s01

Vista previa del material en texto

1
ESTALMAT-Andalucía Oriental 
Sesión inaugural curso 2007-2008
SOBRE ASTRONOMÍA DE 
POSICIÓN
Antonio López López (Profesor invitado) 
y Ceferino Ruiz Garrido
27 de septiembre de 2007
SOBRE ASTRONOMIA DE 
POSICIÓN
Los contempladores de estrellas
Antes de astrónomos fuimos sólo unos mirones de los cielos. El 
aspecto del cielo estrellado ha poseído al Hombre desde que se elevó a la 
dignidad humana, es posible que haya sido la causa de que la haya 
alcanzado.
Osa Mayor
Osa Menor
2
Mientras contemplamos las estrellas podemos sentir todavía la alegría del 
pastor homérico, la veneración de egipcios y caldeos y la curiosidad de los 
primeros matemáticos. 
. 
Can Mayor y Sirio
Fuimos contempladores de estrellas y vivimos esa emoción de pertenecer y 
participar de ese todo que todo lo llena, que todo lo invade de forma suave 
y placentera, con esa luz plateada que nos une a la vida y con esa dorada 
luminosidad en la que navegamos diariamente.
Aries y Triángulo
FANDANGO
Me gusta ver a la Luna
bailando entre las 
encinas.
Me gusta ver a la Luna,
en lo alto la colina,
me dan las doce y la 
una,
me dan las doce y la 
una.
Y las estrellas por techo,
mi manto de cabecera.
Y las estrellas por techo 
el “ganao” en la “laera”,
la tierra bajo mi pecho
y mi serrana a mi vera.
El Cabrero
Otro Fandango
Porque me guío por el Sol
no tengo prisa ninguna,
porque me guío por el Sol
yo con mirar las alturas
no necesito reloj
“pa” saber la hora segura.
El Cabrero
3
Digo fuimos contempladores de estrellas porque en la 
actualidad, en este mundo tan moderno, es difícil contemplar el 
cielo estrellado en todo su esplendor. La contaminación lumínica de 
las ciudades nos han robado ese placer de las noches estrelladas, 
ahora para ver las estrellas hemos de ir a un planetario, visita
agradable y que no está mal pero no es lo mismo que el paseo a las 
afueras del pueblo o tumbarse boca arriba y caer con la imaginación 
en ese universo oscuro con puntitos blancos.
Casiopea
La contaminación luminosa de las ciudades, 
pueblos, autovías, carreteras y otros entes, nos ciega 
para la contemplación de esos maravillosos cielos en las 
distintas estaciones. Por otra parte, esa contaminación 
es un derroche de energía que sólo sirve para fastidiar y 
hurtar algo que se puede tener sin pagar. Millones de 
euros van a la basura, dinero que se podría utilizar en 
otros menesteres más necesarios. Este despilfarro de 
euros y energía nos hace más tristes, tristes con las 
luces de neón, tristes con las luces de escaparates 
falsamente alegres, tristes en los paseos por las calles 
tan iluminadas en las que no podemos gozar con esa 
mirada interior y la lentitud para cocinar esos 
sentimientos absolutos y profundos. 
Contaminación lumínica
Primero fuimos contempladores de estrellas, 
después astrónomos y, muchos, contempladores y 
astrónomos a la vez.
Quizás en la actualidad sólo seamos astrónomos 
que estudiamos el cielo en la pantalla de un 
ordenador.
4
Nebulosa del Cangrejo Constelación del León
Orión LA TIERRA
Durante muchos siglos nuestro tamaño en relación al tamaño 
de la Tierra nos ha engañado. Creíamos que nuestro planeta era 
plano como el suelo de nuestra habitación. Bueno, más o menos 
plano, algunas montañas, algunos valles se podían interpretar como 
pequeñas arrugas en ese plano inmenso que era nuestra amada 
Tierra.
Los primeros griegos concibieron la Tierra como un disco con 
Grecia, naturalmente, en el centro.
Este disco plano estaba formado en su mayor parte por tierra 
firme, estaba bordeado por el “Río Océano” que penetraba en el 
centro como mar Mediterráneo. Hecateo de Mileto, hacia el 500 
a.C., geógrafo, estimó que el disco circular debía tener un diámetro 
de 8000 kilómetros. La superficie de la Tierra se calculaba en unos 
51 millones de kilómetros cuadrados (una décima parte de la 
superficie real de la Tierra).
5
Para una persona con los ojos bien abiertos no 
podía resultarle de sentido común, ¿por qué? Si nuestro 
planeta fuera plano desde cualquier punto se verían las 
misma estrellas en el cielo (con diferente perspectiva, 
por supuesto). Se sabía que los navegantes que se 
dirigían hacia el Norte veían nuevas estrellas que no se 
observaban desde el Sur y viceversa: unas aparecían en 
el horizonte y desaparecían otras.
• “Así que el divino Odiseo desplegó gozoso las velas 
al viento y sentado gobernaba el timón con 
habilidad. No caía el sueño sobre sus párpados 
contemplando las Pléyades y el Bootes, que se pone 
tarde, y la Osa, que llaman carro por sobrenombre, 
que gira allí y acecha a Orión y es la única privada 
de los baños de Océano. Pues le había ordenado 
Calipso, divina entre las diosas, que navegase 
teniéndola a la mano izquierda. “
Homero-Odisea, Canto V.
Las Pléyades
Otros filósofos griegos sugirieron:
* Anaximandro de Mileto (610 
a.C.- 546 a.C.): La Tierra tenía forma de 
cilindro curvado hacia el Norte y el Sur 
(en una novela de Arthur C. Clarke los personajes habitan un 
mundo cilíndrico) .
* Filolao de Tarento (siglo V 
antes de Cristo): La Tierra tiene forma 
esférica. Lo prueba basándose en la 
forma circular que siempre produce la 
sombra de nuestro planeta sobre su 
satélite en los eclipses de Luna. 
6
Esta concepción creaba el problema de 
arriba y abajo, los que estuvieran en las 
antípodas estarían cabeza abajo. Se pensó en 
los conceptos de arriba y abajo como relativos, 
al igual que derecha e izquierda.
En buena parte de la Edad Media la mayoría 
de la gente pensaba que la Tierra no podía ser 
redonda: los de las antípodas se caerían, cosa 
lógica.
Eratóstenes y su cálculo
El primer cálculo bien hecho sobre las dimensiones de 
la Tierra lo hizo el matemático, gramático y geógrafo 
Eratóstenes, director de la Biblioteca de Alejandría, 
hacia el 230 a.C.
Al parecer, conocía que en Siena (Asuán), en Egipto, 
a mediodía en el solsticio de verano los rayos del Sol 
iluminaban por completo el fondo de un pozo profundo: 
los rayos eran perpendiculares sobre esa ciudad. A la 
misma hora, en Alejandría, al Norte de Siena (más o 
menos en el mismo meridiano) un obelisco proyectaba 
una sombra cuyo ángulo se medía con facilidad y resultó
ser, aproximadamente, la cincuentava parte de la 
circunferencia.
La distancia entre Siena y Alejandría era de unos 
5000 estadios, una sencilla proporción nos da la longitud 
de la circunferencia terrestre: 1/50 =5000/x, así que 
longitud de la circunferencia era de unos 250000 
estadios.
250000 estadios = 157,5 x 250000 metros = 39375 
km, cálculo bastante aproximado al real.
7
La precesión de los equinoccios
Como todos sabemos, la Tierra tiene dos movimientos uno de traslación alrededor 
del Sol y otro de rotación sobre si misma, cuyo eje pasa por los polos y define en la 
esfera celeste el eje del mundo. 
La Tierra en su movimiento de rotación lo hace como una peonza o un trompo, 
realizando a la vez un leve balanceo, inclinándose de un lado para otro. El eje de 
rotación define o describe en el espacio una superficie cónica.
Como consecuencia de este balanceo, llamado movimiento de precesión, los polos 
celestes no permanecen fijos, desplazándose de forma muy lenta a los largo de un 
circunferencia. Para dar una vuelta completa se requieren 26000 años.
La estrella polar que hoy coincide, más o menos, con el polo norte dejará de 
coincidir al cabo de cierto tiempo. Así cuando se construyó la Gran Pirámide de 
Egipto, la estrella polar coincidía con la estrella Thuban, en la constelación del 
Dragón, orientando los constructores el pasillo central de la pirámide hacia esa 
estrella.
En el año 10000, la estrella polar será Deneb en el Cisne y en el 14000 será Vega en 
Lira.
Precesión
Precesión y nutación
Estrellas polares en la Historia (pasada, presente, futura)
Movimiento aparente de las estrellas
Como consecuencia del movimiento de rotación de la Tierra tenemos las sensación 
de que la esfera celeste gira alrededor del eje del mundo. Como la Tierra rota de 
oeste a este,los cuerpos celestes los vemos desplazarse en sentido contrario: salen 
por el este y se ponen por el oeste.
Un observador situado en el polo norte (o sur) ve la estrella polar (δ-octante) encima 
de su cabeza, en el cenit, y las demás estrellas describen una trayectoria paralela al 
horizonte.
Un observador situado en el ecuador ve a la estrella polar en el horizonte, mientras 
que las demás estrellas describen una trayectoria vertical, salen hacia arriba, llegan 
hasta una cierta altura sobre el horizonte y después bajan.
Un observador situado entre el polo y el ecuador verá a la polar (δ-octante ) en un 
punto situado a una cierta altura sobre el horizonte (su latitud). Las estrellas 
cercanas al polo describirán circunferencias alrededor del polo, mientras que las 
demás estrellas salen por el este, describen un arco de circunferencia y se ponen 
por el oeste.
8
• img9.gif
9
Geometría sobre la superficie esférica
Es importante el estudio de la Geometría esférica para resolver 
problemas de la Astronomía y de la Geodesia, muchos de ellos 
fundamentales para las Geografía, Cartografía, Navegación aérea y 
marítima, Medición del tiempo y otras materias.
Geometría sobre la esfera
Otras partes de la esfera
Coordenadas geográficas
En cada época las necesidades han cambiado, 
necesitándose más información y más precisión en los 
datos. Con los largos viajes, la navegación y otros 
menesteres el ser humano tuvo la necesidad de conocer 
las estrellas, los planetas y su movimiento en la esfera 
celeste: los ciclos, los ritmos, la siembra, la cosecha, el 
calendario,… todo dependía en cierta manera de los 
cielos.
Necesitamos saber con exactitud dónde nos 
encontramos sobre la superficie terrestre. Para ello, se 
tenía que tomar unas líneas de referencia. 
10
La Tierra rota sobre sí misma y el eje imaginario de 
rotación pasa por dos puntos terrestres, uno llamado 
Polo Norte (PN) y el otro llamado Polo Sur (PS). 
Tomamos un plano perpendicular al eje de rotación y 
que pase por el centro de la Tierra, ese plano dibuja 
sobre la Tierra una circunferencia máxima llamada 
Ecuador.
Las circunferencias sobre la superficie terrestre 
paralelas al ecuador se les denominará paralelos. Las 
circunferencias máximas que pasan por los polos 
(perpendiculares al ecuador) se les llamará meridianos. 
Para definir unas coordenadas sobre la Tierra 
tomaremos como referencia el ecuador y el meridiano 
que pasa por Greenwich.
N
Polo Norte = Latitud 90° N
E
S
O
Meridiano
Paralelo
Latitud
Ecuador
Meridiano
de Greenwich
0°
180°
Longitud
A cada punto sobre la superficie de la Tierra le 
asociaremos dos números:
LATITUD: distancia angular existente entre el distancia angular existente entre el 
ecuador y el paralelo que pasa por ese punto o ecuador y el paralelo que pasa por ese punto o 
lugar, medido sobre el meridiano del lugar.lugar, medido sobre el meridiano del lugar.
LONGITUDLONGITUD: distancia angular entre el meridiano : distancia angular entre el meridiano 
que se toma como referencia, meridiano de que se toma como referencia, meridiano de 
GreenwichGreenwich y el meridiano que pasa por el punto o y el meridiano que pasa por el punto o 
lugar.lugar.
La latitud se expresa con un ángulo entre 0º y 90º, latitud Norte 
o latitud Sur, dependiendo de que el lugar esté en el hemisferio 
norte o en el hemisferio sur.
La longitud se expresa con un ángulo entre 0º y 180º, longitud 
este o longitud oeste, dependiendo de que el punto esté al este o al 
oeste del meridiano origen.
Hay varios métodos para el cálculo de las coordenadas 
geográficas, necesitamos a los cielos para este menester.
11
Coordenadas geográficas de 
algunas ciudades españolas
Almería 36.50 N 2.28 O
Granada 37.11 N 3.35 O
Jaén 37.46 N 3.47 O
Málaga 36.43 N 4.25 O
Motril 36.44 N 3.31 O
Barcelona 41.23 N 2.11 E
Castellón de la Plana 39.59 N 0.02 O
Oropesa 40.06 N 0.09 E
LA ESFERA CELESTE
Como en la antigüedad se creía que la Tierra estaba 
inmóvil en el centro del Universo se suponía que las 
estrellas fijas estaban sobre la superficie de una esfera. 
Esta esfera giraba alrededor de la Tierra, los planetas 
giraban en órbitas circulares y lo mismo hacía el Sol y la 
Luna. Incluso en la Edad Media la gente sospechaba 
que esa esfera era algo sólido y firme, de ahí
firmamento, con agujeritos, a través de los cuáles la luz 
del divino cielo, las estrellas, llegaba hasta nosotros.
De cualquier forma, los astrónomos antiguos idearon 
conceptos y artilugios para localizar los astros en 
cualquier momento en esa esfera sólida que giraba 
alrededor de la Tierra.
Para ese fin localizador de cuerpos celestes, era 
necesario definir algunos puntos, líneas, y planos 
especiales en la esfera celeste. Estos objetos especiales 
servirían como referencia y punto de partida.
Cuadrante
12
El astrolabio es un instrumento que permite determinar las 
posiciones de las estrellas sobre la bóveda celeste. 
La palabra astrolabio significa etimológicamente "el que 
busca estrellas" y debe su procedencia al griego ("Astro", 
estrella y "Labio", el que busca). Sinesio de Ptolemais
atribuye su invención a Hiparco de Nicea, alrededor de 150 
adC. Para el siglo VIII ya era ampliamente conocido en el 
mundo islámico y en Europa en el siglo XII.
Durante los siglos XVI hasta el XVIII el astrolabio 
fue utilizado como el principal instrumento de 
navegación hasta la invención del sextante.
Los astrolabios eran usados para saber la hora y 
podían usarse también para determinar la latitud a 
partir de la posición de las estrellas. Los marineros 
musulmanes a menudo los usaban también para 
calcular el horario de oración y encontrar la dirección 
hacia la Meca.
El astrolabio se basa en la proyección 
estereográfica de la esfera. En su forma original 
requería una placa de coordenadas de horizonte 
distinta para cada latitud, pero en el siglo XI el 
astrónomo al-Zarqallu, en al-Andalus, inventó una 
placa cónica que servía para todas las latitudes. La 
obra maestra de la técnica de fabricación de 
astrolabios fue la del sirio ibn al-Shatir, una 
herramienta matemática que podía ser usada para 
resolver todos los problemas comunes de astronomía 
esférica de cinco formas diferentes.
herramienta matemática que podía ser usada para 
resolver todos los problemas comunes de astronomía 
esférica de cinco formas diferentes.
La parte delantera de la madre sirve para saber en 
qué parte del mundo se está y que hora es. Una pieza 
gira encima de la placa madre, que se llama araña o 
red, y sirve para saber en que posición del cielo está
el Sol. Esta pieza representa al firmamento visible de 
todo el mundo. Una aguja representa, por un extremo, 
al Sol, y por el otro, la hora que es.
Sextante
13
El sextante es un instrumento que permite medir 
ángulos entre dos objetos tales como dos puntos de una 
costa o un astro -tradicionalmente, el Sol-
y el horizonte. Conociendo la elevación del Sol y la hora 
del día se puede determinar la latitud a la que se 
encuentra el observador. Esta determinación se 
efectúa con bastante precisión mediante cálculos 
matemáticos sencillos de aplicar.
Este instrumento, que reemplaza al astrolabio por tener 
mayor precisión, ha sido durante varios siglos de gran 
importancia en la navegación marítima, incluso en la 
navegación aérea también, hasta que en los últimos 
decenios del siglo XX se impusieron sistemas más 
modernos, sobre todo, la determinación de la posición 
mediante satélites. El nombre sextante proviene de la 
escala del instrumento, que abarca un ángulo de 60 
grados, o sea, un sexto de un círculo completo.
Forma de operar el sextante. Para determinar el 
ángulo entre dos puntos, por ejemplo, entre el horizonte 
y un astro, primero es necesario asegurarse de utilizar 
los diferentes filtros si el astro que se va a observar es el 
Sol (muy importante por las graves secuelas oculares 
que puede generar). Además, es necesario proveerse 
de un cronómetro muy precisoy bien ajustado al 
segundo, para poder determinar la hora exacta de la 
observación y, de ese modo, anotarla para los 
inmediatos cálculos que se van a realizar.
Para llevar a cabo estas mediciones, el sextante 
dispone de:
Un espejo móvil, con una aguja (alidada) que 
señala en la escala (limbo) el ángulo medido. 
Un espejo fijo, que en media parte permite 
ver a través de él. 
Una mira telescópica. 
Filtros de protección ocular. 
Uso del sextante:
En la medición de la altura de un astro se 
coloca el sextante perpendicularmente y se orienta el instrumento 
hacia la línea del horizonte. Acto seguido se busca el astro a través 
de la mira telescópica, desplazando el espejo móvil hasta 
encontrarlo. Una vez localizado, se hace coincidir con el reflejo del 
horizonte que se visualiza directamente en la media parte del 
espejo fijo. De ese modo se verá una imagen partida, en un lado el 
horizonte y en el otro el astro.
A continuación se hace oscilar levemente el sextante (con un 
giro de de muñeca) para tangentear la imagen del sol con la del 
horizonte y de ese modo determinar el ajuste preciso de ambos. Lo 
que marque el limbo será el ángulo que determina la Altura 
Instrumental u Observada de un astro a la hora exacta medida al 
segundo. Tras las correcciones pertinentes se determina la altura 
verdadera de dicho astro, dato que servirá para el proceso de 
averiguar la situación observada astronómicamente.
Coordenadas celestes
Si queremos fijar la posición de un astro en la esfera 
celeste debemos utilizar algún sistema de coordenadas. 
Nosotros utilizaremos algunos de ellos.
Características:
- El punto origen de estos sistemas 
es el centro de la esfera celeste.
- Cada sistema tiene un plano 
fundamental y un radio vector.
14
- Mediremos a partir de un dirección 
fija del plano fundamental de 0º a 
360º. La otra coordenada se mide a 
uno y a otro lado del plano 
fundamental de 0º a 90º.
Coordenadas Horizontales
En el primer sistema que estudiaremos, las 
coordenadas se llamarán azimut y altura. El plano 
fundamental es el HORIZONTE y el radio vector es la 
MERIDIANA (dirección Norte-Sur).
N
´
O
E
En la figura NOSE representa el plano del horizonte.
NZS representa el plano meridiano y NS que es la 
intersección entre el plano meridiano y el horizonte es la 
meridiana.
El punto Z es el cenit del lugar y Z´ el nadir.
La estrella representa el astro, el ángulo sobre el 
paralelo entre el plano meridiano del lugar y el plano 
meridiano del astro (Z-estrella) es el Azimut. En 
astronomía los azimutes se miden a partir del sur hacia 
el oeste, de 0º a 360º.
15
La otra coordenada en este sistema es el ángulo 
entre el plano del horizonte y la estrella sobre el 
meridiano del astro. Esta coordenada se llama Altura. 
Se mide de 0º a 90º. El complemento de la altura se 
llama distancia cenital del astro.
Este sistema se adapta a la determinación de las 
coordenadas del astro por medio del teodolito y otros 
instrumentos. Estas coordenadas debido al movimiento 
diurno irán variando de forma continua y nos hará falta 
la “hora”.
La latitud del lugar será la altura del polo, 
aproximadamente, la altura de la estrella polar.
Coordenadas Ecuatoriales Horarias
En este segundo sistema a estudiar las coordenadas se 
llamarán Ángulo Horario y Declinación. El plano 
fundamental será el Ecuador y el radio vector la 
Meridiana.
δ
16
Como se puede observar en la figura, el ángulo formado 
por el plano meridiano superior (contiene al cenit), 
contiene a la dirección norte-sur y el círculo horario de la 
estrella es el Ángulo Horario, H (en la segunda figura 
viene representado por t). En atención al movimiento 
aparente de la esfera celeste, la estrella y su círculo 
horario girará, alrededor de la línea de los polos, eje del 
mundo, efectuando un giro completo en 24 horas, 
pudiéndose expresar los ángulos horarios en unidades 
de tiempo:
360º = 24 h; 15º = 1 hora; 15’ = 1 minuto; 15´´ = 1 
segundo.
El ángulo horario se mide en sentido retrógrado de 0º a 
360º (0h a 24h) desde el punto Sur. 
La segunda coordenada es la declinación,δ. Es el 
arco de meridiano desde el ecuador a la estrella. Se 
mide de 0º a 90º en ambos sentidos. La declinación será
positiva si el astro está en el hemisferio boreal y será
negativa si se encuentra en el hemisferio austral. Esta 
coordenada es fija para una estrella dada.
El inconveniente de este sistema es que se necesita 
para fijar las coordenadas un instrumento especial. Éste 
se llama Ecuatorial y su eje es paralelo al eje polar.
Coordenadas Ecuatoriales absolutas
Las coordenadas que usaremos serán: Ascensión 
recta y Declinación. El plano fundamental es el 
ecuador y el radio vector es la línea de equinoccios. El 
punto fundamental es el punto Aries, γ (gamma), y el 
sentido de medición es el directo, el sentido contrario a 
las agujas de reloj.
ή
o
6
9
17
La ascensión recta, α, es el ángulo o arco formado 
sobre el Ecuador desde el punto vernal o punto Aries, γ,
(equinoccio de primavera), hasta el meridiano que 
contiene a la estrella. Se mide en sentido directo (hacia 
el este) de 0º a 360º o de 0h a 24h.
La declinación ya la conocemos.
En este sistema las coordenadas son fijas y es el que se 
utiliza de forma generalizada.
Puntos Aries y Libra
La eclíptica es el plano donde se mueve la Tierra 
alrededor del Sol en su movimiento de traslación. Este 
plano corta al ecuador en dos puntos: el punto Aries y el 
punto Libra, comienzo de la primavera y comienzo del 
otoño, respectivamente. La eclíptica y el ecuador forma 
un ángulo de 23º 27´ aproximadamente. Este ángulo no 
es fijo y se designa por la letra ε.
El Sol alcanza su máxima declinación cuando está
en 69, llamado Trópico de Cáncer y corresponde al 21 de 
junio y alcanza su valor mínimo cuando alcanza el punto 
ήo, llamado Trópico de Capricornio y corresponde al 21 
de diciembre (más o menos). El máximo valor para la 
declinación del Sol es la oblicuidad de la eclíptica, ε.
La declinación del Sol varía entre los valores - ε < δ < 0 
< δ < ε. El primer tramo hasta cero corresponde a otoño 
e invierno y el otro a primavera y verano.
18
La ascensión recta de una estrella, α, es constante 
al igual que la declinación,δ, pero como la Tierra está
girando H varía constantemente. El valor α+H es lo que 
llamaremos hora sidérea y la representaremos por θ. La 
hora sidérea de un lugar es igual al ángulo horario más 
la ascensión recta del astro. También se puede definir 
como el ángulo horario de punto Aries. 
La igualdad θ=α+H es la relación
fundamental en Astronomía de Posición.
Cada vez que al girar la Tierra el meridiano
de un lugar pasa por el punto Aries, decimos que en ese
lugar empieza un día sidéreo, es decir, son las 0 horas
de tiempo sidéreo.
Con la relación fundamental θ=α+H podemos pasar
de coordenadas ecuatoriales absolutas a horarias y 
viceversa, para lo que se necesita conocer la hora
sidérea en el momento de la observación.
También podemos pasar de coordenadas horizontales a 
ecuatoriales absolutas, haciéndolo a través de las
horarias resolviendo el triángulo de posición de vértices
el Polo Norte, el cenit y el centro del astro.
Coordenadas Eclípticas
La órbita sobre la que se mueve la Tierra o el Sol, 
según se mire, es una curva que se encuentra sobre un 
plano: la eclíptica. Realmente esa órbita no es 
totalmente plana y eso es debido a la atracción de los 
demás planetas, en particular a Júpiter y Saturno.
La eclíptica corta a la esfera celeste en una 
circunferencia máxima que pasa por los puntos Aries y 
Libra, línea de equinoccios, formando con el ecuador un 
ángulo de 23º 27’ = ε, aproximadamente.
19
El eje de la eclíptica, perpendicular al plano por el 
centro de la Tierra ( o el Sol), dependiendo de que 
consideremos el sistema geocéntrico o heliocéntrico, 
corta a la esfera celeste en dos puntos π y π´, son los 
polos de la eclíptica.
π es el polo norte de la eclíptica.
π´es el polo sur de la eclíptica.
Las coordenadasen este sistema son la longitud 
celeste, λ, y la latitud celeste, β.
La longitud celeste, λ, de un astro es el arco de la 
eclíptica contando desde el punto vernal, γ, hasta el 
máximo de longitud ( meridiano que pasa por los polos 
de la eclíptica y por el centro del astro: λ = γE1).
La latitud celeste, β, es el arco máximo contado 
desde la eclíptica hasta el centro del astro: β = E1E.
La longitud se mide de 0º a 360º y la latitud entre 0º
y ± 90º, dependiendo del hemisferio en que se 
encuentre.
Coordenadas eclípticas y ecuatoriales absolutas
20
Relación con las ecuatoriales
Las coordenadas ecuatoriales absolutas : α,δ.
Las coordenadas eclípticas : λ, β.
πP = 23º 27’= ε.
PE = 90º - δ.
πE = 90º - β.
^P = 90º + α
^π = 90º - λ.
Como ε es conocido, podemos determinar unas 
coordenadas en función de las otras.
Transformación de coordenadas 
horizontales en horarias
Nuestro cometido actual es conocer las 
coordenadas ecuatoriales horarias en un momento 
determinado, dadas las coordenadas horizontales y la 
latitud del lugar.
Coordenadas Horizontales: 
A = azimut
h = altura
φ = latitud geográfica
Coordenadas horarias:
H = Ángulo horario
δ = Declinación
Para resolver el problema consideraremos el 
triángulo esférico PZE y calcularemos lo necesario.
21
Datos: A y h , azimut y altura 
del astro E.
^P = H
^Z = 180-A
c = 90-φ
b = 90-h
a = 90-δ
Incógnitas: H y δ, ángulo 
horario y declinación.
Problema 1
El observatorio Astronómico de Cartuja tiene de 
latitud φ = 37º 11´13´´ N. Desde allí se observa una 
estrella con coordenadas horizontales A = 80º 25´34´´ y 
h = 61º 46´9´´. ¿Cuáles serán en el instante de la 
observación sus coordenadas ecuatoriales horarias.
Solución: Resolvemos el triángulo PZE.
φ = 37º 11´ 13´´ c = 90º - φ = 52º 48´ 47,2´´
A = 80º 25´ 34´´ a = 90º - δ
h = 61º 46´ 9´´ b = 90º - h = 28º 13´ 50,9´´
^Z = 180º - A = 99º 34´ 26´´
Utilizando las fórmulas adecuadas obtenemos :
H = 31º 53´ 48,5´´
δ = 28º 1´ ´27´´
Problema 2
Desde el Observatorio de Oslo de latitud 60º
12´42´´,5 N se ha observado la estrella γDraconis. Las 
coordenadas ecuatoriales horarias de las estrella son 
H = 11h 10m 38s y δ = 51º 29´23´´,64.
Calcula las coordenadas horizontales.
22
Datos:
H =11h 10m 38s
δ = 51º 29´ 24´´
Resolviendo obtenemos:
A = 171º 44´ 20.2´´
h = 22º 8´ 34.5´´
Transformación de coordenadas ecuatoriales 
absolutas en horarias y viceversa
Para resolver este tipo de transformaciones 
usaremos la relación fundamental θ=α+H.
θ = hora sidérea del lugar
α = ascensión recta
H = ángulo horario
δ = declinación, que es la misma para ambos sistemas.
Podemos pasar de horizontales a ecuaciones 
absolutas, pasando por las horarias, utilizando la 
relación fundamental y resolviendo el triángulo PZE.
23
Los elementos del triángulo PZE los conocemos:
PZ = 90 – φ = colatitud
PE = 90 – δ = distancia polar
ZE = 90 – h = distancia cenital
^Z = 180 – A ( A es el azimut)
^P = H (ángulo horario)
Transformación de coordenadas eclípticas en 
coordenadas ecuatoriales absolutas
α, δ son las coordenadas ecuatoriales absolutas de 
la estrella, E.
λ, β son las coordenadas eclípticas.
Resolvemos el triángulo esférico PπE
24
Elementos del triángulo:
πP = ε = 23º 27´
PE = 90 – δ = distancia polar
πE = 90 – β
^P = 90+α
^π = 90 – λ
Problemas
1.- Halla la longitud de un grado del paralelo 
que corresponde a Granada, 3º 35´O,37º 11´N.
Situación: 
Solución: 
En primer lugar calcularemos el radio, R , del 
paralelo correspondiente a Granada. Una vez calculado 
se halla fácilmente la longitud de un grado de paralelo 
granadino:
Calculamos el radio, fijémonos en la segunda figura:
Luego 
G
2 2360 , .
1 360
G GR RL
L
π π
= =
90 37º11́13́ ´ 52º 48́ 47´́ .
.TR radio ecuatorial o radio de la Tierra
α = − =
=
/ ; .G T G Tsen R R R R senα α= = ⋅
6371 0.796667662 5075,57 ; 88.585 .GR km km L km= ⋅ = =
2.- Un avión se dirige de Madrid a Nueva York
con una velocidad de 990 km / h. Halla las 
coordenadas geográficas del punto donde se 
encuentra el avión al cabo de 3 horas de vuelo 
(como es natural suponemos que la trayectoria 
es un arco de circunferencia máxima).
Coordenadas geográficas de Madrid: 40º 24´N, 3º 40´O
Coordenadas geográficas de N.York: 40º 34´N, 76º 21´O
Utiliza como radio de la esfera sobre la que se mueve el 
avión una longitud de 6371 km. 
25
Situación: 
Datos:
M representa a Madrid.
P representa al Polo Norte.
N representa a Nueva York.
n = 90 – 40º 24´ = 49º 36´.
m = 90 – 40º 34´= 49º 26´.
C = Lugar donde se encuentra el avión 
a las tres horas de vuelo.
p = es el arco de circunferencia 
máxima que une a Madrid con 
Nueva York.
3.- Calcula la superficie del triángulo esférico de 
ángulos: 
 = 137º
^B = 61º
^C= 57º .
El radio de la esfera mide 5 metros.
26
( )
2
2´ 180 32,725 .
180
ra rea A B C mπ= + + − =
4.- Demuestra que si dos ángulos de un triángulo 
esférico son rectos, los lados opuestos a estos 
ángulos son cuadrantes y el tercer ángulo está
medido por el lado opuesto. Si los tres ángulos de 
un triángulo esférico son rectos, demuestra que la 
superficie esférica del triángulo es un octante de la 
esfera. 
Como los ángulos A y B son rectos, entonces :
La segunda parte se deduce de lo anterior.
}
2 3
3 1
1 3 3 3
3 2
1 2
90
90
90
90
( , ) .
A
r r b
B r
r r a
C r r c
= ⇒Π ⊥Π
⊥ ⇒ =⎧
= ⇒Π ⊥Π ⇒ ⊥Π ⇒ ⎨ ⊥ ⇒ =⎩
= =
5.- Con un teodolito se ha observado una 
estrella obteniéndose un acimut A = 357º
29´29´´,31 y una distancia cenital z = 14º
20´55´´,75. Calcular las coordenadas 
ecuatoriales absolutas de la estrella si el lugar 
de observación fue La Coruña, de latitud 43º
22´12´´ y se observó a las 0h 5 m de tiempo 
sidéreo local.
27
Datos: A = 357º 29´29´´,31
z = 14º 20´55´´,75
φ (latitud) = 43º 22´12´´
h (altura) = 90 – z = 75º39´4´´,25.
Calculamos δ.
δ = 29º 1´56´´,58.
Coordenadas ecuatoriales horarias:
Pasamos a las absolutas: θ=α+H, α = 1º57´39´´.
Coordenadas ecuatoriales absolutas: α = 1º57´39´´
δ = 29º 1´56´´,58.
La estrella que se observaba era α-Andrómeda, Sirach o
Alferatz. 
359º17´21́ ´
29º1́56́ ,́58
H
δ
=⎧
⎨ =⎩
6.- Sabiendo que la latitud de Madrid es φ = 
40º 24´30´´ N hallar el acimut y la distancia 
cenital de la estrella Procyón (α= 7h 38m 4,86s, 
δ = 5º 17´ 5´´, 5 ) en el instante en el que el 
punto Aries está en dirección oeste. 
28
Solución: 
Coordenadas ecuatoriales absolutas de 
Procyón: α = 114º 31´13´´
δ = 5º 17´5´´,5.
Como el punto vernal, γ, está en dirección 
oeste la hora sideral local sería 6 h, equivalente a 90º. 
Luego el ángulo horario de Proción, H, sería 90 – α = 
335º 28´47´´. No se puede olvidar que el ángulo horario 
se pide desde el punto sur en el sentido de las agujas 
del reloj. 
Coordenadas ecuatoriales horarias:
H = 335º 28´47´´, δ = 5º 17´5´´,5.
Ahora calculamos las coordenadas horizontales 
de la estrella utilizando las fórmulas adecuadas.
Las coordenadas horizontales son:
A = 321º 44´42´´
h = 52º 16´ 25´´.
Can Menor (Proción) 7.- ¿A qué hora (aproximadamente) sale 
una estrella que hace un mes salió a las 10 de 
la noche?
Nota: A causa del movimiento de traslación de la Tierra, cada 
estrella sale 3 m 56s antes que el día anterior siempre que se 
cuente el tiempo corriente (solar).
29
Solución:
Como cada estrella sale por el este 3 
minutos y 56 segundos antes que el día anterior. Hemos 
de multiplicar ese tiempo por 30 y ese resultado es el lo 
que se adelanta en un mes.
3m 36s ·30 = 1h 58m.
La estrella saldrá a las 8 horas y 2 minutos de la 
tarde-noche.
Si el mes es de 31 días entonces saldrá a las 7 
horas 58 minutos y 4 segundos.
8.- ¿Dónde está en el cielo Sirio (α = 6 h 
41m, δ = -16º 39´) el 21 de marzo una hora 
después de la puesta del Sol? ¿El 23 de 
septiembre una hora después de la salida del 
Sol (para latitudes medias del hemisferio 
septentrional.)?
9.- La distancia polar de una estrella es de 
20º 15´,¿cuál es su distancia cenital en su 
culminación inferior en un lugar de latitud φ = 
59º 13´?
30
Solución:En la culminación superior de un astro 
su ángulo horario es igual a cero horas y la ascensión 
recta es igual al tiempo sidéreo: θ = α + H = α.
En la culminación inferior el ángulo horario es igual 
a 12 horas o 180º.
Por tanto, las coordenadas horarias en la 
culminación inferior son : δ = 90º - 20º 15´= 69º 45´, y 
H = 180º. Usamos las fórmulas de transformación de 
coordenadas horarias en horizontales: 
Haciendo los cálculos necesarios obtenemos:
h = 38º 53´,
Y la distancia cenital, z, será igual a 90º - 38º 53´ =
51º 7´..
10.- Cerca del año 1100 antes de Cristo los 
astrónomos chinos establecieron que el día del 
solsticio de verano la altura del Sol a mediodía 
era de 79º 7´, mientras que el día del solsticio 
de invierno era de 31º 19´( al sur del cenit).
¿A qué latitud se hizo la observación? ¿Cuál 
era la inclinación de la eclíptica con respecto al 
ecuador? 
31
Solución:
Como podemos observar en la figura 
anterior, M representa el Sol en el solsticio de verano y 
se verifica la relación: 
h +φ-δ= 90; φ-δ = 90 – h;
(1) φ – δ = 10º 53´.
La altura del Sol, h´, en el solsticio de invierno es de 31º
19´ y estará debajo del la línea del ecuador, 
verificándose la relación: 
φ +δ+h´= 90º ; φ +δ = 90º - h´;
(2) φ +δ = 50º 41´. 
Resolviendo el sistema (1),(2), resulta que φ = 34º 47´.
La declinación, δ, es la inclinación de la eclíptica:
ε = φ – 10º 53´ = 23º 54´.
Problema 11
Un barco parte del punto A del paralelo de latitud 
48º 35´ N con velocidad de 20 nudos. Al mismo tiempo 
parte otro barco de la misma longitud que A, pero sobre 
el paralelo 36º 52´ N y velocidad 18 nudos. Ambos 
barcos siguen su paralelo en dirección oeste. Encontrar 
la distancia, en millas, que los separa al cabo de 56 
horas de marcha.
Nota: El arco de un minuto, de longitud 1852 metros, se 
llama milla marina. La velocidad de una milla por hora se 
llama nudo.
Situación:
Bibliografía
* ASIMOV, Isaac : El Universo. Alianza Editorial.
Madrid, 2004.
* AZARQUIEL, Grupo: Astronomía en la Escuela.
Madrid, 1986.
* FUENTES YAGÜE, J.L. : Nociones de Astronomía. 
Ministerio de Agricultura, Pesca y Alimentación, 
Madrid 1987.
* Martín Asín, F. : Astronomía. Editor F. Martín Asín, 
Distribuido por Paraninfo, Madrid 1982.
* OMISTE CHACÓN, Juan: Apuntes de Matemáticas 
Curso Preuniversitario, Motril 1970.
32
* Unidad Docente de Matemáticas (2003): 
Apuntes de Trigonometría Esférica.
Escuela Técnica Superior de Ingenieros en 
Topografía, Geodesia y Cartografía de la 
Universidad Politécnica de Madrid.
* VORONTSOV-VELIAMÍNOV, B.A. : Problemas 
y ejercicios prácticos de Astronomía.
Editorial Mir, Moscú 1985.
* WEBB, E. J. : Los nombres de las estrellas.
Fondo de Cultura Económica. Mexico, 1957.
Algunas direcciones en internet
http://sohowww.nascom.nasa.gov/
http://www.astrored.org/
http://www.xtec.es/recursos/astronom/indexs.htm
http://www.mallorcaweb.net/masm/conloc.htm
http://www.eso.cl/acerca.php
http://www.latinquasar.com/
http://www.astromia.com/index.htm
http://www.astrosurf.com/
http://160114.99.9/astrojan
Google Sky
Unos programas
• Cosmos (programa antiguo pero muy bueno para ver el 
cielo en un momento determinado y el movimiento de 
los planetas).
• Starry Night Bundle 2.1 (presentación del cielo).
• Sky Map Pro11 (se encuentra en la última dirección 
dada).
• Esféricas (programa de ordenador para resolver 
triángulos ya sean planos o esféricos). Unidad Docente 
de Matemáticas (2003) en la Bibliografía.
• Stellarium (Otro programa de ordenador bueno y bonito 
para aprender constelaciones e informarse de la 
posición de planetas y algunos asteroides en un 
momento determinado).