Tema 05 - Ecuaciones III

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13UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 5
ECUACIONES III
ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN
Dado un número entero n 3 , un polinomio en variable
x con coeficientes en k de grado n, es una función de
la forma:P(x)  anx
n + an–1x
n–1 + ........ + a1x + a0, con
an  0.
A la cual llamaremos polinomio de grado superior, donde:
• x = es la variable independiente.
• aiK, son los coeficientes de las x y son constantes
que pueden ser cualesquiera números.
• K es un conjunto.
• an= coeficiente principal
• ao= término constante
• n = [P]° es el grado del polinomio P(x)
Observación:
El estudio de todo polinomio:
P(x)  anx
n + an–1x
n–1 + ... + a1x + a0
con an  0, a0  0 radica en el tratamiento de sus
coeficientes ia K y en particular de an y a0.
II. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁL-
GEBRA
Todo polinomio P(x) de grado n > 0 con coeficientes
complejos en general, tiene al menos una raíz gene-
ralmente compleja.
Colorario:
Todo polinomio P(x) de grado n > 0, tiene exacta-
mente "n" raíces.
Por ejemplo P(x) = x5 + x – 1 tiene en total 5 raíces
entre reales e imaginarias, asimismo podemos decir que
4F(x) x tiene en total 4 raíces (cada una es igual a
cero).
Propiedad
Todo polinomio: P(x) = anx
n + an–1x
n–1 + ... + a1x + a0
 de
grado n > 0, n Z , an  0; con coeficientes complejos
en general, tiene exactamente n raíces y P(x) puede
ser expresado en la forma P(x)=an(x – r1) (x – r2)... (x
– rn) y ri es raíz de P(x).
III. POLINOMIOS CON COEFICIENTES
REALES
A. Teorema (paridad de las raíces imaginarias)
Si un polinomio P(x) con coeficientes reales tiene
como raíz el número imaginario Z, entonces Z tam-
bién es raíz de P(x).
Observaciones
• La paridad de raíces imaginarias, refiere lo
siguiente, si Z = a + bi, con b  0 es raíz de
un polinomio P(x) entonces Z = a – bi tam-
bién es raíz de P(x).
• Si Z = a + bi es raíz del polinomio P(x), entonces
(x – Z) (x – Z) será un factor de P(x).
Propiedad
Un polinomio con coeficientes reales puede escri-
birse como el producto de un número real, multi-
plicado por factores cuadráticos irreductibles con
coeficientes reales y factores lineales con coefi-
cientes reales.
B. Teorema (paridad de raíces irracionales)
Si un polinomio P(x) con coeficientes racionales tiene
como raíz a b , donde b es irracional, a y b son
racionales; entonces a b también es raíz de P(x).
Sea P(x) un polinomio con coeficientes racionales.
Si ( a b) es raíz del polinomio P(x), donde a,
b, ab son irracionales, entonces a b, ; a b, 
a b  también son raíces de P(x).
Si la raíz ( a b) es de multiplicidad K, las otras
raíces también son de multiplicidad K.
DESARROLLO DEL TEMA
14UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA
ECUACIONES III
TEMA 5
Exigimos más!
IV. RELACIONES ENTRE LAS RAÍCES Y
LOS COEFICIENTES
Dado el polinomio de grado n > 0:
P(x) = anx
n + an–1x
n–1 + ....... + a0
an  0 (con coeficientes reales o complejos) y cuyos n
raíces son r1, r2, r3, ..., rn (reales o complejas, incluidas
tantas veces como se repiten las raíces múltiples), en-
tonces existen relaciones entre los coeficientes de P(x)
y las raíces ri.
Dichas relaciones se obtienen del siguiete modo:
• n n 1n n 1 0a x a x ... a 0

   
 
n n 1 n 2 0n 1 n 2
n
n n n
aa ax x x ... 0 a 0
a a a
        
 (1*)
• Como r1, r2, ..., rn son las n raíces de P(x), entonces
el polinomio P(x) se puede escribir como:
P(x) = an(x – r1) (x – r2) .... (x – rn)
Problema 1
La función polinomial:
 2
4 2
F(x, y, z) (x y)(y z 3)
[(Z y)(y x 3)] (x y z 3)
    
       
tiene N raíces (x, y, z). Entonces N es
igual a:
UNI 2008 - I
Nivel fácil
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Resolución:
   2 4
0 0
(x y)(y z 3) (z y)(y x 3)       
2
0
(x y z 3) 0    
Se genera un sistema de ecuaciones:
x y 0 y z 3 0
z y 0 y x 3 0
x y z 3 0
     

     
    
De donde:
1 
 
x y 0
z y 0
x y z 3 0
C.S. (1,1,1)
 

 
    
 
2 
x y 0
y x 3 0
x y z 3 0
C.S.
 

  
    
 
3 
y z 3 0
z y 0 C.S.
x y z 3 0
  

   
    
4  
y z 3 0
y x 3 0 C.S. (2; 1, 2)
x y z 3 0
  

     
    
N es igual a 2
Respuesta: C) 2
Problema 2
Determine el polinomio mónico de me-
nor grado de coeficientes enteros que
tenga como raíces a los números reales
2 3 y 3 2 . Dar como respuesta
la suma de sus coeficientes.
UNI 2007 - II
Nivel intermedio
A) 28 B) 42 C) 56 D) 70 E) 84
Resolución:
Por el teorema de la paridad de raíces
irracionales: Si una raíz es 3 2  la otra
será ( 3 2)  la cual origina el polinomio
cuadrático x2 + 6x + 7.
Análogamente: Si la otra raíz es 2 3 
la otra será 2 3  que origina el
polinomio: (x2 + 4x + 1).
Por lo tanto el polinomio mónico será:
P(x) = (x2 + 6x + 7)(x2 + 4x + 1)
Nos piden: P(x) (14)(6) 84 
Respuesta: E) 84
Problema 3
Dados los siguientes polinomios: P(x)
de grado 2 y término independiente
uno; y Q(x) = (x – 1) P(x) + 3x + 1.
Si Q(2) = 7 y P(1) = 2, halle la suma
de raíces de Q(x).
UNI 2004 - II
Nivel intermedio
A) 0 B) 8/3
C) 10/3 D) 4
E) 5
Resolución:
De los datos: P(x) = ax2 + bx + 1
Q(x) = (x – 1) (ax2 + bx + 1) + 3x + 1
Pero:
Q(2) 7; (1)(4a 2b 1) 7 7
4a 2b 1......(1)
    
  
P(1) 2; a b 1 2
a b 1...(2)
   
 
de (1) y (2) = a 3 / 2;b 5 / 2  
De donde:
3 23 3Q(x) x 4x x
2 2
   
se pide:
1 2 3
4 8x x x
3 / 2 3
    

Respuesta: B) 8/3
Como P(x) = 0  an(x – r1)(x – r2)....(x – rn)=0,
an  0  (x – r1)(x – r2)....(x – rn) = 0
(2*)
• Pero son idénticos (1*) y (2*):
 n x 1 n 2 0n 1 n 2
n n n
aa a
x x x ...
a a a
     
1 2 n(x r )(x r )...(x r )      n n 11 2 nx r r ... r x     
   nn 11 2 1 3 1 2 3 nr r r r ... x ... 1 r r r ...r     
 
n 1
1 2 3 n
n
n 2
1 2 1 3 n 1 n
n
n 3
1 2 3 1 2 4 n 2 n 1 n
n
n 0
1 2 3 4 n
n
a
r r r ... r
a
a
r r r r ... r r
a
a
r r r r r r ... r r r
a
a
r r r r ...........r 1
a




 
     


   


      



  

problemas resueltos