Tema 03 - Circunferencia trigonométrica I

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9UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 3
CIRCUNFERENCIA
TRIGONOMÉTRICA I
TRIGONOMETRÍA
I. DEFINICIÓN
Es aquella circunferencia inscrita en un sistema de co-
ordenadas, su centro se ubica en el origen de coorde-
nadas y su radio es igual a la unidad del sistema, razón
por la cual también se le suele llamar cincunferencia
unitaria (C.T. ó C.U.) La ecuación de todo punto que
esté en la circunferencia trigonométrica es: x2 + y2 = 1
y el círculo determinado por esta circunferencia es el
denominado círculo trigonométrico.
II. ELEMENTOS DE LA C.T.
A(1; 0)  Origen de arcos
B(0; 1)  Origen de complementos
A'(-1; 0)  Origen de suplementos
B'(0; 1)  Sin nombre particular
O(0; 0)  Centro de la C.T..
P(x; y)  Punto cualquiera de la C.T..
Ecuación: x2 + y2 = 1  radio: r = 1
III. ARCO EN POSICIÓN NORMAL
Un arco está en posición normal, estandar o canónica
cuando su extremo inicial este ubicado en el origen de
arcos de la C.T.; el extremo final de estos arcos deter-
minan el cuadrante al cual pertenecen.
A. Ubicación de ángulos en la C.T.
B. Ubicación de arcos en la C.T.
Ejemplo: Ubicar los arcos cuyas medidas son 1, 2,
3, 4, 5, 6 en la C.T.
Resolución: Para ubicar estos arcos en la C.T. re-
emplazaremos el valor de  como 3,14 en los arcos
cuadrantales; obteniendo el esquema siguiente:
DESARROLLO DEL TEMA
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CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I
TEMA 3
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IV. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ARCOS EN POSICIÓN NORMAL
Las razones trigonométricas de todo arco en posi-
ción normal son numéricamente iguales a las razo-
nes trigonométricas de su respectivo ángulo central
en la C.T.
rad
No tiene Si tiene
unidades unidades
RT ARCO RT CENTRAL
 
 
   
      
   
 
  
• Ejemplo 


ARCO ÁNGULO
ARCO ÁNGULO
1sen sen rad
6 6 2
tan tan rad 1
4 4
        
   
        
   


• Ejemplo
   
   
ARCO ÁNGULO
ARCO ÁNGULO
sen 30 sen 30rad
cos 45 cos 4srad




V. CÁLCULO DE LAS RAZONES
Ubicamos un arco en posición normal de cualquier cuadran-
te y aplicamos la definición anteriormente estudiada ten-
dremos:
Sabemos que: rt() = rt()
    

ysen sen y
r 1
    

xcos cos x
r 1
    ytan tan
x
    xcot cot
y
    r 1 1sec sec
x x
    r 1 1csc csc
y y
VI. LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
Se denomina así a aquellos segmentos de recta orien-
tados, cuya medida nos representa en la C.T. el valor
numérico de una razón trigonométrica; como son seis
las razones trigonométricas, tendremos seis líneas
trigonométricas.
A. Línea seno
El seno de un arco se representa en la C.T. me-
diante la ordenada trazada por su extremo.
Sabemos por teoría que: sen sen ,   pero:
 

ysen : y
r 1
 sen y  
• En cada cuadrante
• Variación analítica
 
• Rango de valores del seno
 
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CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I
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    1 sen 1 
máx(sen) = 1
mín(sen) = –1
B. Línea coseno
El coseno de un arco se representa en la C.T. me-
diante la abscisa trazada por su extremo.
Sabemos por teoría que: cos  = cos 
pero:   

xcos x
r 1
 cos x  
• En cada cuadrante
• Variación analítica
• Rango de valores del coseno
 
   
 
  
 1 cos 1
máx(cos ) 1
min(cos ) 1
 
C. Línea tangente
Para representar la tangente de un arco en la C.T.
trazamos primero el eje de tangentes (recta tan-
gente a la C.T. trazada por el origen de arcos),
luego se prolonga el radio que pasa por el extremo
del arco hasta que corte el eje en un punto: la
ordenada de este punto de intersección nos re-
presentará la tangente de arco.
 
Sabemos por teoría que: tan  = tan 
pero: ytan y
r 1
  

 tan y  
• En cada cuadrante
• Variación analítica
• Rango de valores de la tangente
      t n lo cual implica que:  tan 
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Problema 1
En la figura mostrada, halle el área de
la región triangular OQP.
UNI 2004 - I
Nivel fácil
A)
Sen Cos
4
  B)
Sen Cos
8
 
C)
Sen Cos
16
  D) 
Sen Cos
2
 
E) Sen Cos  
Resolución:
Del gráfico: h Cos Sen  
Luego:
 2 Cos Sen1A
4 2
   
  
  
Sen CosA
4
  
Respuesta: A) Senθ Cosθ4
Problema 2
En la figura, halle el área de la región
sombreada.
UNI 2005 - II
Nivel intermedio
A) 1 (Sen Cos Tan )
2
     
B) 1 (Sen Cos Tan )2
     
C) 1 (Sen Cos Tan )
2
     
D) 1 (Sen Cos Cot )
2
     
E) 1 (Sen Cos Cot )
2
     
Resolución:
(1)( Cos ) ( Tan )(1 Cos )S
2 2
      
Reduciendo, obtenemos:
1S (Sen Cos Tan )
2
      
Respuesta: A) 1- (Sen θ +Cosθ +Tanθ)2
Problema 3
Consideremos la siguiente expresión:
2f( ) sen( ) sen
5 4
        
donde: 5 5;
6 4
    
 entonces el rango
de f se encuentra en el intervalo.
UNI 2007- I
Nivel difícil
A)
2 2;
2 5

B) 2 2;
2 5

 

C) 2 2;
2 5



D) 2 2,2 5
 
 
  
E) 22,
5
   
Resolución:
Datos:
5 5
6 4
   
  2 2f sen – –
5 2
   ..............(1)
De la C.U.
2 1– sen
2 2
  
2 2 2 1– – sen –
2 5 5 10
  
2 2 20 sen –
5 2 5
   
2 2 2 2– sen – –
2 5 2 5
  

2 2Ranf – ,
2 5
 
    
Respuesta: D) 
 
 
  
2 2- ,2 5
problemas resueltos