Tema 02 - Congruencia de triángulos

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5UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 2
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
GEOMETRÍA
I. DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes si existe una corres-
pondencia uno a uno entre sus vértices de tal manera
que sus pares angulares y lados correspondientes son
congruentes.
Notación
Emplearemos la notación ABC A 'B ' C '   para indicar
que el ABC es congruente con el A 'B ' C ' .
II. POSTULADO Y TEOREMAS DE LA CON-
GRUENCIA DE TRIÁNGULOS
A. Postulado (L - A - L)
Si dos lados y el ángulo determinado por estos de
un triángulo son congruentes, con dos lados y el
ángulo determinado por estos de otro triángulo res-
pectivamente, entonces, los dos triángulos son con-
gruentes.
El postulado asegura que si AB MS , AC NS  y
m BAC m MSN    , entonces ABC SMN   .
B. Teorema (A - L - A)
Si dos ángulos y el lado adyacente que se determi-
na en un triángulo son congruentes, respectiva-
mente con dos ángulos y el lado adyacente que se
determina en otro triángulo.
Entonces los dos triángulos son congruentes.
El teorema asegura que si m ABC m NMS    ;
m ACB m MNS    y BC NM, entonces:
ABC SMN  
C. Teorema (L - L - L)
Si los tres lados de un triángulo son congruentes,
con los tres lados de otro triángulo respectivamente,
entonces, los dos triángulos son congruentes.
El teorema nos dice que si BC MS , AB MN  y
AC NS entonces ABC SMN   .
III. TEOREMA SOBRE LOS TRIÁNGULOS
ISÓSCELES Y EQUILÁTEROS
A. Teorema 1
1. Si dos lados de un triángulo son congruentes,
entonces los pares angulares opuestos a dichos
lados son congruentes.
2. Si dos pares angulares de un triángulo son con-
gruentes, entonces los lados opuestos a dichos
pares angulares son congruentes.
DESARROLLO DEL TEMA
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CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
TEMA 2
Exigimos más!
3. Si un triángulo es equilátero, entonces es equián-
gulo.
4. Si un triángulo es equiángulo, entonces es equi-
látero.
B. Teoremas 2
1. En un triángulo isósceles las alturas relativas a
los lados congruentes son también congruentes.
Si AB = BC, entonces AM = CN; debido a que
los triángulos BMA y BNC son congruentes.
2. 
Si AB = BC y P pertenece a AC, entonces:
CH = PQ + PR
3.
 
Si el triángulo ABC es equilátero, entonces:
BH PQ PR PT  
IV. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS REC-
TÁNGULOS
A. Teorema
Dos triángulos rectángulos son congruentes si:
• Los catetos correspondientes son congruentes.
• Un cateto y uno de los ángulos agudos con sus
correpondientes son congruentes.
• La hipotenusa y uno de los ángulos agudos con
sus correspondientes son congruentes.
• La hipotenusa y un cateto con sus correspon-
dientes son congruentes.
B. Aplicaciones de la congruencia de triángulos
1. Teorema de la bisectriz
Si un punto pertenece a la bisectriz de un án-
gulo, entonces dicho punto equidista de los lados
del ángulo.
Si: OP

 es bisectriz del AOB , entonces PB = PA
y OA = OB.
 
Observación:
En la figura d es la distancia de P hacia 


2. Teorema de la mediatriz
Si un punto pertenece a la mediatriz de un seg-
mento, entonces dicho punto equidista de los
extremos del segmento, también se dice que la
mediatriz es el lugar geométrico de los puntos
equidistantes de los extremos del segmento.
Si 

 es mediatriz de AB y P, pertenece a 

 ,
entonces PA = PB, luego APB es isósceles.
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Exigimos más!
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
 Observación:
En el triángulo isósceles ABC, la altura BH es
también mediana y bisectriz.
3. Teorema de los puntos medios
El segmento que une los puntos medios de dos
lados de un triángulo se denomina base media
y es paralelo al tercer lado, además su longitud
es la mitad de la longitud del lado al cual es
paralelo.
Si M y N son puntos medios de AB y BC res-
pectivamente, entonces:
ACMN / / AC y MN
2

4. Teorema de la mediana relativa a la hipo-
tenusa
La longitud de la mediana relativa a la hipotenusa
es igual a la mitad de la longitud de dicha hi-
potenusa.
Si M es punto medio de AC, entonces:
BM AM MC 
V. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
Aproximaciones trigonométricas
 
 
Problema 1
En el gráfico; BC = 2(BM), calcule x.
UNI
Nivel fácil
A) 22° 30'
B) 20° 20'
C) 15° 40'
D) 24° 30'
E) 10° 25'
Resolución:
problemas resueltos
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Exigimos más!
Piden "x"
Por M se traza MN//AB

Entonces: BN = NC
Como BC = 2(BM)
Con lo cual BN = BM = a
MBN: isósceles
m BMN m BNM 3x  
Luego:
2x + 3x + 3x = 180°
 8x = 180°
Respuesta: A) 22° 30'
Problema 2
Se tiene un cuadrilátero ABCP; AB = BC;
m ABC m BPC 90   
Se traza AH BP (H BP) . Si BH = 1; HP = 3;
hallar la m HPA .
UNI
Nivel intermedio
A) 60° B) 40°
C) 55° D) 53°
E) 28°
Resolución:
Piden "x"
Se observa: 90    
Luego: 
Caso (A. L. A)
entonces: AH = PB = 4
Se observa 
Respuesta: D) 53°
Problema 3
Se tiene un cuadrilátero ABCD;
AB = BC = CD y m BCD 2m BAD 
y m ABC 160 
Hallar la m ADC .
UNI
Nivel difícil
A) 70° B) 80° C) 60°
D) 85° E) 90°
Resolución:
Se traza BD
En BCD : se traza CH BD
Se observa: 
Caso (ALA)
BQ BH HD m   
Luego: 
En ABC:
90 60 90 160          
40  
En ADC:
x 30 90     
x 80 
Respuesta: B) 80°