2
1
𝑚2
−
1
𝑛2
Para el hidrógeno, 𝑀/𝑚 ~ 2000, por lo que 𝑅𝑀~1/2000 𝑅∞