mm0802061006

Vista previa del material en texto

MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría
Selectividad CCNN Cataluña
1. [2014] [EXT] Sean r y s las rectas de 3 que tienen las siguientes ecuaciones: r: x+5 = y-5 = z-3
2
 y s: x-3
2
 = y-2
3
 = z+1
-1
.
a) Estudie el paralelismo y la perpendicularidad entre las rectas r y s.
b) Halle la ecuación general (es decir, de la forma Ax+By+Cz = D) del plano  que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s.
Calcule la distancia entre la recta s y el plano  obtenido.
2. [2014] [JUN] Considere el punto A(1,2,3).
a) Calcule el punto simétrico del punto A respecto de la recta de ecuación r: (x,y,z) = (3+,1,3-).
b) Calcule el punto simétrico del punto A respecto del plano que tiene de ecuación : x+y+z = 3.
3. [2014] [JUN] Sean r y s las rectas de 3 de ecuaciones r: x-2
3
 = y = z+1
4
 y s: (x,y,z) = (1+2,3-,4+3), con .
a) Compruebe que los puntos medios de los segmentos que tienen un extremo situado sobre la recta r y el otro extremo situado
sobre la recta s forman un plano.
b) Halle la ecuación general (es decir, que tiene la forma Ax+By+Cz = D) del plano del apartado anterior.
4. [2013] [EXT] Dados el plano : x+2y-z = 3 y la recta r: x-1
2
 = y = z+m
4
,
a) Compruebe que el vector característico (o normal) de  y el vector director de r son perpendiculares.
b) Estudie la posición relativa de  y r en función del parámetro m.
5. [2013] [EXT] Dados el plano : 2x-y+3z-8 = 0 y el punto P=(6,-3,7),
a) Encuentre la ecuación continua de la recta que pasa por P y es perpendicular a .
b) Encuentre el punto del plano  que está más cerca del punto P.
6. [2013] [JUN] Dados los puntos P=(1,0,-1) y Q=(-1,2,3), encuentre un punto R de la recta r: x+3
2
 = y+4
3
 = z-3
-1
 que cumpla que el
triángulo de vértices P, Q y R es isósceles, siendo PR y QR los lados iguales del triángulo.
7. [2012] [EXT] Considere las siguientes rectas del espacio: r: x+1
2
 = y-1 = z-1
-1
 , s: x-4
3
 = y-1
-1
 = z-2
2
.
a) Compruebe que son secantes.
b) Calcule la ecuación continua de la recta que las corta y es perpendicular a las dos.
8. [2012] [JUN] Diga para qué valor del parámetro m los planos 1: x-y+mz = 1, 2: x-y+z = m y 3: my+2z = 3 tienen como
intersección una recta.
9. [2012] [JUN] Dados el plano : x–y+2z–5 = 0 y la recta r: x+y+z = 0
2x-y+z = 10
,
a) Calcule el punto de intersección entre el plano y la recta.
b) Calcule la ecuación continua de la recta s que está contenida en el plano , es perpendicular a la recta r y corta la recta r.
10. [2012] [JUN] Dados los puntos P = (1,0,0), Q = (0,2,0), R = (0,0,3) y S = (1,2,3):
a) Calcule la ecuación cartesiana (es decir, de la forma Ax +By +Cz +D=0) del plano que contiene los puntos P, Q y R.
b) Compruebe si los cuatro puntos son coplanarios (es decir, si los cuatro están contenidos en un mismo plano).
11. [2011] [EXT] Dada la recta 2x-y+3z = 2
x+z+1 = 0
, encuentre la ecuación general (es decir, de la forma Ax+By+Cz+D = 0) del plano
perpendicular a la recta que pasa por le punto P=(1,0,-1).
Página 1 de 5 17 de julio de 2015
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría
Selectividad CCNN Cataluña
12. [2011] [EXT] Considere la recta r: x-1
3
 = y+2
-1
 = z-a y el plano : 2x+y-5z = 5.
a) Estudie la posición relativa de la recta r y el plano  según los valores del parámetro a.
b) Cuando a = 3, calcula la distancia de la recta r al plano .
13. [2011] [JUN] Dada la recta r: 2x-y+3z = 2
x+z+1 = 0
:
a) Encuentre un vector director de la recta r.
b) Calcule la ecuación continua de la recta paralela a r que pasa por el punto P=(1,0,-1).
14. [2011] [JUN] Sea r1: x-2 = 
y-3
2
 = 1-z
2
 y r2: 
x+3
2
 = y+1 = z+1
2
.
a) Compruebe que r1 y r2 son perpendiculares.
b) Comprueben que se cortan mediante la determinación del punto de corte.
15. [2010] [EXT] Dados el plano : 5x+y+3z = 4 y la recta r: ax-y = 2
2y+z = -3
, estudie su posición relativa en función del parámetro a.
16. [2010] [EXT] Considere la recta r: x+4
-2
 = y-1
-1
 = z-1.
a) Encuentre los dos puntos, A y B, de la recta r que están situados a una distancia d = 6 del punto P = (–1, 1, 2).
b) Encuentre el área del triángulo de vértices A, B y P.
17. [2010] [JUN] Encuentre la ecuación general (es decir, de la forma Ax+By+Cz+D = 0) del plano
que contiene la recta r1: 
x-1
2
 = y = 2-z y es paralelo a la recta r2: 
x-y-z = 0
x-2y+z = 0
.
18. [2010] [JUN] Dadas las rectas r1: 
x+5
3
 = y-1
2
 = z-2
-4
 y r2: 
2x+y+2z+5 = 0
2x-y+z+11 = 0
:
a) Compruebe que son paralelas.
b) Encuentre la ecuación general (es decir, de la forma Ax+By+Cz+D = 0) del plano que las contiene.
19. [2009] [EXT] Considere en el espacio 3 las rectas r y s, las ecuaciones respectivcas de las cuales son:
r: (x,y,z) = (4,1,0)+(m,1,1) ; s: x+2y+mz = 0
x+y+z = 1
en que m es un parámetro real. Estudie si existe algún valor de ese parámetro para el cual las rectas sean perependiculares y se
corten.
20. [2009] [JUN] Siendo r y s dos rectas del espacio, las ecuaciones respectivas de las cuales, que dependen de un parámetro real b,
son las siguientes:
r: bx+y+3z = 1
x+2y+5z = 1
 ; s: x
1
 = y-b
b+1
 = z+1
-1
a) Encuentra el punto de corte de la recta r con el plano de ecuación x = 0 y el punto de corte de la recta s con ese mismo plano.
b) Calcula un vector director de cada una de las dos rectas.
c) Estudia la posición relativa de las dos rectas en función del parámetro b.
21. [2009] [JUN] Dado el punto P=(1,2,3) y la recta r: x-1
2
 = y+2
3
 = z-5
-1
:
a) Encuentra la ecuación cartesiana (es decir, de la forma Ax+By+Cz+D = 0) del plano  que pasa por P y es perpendicular a la
recta r.
b) Encuentra el punto de corte entre la recta r y el plano .
Página 2 de 5 17 de julio de 2015
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría
Selectividad CCNN Cataluña
22. [2008] [EXT] Las rectas r1: 
x-a
2
 = y
1
 = z+1
4
 y r2: 
x+2
1
 = y-b
2
 = z-4
-1
 son coplanarias (es decir, están contenidas en el mismo plano).
a) Explique, razonadamente, cuál es la posición relativa de estas rectas.
b) Encuentre la relación que debe existir entre los parámetros a y b.
c) Encuentre los valores de a y b si el plano que las contiene pasa por P=(2,4,6).
23. [2008] [EXT] Dados el punto P=(7,5,1) , el plano : x-2y-3z = 10 y la recta r: 3x-2y+2z = 7
x-6y-2z = 5
:
a) Encuentre la distancia del punto P al plano .
b) Encuentre la distancia del punto P a la recta r.
c) Encuentre la distancia de la recta r al plano .
24. [2008] [JUN] Dadas las rectas r: x-2
1
 = y+1
2
 = z
-1
 y s: x-1
1
 = y+7
2
 = z+5
3
 y el punto P= 1,1,-1 , queremos encontrar la ecuación de la
recta que pasa por P y corta a r y s. Para conseguirlo:
a) Encuentre la ecuación general o cartesiana (es decir, la ecuación de la forma Ax+By+Cz+D = 0) del plano  que contiene a la
recta r y el punto P.
b) Encuentre el punto M calculando el punto de intersección del plano  con la recta s.
c) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los punto P y M.
d) Compruebe que la recta encontrada en el apartado anterior es la que buscamos.
25. [2008] [JUN] Encuentre la ecuación de la recta perpendicular al plano : 2x-y+z+3 = 0 que pasa por el punto -1,3,a del plano.
26. [2007] [EXT] Una recta r es paralela a la recta s: x-1 = y-1 = z-1, corta en un punto A a la recta t: x-1
3
 = y
2
 = z+1, y en un punto B a
la recta l: x-2
2
 = y-1
2
 = z
3
.
a) Halle la ecuación del plano determinado por las rectas r y t.
b) Encuentre el punto B calculando el punto de intersección del plano anterior con la recta l.
c) Encuentre la ecuación de la recta r.
d) Encuentre el punto A.
27. [2007] [EXT] Encuentre las ecuaciones de los planos paralelos a : 2x-y+2z = 3 situados a 6 unidades de distancia del mismo.
28. [2007] [JUN] En el espacio se consideran los tres planos de ecuaciones 1: x+2y+z = 1, 2: x+y+pz = 1 y 3: px+y+2z = 1, donde p es
un parámetro real.
a) Averigue para qué valores de p los tres planos se cortan en un único punto. Halle ese punto cuando p = 1.
b) ¿Hayalgún valor de p que hace que la intersección común sea una recta? Si es así, escriba la ecuación vectoria de esa recta.
c) Encuentre cuál es la posición relativa de los tres planos cuando p = 1
2
.
29. [2007] [JUN] Encuentre la ecuación del plano perpendicular a la recta r: x+y+z = 1
2x+y = 3
 que pasa por el origen de coordenadas.
30. [2007] [JUN] Halle los puntos de la recta r: x-1 = y+2 = z que equidistan de los planos 1: 4x-3z+1 = 0 y 2: 3x+4y-1 = 0.
31. [2006] [EXT] Calcule la ecuación de la recta paralela a la recta r: x+y-z = 0
2x-y+z = 1
 que pasa por el punto 0,1,0 .
32. [2006] [EXT] Determine los extremos de un segmento AB sabiendo que el punto A pertenece al plano 2x+y+z = 0, el punto B
Página 3 de 5 17 de julio de 2015
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría
Selectividad CCNN Cataluña
pertenece a la recta x-1
2
 = y-2
-1
 = z
3
 y el punto medio del segmento es 0,0,0 .
33. [2006] [JUN] Una recta r pasa por el punto A(3,0,2) y tiene la dirección del vector -1,1,4 .
a) Encuentre el ángulo que forma r con el plano horizontal.
b) Compruebe que no pasa por le punto B=(1,3,10).
c) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por A y B.
34. [2006] [JUN] Encuentre las coordenadas de los puntos situados sobre la recta de ecuación (x,y,z) = (-1,1,1)+t(1,2,1) que están a
distancia 1 del plano 2x+2y+z = 5.
35. [2005] [EXT] Halle la distancia de la recta r: x-3
2
 = y-1
-3
 = z+2
3
 y el plano : 2x-3y+3z+5 = 0.
36. [2005] [EXT] Dados los puntos A=(1,0,0) y B=(0,0,1):
a) Halle un punto C sobre la recta de ecuación paramétrica 
x = 1
y = 1+
z = 1+
 de manera que el triángulo ABC sea rectángulo en C.
b) Halle el área del triángulo ABC.
37. [2005] [JUN] Una pirámide de base cuadrada tiene el vértice en el plano de ecuación z = 3.Tres de los vértices de la base son los
puntos del plano OXY: A= 1,0,0 , B= 1,1,0 y C= 0,1,0 .
a) Haga un gráfico de los elementos del problema. ¿Cuáles son las coordenadas del cuarto vértice de la base, D?
b) ¿Cuál es el volumen de la pirámide? Volumnen = área base x altura
3
.
c) Si el vértice de la pirámide es el punto V=(a,b,3), ¿cuál es la ecuación de la recta que contiene la altura sobre la base?
38. [2004] [EXT] Considere las rectas r: x-2
-2
 = y+1
1
 = z
2
 y s: 
x = 1+3t
y = -1-4t
z = 5 + t
a) Estudie su posición relativa.
b) Halle la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r.
c) Calcule la distancia entre r y s.
39. [2004] [JUN] Dado el sistema 
 y+ z= 2
-2x+y+ z= -1
(2-2m)x +(2m-2)z=m-1
 donde m es un parámetro:
a) Discuta el sistema según los valores de m.
b) Resuelva los casos compatibles.
c) En cada una de los casos de la discusión del apartado a), dé una interpretación geométrica del sistema.
40. [2004] [JUN] Tenemos cuatro puntos en el espacio: A(0,0,0), B(0,0,2), C(0,2,0) y D(2,0,0). Se pide:
a) Represente gráficamente los cuatro puntos.
b) Calcule el volumen del tetraedro (pirámide de base triangular) ABCD.
c) Halle la ecuación del plano que pasa por B, C y D.
d) Calcule la distancia del origen al plano del apartado anterior.
41. [2004] [JUN] Consideremos los puntos del espacio A(1,1,0), B(0,1,2) y C(-1,2,1). Nos dicen que estos tres puntos forman parte del
conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Se pide:
a) ¿Están estos puntos alineados?
b) ¿Podemos averigual el rango de la matriz del sistema de ecuaciones?
Razone adecuadamente las respuesta.
Página 4 de 5 17 de julio de 2015
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría
Selectividad CCNN Cataluña
42. [2003] [EXT] Un segmento de extremos A = (5,3,1) y B = (4,2,-1) se divide en tres partes iguales mediante dos planos
perpendiculares a este segmento. Calcule las ecuaciones de los dos planos y la distancia entre ellos
43. [2003] [EXT] Calcule el área del triángulo ABC representado en el siguiente esquema: 
44. [2003] [EXT] Considere los puntos del espacio A = (0,-2a-1,4a-2), B = (1,-3,4), C = (3,-5,3).
a) Compruebe que el triángulo de vértices A, B y C es rectángulo en B para cualquier valor de a.
b) Calcule los valores de a que hacen que este triángulo sea isóceles.
45. [2003] [JUN] De un triángulo sabemos que la suma de las longitudes de dos lados a y b es de 11 m, que el ángulo C opuesto al
tercer lado vale 30º y que el área es de 7 m2. Calcule:
a) La longitud de cada uno de los lados del triángulo.
b) Los ángulos del triángulo.
46. [2003] [JUN] Considere el punto P = (5,-2,9) y la recta r: x-1
-2
 = y+1
-3
 = z
6
.
a) Calcule la ecuación de la recta s que corta perpendicularmente a r y pasa por P.
b) Calcule el punto de corte T entre las rectas r y s.
 Soluciones
7. 
x = 1+
y = 2-7
z = -5
 8. 1 9. a) (4,-3,-1) b) x-4
1
 = y+3
7
 = z+1
3
 10. a) 6x+3y+2z-6 = 0 b) no 11. -x+y+z+2 = 0 12. a) a = -1: contenida; a  -1: paralela b) 30
2
 13. a) (-1,1,1)
b) x-1
-1
 = y
1
 = z+1
1
 14. b) (1,1,3) 15. a =1: paralela; a1: corta 16. a) A(-2,2,0), B -8
3
,5
3
, 1
3
 b) 35
6
 17. 3x-5y+z-5 = 0 18. b) 2x+y+2z+5 = 0 19. 2 20. a) (0,-2,1);
(0,b,-1) b) (-1,3-5b,2b-1); (1,b+1,-1) c) b=1: paralelas; b=2: se cortan; b{1,2}: se cruzan. 21. a) 2x+3y-z-5 = 0 b) (3,1,4) 22. a) Se cortan b) 3a+2b+11 = 0 c) -3, -1 23.
a) 8 14
7
 b) 6 c) 0 24. a) y+2z+1 = 0 b) (3,-3,1) c) 
x = 1+k
y = 1-2k
z = -1+k
 25. 
x = -1+2
y = 3-
z = 1+
 26. a) x-2y+z = 0 b) 2,1,0 c) 
x = 2+k
y = 1+k
z = k
 d) 1,0,-1 27. 2x-y+2z-15 = 0 ,
2x-y+2z+21 = 0 28. a) p 1
2
,2 , 1,0,0 b) p=2 , (x,y,z) = 0,0,1 + 1,0,-1 c) 2 planos paralelos cortados por un tercero. 29. x-2y+z = 0 30. 17
6
,-1
6
,11
6
, 9
8
,-15
8
, 1
8
31. 
x = 0
y = 1+
z = 
 32. A 0,-3
2
,3
2
, B 0,3
2
,-3
2
 33. a) 70º31'44'' c) 
x = 3-2
y = 3
z = 2+8
 34. 0,3,2 , -6
7
,9
7
,8
7
 35. se cortan 36. a) 1, 1
2
, 1
2
 b) 3
4
 37. a) (0,0,0) b) 1 c)
x = a
y = b
z = 3+
 38. a) se cruzan b) 9x+8y+5z-26 = 0 c) 8 170
85
 39. a) m = 1: comp. indet; m  1: comp. det. b) m = 1: 3
2
,2-k,k ; m  1: 3
2
,0,2 c) m = 1: recta; m  1: punto
40. b) 4
3
 c) x+y+z-2 = 0 d) 2 3
3
 41. a) no b) 1 42. 3x+3y+6z-20 = 0; 3x+3y+6z-18 = 0; 6
9
 43. 106,86 cm2 44. b) 1, 8
5
 45. a) a = 7; b = 4; c = 4,06 b) A=
120º29'16'' B= 29º30'44'' 46. a) 
x = 5+6
y = -2+2
z = 9+3
 b) (-1,-4,6)
Página 5 de 5 17 de julio de 2015