SISTEMAS DE COORDENADAS-FUNCIONES LINEALES

Vista previa del material en texto

U.E. COLEGIO JESUS EL MAESTRO
FISICA 3ER AÑO
PROF. LUIS ESPINOZA
SISTEMAS COORDENADAS – FUNCIONES LINEALES
Sistema de Coordenadas:
Es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto u objeto geométrico. 
Espacio Unidimensional: 
Es básicamente una línea en la que las magnitudes son mostradas como puntos marcados separados uniformemente entre sí. Sobre esta recta, comúnmente llamada recta numérica, se representa el conjunto de los números reales, siendo cero su origen o punto central y hacia la derecha e izquierda se encuentran los límites infinitos negativos – y positivos + respectivamente.
Espacio Bidimensional: 
Es un sistema de coordenadas formado por dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto de origen. El sistema de referencia bidimensional más usado es el plano cartesiano, en el que las rectas son llamadas ejes. Al eje horizontal o eje x se lo denomina de las abscisas mientras que al eje vertical o eje y se lo conoce como el de las ordenadas.
Se llama origen al punto en el que se intersecan los ejes “x” y “y”, punto al cual se le asigna el valor de cero (0). Por ese motivo, también se conoce como punto cero (punto 0). Cada eje representa una escala numérica que será positiva o negativa de acuerdo a su dirección respecto del origen.
Así, respecto del origen o punto 0, el segmento derecho del eje “x” es positivo, mientras que el izquierdo es negativo. Consecuentemente, el segmento ascendente del eje “y” es positivo, mientras que el segmento descendente es negativo.
Cuadrantes del plano cartesiano
Se llama cuadrantes a las cuatro áreas que se forman por la unión de las dos rectas perpendiculares. Los puntos del plano se describen dentro de estos cuadrantes.
Los cuadrantes se enumeran tradicionalmente con números romanos: I, II, III y IV.
· Cuadrante I: la abscisa y la ordenada son positivas.
· Cuadrante II: la abscisa es negativa y la ordenada positiva.
· Cuadrante III: tanto la abscisa como la ordenada son negativas.
· Cuadrante IV: la abscisa es positiva y el ordenada negativa.
Coordenadas del plano cartesiano
Las coordenadas son los números que nos dan la ubicación del punto en el plano. Las coordenadas se forman asignando un determinado valor al eje “x” y otro valor al eje “y”. Esto se representa de la siguiente manera:
P (x, y), donde:
· P = punto en el plano;
· x = eje de la abscisa (horizontal);
· y = eje de la ordenada (vertical).
Si queremos saber las coordenadas de un punto en el plano, trazamos una línea perpendicular desde el punto P hasta el eje “x” –a esta línea la llamaremos proyección (ortogonal) del punto P sobre el eje “x”.
Seguidamente, trazamos otra línea desde el punto P hasta el eje “y” –es decir, una proyección del punto P sobre el eje “y”.
En cada uno de los cruces de las proyecciones con ambos ejes, se refleja un número (positivo o negativo). Esos números son las coordenadas.
Por ejemplo,
En este ejemplo, las coordenadas de los puntos en cada cuadrante son:
· cuadrante I, P (2, 3);
· cuadrante II, P (-3, 1);
· cuadrante III, P (-3, -1) y
· cuadrante IV, P (3, -2).
Si lo que queremos es saber la ubicación de un punto a partir de unas coordenadas previamente asignadas, entonces trazamos una línea perpendicular desde el número indicado de la abscisa, y otra desde el número de la ordenada. La intersección o cruce de ambas proyecciones nos da la ubicación espacial del punto.
Espacio Tridimensional:
Un objeto o ente es tridimensional si tiene tres dimensiones. Es decir, cada uno de sus puntos puede ser localizado especificando tres números dentro de un cierto rango. Ejemplo: anchura, altura y profundidad.
Gráficos y su importancia
El físico acude a las gráficas para obtener una información detallada y precisa de un fenómeno observado; aun cuando también son usadas en otras ciencias como la biología la química, la economía y otras.
Un ejemplo de ello es la gráfica del registro de la temperatura en grados Celsius (°C) en una Ciudad, durante los meses del año.
Como se puede observar se coloca en el eje de las ordenadas los valores de temperatura en grados Celsius (°C) y en el eje de las abscisas los meses del año. De la gráfica podemos obtener conclusiones como:
· En el mes de Enero se inicia el registro de temperatura con algo más de 10 °C.
· Entre los meses de Enero y Agosto ocurre un incremento de temperatura llegando a alcanzar algo más que 25 °C. Siendo el Mes de Agosto el mes más caluroso.
· Luego se muestra un descenso de la temperatura en los meses sucesivos hasta llegar al Mes de Diciembre, cerrando con un registro algo menos que 15 °C.
Conclusiones que son de utilidad a la hora de tomar cualquier decisión, que dependa de la magnitud Temperatura.
Estudio de Funciones Lineales
Una función representada como: f(x) = y, es una operación para obtener de un variable independiente (X) las variables dependientes (Y). 
Ejemplo 1: Estudiemos la Función Y = f(x)= 2x
Tomemos valores de x arbitrarios (-1, 0,1), sustituimos en la función los valores de x para obtener valores de y . 
	Función de x
	X
	Y
	f(-1)=2(-1) = -2
	-1
	-2
	f(0)=2(0) = 0
	0
	0
	f(1)=2(1)= 2
	1
	2
Con los resultados obtenidos construimos una tabla de datos con los valores de “x” y de “y” respectivamente:
	X
	Y
	Coordenada
	-1
	-2
	(-1,-2)
	0
	0
	(0,0)
	1
	2
	(1,2)
Ahora encontraremos la función en el plano cartesiano, ya teniendo ordenados los puntos en la tabla, se posicionan las parejas encontradas o coordenadas en el plano cartesiano. Y se unen con una línea los puntos encontrados.
 
Seguido seleccionamos sobre la recta de la figura anterior dos puntos A y B. Para nuestro caso tomaremos como punto A ( la coordenada (1,2) y como punto B la coordenada (-1 ,-2). Efectuemos ahora el cociente, o división, entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas correspondiente:
Este valor obtenido es llamado Pendiente de la recta (se denota con la letra “m”), y como puede notarse es el coeficiente de la “x” en la expresión Y = 2x.
En general todas las funciones lineales de la forma y = mx, presentan las características siguientes:
· Su representación gráfica son rectas que pasan por el origen.
· El coeficiente de la “x” representa el valor de la pendiente de dichas rectas.
NOTA: Cuando trazamos los ejes: de coordenadas y de abscisas, debemos seleccionar una misma escala para posicionar lo números, es decir, dejar 1 centímetro o 0,5 centímetros (según convenga), de espacio entre los números que se representan sobre el eje. 
Ejemplo 2: Estudiemos la Función Y= 4x-5
Tomemos valores de x arbitrarios (1 , 2), sustituimos en la función los valores de x para obtener valores de y. 
	Función de x
	X
	Y
	f(1) = 4(1) - 5 = -1
	1
	-1
	f(2)= 4(2) - 5 = 3
	2
	3
Con los resultados obtenidos construimos una tabla de datos con los valores de “x” y de “y” respectivamente:
	X
	Y
	Coordenada
	1
	-1
	(1,-1)
	2
	3
	(2,3)
Ahora encontraremos la función en el plano cartesiano, ya teniendo ordenados los puntos en la tabla, se posicionan las parejas encontradas o coordenadas en el plano cartesiano. Y se unen con una línea los puntos encontrados.
Viendo la misma gráfica desde una perspectiva donde se aprecia el corte al eje de las ordenadas. 
Observamos que la recta no pasa por el origen, corta el eje de las ordenadas en -5.
Seguido seleccionamos sobre la recta de la primera figura dos puntos A y B. Para nuestro caso tomaremos como punto A ( la coordenada (2,3) y como punto B la coordenada (1 ,-1). Efectuemos ahora el cociente, o división, entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas correspondiente:
El valor obtenido es la pendiente de la recta, la cual es el coeficiente de la x en la función y = 4x – 5. 
Si llamamos “m” al coeficiente de la x, y “n” al punto donde la recta corta la ordenada, se tendrá que la función es de la forma y = mx 
En general todas las funciones lineales de la forma y= mx + n o y= mx – n, presentan las siguientes características:· Su representación gráfica son líneas rectas que no pasan por el origen.
· El coeficiente de la x es el valor de la pendiente de la recta.
· El valor “n” representa en valor donde la recta corta al eje de las ordenadas.