Tema 03 - Ecuaciones I

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7UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 3
ECUACIONES I
ÁLGEBRA
I. ECUACIÓN
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas
en la que al menos esté presente una variable que
ahora recibirá el nombre de incógnita.
Notación:
Primer miembro Segundo miembro
A(x; y;...z) B(x; y;...z) 
Donde: x; y; ...; z: incógnita
Una ecuación que sólo se verifique para ciertos valores
de las incógnitas recibe el nombre de ecuación condi-
cional o, simplemente, ecuación.
Por ejemplo:
• x – 1= 3 se verifica solo para x = 2; es una ecuación
condicional.
• x2 – 1 = (x + 1) (x – 1) se verifica para todos los
valores de x; es una identidad.
Para representar una identidad se emplea el símbolo 
en lugar del símbolo =.
A. Soluciones de una ecuación
Las soluciones de una ecuación son los valores de
las incógnitas que transforman la ecuación en una
identidad, es decir, se igualan ambos miembros. Las
soluciones satisfacen a la ecuación. Resolver una
ecuación es hallar todas sus soluciones.
Por ejemplo:
x = 2 es una raíz, o solución de la ecuación x + 3 = 5,
ya que sustituyendo x = 2 en esta se obtiene
2 + 3 = 5, es decir, los dos miembros se hacen
iguales y la ecuación se convierte en una identidad.
B. Operaciones aplicadas en la transformación
de ecuaciones
• Si se suman miembro a miembro varias igual-
dades, se obtiene otra igualdad.
Por ejemplo la igualdad x – y = z, podemos
sumar “y” a ambos miembros, con lo que resulta
x = y + z.
• Si se restan miembro a miembro varias igual-
dades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo,
en la igualdad x + 5 = 7, podemos restar 5 a
ambos miembros con lo que se obtiene x = 2.
• Si se multiplican miembro a miembro varias
igualdades se obtiene otra igualdad.
Por ejemplo, si se multiplican por 3 los dos
miembros de la igualdad: 21 y 5x
3
 .
Se obtiene: y = 15x2
Análogamente, si los dos miembros de:
9 C k – 492
5

se multiplican por: 
5
9
Se obtiene: 5C (k – 492)
9

• Si se dividen miembro a miembro varias igual-
dades se obtiene otra igualdad siempre que
no se divida por cero.
Por ejemplo, si se dividen los dos miembros de
la igualdad 3x = 6 por 3, se obtiene x = 2.
Análogamente, en la igualdad F = ma se puede
dividir los dos miembros por m(m 0) obte-
niéndose:
Fa
m

Fórmula:
La fórmula es una ecuación que expresa un
hecho general, una regla o un principio.
DESARROLLO DEL TEMA
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II. ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRA-
DO CON UNA INCÓGNITA
Forma General: ax + b = 0 ; a 0 ; en donde a y b
son constantes arbitrarias.
Como primer paso para la resolución de esta ecuación
transponemos “b” al segundo miembro obteniéndose
así la ecuación equivalente.
 ax = b
Después dividimos ambos miembros entre “a”, obte-
niéndose otra ecuación equivalente que es la solución
de la ecuación dada:
bx –
a

Si este valor de “x” se sustituye en ax + b = 0 ob-
tendremos la identidad:
ba – b 0
a
     
 –b + b = 0
Teorema:
La ecuación lineal con una incógnita
ax + b = 0, a 0
Tiene solución única:
 bx –
a
III. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON
UNA INCOGNITA
A. Método de completar cuadrados
Consiste en completar el cuadrado de un binomio
y está basado en la aplicación del siguiente teorema.
 2 2a b a b a –b    
Ejemplo:
Hallar la solución de: x2 – 2x – 1 = 0
Dar como respuesta la menor raíz.
Solución:
Como es difícil de factorizar, usamos el método de
completar cuadrados, los pasos a seguir son:
x2 – 2x – 1 = 0
Sumar y restar la mitad del coeficiente de x:
   1 –2 –12 
Elevado al cuadrado: (–1)2 = 1, nos queda en 1.
2
2 2 2
(x–1) 2
x – 2x 1 – 1 –1 0

 
Aplicando el teorema:
a2 = b2  a = b  a = –b
2(x – 1) 2 x – 1 2 x – 1 – 2    
x 1 2 x 1 – 2   
C.S. {1 2;1 – 2} 
Observación:
La aplicación de este teorema nos conduce a la
demostración de la fórmula de las soluciones o
raíces de una ecuación de se-gundo grado.
B. Fórmula general
Sea: ax2 + bx + c = 0
Donde: a 0
Para encontrar las soluciones necesitamos seguir
los siguientes pasos:
Factorizamos el coeficiente de x2:
2 2 b cax bx c 0 x x 0
a a
         
2 b cx x 0
a a
   
Sumar y Restar la mitad del coeficiente de x:
1 b b
2 a 2a
   
 
 elevado al cuadrado: 
2b
2a
 
 
 
 
2 2 2 2
2
2
bx
2a
b b b c b b cx x – 0 x – 0
a 2a 2a a 2a a4a

                 
     
Raíces
2 2 2
2 2
b b c b – 4acx –
2a a4a 4a
      
Si: 2b – 4ac 0, las soluciones son:
2 2b b – 4ac b b – 4acx o x+ –
2a 2a 2a 2a
  
2 2b b – 4ac b b – 4acx – o x=– –
2a 2a 2a 2a
  
2 2–b b – 4ac –b – b – 4acx o x
2a 2a
  
Finalmente; las raíces de la ecuación
ax2 + bx + c = 0, están dadas por:
 
2–b b – 4acx
2a

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Ejemplo:
Resolver aplicando la fórmula general:
a) x2 – 3x + 2 = 0
En este caso: a = 1, b = – 3 , c = 2
Sabiendo que:
2
1,2
–b b – 4acx
2a

Luego: 
2
1,2
–(–3) (–3) – 4(1)(2)x
2(1)


 
1,2
3 1
x
2


3 1
2
2


3 – 1
1
2

 C.S.{1,2}
b) 4t2 + 12t + 9 = 0
En este caso: a = 4, b = 12, c = 9
Luego: 
2
1,2
–(12) (12) – 4(4)(9)t
2(4)


1,2
–12 0
t
8


–12 0 3
–
8 2


–12 – 0 8
–
8 3

  –3C.S. 2 es una raíz doble.
c) 9x2 + 18x –17 = 0
Tenemos: a = 9, b = 18, c = –17
Luego:
2
1,2
–(18) (18) – 4(9)(–17)x
2(9)


1,2
–18 936x
18

1,2
–18 6 26
x
18
–3 – 26
3


–3 26
3

–3 26 –3 – 26C.S. ;
3 3
    
  
Problema 1
Si {x1; x2} es el conjunto solución de:
x 1 x x3 3 1 3 2    
entonces la suma de x1 y x2 es:
UNI 2008-I
 Nivel fácil
A) –4 B) –2
C) 2 D) 4
E) 0
Resolución:
Si: x 1 x x3 – 1– 3 23
  
Si: x 0
Eliminando los valores absolutos:
3x+1 – (3x – 1) = 3x + 2
Reduciendo:
3x . 3 –2 . 3x – 1 = 0
Tenemos:
3x = 1  x 0
Si: –1 x 0 
Eliminando los valores absolutos:
3x+1 + 3x – 1 = 3x + 2
Reduciendo: 3x+1 = 3
Tenemos: x + 1 = 1
De donde: x = 0
0 1 x 0   
Si: x < –1
Eliminando los valores absolutos:
–x–13 3 x –1 3
x
2
Reduciendo: 3–x–1 = 3
Tenemos: –x – 1 = 1
De donde: x –2
 C.S. {–2;0}
Piden: –2 + 0 = –2
Respuesta: B) –2
Problema 2
Las raíces de la ecuación x x 2 4  
son:
UNI 2008-I
 Nivel intermedio
A) Solo x = 6
B) Solo x = 3
C) x = 3, x = 6
D) x 6 , x = 3
E) No existen soluciones
problemas resueltos
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Resolución:
x x 2 4 x 2 4 x      
Elevando al cuadrado y teniendo en
cuenta que:
x 2 0 4 x 0    
Tenemos: x2 – 9x + 18 = 0
(x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que
verifica solo será x = 3.
Respuesta: B) x = 3, x = 6
Problema 3
La suma de todas las soluciones posi-
tivas de la ecuación:
2
2
10 6 x x
1 x x
  
 
es:
UNI 2009-II
Nivel difícil
A) 2 5 17
2
  
B) 2 5 17
2
  
C) 2 5 17
2
 
D) 3 5 17
2
  
E) 3 5 17
2
 
Resolución:
Piden: x > 0
Llamemos a:
x2 + x + 1 = m; m > 0
Del dato:
2
2
10 7 (1 x x )
1 x x
   
 
2
10Reemplazando : 7 m
m
m 7m 10 0
(m 2)(m 5) 0
m 2 m 5
 
  
   
   
Reemplazando:
2 2
2 2
x x 1 2 x x 1 5
x x 1 0 x x 4 0
      
      
Utilizando la fórmula general:
1 5 1 17x x
2 2
     
como x > 0:
1 2
1 5 1 17x x
2 2
     
1 2
2 5 17x x
2
    
Respuesta: B) 2 5 17
2
  