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Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN Murcia
1. [2014] [EXT-A] a) Calcule la integral indefinida arctgxdx, donde arctagx denota la función arco-tangente de x.
b) De todas las primitivas de la función f(x) = arctgx, encuentre la que pasa por el punto de coordenadass (0,3).
2. [2014] [EXT-B] a) Encuentre una primitiva de la función f(x) = lnx
x
.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 1
e
 y x = e.
3. [2014] [JUN-A] a) Calcule la integral indefinida tgxdx.
b) De todas las primitivas de la función f(x) = tgx, encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (0,2).
4. [2014] [JUN-B] a) Encuentre una primitiva de la función f(x) = xcosx.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) = xcosx y el eje de abscisas entre x = 0 y x = .
5. [2013] [EXT-A] a) Encuentre una primitiva de la función f(x) = 6
x2+2x-8
.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = -2 y x = 0.
6. [2013] [EXT-B] a) Encuentre una primitiva de la función f(x) = x2ex.
b) Calcule la siguiente integral definida: 
1
x2exdx
0
.
7. [2013] [JUN-A] Calcule la siguiente integral indefinida: 10
x2-x-6
dx.
8. [2013] [JUN-B] a) Encuentre una primitiva de la función f(x) = arctgx.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 0 y x = 1.
9. [2012] [EXT-A] De todas las primitivas de la función f(x) = e
2x
1+ex
, encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (0,1).
10. [2012] [EXT-B] Calcule el área comprendida entre la curva y = 3
6+2x2
, el eje de abscisas y las rectas verticales que pasan por los
puntos de inflexión de dicha curva.
11. [2012] [JUN-A] a) Encuentre una primitiva de la función f(x) = 
1
1+ x
.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 0 y x = 9.
12. [2012] [JUN-B] a) Encuentre una primitiva de la función f(x) = x
2
ex
.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 0 y x = 1.
13. [2011] [EXT-A] a) Calcule la integral indefinida sen(x)
1+cos2(x)
dx.
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b) Evalúe la integral definida 
/2
sen(x)
1+cos2(x)
dx
0
.
14. [2011] [EXT-B] a) Calcule la integral indefinida x2exdx.
b) Evalue la integral definida 
1
x2exdx
0
.
15. [2011] [JUN-A] a) Calcular la integral indefinida 
x
1+ x
dx utilixando el método de cambio de variable (o método de sustitución).
b) Calcule la integral definida 
1
ln 1+x2 dx
0
, donde ln denota la función logaritmo neperiano, utilizando el método de integración
por partes.
16. [2011] [JUN-B] a) Dada la función f(x) = 3x
1-x2
 definida para los valores -1 < x < 1, determine los
puntos de corte de la recta y = 4x con la gráfica de f.
b) Calcule el área del recinto limitado por la recta y = 4x y la gráfica de f.
17. [2010] [EXT-A] Enunciar el teorema fundamental del cálculo integral y calcular la integral siguiente: x
2
x2-9
dx.
18. [2010] [EXT-B] Calcular el área de la región delimitada por el eje x y la función f(x) = x- x.
19. [2010] [JUN-A] Calcular el área encerrada por las curvas f(x) = x3+x2+2x+1 y g(x) = 4x2 +1.
20. [2010] [JUN-B] Calcular la integral siguiente: 
1
x2
x2-x-2
dx
0
.
21. [2009] [EXT] a) Enunciar el teorema fundamental del cálculo.
b) Calcular la integral 
1
x3
x2+1
dx
0
.
22. [2009] [EXT] Calcular el área encerrada por las funciones f(x) = x2 y g(x) = x3-2x2+2x.
23. [2009] [JUN] i) Enunciar el teorema fundamental del cálculo.
ii) Calcular la integral x
3
x2+3x+2
dx.
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24. [2009] [JUN] Calcular el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = xln(x) para 1  x  2, la recta x = 2 y el eje X.
25. [2008] [EXT] Calcular la integral x
3+1
x2+1
dx.
26. [2008] [EXT] Calcular el área encerrada por las funciones f(x) = x3+x2+1 y g(x) = 2x+1.
27. [2008] [JUN] i) Enunciar el teorema funcamental del cálculo.
ii) Calcular la integral x
3-2x2
x2-2x+1
dx.
28. [2008] [JUN] Calcular el área encerrada por las funciones f(x) = 1+ln(x) y g(x) = 1
x
 y por las rectas x = 1 y x = 2.
29. [2007] [EXT] Calcule la integral 
1
x3+2
x2+3x+2
dx
0
.
30. [2007] [EXT] Calcular el área encerrada por el eje X y la función f(x) = xcosx entre x = -
2
 y x = 
2
.
31. [2007] [JUN] i) Enunciar el teorema fundamental del cálculo integral.
ii) Calcular la derivada de la función f(x) = 
x
cos t2 dt
0
.
iii) Calcular la integral 
e
ln x2 dx
1
.
32. [2007] [JUN] Calcular el área encerrada por la función f(x) = x
3-1
x2+1
 y los ejes X e Y.
33. [2006] [EXT] Calcule la siguiente integral: I =
1
x2+1
x2-4
dx
0
.
34. [2006] [EXT] Calcule el área de la región determinada por las curvas y = x2 e y = x1/2.
35. [2006] [JUN] i) Enuncie el teorema fundamental del Cálculo.
ii) Calcule la integral siguiente: I = 
1
x2-1 e-2xdx
0
.
36. [2006] [JUN] Calcule el área determinada por la función f(x) = x
2
x2+4x+3
 y las rectas y = 0, x = 0 y x = 3.
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37. [2005] [EXT] Hallar el área del recinto determinado por las curvas y = 2
1+x2
 e y = x2.
38. [2005] [EXT] (a) Justificar geométricamente que si f y g son funciones positivas en el intervalo [a,b] y si para todo x en dicho
intervalo, f(x)  g(x), entonces 
b
f(x)dx
a
  
b
g(x)dx
a
.
(b) Demostrar que 1
2
  
1
dx
1+x4
0
.
39. [2005] [JUN] (a) Se considrean, en el plano, las curvas de ecuaciones y = - x
2
4
 +x e y = x
4
4
 -x. Dibujar estas curvas.
(b) Encontrar el área del recinto determinado por dichas curvas.
40. [2005] [JUN] Calcular el valor de la integral I = 
1
xexdx
0
.
41. [2004] [EXT] Encontrar el área determinada por la curvas y = |x| e y = x3.
42. [2004] [EXT] Calcular la integral 
7
x
x2-4
dx
3
. ¿Qué representa geométricamente el valor de esa integral?
43. [2004] [JUN] Contestar, razonando la respuesta, si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) 
b
f(x)dx
a
 + 
c
f(x)dx
b
 = 
c
f(x)dx
a
.
b) 
b
f(x)g(x)dx
a
 = 
b
f(x)dx
a
b
g(x)dx
a
.
c) Si 
b
f(x)dx
a
 = 0, entonces a = b.
d) Si 
b
f(x)dx
a
 = 0 y f(x) > 0, para todo x, entonces a = b.
e) 
b
[f(x)+g(x)]dx
a
 = 
b
f(x)dx
a
 + 
b
g(x)dx
a
.
44. [2004] [JUN] Calcular el área determinada por la curva y = x
2
x2+1
 , el eje de abscisas y las rectas x = 1 y x = -1.
45. [2003] [EXT] Encuentre el área del recinto determinado por las curvas y = |x| e y = 2-x2.
46. [2003] [EXT] Calcule dx
x2-5x+6
47. [2003] [JUN] a) Enuncie la regla de Barrow.
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b) Calcule dx
x2-4
.
c) Encuentre el área de la región del plano determinada por la curva y = 1
x2-4
 y las rectas x = 1, x = -1 e y = -5.
48. [2003] [JUN] a) Enuncie el teorema funcadmental del cálculo integral.
b) Calcule ln x2 dx.
c) Encuentre el valor del área determinada por la curva y = ln x2 , el eje de abscisas y las rectas x = 9 y x = 12.
 Soluciones
9. ex-ln ex+1 +ln2 10.  3
6
 11. a) 2 x-2ln x+1 b) 6-2ln4 12. a) -x
2-2x-2
ex
 b) 2e-5
e
 13. a) -arctgcosx+c b) 
4
 14. a) x2-2x+2 ex+c b) e-2 15. a)
x-2 x+2ln x+1 +c b) ln2-2+
2
 16. a) -1
2
,-2 , (0,0), 1
2
,2 b) 1+3ln3
4
 17. x- 3
2
ln|x+3|+ 3
2
ln|x-3|+c 18. 1
6
 19. 1
2
 20. 1- 5ln2
3
 21. b) 1-ln2
2
 22. 1
2
 23. ii) x
2
2
-3x-ln|x+1|+8ln|x+2|+c 24. 2ln2- 3
4
 25. x
2
2
 - 1
2
ln x2+1 +arctgx+c 26. 37
12
 27. x
2
2
 + 1
x-1
 - ln|x-1| +c 28. ln2 29. 6ln3-5ln2- 5
2
 30. -2 31. ii) f'(x) = cos x2 iii) 2
32. -2ln2-2
4
 33. 4-5ln3
4
 34.1
3
 35. ii) -3e
-2-1
4
 36. 6-7ln2
2
 37. - 2
3
 39. (a) 
1 2 3 4 5
1
2
-1
-2
X
Y
 (b) 16
3
 40. 1 41. 1
4
 42. ln 15; área del recinto de la gráfica,
eje OX y rectas x=3, x=7. 43. a) si b) no c) no d) si e) si 44. 4-
2
 45. 10
3
 46. -ln|x-2|+ln|x-3|+c 47. b) - 1
4
ln|x+2|+ 1
4
ln|x+2| +c c) 10- ln3
2
 48. b) xlnx2-2x+c c)
48ln2-12ln3-6
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