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Unidad 2 - E.A. 1
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES COMO EXPRESIONES MATRICIALES
Autor
Dilbeni González Duque
Competencias y Resultados de Aprendizaje
Ruta Metodológica
Introducción a la Temática
Enseñanzas
Resumen de la Temática
Glosario
Referencias
Sistemas de ecuaciones lineales
como expresiones matriciales.
Competencias y Resultados de Aprendizaje
Analizar y resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante los métodos de Gauss y matrices 
inversas para la toma de decisiones financieras y administrativas.
Resuelve problemas de aplicación e interpreta sus soluciones utilizando sistemas de ecuaciones 
lineales para las diferentes áreas de la Administración Financiera.
Elije un método de estudio acertado con ayuda de un cronograma de estudio para adquirir las 
competencias y habilidades que le permitirán desenvolverse como una excelente persona y 
profesional.
Recomendaciones Generales
Apreciado estudiante recordemos las siguientes recomendaciones generales que le servirán para la 
adecuada interpretación del proceso del espacio de aprendizaje:
Ruta Metodológica
• Antes de iniciar con el desarrollo de cada una de las actividades propuestas. Lea con cuidado
todas las indicaciones que se describen a lo largo del espacio de aprendizaje, para tener una
visión global del propósito, de las lecturas y, sobre todo, de las actividades que requieren
realizar con los tiempos programados para ellas.
• Es muy importante organizar el tiempo para lo cual le recomiendo tener en cuenta el
cronograma de la unidad y realizar un cronograma para alcanzar las actividades del espacio de
aprendizaje.
• Trabaje en un espacio abierto y tranquilo donde no tenga distractores y pueda hacer sus tareas
sin ser interrumpido. Recuerde que las matemáticas no se aprenden solo leyendo u
observando, porque se debe practicar y realizar varios ejercicios para adquirir la habilidad.
• Es muy importante que establezca una comunicación permanente con su docente, a través de
las diferentes herramientas disponibles en la plataforma Moodle o puede solicitar asesorías
telefónicas.
• Todas las actividades propuestas deben realizarse. Para ello, es importante que realice una
programación de las actividades y el tiempo que requiere para su ejecución.
• Participe activamente de las actividades autónomas y grupales.
• Descargue las lecturas y actividades propuestas. Guarde una copia, ya sea en su computador,
memoria USB o disco duro.
• Amplíe sus conocimientos con otras fuentes, trabaje en CIPAS, para aclarar dudas y favorecer
el proceso de aprendizaje.
• Participe en los encuentros sincrónicos y presenciales habiendo trabajado con anterioridad las
actividades y revisado los recursos de esta manera aprovechara el encuentro sincrónico y
tutorial.
Introducción a la Temática
Grosso modo, los sistemas de ecuaciones lineales constituyen el corazón del Álgebra Lineal, y en 
esta unidad las utilizaremos para introducir de manera clara y concreta, algunos de los conceptos 
centrales de esta ciencia. Recordemos que, en el espacio de aprendizaje de Matemáticas 
Generales, estudiamos ecuaciones lineales, sus clasificaciones, partes y métodos para resolverlas. 
Para alcanzar esta meta trabajamos en aplicaciones que tienen que ver con la utilidad y los 
ingresos, para solucionar problemas en contextos reales. Es así, como todo este aprendizaje será 
de gran ayuda en la comprensión de la solución e interpretación de los sistemas de ecuaciones 
lineales.
Por consiguiente, con base en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, problema central del 
Álgebra Lineal, trataremos todo lo referente al tema. Primero un sistema de ecuaciones lineales de 
dos variables, mostrando los diferentes tipos de solución e interpretándolas gráficamente. 
Es así, como estableceremos la relación existente, entre expresiones matriciales de un sistema de 
ecuaciones lineales, por medio de la definición de sistemas equivalentes. Para conseguir alcanzar 
todo lo antes expuesto, abordaremos el método de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordán, para 
resolver sistemas de variables y ecuaciones.
También, tendremos en cuenta las aplicaciones, que es un tema fundamental, donde se modelan 
situaciones reales con sistemas de ecuaciones lineales como el problema del punto de equilibrio, 
oferta y demanda, producción, inversiones entre otros. 
Por último, resolveremos sistemas de ecuaciones lineales con la matriz inversa y sistemas 
homogéneos.
Para alcanzar las competencias de la presente unidad estudiaremos los siguientes temas:
Video 1. Sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Introducción
Gutiérrez, A. [Matemáticas profe Alex]. (2018, 04, 24). Sistemas de ecuaciones lineales 2x2. 
Introducción. Recuperado el 2019, 09, 02, en: https://www.youtube.com/watch?
v=oQQfG1zIPMc
VER VIDEO
• Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables
• Sistemas de m ecuaciones lineales con n variables
• Método de Gauss
• Método de Gauss-Jordán
• Inversa de una matriz 2x2
• Solución de un sistema de ecuaciones utilizando la inversa de la inversa de la matriz de
coeficientes.
Ahora bien, antes de iniciar con los contenidos de esta unidad los invitamos a ver el video 
sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Introducción (2018). En este video encontraran la 
explicación de la definición de ecuación, sistemas de ecuaciones con una y dos variables y 
como solucionar un sistema de ecuaciones:
https://www.youtube.com/watch?v=oQQfG1zIPMc
https://www.youtube.com/watch?v=oQQfG1zIPMc
https://www.youtube.com/watch?v=oQQfG1zIPMc
Enseñanzas
Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables
Cuando deseamos modelar una situación, no es extraño que cuando generamos un conjunto de 
ecuaciones. Por ejemplo, suponga que el administrador de una fábrica de empanadas establece 
un plan de producción para dos sabores nuevos de empanadas mixtas. El primer tipo de 
empanada requiere de 4 kilogramos de pollo y 6 kilogramos de carne de res y el otro tipo de 
empanada requiere de 7 kilogramos de pollo y 3 kilogramos de carne de res para fabricar 100 
empanadas de cada uno. De sus proveedores, la fábrica obtiene 33 Kilogramos de pollo y 27 
Kilogramos de carne de res cada día. ¿Cuántas empanadas de cada tipo deben fabricarse 
cada día para que sean utilizados en su totalidad el pollo y la carne de res compradas?
Una buena idea para resolver este problema es construir una tabla que resuma la información, 
donde se muestre la cantidad de kilogramos de pollo y carne de res requeridos por cada tipo de 
empanada, así como la cantidad de pollo y carne de res disponible por día. Veamos la tabla 1.
Ahora bien si suponemos que es el número de empanadas que se deben fabricar del tipo 1 y y 
el número de las del tipo 2. Entonces las empanadas requieren de 4x+7y de pollo y 6x+3y de 
carne de res. Como cada día surten 33 kilogramos de pollo y 27 de carne de res, se tiene
Por tanto, a este sistema de ecuaciones se le llama de dos ecuaciones lineales en las variables x 
y y.
Luego, para dar respuesta a la pregunta del problema lo que debemos hacer es solucionar el 
sistema, donde los valores de ambas variables satisfagan a las dos ecuaciones. En esta unidad 
aprenderemos cómo hacerlo utilizando unos métodos específicos y matrices.
Por consiguiente, observe, según Soler (2016), que los sistemas de ecuaciones lineales se 
pueden definir de la siguiente manera:
Cada una de estas ecuaciones se representa gráficamente como una línea recta; estas líneas 
pueden corresponder a la representación gráfica de una función de costo, ingreso, demanda, 
oferta, utilidad, etc.
La solución del sistema se puede clasificar de la siguiente manera:
• Solución única: Si las rectas l 1 y l 2 corresponden a las ecuaciones se cortan en un solo 
punto ( x, y ). 
• Figura 1. Rectas que se cortan en un punto
No tiene solución (sistema inconsistente): Si l1 y l2 no se cortan en ningún punto.
Infinitas soluciones: Si todos los puntos de coinciden con los de l2. (P. 74)
Entonces, regresemosa la solución de nuestro problema inicial sobre el tipo de 
empanadas. Grabar el sistema que obtuvimos y resolvámoslo así:
{4x + 7y = 33 (1)
{6x + 3y = 27 (2)
Notemos que a cada ecuación, en este caso, los nombres con un número para comprender 
mejor los procedimientos.
Para comenzar, se requiere un sistema equivalente en el que x no tiene en una ecuación 
(método de eliminación). Primero, se encuentra un sistema equivalente en el que los coeficientes 
de los términos en x cada ecuación sean iguales excepto por el signo. Multiplicando la ecuación 
(1) por y la ecuación (2) por se obtiene:
{12x + 21y = 99
{-12x - 6y = -54
Realizando una suma correspondiente de los términos, esto resulta en:
Al resolver esta ecuación tendremos: y = 3, luego podemos reemplazar esta cantidad de la variable 
y en cualquiera de las ecuaciones del sistema inicial, así:
Si y = 3, entonces reemplazando en (1) tenemos:
Recordemos nuestra pregunta, ¿cuántas empanadas de cada tipo deben fabricarse cada día 
para que sean utilizados en su totalidad el pollo y la carne de res compradas?
Según la solución que encontramos y teniendo en cuenta que nos especificaban que el número de 
kilogramos de cada carne alcanzaban para 100 empanadas. Entonces, deben fabricarse 
exactamente 300 empanadas mixtas de cada tipo para gastar todo el pollo y carne de res 
comprado diariamente.
Ahora veamos la solución de otros sistemas, para comprender mejor.
Sistemas de m ecuaciones lineales con n variables
Los sistemas de ecuaciones lineales también se pueden extender en su número de ecuaciones y de 
variables. Es así, como hallar su solución se vuelve un poco más complejo y debemos aplicar métodos 
que nos resulten más sencillos de resolver como lo estudiaremos en esta parte.
Iniciemos con la definición de este tipo de sistemas como lo determina Soler (2016) (p 80).
Observemos algunos ejemplos: 
Ahora bien, estudiemos, a continuación, un par de métodos que nos permiten 
solucionar cualquier sistema de ecuaciones lineales sin importar el número de 
ecuaciones o de variables.
Método de Gauss
Los métodos básicos para resolver un sistema de ecuaciones lineales se basan en sustituir el 
sistema dado por un nuevo sistema que tenga el mismo conjunto solución, ósea, que sea 
equivalente.
Para aplicar el método de Gauss e incluso el de Gauss-Jordán, necesitaremos algunas 
definiciones e instrucciones que debemos seguir e n los procedimientos.
Matriz aumentada
Es la representación de un sistema de ecuaciones lineales como una matriz [A|B], utilizando los 
coeficientes de las variables y sus términos independientes. Ahora bien, la matriz aumenta es útil 
cuando se aplican procesos que nos permiten solucionar un sistema de ecuaciones lineales. Dado 
que las filas de una matriz aumentada corresponden a las ecuaciones del sistema que la origino, 
realizando operaciones entre sus filas podemos llegar a un sistema equivalente pero más simple 
que nos llevará a la solución.
Veamos un ejemplo:
Matriz aumentada o forma escalonada
Una matriz mxn tiene forma escalonada si al revisar de izquierda a derecha los elementos debajo de 
su diagonal principal son ceros. Es de aclarar que algunos de los demás elementos, los de la 
diagonal y los que están por encima de ella, también pueden ser cero.
Observemos ejemplos
Matriz aumentada reducida
Una matriz mxn tiene forma escalonada reducida si es escalonada y además el primer elemento no 
nulo de cada fila es uno, además es el único elemento diferente de cero de la columna.
Después de comprender los conceptos y ejemplos anteriores, veamos ahora el método de 
Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales según Soler (2016):
Con el ánimo de comprender el procedimiento observemos los pasos, para utilizar 
el método de Gauss. Veamos un ejemplo.
Si utilizamos el método de eliminación de Gauss-Jordán, obtenemos secuencias de matrices 
aumentadas equivalentes.
Para llevar la matriz aumentada del sistema original a una forma escalonada, inicialmente 
necesitamos que el elemento a11, sea igual a 1 el cual se denominara elemento pivote. En este 
caso intercambiamos la fila 1 y la fila 3 para que a11=1. Es de notar que existen varios caminos 
para llegar a la misma respuesta utilizando este método cada uno elija el que mejor le parezca, 
en este caso seguiremos el siguiente:
Ahora, debemos transformar en ceros los elementos bajo a11; esta transformación 
se hace mediante la aplicación de operaciones elementales entre filas.
Por lo tanto, la solución del sistema está dado por x=3, y=4 y z=1. Esto se puede 
verificar, si sustituimos estos valores en el sistema inicial así: 
3(3)-2(4)+8(1)=9-8+8=9 ✔ 
-2(3)+2(4)+1=-6+8+1=3 ✔ 
3+2(4)-3(1)=3+8-3=8  ✔
Sistema final
Como ya lo habíamos dicho existen diferentes caminos para resolver el mismo 
sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss o de Gauss-Jordán 
veamos otro forma de solucionar el ejemplo anterior.
Con lo cual llegamos a la misma respuesta que con el procedimiento anterior. Para algunas 
personas puede ser más sencillo uno u otro proceso, es cuestión de gustos.
Ahora bien, sabemos que lo importante de aprender estos procedimientos en matemáticas, es 
cuando los utilizamos en la solución de problemas de la vida cotidiana y más particularmente 
en aplicaciones referentes a sus carreras profesionales. Por tal razón, veamos ahora un 
ejemplo de aplicación trabajado por Grossman (2012):
Solución:
Sean x1, x2, x3 el número de peces de cada especie que hay en el ambiente del lago. Si 
utilizamos la información del problema, se observa que x1 peces de la especie 1 consumen x1 
unidades del alimento A, x2 peces de la especie 2 consumen 3x2 unidades del alimento A y x3 
peces de la especie 3 consumen 2x3 unidades del alimento A. Entonces,
Ejemplo 1.2.8 Un problema de administración de recursos
Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que 
alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio 
de 1 unidad del alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 unidades del alimento C. Cada pez de la 
especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento A, 4 del B y 5 del C. 
Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento A, 
1 unidad del alimento B y 5 unidades del C. cada semana se proporcionan ala lago 25.000 
unidades del alimento A, 20.000 unidades del alimento B y 55.000 del C. Si suponemos que los 
peces se comen todo el alimento, ¿Cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?
Inversa de una matriz 2x2
Para solucionar un sistema de ecuaciones, también, podemos utilizar la inversa de una matriz. 
Para ello, observemos la definición de la inversa de una matriz 2x2 según Soler (2016).
Ahora, apliquemos la definición anterior en un ejercicio, para comprender mucho mejor el 
procedimiento
Solución de un sistema de ecuaciones utilizando la inversa de la matriz de coeficientes.
Tal y como lo determina Soler (2016) las condiciones para poder hallar la Solución de un sistema 
de ecuaciones utilizando la inversa de la inversa de la matriz de coeficientes son según su 
definición:
Observemos ahora el ejemplo 8 de Soler (2016), donde resuelve un sistema de ecuaciones 
utilizando la inversa:
Nota: El método anterior es solo aplicable cuando el número de ecuaciones es igual al 
número de variables y la matriz de coeficientes invertible” (p.133).
 Finalmente, los invitamos a ver y, sobre todo, a analizar el recurso animado: Solución de un 
sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss-Jordán (González, 2019).
VER VIDEO
Video: Solución de un Sistema de Ecuaciones, Método Gauss-Jordan
Cayli Math. (2019, 01, 11). Semejanza de triángulos -altura de un árbol. [Archivo de 
video] Recuperado el 2019, 09, 02 en https://youtu.be/SK5NR8CPn2A
https://youtu.be/SK5NR8CPn2A
https://youtu.be/SK5NR8CPn2A
Resumen de la Temática
https://aulasvirtuales.uniquindio.edu.co/RecDigital/AlgebraLineal/recursos/unidad2/U2_EA1_descargable.pdfEl siguiente glosario ayudará en la aclaración de los conceptos utilizados en este espacio de 
aprendizaje, según Soler (2016) el glosario más importante es:
• “Solución de un sistema lineal: conjunto de números reales que al sustituirlos en el
sistema lineal satisfacen todas las ecuaciones.
• Forma matricial de un sistema: representación de un sistema de ecuaciones
lineales por medio de operaciones entre matrices.
• Sistemas equivalentes: cuando toda solución de uno de ellos, lo es también del otro.
• Operaciones elementales entre filas: son transformaciones que producen sistemas
equivalentes.
• Matriz aumentada: es la representación de un sistema lineal en forma de matriz,
compuesta por los coeficientes de las variables del sistema y los términos
independientes.
• Método de Gauss: procedimiento que aplica operaciones elementales entre filas,
para transformar la matriz aumentada del sistema original en forma escalonada de un
sistema equivalente.
• Matriz inversa: es una matriz cuadrada que al multiplicarla por la matriz original da
como resultado la matriz idéntica.” (p. 164)
Glosario
• Soler, F. Molina, F. Rojas, L. (2016). Álgebra lineal y programación lineal Con aplicaciones a
ciencias administrativas, contables y financieras. Ecoe Ediciones. Matrices (pp. 71-144).3ª.
edición. Bogotá.
• Grossman, Stanley y Flores, J. (2012). Algebra Lineal. México: Mc. Graw Hill. (pp. 17-18). 7°
edición. México. D.F.
• Hoffmann, L. Bradley, G. Sobecki, D. Price, M. Sandoval, S. (2014). Matemáticas aplicadas a
la administración y los negocios. Mc Graw Hill Education. Matrices (pp. 702-741). México. D.F.
Bibliografía
• Daccarett, E. (2005). Investigación de Operaciones. Bucaramanga: Universidad Industrial de
Santander.
• Grossman, Stanley y Flores, J. (2012). Algebra Lineal. México: Mc. Graw Hill.
• Haeussler, E. y Richard, P. (2015). Matemáticas para la administración y la economía.
México: Pearson.
• RENDER, Barry y Heizer, B. (2009). Principios de administración de operaciones. México:
Pearson. Soler, F., Molina, F. y Rojas, L. (2016).
• Algebra Lineal y programación Lineal. Bogotá: ECOE Ltda.
Referencias