Tema 04 - Cuadriláteros

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13UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 4
CUADRILÁTEROS
GEOMETRÍA
I. DEFINICIÓN
Es el polígono que tiene cuatro lados.
AC yBD son diagonales.
 
 360       
 x      
II. CUADRILÁTERO
A
B
y
D
CZ
x
r
Elementos:
Vértices: A, B, C y D
Lados: AB,BC, CD yDA
Elementos asociados:
Diagonales: AC y BD
Medida de los ángulos
lnteriores: , , y   
Exteriores: x, y, z y r
Además:
A
B
C
D
180 360    
Observación
DESARROLLO DEL TEMA
14UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA
CUADRILÁTEROS
TEMA 4
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III. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁ-
TEROS
A. Según el paralelismo de sus lados opuestos
1. Trapezoide
Lados opuestos no paralelos.
a. Trapezoide simétrico
AC

: Eje de simetría.
b. Trapezoide asimétrico
No presenta simetría axial.
2. Trapecio
Es aquel cuadrilátero que tiene un par de lados
opuestos paralelos y los otros dos lados no pa-
ralelos.
BC / /AD
AD > BC
Bases : BC y AD
Lados laterales : AB y CD
Altura : BH
Nota:
Si los lados de un cuadrilátero son paralelos y
congruentes, entonces es un paralelogramo.
Si: BC / /AD y BC = AD
ABCD: paralelogramo.
Clasificación
a. Trapecio escaleno
BC / /AD
AD > BC
AB CD
b. Trapecio isósceles
BC / /AD
BC < AD
AB = CD
 Además: AC = BD; AE = ED; BE = EC
3. Paralelogramo
Es aquel cuadrilátero cuyos lados opuestos son
paralelos entre sí.
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CUADRILÁTEROS
Si: AB / /CD y BC / /AD
ABCD: Paralelogramo
Nota:
Al trazar una paralela a un lado lateral de un
trapecio se cumple:
Si: BC / /AD y CE / /AB
 ABCE es un paralelogramo.
Si: AB = CD
AB / /CD
ABCD: Paralelogramo
AB / /CD yBC / /AD
AB = CD y BC = AD
AO = OC y BO = OD
m A m C y m B m D    
Clasificación
a. Romboide
O
A
B C
D
AB BC
AC BD
 O: Centro de simetría
b. Rombo
O
A
B C
D
AB = BC
AC BD
O: Centro de simetría
Nota:
Si: BQ = QD
CP AP 
a – by
2
 
c. Rectángulo
AB BC
 AC = BD
O: Centro de simetría
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CUADRILÁTEROS
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d. Cuadrado
AB = BC
AC = BD
O : Centro del cuadrado
AC yBD
 
: Ejes de simetría
aOM
2

Propiedades
a. 
Si: ABCD es un cuadrado
 BQ = QD
m CBQ = m CDQ
b.
Si ABCD es un romboide
O: Centro de simetría
 PC = AQ
 BP = QD
c. 
Si ABCD es un paralelogramo
 AP + CS = BQ + DR
d.
AP – CS = DR – BQ
Propiedades para el trapecio
a.
BC / /AD; AM = MB; CN = ND
BC ADMN
2

MN : Base media
b.
 BC / /AD ; CM = MA; BN = ND
AD – BCMN
2
 
Nota:
Para un trapecio rectángulo se cumple:
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CUADRILÁTEROS
Si: BM = MC y MN AD .
m n 
a bx
2
 
c.
Si: AM = MC
CD – ABMN
2
 
d.
Si CM = MD
 BM = MA
m CBM = m MAD
Problema 1
En el paralelogramo ABCD se tiene
AB = 6 m y BC = 8 m. Se traza la bi-
sectriz interior del ángulo A la cual inter-
seca a BC en E y a la prolongación de
DC en F; desde M, punto medio de
EF, se traza un rayo paralelo a CD que
interseca al segmento AD en N. De-
termine MN (en m).
UNI 2010 - II
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Resolución:
Ubicación de incógnita
Piden MN = X
Análisis de los datos o gráficos
ABCD: Paralelogramo
AB = 6 y BC = 8
Operación del problema
Del gráfico:
A
B C
D
6

Q
N
6

1 1
8
6
E
M
F
1
Se observa:
ABE:
Isósceles (AB = BE = 6)
EQM:
Isósceles (EQ = QM =1)
Conclusión y respuesta
Del gráfico:
MN = NQ + MQ
MN = 6 + 1
X = 7
Respuesta: B) 7
Problema 2
En un triángulo ABC se traza la media-
na BR; tal que AB = AR, m RBC 14   .
Halle m BAC .
UNI 2008 - I
A) 104°
B) 105°
C) 106°
D) 107°
E) 108°
Resolución:
• Piden m BAR
Sea: m BAR x
problemas resueltos
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CUADRILÁTEROS
TEMA 4
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• En el triángulo isósceles ABR tra-
zamos la mediana AM que también
es altura y bisectriz.
• Trazamos CH BR
• De: AMR CHR   se tiene:
RM = RH
• Sea CH = 3k
Entonces BH = 4(CH) = 12k
( BHC es not.)
• Luego: BM = MR = RH = 4k
RHC es not. (37° y 53°)
• Entonces m CRH 37 
ABR (isósceles): x + 2(37°) = 180°
• Por lo tanto x = 106°
Respuesta: C) 106°
Problema 3
En un cuadrilátero ABCD, las prolon-
gaciones de los lados BA y CD se
intersecan en M(A BM) y las prolon-
gaciones de los lados AD y BC se
intersecan en N(C BN) . Si los ángu-
los BAD y BCD miden 70° y 80° res-
pectivamente, determine el ángulo que
forman las bisectrices interiores de los
ángulos AMC y ANC.
UNI 2010 - I
A) 90° B) 100°
C) 105° D) 110°
E) 115°
Resolución:
Ubicación de incógnita
Piden: m MON x 
Análisis de los datos o gráficos
MC y NO
 
: Bisectrices
Operación del problema
Del gráfico:
(Propiedad sobre bisectrices)
110 100x
2
x 105
  
 
Respuesta: C) 105°