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Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN Extremadura
1. [2014] [EXT-A] Calcule la siguiente integral definida de una función racional: 
e+1
x-2
x2-3x+2
dx
2
.
2. [2014] [EXT-B] a) Dibuje el recinto plano limitado por la parábola y = x2-2 y la recta y = x.
b) Calcule el área de dicho recinto plano.
3. [2014] [JUN-A] Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función f(x) = cos x, el eje OX y las rectas x = 0 y
x = 2.
4. [2014] [JUN-B] Calcule la siguiente suma de integrales definidas 
2
-2
x3
dx
1
 + 
2
-senx·esenx + cos2x·esenx dx

,
cuyas integrales indefinidas asociadas son inmediatas.
5. [2013] [EXT-A] Calcule el valor de la integral definida 
1
2x
x2+1
 + (2x-1)ex
2-x + 2sen(2x) dx
0
6. [2013] [EXT-B] a) Dibuje el recinto plano limitado por la parábola y = 1-x2, el eje OX, la recta x = 0 y la recta x = 2.
b) Calcule el área de dicho recinto.
7. [2013] [JUN-A] a) Halle, utilizando la fórmula de integración por partes,una primitiva de la función f(x) = 1+lnx.
b) Calcule el área de la región limitada por la curva y = lnx, la recta horizontal y = -1 y las rectas verticales x = 1 y x = e.
8. [2013] [JUN-B] Calcule la siguiente integral de una función racional: 3x
x2+x-2
dx.
9. [2012] [EXT-A] a) Diga cuándo una función F(x) es primitiva de otra función f(x).
b) Haciendo el cambio de variable t = x-1, calcule la primitiva de la función f(x) = x x-1 cuya gráfica pasa por le punto (1,0) del
plano.
10. [2012] [EXT-B] Calcule, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva F(x) de la función f(x) = (x+1)2·senx que
cumpla F(0) = 1.
11. [2012] [JUN-A] a) Calcule los puntos de corte de la recta 2y-x = 3 y de la recta y = 1 con la rama hiperbólica xy = 2, x > 0.
b) Dibuje el recinto plano limitado por las tres curvas del apartado anterior.
c) Calcule el área de dicho recinto.
12. [2012] [JUN-B] Calcule la siguiente integral de una función racional: x
2+1
x2-1
dx.
13. [2011] [EXT-A] Calcule, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva F(x) de la función f(x) = x2·lnx2 que cumpla
F(1) = 0.
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14. [2011] [EXT-B] a) Represente, de forma aproximada, la gráfica de la función f(x) = xex2-1. Señale el recinto plano limitado por
dicha gráfica, el eje OX, la recta x = -1 y la recta x = 1.
b) Calcule el área del recinto del apartado anterior.
15. [2011] [JUN-A] a) Represente, de forma aproximada, la figura plana limitada por la curva y = -2(x-1)3, su recta tafngente en el
punto (1,0) y la recta x = 0. (puede ser útil calcular los puntos de corte de la curva con los ejes coordenados).
b) Calcule el área de dicha figura plana.
16. [2011] [JUN-B] a) Enuncie el teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.
b) Calcule el punto al que se refiere dicho teorema para la función f(x) = ex+1 en el intervalo[0,1].
17. [2010] [EXT-A] Calcule el valor de la integral 
2
x-1
8
2/3
dx
1
.
18. [2010] [EXT-B] a) Represente, aproximadamente, el recinto plano limitado por la parábola y = 2x2 y la parábola y = x2+4.
b) Calcule el área de dicho recinto.
19. [2010] [JUN-A] a) Represente, de forma aproximada, la recta x = 1 y las curvas y = x
2
2
, y = 4
x
, y señale el recinto plano limitado
por ellas.
b) Calcule el área de dicho recinto.
20. [2010] [JUN-B] a) Diga cuándo una función F(x) es primitiva de otra función f(x).
b) Calcule una primitiva F(x) de la función f(x) = xex2 que cumpla F(0) = 0.
21. [2009] [EXT-A] Dada la parábola de ecuación y = -x2-2x+3, sea r su recta tangente en x = -1 y sea s su recta tangente en x = 1.
a) Calcule las ecuaciones de r y s.
b) Represente, de forma aproximada, el recinto plano limitado por la parábola, la recta r y la recta s.
c) Calcule el área de dicho recinto.
22. [2009] [EXT-B] a) Calcule la primitiva de la función racional: f(x) = 1
1-x2
.
b) Calcule la integral 1
cos x
 dx (puede utilizarse el cambio de variable t =senx).
23. [2009] [JUN-A] a) Exprese f(x) = x·|x| como una función definida a trozos y dibuje su gráfica de forma aproximada.
b) Calcule la integral definida 
1
x·|x|dx
-1
.
c) Calcule el área del recinto plano limitado por la gráfica de f(x), el eje OX, la recta x = -1 y la recta x = 1.
24. [2009] [JUN-B] a) Escriba la fórmula, o regla, de la integración por partes.
b) Aplíquelo para calcular la siguiente integral indefinida: x2cosx·dx.
25. [2008] [EXT-A] Calcula la funbción f(x) cuya gráfica pasa por el punto (0,1) (es decir f(0) = 1) y que tiene como derivada la
función f'(x) = 2x
x2+1
.
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26. [2008] [EXT-B] a) Define el concepto de primitiva de una función.
b) Di, razonando la respuesta, si las funciones F1(x) = sen
2(x) y F2(x) = -cos
2(x) son primitivas de una misma función.
27. [2008] [JUN-A] Calcula el valor de la siguiente integral (puede hacerse con el cambio de variable t = ln(x)):
e
1
x 1+ln(x)
dx
1
,
donde ln denota logaritmo neperiano.
28. [2008] [JUN-B] a) Representa gráficamente el recinto plano limitado por la recta y+2x-6 = 0 y la parábola y = -x2+2x+3.
b) Calcula su área.
29. [2007] [EXT-A] Representa gráficamente la figura plana limitada por la curva y = 2x3, su recta tangente en el origen de
coordenadas y la recta x = 2. Calcula su área.
30. [2007] [EXT-B] a) Enuncia el Teorema del valor medio del Cálculo Integral.
b) Calcula el punto al que se refiere dicho teorema para la función f(x) = 3x2+1 en el intervalo 0,3 .
31. [2007] [JUN-A] Representa gráficamente el recinto plano limitado por las parábolas y = 1-x2 e y = x2 y calcula su área.
32. [2007] [JUN-B] Calcula el valor de la integral: 
10
(x-2)1/3dx
3
.
33. [2006] [EXT-A] Enuncia la regal de Barrow. Representa la gráfica de la función f(x) = 
x
tdt
1
.
34. [2006] [EXT-B] Representa la figura plana limitada por la gráfica de la función f(x) = cosx, en el intervalo -
2
  x  
2
 y por la
recta y = 1
2
. Calcula su área.
35. [2006] [JUN-A] Representa gráficamente la figura plana limitada por la curva y = x4, su recta trangente en el punto 1,1 y el eje
OX. Calcula su área.
36. [2006] [JUN-B] Halla una primitiva de la función f(x) = xex.
37. [2005] [EXT-A] Calcular una primitiva de la función f(x) = (x+1)2x-1/2 que se anule en x = 1.
38. [2005] [EXT-B] Representar gráficamente el recinto plano limitado por la recta x-y = 1 y por la curva de ecuación y = x-1.
Calcular su área.
39. [2005] [JUN-A] Representar gráficamente el recinto limitado por las curvas y = ex, y = e-x y por la recta x = 1. Calcular su área.
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40. [2005] [JUN-B] Calcular el valor de la siguiente integral, donde ln denota logaritmo neperiano: 
e
ln x
x2
dx
2
. (Puede hacerse por
partes)
41. [2004] [EXT-A] Representar gráficamente la figura plana limitada en el primer cuadrante x  0, y  0 por la recta y = x y la
curva x = y3. Calcular su área.
42. [2004] [EXT-B] Calcular el valor de la siguiente integral: (puede hacerse por el cambio de variable x2-1 = t3)
2
x
3
x2-1dx
1
43. [2004] [JUN-A] Definir el concepto de primitiva de una función. ¿Existe alguna primitiva de la función f(x) = x-1 que no tome
ningún valor positivo en el intervalo 1  x  2?
44. [2004] [JUN-B] Representar gráficamente el recinto plano limitado, en la región donde la abscisa x es positiva, por la curva
y = x3+x y por la recta y = 2x. Calcular su área.
45. [2003] [EXT-A] Calcular el valor de la integral puede hacerse el cambio t = e-x : 
1
dx
ex+1
0
46. [2003] [EXT-B] Representar gráficamente la figura plana limitada por la curva y = ex, su recta tangente en el punto de abscisa x
= 0, y la recta x = 1. Calcular su área.
47. [2003] [JUN-A] Representar gráficamente el recinto plano limitado por la recta y = x-2 y la parábolade ecuación
y2 = x. Calcular su área.
48. [2003] [JUN-B] Calcular el valor de la siguiente integral, donde ln denota el logaritmo neperiano: 
e2
dx
x(lnx)
e
.
Puede hacerse con el cambio de variable x = et
 Soluciones
9. 2 3x
2-x-2 x-1
15
 10. -(x+1)2cosx+2(x+1)senx+2cosx 11. a) (1,2), (2,1), (-1,1) b) 
1 2-1
1
2
X
Y
 c) ln4 12. x-ln|x+1|+ln|x-1|+c 13. x
3
3
lnx2- 2x
3
9
+2
9
 14. a)
1-1
1
-1
X
Y
 b) e-1
e
 15. a) 
1 2
1
2
-1
-2
X
Y
 b) 1
2
 16. ln(e-1) 17. 3
20
 18. a) b) 12 19. a) b) 4ln2- 7
6
 20. b) e
x2-1
2
 21. a) y = 4;
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y = -4x+4 b) c) 2
3
 22. a) ln 1+x
1-x
+c b) ln cosx
1+senx
+c 23. a) f(x) = -x
2 si x < 0
x2 si x  0
 
1 2-1-2
1
2
-2
X
Y
 b) 0 c) 2
3
 24. b) x2senx+2xcosx-2senx+c 25.
ln x2+1 +1 26. b) si (sen2x) 27. ln2 28. a) b) 4
3
 29. 8 30. 3 31. 4 3
9
 32. 45
4
 33. f(x) = x
2-1
2
1 2-1-2
1
2
3
X
Y
 34. 3 3-
3
 35. 6
5
 36. F(x) = xex-ex+c 37. 6x
2+20x+30 x - 56
15
 38. 1
6
 39.
 e
2-2e+1
e
 40. e+eln2-4
2e
 41. 1
4
 42. 9
3 3
8
 43. y = lnx+c; c < -ln2 44. 1
4
 45. ln 2e
e+1
 46. 2e-5
2
47. 9
2
 48. ln2
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