lección 3 2

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3.2 Operaciones con matrices 
Las matrices operan con un álgebra muy parecida a la que estamos acostumbrados. Sin 
embargo, debemos tener cuidado puesto que estamos trabajando con mxn elementos en 
cada matriz. 
Suma y resta de matrices 
La suma y la resta de matrices se hace celda por celda, es decir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
En general se dice que sí A = (aij)m×n y B = (bij)p×q de la misma dimensión 
(equidimensionales): m = p y n = q es otra matriz C = A+B = (cij)m×n = (aij+bij) y D = A-B 
= (dij)m×n. 
Ejemplo: 
 
 
 
 
A la suma y resta en conjunto se le puede denominar simplemente suma algebraica. Esta 
operación tiene las siguientes propiedades: 
Asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C 
Conmutativa : A+B = B+A 
Elemento neutro: (matriz cero 0m×n), 0+A = A+0 = A 
 1 3 -2 
 3 0 1 
-8 6 7 
0 -5 6 
1 -3 4 
4 5 5 
+ 
 1 -2 4 
 4 -3 5 
-4 11 12 
= 
a11 a12 
 
a21 a22 
 
A = 
b11 b12 
 
b21 b22 
 
B = 
a11+b11 a12+b12 
 
a21 +b21 a22+b22 
A+B = 
a11-b11 a12-b12 
 
a21-b21 a22-b22 
A-B = 
 1 3 -2 
 3 0 1 
-8 6 7 
0 -5 6 
1 -3 4 
4 5 5 
- 
 1 8 -8 
 2 3 -3 
-12 1 2 
= 
Elemento simétrico: (matriz opuesta -A), A + (-A) = (-A) + A = 0 
 
Multiplicación de un escalar por una matriz 
Toda matriz puede ser multiplicada por un número, llamado escalar, el cual multiplica a 
cada uno los elementos de la matriz: 
 
 
 
En general se dice que si A = (aij)m×n y λ∈R ⇒ λA =(λaij)m×n 
Ejemplo: 
 
 
Esta operación tiene las siguientes propiedades: 
Asociativa: λ(µA) = (λµ)A 
Distributiva en matrices: λ(A+B) =λA+λB 
Distributiva en los escalares: (λ+µ)A = λA+µA 
Neutro en escalares: ∃ 1∈R | 1·A = A ∀Amxn 
Producto de matrices 
Dos matrices pueden ser multiplicadas si cumplen en sus dimensiones la regla general: 
Amxk y Bkxq, es decir, las columnas en A son iguales a las filas de B. 
 
 
 
 
 
λa11 λa12 
 
λa21 λa22 
 
λA = 
 4 12 -8 
 12 0 4 
-32 24 28 
= 
1 3 -2 
3 0 1 
-8 6 7 
4⋅ 
a11 a12 
 
a21 a22 
 
A = 
b11 b12 b13 
 
b21 b22 b23 
 
B = 
A·B = 
a11b11+ a12b21 a11b12 +a12b22 a11b13+a12+b23 
 
a21b11+a22b21 a21b12+a22b22 a21b13+a22b23 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
En general se dice que dadas dos matrices A = (aij)m×k y B = (bij)k×q, es decir, el número 
de columnas de la primera matriz A es igual al número de filas de la matriz B, se define 
el producto A�B de la siguiente forma: 
 
 
 
El producto de matrices tiene las siguientes propiedades: 
Es asociativa en el producto: A�(B�C) = (A�B)�C 
El producto de matrices en general NO es conmutativo. 
Neutro en matrices. Si A es una matriz cuadrada de orden n ∃ In | A�In = In�A = A. 
El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A�(B + 
C) = A�B + A�C 
 
Consecuencias de las propiedades 
1. Si A�B= 0 no implica que A=0 ó B=0 
2. Si A�B=A�C no implica que B = C. 
3. En general (A+B)2 ≠ A2 + B2 +2AB,ya que A�B ≠ B�A. 
4. En general (A+B)�(A–B) ≠ A2–B2, ya que A�B ≠ B�A. 
 1 -2 
 
 3 1 
0 -5 6 
 
4 5 5 
1·0+ (-2)·4 1(-5)+(-2)5 1·6+(-2)5 
 
3·0+1·4 3(-5)+1·5 3·6+1·5 = 
-7 -15 -4 
 
7 -10 23 
=