matemc3a1tica-tema-6-logaritmos-versic3b3n-pdf

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MATEMÁTICA 
UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR 
Curso de Refuerzo para 
Aspirantes a Nuevo Ingreso 
 
Universidad de El Salvador, Derechos Reservados 
 
 
Universidad de El Salvador, Derechos Reservados 
UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR 
CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO 
MATEMÁTICA 
 
CURSO DE MATEMÁTICA EN LÍNEA 
 
Contenido 
LOGARITMOS ................................................................................................................................. 1 
DEFINICIÓN .................................................................................................................................... 1 
LOGARITMOS BASE 10 ................................................................................................................... 2 
LOGARITMOS DE BASE e ................................................................................................................ 3 
PROPIEDADES ................................................................................................................................ 3 
CAMBIO DE BASE. .......................................................................................................................... 4 
ECUACIONES EXPONENCIALES ....................................................................................................... 5 
ECUACIONES LOGARÍTMICAS ......................................................................................................... 7 
 
 
 
 
 
 
1 
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CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO 
MATEMÁTICA 
 
LOGARITMOS 
Los logaritmos son usados para modelar la respuesta que los humanos damos o estímulos, tales 
como: el sonido, la luz o la presión, por lo tanto su estudio es muy importante. 
DEFINICIÓN 
En La ecuación 
yx a= , donde a es un número real positivo distinto de 1,
 
" "y recibe el 
nombre el logaritmo en base a de x , y se escribe 
logay x= 
Por lo tanto, “El logaritmo de un número es el exponente, que indica la potencia, a la que hay que 
elevar la base para obtener el mismo número” 
Ejemplo. Calcule: 
21) log 8
 Solución
 
Para calcular el logaritmo del número 8, cuando la base es 2 Ud. Debe preguntarse ¿Cuál es el 
exponente al que debo elevar la base 2 para que resulte 8? Ya que 23 = (2) (2) (2) = 8 
Su respuesta debe ser 3, es decir. 
 
2
3
2
1) log 8
 Solución
 log 8 3 porque 2 8= = 
3
2
3
2) log 9
 Solución
 log 9 2 ya que 3 9= = 
2
4
2
3) log 16
 Solución
 log 16 4 ya que 2 16= =
 
 
 
 
2 
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( )
3
3 3 4
4
3
4
4
1
4) log
81
 Solución
1 1
 log log 
81 3
 = log 3
1 1
 4 ya que 3
3 81
−
−
   =   
   
= − = =
 
LOGARITMOS BASE 10 
Los logaritmos de base 10 se llaman logaritmos comunes. Se acostumbra escribir log x en lugar 
de log 10 x. 
Ejemplos calcule 
 
1
10
1) log 10
 Solución
 log 10 log 10 1, ya que 10 10= = = 
2
10
2) log 100
 Solución
 log 100 log 100 2, ya que 10 100= = = 
( )3 310 10
3) log 0.001
 Solución
 log 0.001 log 0.001 log 10 3, ya que 10 0.001− −= = = − = 
 
 
 
3 
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LOGARITMOS DE BASE e 
Los logaritmos de base e se llaman logaritmos naturales se acostumbra escribir ln x en 
lugar de log e x. El número e es número irracional cuyo valor aproximado es 2.7182818. 
El número e es utilizado en: cálculos financieros, problemas que implican crecimiento o extinción 
de especies naturales, cálculo de rapidez de reacciones químicas o rapidez de enfriamiento de un 
cuerpo, cálculos relacionados con los cambios de la presión atmosférica con la altura, etc. 
PROPIEDADES 
 
Sea a un número real positivo distinto de uno. Sea M, N y C números reales cualesquiera con M 
y N positivos. 
 
( )1) log log log a a aMN M N= + 
2) log log log a a a
M
M N
N
  = − 
  
( )3) log logCa aM C M= 
4) log 1 0a = 
5) log 1aa = 
( )6) log Ca a C= 
log7) aMa M= 
 
 
 
4 
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Ejemplo. Deduzca la propiedad 2). 
Desarrollo: 
log (1)
log N (2)
log (3)
Sustituyendo (1), (2) en (3)
log log log log log log
x
a
y
a
x
y
x y
a
a a a a a a
M a x M
N a y
M a
N a
M M
a x y
N N
M M
M N M N
N N
−
= → =
= → =
=
 = → − =  
 
   − = ⇒ = −   
   
 
Ejercicio. Deduzca las otras propiedades 
Ejercicio. Escriba con sus propias palabras las propiedades anteriores, por ejemplo, la propiedad 
1): El logaritmo del producto de dos números positivo es igual a la suma de los logaritmos de los 
números. 
CAMBIO DE BASE. 
 
 
( )
( )
( )( )
log (1)
log M (2)
log 
log 
log (3)
Sustituyendo (1), (2) en (3)
log log log
x
a
y
b
a
y
a
a
a b a
M a x M
N b y
x M
x b
x y b
M M b
= → =
= → =
=
=
=
=
 
 
 
 
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 ECUACIONES EXPONENCIALES 
 
Su calculadora solo tiene las teclas l o g para 10log M y l n para l o g Mℓ
 
 
Utilizará su calculadora para calcular logaritmos de números de cualquier base, siempre que la base 
sea positiva y diferente de uno, así: 
4
4
4
Ejemplo. Calcule
1) log 64
Solución
log64
log 64 3 ó
log 4
ln 64
log 64 3 
ln 4
= =
= =
 
3
3
3
2) log 100
Solución
log100
log 100 4.191806549 ó
log3
ln100
log 100 4.191806549 
ln 3
= =
= =
 
( )
2 7 3
2 2 7 3 3
2(2 7) 3( 3)
Ejercicios. 
Calcule el conjunto solución de:
1) 9 27
 (3 ) = (3 ) 
 (3) = (3)
como las bases son iguales, entonces 
2(2 7) = 3 3
4 14 3 9
4 3
x x
x x
x x
x x
x x
x
− −
− −
− −
=
− −
− = −
−
{ }
 14 9
5 S = 5
x
x
= −
= ⇒
 
 
 
 
6 
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( ) ( )
2 7 3
3
9
33 2
9
3
2
9
b) Otro método
 9 27
 2 7 = log (27) 
 2 7 = ( 3)log (27) pero 27 = ( 9) 3
 2 7 = 3 log 9
3 9 2 7 2 2
3 9 2 72 2
3 2(2 ) 2
x x
xx
x x
x x
x x
x x
x x
− −
−
=
−
− − =
− −
− = −
− = −
−
{ }
92(7 )2
 4 3 14 9 5 S=5x x x
= −
− = − ⇒ = ⇒
 
2 7 3
2 7 3
c) Otro forma
 9 27
 log 9 log 27 
 (2 7) log9 ( 3)log27
 2 log9 7log9 = log27 3log27 
 2 log9 log27 = 7log9 3log27
 (2 log9 log27) = 7l
x x
x x
x x
x x
x x
x
− −
− −
=
=
− = −
− −
− −
−
{ }
og9 3log27
7log9 3log27
 
2 log9 log27
5 S= 5
x
x
−
−=
−
= ⇒
 
2) 2 log log 6
 Solución:
 2 log log 6
 (2+1) log 6
 3log = 6
6
 log
3
 log 2
 
x x
x x
x
x
x
x
+ =
+ =
=
=
=
{ }
2 10
 100 S= 100
x
x
=
= ⇒
 
 
 
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ECUACIONES LOGARÍTMICAS 
 
( )
log8
1) log(3 21) log(2 1) log8
 Solución:
si (3 21) y (2 1) son números positivos.
log(3 21) log(2 1) log8
3 21
 log( ) 10
2 1
3 21
 8
2 1
 3 21 =8 2 1
 3 21 16 8
 3 16 8 21
 -13 13
x x
x x
x x
x
x
x
x
x x
x x
x x
x
+ − + =
+ +
+ − + =
+ =
+
+ =
+
+ +
+ = +
− = −
= −
{ }
13; 13
 1 S= 1
x
x
−= −
=
 
{ }
2
2
2
3
2) 3 3 6 0
 Solución:
 3 3 6 0
 (3 ) (3 ) 6 0
 (3 3)(3 2) 0
 3 3 0 3 3 log 3 1
 3 2 0 3 2 ¡Absurdo!
 S= 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
− − =
− − =
− − =
− + =
− = ⇒ = ⇒ = =
+ = ⇒ = − ⇐
 
 
 
 
 
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( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
ln10
3) ln10 log 2 ln 1 ln10
 Solución:
si 2 y 1 son positivos
ln10 log 2 ln 1 ln10
ln 2
ln10 ln 1 ln10
ln10
ln 2 ln 1 ln10
ln 2 1 ln10
2 1
2 1 10
x x
x x
x x
x
x
x x
x x
x x
x x
+ + − =
+ −
+ + − =
+ 
+ − = 
 
+ + − =
+ − =  
+ − =
+ − =
ℓ
 
( ) ( )
{ }
2
2
2
2 10
2 10 0
 12 0
4 3 0
4 0 4 ¡Absurdo!
3 0 3
S 3
Si 4 se sustituye en:
+2 -4+2=-2 y 
log(-2) ¡No existe en !
Por lo tanto 
4 no es parte del conjunto solució
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
x
+ − =
+ − − =
+ − =
+ − =
+ = ⇒ = − ⇐
− = ⇒ =
=
=
⇒
= −
ℝ
n