Unidad 18 DINÁMICA DE LOS FLUIDOS 2016

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27/07/2016
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UNIDAD 17
DINÁMICA DE LOS FLUIDOS
CONCEPTOS GENERALES DEL FLUJO DE LOS 
FLUIDOS
Descripción del movimiento del fluido (Método de 
Euler): 
 Especificar la densidad ρ(x,y,z) y la velocidad
en el punto x,y,z en el tiempo t. Cualquier
cantidad que describa el flujo del fluido (ej.
presión) tendrá un valor definido en cada
punto del espacio, en cada instante de
tiempo.
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El flujo de los fluidos puede ser estacionario 
o no estacionario
 Flujo estacionario: La presión, la densidad y
la velocidad de flujo en cada punto del fluido
son constantes en el tiempo. Se consigue a
velocidades bajas. Ej: una corriente que fluye
continuamente.
 Flujo no estacionario: Las velocidades son
funciones del tiempo. Ej: ola grande
provocada por una marea.
 Flujo turbulento: Las velocidades varían
erráticamente de punto a punto así como de
instante a instante. Ej: una caída de agua.
El flujo de un fluido puede ser compresible o 
incompresible.
 Flujo incompresible: La densidad del fluido
es constante e independiente de x,y,z y t. Ej:
Usualmente los líquidos fluyen de esta
manera y en el caso de los gases
consideramos incompresible por ej. en la
aerodinámica subsónica.
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El flujo de los fluidos puede ser viscoso o no viscoso
 Flujo no viscoso: Fluye de modo que no
disipa energía por medio de fuerzas viscosas.
El flujo de los fluidos puede ser rotatorio o no 
rotatorio
 Flujo no rotatorio: un elemento del fluido en
movimiento no gira en torno a un eje que
pase por el centro de masa del elemento. Ej:
si la rueda de paletas que flota libremente en
el líquido no gira el flujo es no rotatorio.
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LIM ITARE M O S NU ESTRO ESTU DIO AL 
FLU JO : ESTAC IO NA R IO , 
INC O M PR E SI B L E, 
NO VISC O SO Y 
NO RO TATO RIO . 
ESTE ANÁLISI S ES RESTRING I DO PERO 
TIENE AM PLIA APLIC AC IÓ N PRÁC TIC A.
TRAYECTORIA DE UNA CORRIENTE Y LA 
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Si el flujo es estacionario:
 La velocidad en un punto P dado es constante en el tiempo.
 El movimiento de cada partícula que pase por P sigue la misma 
trayectoria o línea de corriente que P, pasando luego por P y Q. 
Cualquier partícula que pase por P debe seguir esta misma 
trayectoria.
 En general, la magnitud de cambia a lo largo de una línea de 
corriente.
 La dirección de en cualquier punto es tangente a la línea de 
corriente.
 Dos líneas de corriente no pueden cruzarse entre sí.
 El patrón de las líneas de corriente no cambia con el tiempo.
 Un número finito de líneas de corriente (haz) forma un tubo de 
flujo. 
 Ninguna partícula de fluido puede cruzar la frontera de un tubo de 
flujo. El fluido que entra por un extremo debe salir por el otro.
v
v
v
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 Consideremos un tubo de flujo que tiene un área A1 de la 
sección transversal en P y un área A2 en Q.
 La masa de fluido que cruza por en el intervalo de 
tiempo es:
1m 1A
t
tvAm  1111 
Flujo de masa: masa de fluido por unidad de tiempo que pasa por 
cualquier sección transversal: 
En el límite cuando ni v ni A varían en forma considerable 
durante la distancia que viaja el fluido. 
Flujo de masa en P = 
Flujo de masa en Q = 
tm  /
0t
111 vA
222 vA
Hemos supuesto que:
 el fluido entra en el tubo únicamente en P y 
sale únicamente en Q (entre P y Q no hay 
otras fuentes ni sumideros)
 el flujo es estacionario (la densidad del fluido 
entre P y Q no cambia con el tiempo, aunque 
pueda cambiar de lugar a lugar).
 Ley de conservación de la masa en la 
dinámica de los fluidos (ecuación de 
continuidad)
222111 vAvA   cteAv 
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 Si el fluido es incompresible ( ) 
 Razón de flujo volumétrico (R): R=Av R = Av = cte
 Unidades: : m3/s
 La velocidad debe aumentar al estrecharse el área de un tubo 
transversal.
 Las líneas de corriente espaciadas indican regiones de velocidad 
relativamente baja y viceversa.
 Si no actúa otra fuerza sobre el fluido, la presión en P debe ser 
mayor que la presión en Q, de modo que en dirección PQ actúa 
una fuerza para proporcionar la aceleración necesaria.
21   2211 vAvA 
 R
LA ECUACIÓN DE BERNOULLI
Consideramos:
 Flujo estacionario, incompresible, no
viscoso y no rotatorio a lo largo de un tubo
de flujo.
 Sistema: porción de fluido representada
por los sombreados suave e intenso de la
figura.
 El movimiento del sistema desde la
posición (a) hasta la posición (b).
 Las fuerzas que efectúan trabajo sobre el
sistema son: las fuerzas de la presión y la
fuerza de la gravedad.
 Al circular el fluido por el tubo, el efecto
neto es elevar el fluido representado por el
área de sombreado intenso.
 La cantidad de fluido representado por el
sombreado suave no cambia a causa del
flujo.
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 Trabajo efectuado sobre el sistema por la fuerza de presión 11Ap es 111 lAp  . 
 Trabajo efectuado sobre el sistema por la fuerza de presión 22 Ap es 
222 lAp  . 
 Trabajo efectuado sobre el sistema por la fuerza de gravedad es 
)( 12 yymg  . 
 Trabajo neto efectuado sobre el sistema: W= 111 lAp  222 lAp 
)( 12 yymg  
V = volumen del elemento de fluido sombreado 
Como el fluido es incompresible: 
 V = 

mlAlA  2211 
Entonces: )())(( 1221 yymg
mppW 

 
 Cambio en la energía cinética del elemento de fluido: 22
2
1
2
1
2
1
mvmvK  
Del Teorema trabajo-energía: KW  entonces: 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación de Bernoulli 
 
 
)())(( 1221 yymg
mpp 

2
1
2
2
2
1
2
1
mvmv 
2
2
221
2
11
2
1
2
1
gyvpgyvp  
teconsgyvp tan
2
1 2  
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Las cantidades implicadas se evalúan a lo largo de una línea de 
corriente para un flujo estacionario. (En la figura la línea está a 
lo largo del eje del tubo). 
Si el fluido es no rotatorio la ecuación es la misma para todas 
las líneas de corriente. 
Estática de los fluidos: Si 021  vv entonces: 
2211 gypgyp   )( 1221 yygpp   
 
gyp  : presión estática (está presente aún cuando no hay flujo) 
Si 21 yy  (tubería horizontal): 
2
22
2
11
2
1
2
1
vpvp  
 
²
2
1
v
: presión dinámica 
Cuando la velocidad es grande la presión debe ser pequeña y 
viceversa. 
Si la ecuación de Bernoulli es un postulado de la conservación de la 
energía mecánica de un sistema, entonces: 
WUK  
donde: 
ΔK y ΔU son los cambios en la energía cinética y potencial por cada 
unidad de volumen del fluido, respectivamente 
W es el trabajo efectuado por la fuerza de la presión por unidad de 
volumen del fluido. 
 
Si el flujo es compresible puede adquirir energía interna por medios 
mecánicos y debemos tener en cuenta el cambio en la energía interna por 
unidad de volumen: 
WEUK  int 
 
Si el flujo es viscoso, las fuerzas similares a la fricción realizan un 
trabajo que aparece como un aumento en la energía interna del fluido. 
Conservación de la energía 
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APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI 
Y DE LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
El medidor de Venturi: Se usa para medir la velocidad del flujo de 
un fluido en una tubería. 
Aplicando la ecuación de 
Bernoulli y la igualdad del 
flujo volumétrico en los 
puntos 1 y 2, la velocidad del 
flujo en el punto 1 es: 
²)²(
)´(2
aA
gh
av





 
 
 
 
 
APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI 
Y DE LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
El tubo de Pitot: Se usa para medir la velocidad del flujo de un gas. Por ej. 
en las puntas de las alas de un aeroplano. 
 
La presión en el brazo izquierdo ap es 
la presión en la línea de gas ya que la 
velocidad av es paralela a los planos de 
aberturas en a. 
La abertura del brazo derecho está en 
ángulo recto con la corriente y el gas 
está estancado en b. 
 
De la ecuación de Bernoulli: 
baa pvp 
2
2
1
 y de la lectura del manómetro: 
ghpp ab ´ , tenemos: 

´2gh
va 
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La fuerza ascensional: es la fuerza que actúa sobre un 
cuerpo en virtud de su movimiento en el seno del fluido. 
Ej: ala de un aeroplano, aspas de un helicóptero, etc. 
 
La fuerza ascensional puede hacer que la pelota trace una 
curva, que ascienda o descienda con relación a una 
trayectoria parabólica. 
a) Flujo de líneas de corriente alrededor de una pelota que 
no gira. 
b) Como el fluido es viscoso, existe fricción a medida que la 
pelota avanza y ésta transporta consigo una capa delgada 
de fluido o capa frontera. La figura muestra la circulación 
del aire alrededor de la pelota que gira como consecuencia 
de la capa frontera (cuyo espesor está exagerado). Las 
pelotas rugosas aumentan esta circulación. 
c) Los efectos combinados de rotación y traslación. La 
pelota experimenta una fuerza ascensional dinámica hacia 
arriba. La fuerza F del fluido sobre la pelota tiene una 
componente transversal al flujo (ascenso) y una paralela a 
él (arrastre). 
 
Ala de un aeroplano: La velocidad av del aire que se aproxima es 
horizontal mientras que el aire que se aleja del plano aerodinámico 
tiene velocidad rv con una componente hacia abajo. Si el plano 
aerodinámico ejerció una fuerza sobre el aire, el aire debe haber 
ejercido una fuerza opuesta sobre él. Ésta es la fuerza ascensional F . 
 
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Empuje sobre un cohete: La cámara de sección transversal A está 
llena de un gas de densidad  a una presión p. En el fondo de la 
cámara hay un orificio de sección transversal 0A . 
Ec. de Bernoulli: 
²)(
2
1
)( 2000 vvyygpp  
 
donde 0p : presión atmosférica 
 
Despreciando la variación de presión por la altura de la cámara: 
²)(
2
1 2
00 vvpp  
 
donde v es la velocidad del gas que fluye dentro de la cámara y 0v la 
velocidad del gas que pasa por el orificio. 
 
 
 
Si el flujo de masa es continuo (la masa de gas que escapa es igual 
a la que se origina al quemar combustible) y la densidad puede 
suponerse constante: 00vAAv  . 
Si el orificio es pequeño: AA 0 entonces vv 0 . Por lo tanto: 

)(2 0
0
pp
v


. 
Sabemos que el empuje sobre un cohete es: dt
dM
v0
pero dtvAdM 00 , 
entonces:
2
000000 vAvAv
dt
dM
v  
. 
El empuje resulta entonces:
)(2 000 ppA
dt
dM
v 
 
 
VISCOSIDAD
- Es similar a la fricción en el movimiento de los cuerpos sólidos. 
- Un fluido viscoso llena el espacio entre dos placas paralelas 
separadas una distancia D. La placa inferior está en reposo y la placa 
superior se mueve hacia la derecha por acción de una fuerza 
constante F a velocidad constante v respecto a la placa inferior. La 
fuerza F se opone al arrastre viscoso. 
- Imaginemos el fluido dividido en capas paralelas a las placas. La 
viscosidad actúa entre cada capa del fluido y sobre las capas 
adyacentes. 
- La velocidad de cada capa difiere en dvde la velocidad de la que está 
bajo ella. 
- Flujo estacionario: la velocidad varía capa a capa. 
- Suponemos que la velocidad de la capa superior es v (la misma de la 
placa de arriba) y la capa de fluido del fondo tiene velocidad cero. 
- Definamos el esfuerzo cortante sobre el fluido como F/A donde A es 
el área de la capa del fluido. El fluido responde a este esfuerzo 
cambiando su velocidad en dv a través de cada capa de espesor dy. 
 
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Coeficiente de viscosidad: razón esfuerzo/deformación en el fluido 
dydv
AF
/
/
 
Como la capa superior se mueve a velocidad v y la del fondo tiene v=0, el 
gradiente de velocidad es v/D. 
vA
FD
Dv
AF

/
/
 
La velocidad de cada capa disminuye uniformemente desde la placa superior 
hasta la inferior. 
Unidades: (SI) N s/m² (cgs) dina.s/cm² (poise) 
 
Flujo de fluidos en tuberías cilíndricas: 
Las capas de fluido son cilindros de paredes 
delgadas de radios diversos. La velocidad 
varía con el radio: su valor máximo se da en 
el eje y y su valor mínimo es cero en las 
paredes. 
Aunque los elementos de fluido viajen en 
línea recta, este fluido es rotatorio. 
En este caso la variación de la velocidad con la posición a lo largo del tubo no 
es lineal: 






²
²
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R
r
vv donde 0v es la velocidad en el centro del tubo. 
En términos de la diferencia de presión a lo largo de la longitud L del tubo: 
L
pR
v
4
²
0

 
El flujo de masa total será: L
pR
dt
dm


8
4
 Ley de Poiseuille