Tema 05 - Análisis de figuras I - Secuencia

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10UNI SEMESTRAL 2013 - III RAZ. MATEMÁTICO TEMA 5
ANÁLISIS DE FIGURAS I:
SECUENCIAS
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
En este capítulo estudiaremos los diversos métodos de
conteo que nos permitirán determinar la máxima cantidad
de figuras de cierto tipo, que se encuentran presentes en
una figura dada. Es importante que quede establecido la
diferencia entre figura simple y figura compuesta.
I. FIGURA SIMPLE
Es aquella que no contiene otra figura en el interior.
Ejemplo:
A B , , , etc.
II. FIGURA COMPUESTA
Es aquella que esta conformada por figuras simples.
Ejemplo:
A BM , , , etc.
III. MÉTODOS DE CONTEO
A. Conteo por simple inspección
Contamos las figuras que nos solicitan de manera
directa, utilizando únicamente nuestra capacidad
de observación. En este caso no se lleva ningún
registro de lo que se va contando, teniendo solo a
nuestra memoria como aliado.
B. Método combinatorio
Consiste en asignar dígitos y/o letras a todas las
figuras simples que componen la figura dada y lue-
go se procede contar de manera ordenada y cre-
ciente. Es decir, figuras con 1 dígito, figuras de 2
dígitos y así sucesivamente.
En este caso si se lleva un registro de lo que se va
contando.
C. Conteo por inducción
Se aplica cuando la figura dada presenta una forma
ordenada y repetitiva. Se empieza analizando casos
pequeños parecidos a la figura principal.
Observaciones:
• Para el conteo de segmentos, triángulos, cuadrilá-
teros, etc; en figuras de la siguiente forma, se apli-
cará la misma fórmula.
• En una figura como la siguiente:
n(n+1) m(m+1)N° de cuadriláteros= x
2 2
DESARROLLO DEL TEMA
11UNI SEMESTRAL 2013 - III RAZ. MATEMÁTICO TEMA 5
ANÁLISIS DE FIGURAS I: SECUENCIAS
Problema 1
¿Cuántos triángulos contienen a lo más
2 asteriscos en su interior?
*
*
*
UNI
Nivel fácil
A) 19 B) 15
C) 24 D) 29
E) 14
Resolución:
Debemos contar los triángulos que no
contienen asteriscos, los triángulos que
contienen un asterisco y los que
contienen dos asteriscos.
Observando la figura, tendremos:
N° de triángulos sin asterico: 2
N° de triángulos con 1 asterico: 9
N° de triángulos con 2 asteriscos: 3
Total: 14
 N° de triángulos que contienen a lo
más 2 asteriscos: 14
Respuesta: E) 14
Problema 2
¿Cuántos triángulos hay en la figura?
UNI
Nivel intermedio
A) 10 B) 20
C) 30 D) 40
E) 50
Resolución:
Por el método combinatorio, asignare-
mos dígitos.
1
2
3
4
5
Triángulos con:
1 dígito: 1, 3, 5, 4 ................... 4
2 dígitos: 23, 45, 24, 35 ........... 4
3 dígitos: 124 .......................... 1
4 dígitos: 2345 ........................ 1
Total: 10
Respuesta: A) 10
Problema 3
¿Cuántos segmentos hay en la figura?
1 2 3 n.........
UNI
Nivel intermedio
A)
2n(n 1)
n

B)
n(n 1)
n

 C) 
(n 1)
2n

D)
n(n 1)
2

E)
n(n 1)
2n

Resolución:
Por el método inductivo:
1 2
1 2 3
1 2 3 4
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4
# de segmentos
Luego:
1 2 3 n.........
 
n(n 1)1 2 3 ... n
2
     
Respuesta: D) 
n(n+1)
2
problemas resueltos