Tema 06 - Números reales

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15UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 6
I. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LOS
NÚMEROS REALES
El sistema de los números reales, es un conjunto provisto
de dos operaciones internas (adición y multiplicación) y
una relación de orden y otra de igualdad.
Notación
Denotamos por  al conjunto de los números reales.
A. Axiomas de adición
(A1) a, b : a b    
(Clausura o cerradura)
(A2) a, b : a b b a    
(Conmutatividad)
(A3) a, b, c : a (b c) (a b) c      
(Asociatividad)
(A4) a : !0 / a 0 0 a a        
(Existencia y unidad del elemento neutro)
(A5) a : !(–a) / a (–a) (–a) a 0        
(Existencia y unidad del elemento inverso)
B. Axiomas de multiplicación
(M1) a, b : ab   
(Clausura)
(M2) a, b : ab ba  
(Conmutatividad)
(M3) a, b, c : a(bc) (ab)c  
(Asociatividad)
(M4)      a : !1 / a 1 1 a a   
(Existencia y unicidad del elemento neutro)
(M5)      1 –1 –1a – {0} : !a / a a a a 1   
(Existencia y unidad del elemento inverso)
C. Axioma distributiva
Distributividad de la multiplicación respecto de la
adición.
(D1) a, b, c : a(b c) ab ac    
(D2) a, b, c : (b c)a ba ca    
D. Relación de orden
Es una comparación que se establece entre 2 ele-
mentos de un conjunto que pertenece al campo
de los números reales, el campo real es un campo
ordenado.
Símbolos de la relación de orden:
> : "mayor que"  : "menor o igual que"
< : "menor que"  : "mayor o igual que"
II. DESIGUALDAD
Es una relación de orden que se establece entre dos
números reales de diferente valor.
Existen tipos de desigualdades.
6 > 1  (Desigualdad verdadera)
5 < –2  (Desigualdad falsa)
A. Axioma de tricotomia
Si a b   , entonces una y solamente una
de las siguientes relaciones se cumple:
NÚMEROS REALES
ÁLGEBRA
DESARROLLO DEL TEMA
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NÚMEROS REALES
TEMA 6
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B. Axioma de transitividad
Si: (a b) (b c) (a c); a,b, c      
C. Otros axiomas y teoremas de la desigualdad
a,b, c, d  , se cumple:
• a b a c b c    
• a b c d a c b d      
• Si: a b c 0 ac bc    
• Si: a ba b c 0
c c
    
• Si: a b –a –b  
• Si: 0 a b 0 c d 0 ac bd       
• 2a ;a 0  
• ab 0 {(a 0 b 0) (a 0 b 0)}        
• ab 0 {(a 0 b 0) (a 0 b 0)}        
• a y 1
a
 tienen el mismo signo  a – {0}
• Si a y b tienen el mismo signo y 1 1a b
a b
  
• Si: 1 1 1ab 0 a x b
a x b
      
• 2n–1 2n–1a b a b , n      
• 2n 2n0 a b a b , n       
• 2n 2na b 0 a b ; n       
• Si: a x b ab 0    entonces:
2 2 20 x Max(a ,b ) 
• Si: 0 a b  entonces a ba b
2
 
• Si: 0 a b  entonces a ab b 
D. Propiedades de desigualdades entre medias
Si: x1; x2; ... xn son números positivos, se define:
• Media aritmética de x1; x2; ... ; xn
MA (x1; x2; ...; xn) = 
n
i
i 1
1 x
n 

• Media geométrica de x1; x2; ...; xn
MG (x1; x2; ...; xn) =
n
n i
i 1
x


• Media armónica de x1; x2; ...; xn
MH (x1; x2; ... xn) = n
ii 1
n
1
x

• Media potencial de x1; x2; ...; xn
MP (x1; x2; ...; xn) =
n
k
ik
i 1
x
n


Entonces:
MP MA MG MH  
Para dos números: a  b, K  
k k
k a b a b 2ab
2 2 1 1
a b
   

E. Recta numérica real
Es la recta geométrica donde se puede ubicar los
números reales, es decir, existe una correspon-
dencia biunivoca entre el conjunto de los números
reales y esta recta.
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NÚMEROS REALES
Problema 1
Sean a, b, c y d cuatro números reales
positivos tal que a – b = c – d y a < c.
Decir la verdad o falsedad de las si-
guientes afirmaciones:
I. a c , si a b
b d
 
II. c a , sic d
d b
 
III.
c a
b d

UNI 2004 - I
 Nivel fácil
A) FFV
B) FVV
C) FVF
D) VFV
E) VFF
Resolución:
I. Si a < c
1 1 ; si a b a b 0
c a
     
Luego:
1 1(c d) (a b)
c a
  
d b1 1
c a
  
b d a c,
a c b d
  (V)
II. Si c < d  a < b
c a
d b
 (F)
III.
a c
b d
ab cd



c a
b d
 (F)
Respuesta: E) VFF
Problema 2
Sean los números racionales a1, a2, ...,
an tales que a1< a2 < ... < an–1 < an.
Entonces se cumple que:
UNI 2008 - II
Nivel fácil
A)  

n
i
n ni 1
1 n
a
a a
n
B)  

n
i
i 1
1 n
a
a a
n
C)

 
n
1 i n
i 1
a a a
D)

 
n
n n
1 i n
i 1
a a a
E)

 
n
1 n
i
i 1
a a
a
n n
Resolución:
Para un grupo de datos no todos iguales:
   
 1 2 3 n1 n
a a a ... a
a a
n
 , – son símbolos ideales, no son números rea-les, son simples representaciones.
problemas resueltos
18UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA
NÚMEROS REALES
TEMA 6
Exigimos más!
 

n
i
i 1
1 n
 a
a a
n
Respuesta: B)  

n
i
i 1
1 n
 a
a a
n
Problema 3
Clasifique como verdadero (V) o falso
(F) cada una de las siguientes afirma-
ciones:
• a,b números enteros, a/b es un
número racional.
• a,b números enteros, 
2
a b
1 a


es un número racional.
• Si k  y k2 es par, entonces k es
par.
UNI 2009 - I
Nivel difícil
A) FVV B) FFV
C) VFV D) VFF
E) FFF
Resolución:
a) Aplicación de teorema
Recordar:
 Número A / A Z B Z 0
racional B
       
 
b) Solución del problema
• Es falso, cuando b = 0.
• Es verdadero, porque en:
2
a b
1 a


; 2(1 a 0) 
• Es verdadero:
o
o
2
K 2
K .2 K Z

  
Respuesta: A) FVV