Tema 05 - Circunferencia I

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19UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 5
CIRCUNFERENCIA I
GEOMETRÍA
I. CONCEPTO
Es el lugar geométrico de todos los puntos que cum-
plen con la propiedad de equidistar de otro punto fijo
denominado centro. A dicha distancia constante se le
llama radio.
Elementos:
Centro : "O" Radio : OA
Diámetro : BC Cuerda : MN
Arco : BD R. Tangente : TR

Apotema : OH Flecha o sagita : PH
R. Secante : SR

Pto. de Tangencia : “T”
II. TEOREMAS FUNDAMENTALES
1. El radio trazado con respecto al punto de tangencia,
es perpendicular a la recta tangente que la contiene.
 
2. En toda circunferencia, un diámetro o radio es per-
pendicular a una cuerda. Si y solo si pasa por el punto
medio de dicha cuerda. Si: AB MN .
 MH HN
3. En toda circunferencia, a cuerdas congruentes se
oponen arcos congruentes y viceversa. Si: AB CD .
 
 AB CD
4. En toda circunferencia cuerdas paralelas determi-
nan que los arcos comprendidos entre dichas pa-
ralelas sean congruentes. Si: BC // AD.
  AB CD
5. Si desde el centro de una circunferencia se trazan
perpendiculares a dos cuerdas congruentes; en-
tonces se cumple que dichas perpendiculares son
congruentes. Si: AB = CD ; OM = ON
DESARROLLO DEL TEMA
20UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA I
TEMA 5
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6. Si por un punto exterior a una circunferencia se
trazan segmentos de tangentes, entonces se cum-
ple que dichos segmentos son congruentes.
 AB BC
III. POSICIONES RELATIVAS ENTRE 2 CIR-
CUNFERENCIAS
A. Exteriores
1OO R r 
B. Interiores
 1OO R r 
C. Tangente interiores
 1OO R r 
D. Tangentes exteriores
 1OO R r 
E. Concéntricas
 1OO 0
F. Ortogonales
 2 2 21OO R r 
G. Secantes
1R r OO R r   
IV. TEOREMA DE PONCELET
En todo triángulo rectángulo la suma de las longitudes
de los catetos es igual a la longitud de la hipotenusa
más 2 veces la longitud del radio de la circunferencia
inscrita.
c a b 2r   r: inradio
V. TEOREMA DE PITOT
En todo cuadrilátero circunscrito se cumple que la suma
de las longitudes de 2 lados opuestos es igual a la
suma de las longitudes de los otros 2 lados opuestos.
Cuadrilátero circunscrito es aquel cuadrilátero en el cual
se puede inscribir una circunferencia.
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CIRCUNFERENCIA I
 a c b d  
VI. TEOREMA DE STEINER
En todo cuadrilátero exinscrito se cumple que la dife-
rencia de las longitudes de 2 lados opuestos es igual a
la diferencia de las longitudes de los otros 2 lados opues-
tos. Cuadrilátero exinscrito es aquel cuadrilátero en el
cual las prolongaciones de sus lados son tangentes a
una misma circunferencia.
 a c b d  
VII.PROPIEDADES ADICIONALES
1. AC = BD
2. AD = BC
3. AM = AN = P
P = Semiperímetro ABC .
5. BT = P – b
SC = P – c
AR = P – a
P = Semiperímetro ABC .
6. PQ = BC – AB
7. AM = UD
MN = PQ
8. a cAC r r 
9. b a cr r r r  
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CIRCUNFERENCIA I
TEMA 5
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Problema 1
En el gráfico; PQ y T son puntos de
tangencia si mATB 140º ; hallar "x".
Nivel fácil
Resolución:
Observación:
 
wx
z

Piden: x
ST = SQ = SP
Luego:
x = 70°/2
x = 35°
Respuesta: 35°
Problema 2
Según el gráfico O es punto de tan-
gencia. Hallar AB.
Nivel intermedio
Resolución:
Piden: AB
Se traza ANLB: trapecio
Se observa: ANOQ y OSBL: rombos
QOS : triángulo equilátero
AB = 4 + 4 + 4
AB 12 
Respuesta: 12
Problema 3
Del gráfico; hallar "x"; mTC 50 .
Nivel difícil
Resolución:
Piden: x
Se traza TQ
por propiedad: m PTQ 90º
Luego en 
x 65º 
Respuesta: 65°
problemas resueltos