Tema 07 - Inecuaciones I

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19UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 7
INECUACIONES I
ÁLGEBRA
2. Aplicar uno de las teoremas siguientes:
I. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)       
II. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)       
III. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)       
IV. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)       
D. Método de los puntos de corte
Sea: 2
P(x)
ax +bx +c 0
Consideraciones previas
• En la resolución de una inecuación cuadrática
se transpone, si es necesario, todos los términos
a un sólo miembro de la desigualdad.
1. Factorizar la expresión cuadrática si es posible;
si no se puede factorizar aplicar la fórmula cuadrática.
2. Hallar los puntos de corte (valor de x) igualando
a cero el factor o los factores.
3. Ubica los puntos de corte en la recta numérica real.
4. Denotar las zonas o regiones determinadas por los
puntos de corte colocando los signos intercalados
empezando por la derecha con signo positivo.
5.
I. Si: P(x) > 0, el conjunto solución es la unión
de intervalos positivos (abiertos).
II. Si: P(x) 0 , el conjunto solución es la unión
de intervalos positivos (cerrados).
II. Si: P(x) < 0, el conjunto solución es el inter-
valo negativo (abierto).
IV. Si: P(x) 0, el conjunto solución es el inter-
valo negativo (cerrado).
Teorema
Sea: ax2 + bx + c > 0; a > 0
Si:    2b 4ac 0
Se verifica para todo x diferente de 
b
2a   bC.S. : x 2a
Teorema
Sea: ax2 + bx + c < 0; a > 0
Si:    2b 4ac 0
No se verifica para ningún valor real "x".
C.S. : x
I. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Son aquellas inecuaciones de la forma:
I. ax2 + bx + c > 0
II. ax2 + bx + c > 0
III. ax2 + bx + c < 0
IV. ax2 + bx + c  0
Donde:  a 0 ;b, c   
A. Método de resolución de inecuaciones de se-
gundo grado con una incógnita
I. Método de completar cuadrados.
II. Método de la ley de signos de la multiplicación.
III. Método de los puntos de corte.
B. Método de completar cuadrados
Sea: ax2 + bx + c  0
1. El coeficiente de x2 debe ser 1, si no lo fuese
entonces se divide a ambos miembros entre a.
2 bx cx 0
a a
  
2. El término independiente se pasa al segundo
miembro.
2 b cx x
a a
 
3. Se busca obtener un trinomio cuadrado perfecto,
sumando a ambos miembros la mitad del coe-
ficiente de x elevado al cuadrado.
2 2
2 b b c bx 2(x)
2a 2a a 2a
                   
4. Escribiendo el primer miembro como un binomio
al cuadrado y reduciendo el segundo miembro.
2 2
2
b b 4acx
2a 4a
     
5. Finalmente:
Teorema
2x m x m x m;m 0      
2x m x m x m;m 0      
C. Método de la regla de signos de multiplicación
 Sea: ax2 + bx + c  0
1. Se factoriza el trinomio (factor común, dife-
rencia de cuadrados, aspa simple)
DESARROLLO DEL TEMA
20UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA
INECUACIONES I
TEMA 7
Exigimos más!
donde todos los ai son diferentes entre sí, para
luego aplicar: el método de los puntos de corte.
III. INECUACIONES FRACCIONARIAS
Son aquellas inecuaciones que reducida a su mas simple
expresión asume la siguiente forma general:
P(x) 0
Q(x)

Donde:
P(x) Q(x) son polinomios no nulos con coeficientes
reales.
Resolución:
Se tiene: 
(x)
(x)
P 0
Q
Multiplicamos a ambos miembros por:
(x) (x)
(x)
(x)
2
2 P QQ 0
Q
 
Expresión reducida:
P(x) Q(x) > 0; no olvidando: Q(x) 0
Para luego utilizar el método de los puntos de corte.
Teorema
Sea: ax2 + bx + c > 0; a > 0
Si: b2 – 4ac < 0
Se verifica para todo valor real “x”.
C.S. : x 
Teorema
Sea: ax2 + bx + c < 0; a > 0
Si: b2 – 4ac < 0
La inecuación no se verifica para ningún valor real “x”.
C.S. : x
II. INECUACIONES POLINOMIALES
Son aquellas que presentan la siguiente forma general:
n n-1 n-2
0 1 2 n-1 nP(x) a x a x a x ... a x a 0     
x  Variable
a0; a1; a2; ... an  Coeficientes
n Z n 2  
• Reducir el polinomio mediante factorizaciones ob-
teniendo la forma equivalente siguiente:
     1 2 nx a x a ... x a 0   
Problema 1
Halle el valor de a , para que la ine-
cuación 2 2(a 14) x 4x 4a 0    , tenga
como solución el conjunto [–2; 4].
UNI 2010-II
A) –6 B) –4 C) –2 D) –1 E) –1/2
Resolución:
(a2 – 14)x2 – 4x + 4a  0
Se debe cumplir que:
2 2
a 4 a –4 7a a –4
2
4 4a2 –8
a – 14 a –14
     
  
 
Por tanto: a = –4
Respuesta: B) –4
Problema 2
Si el conjunto solución de la inecuación:
(2x – x) (3x – Log3x)(x
2 – 9)(3x – 9) > 0
es de la forma: S a;b c;   . Ha-
lle a + b + c.
UNI 2009-I
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5
Resolución:
(2x – x)(3x – log3x)(x
2 – 9)(3x – 9) > 0
Resolviendo:
De donde:     x x2 x 2 x 0; x 0
De donde:
x x
3 33 log x 3 log x 0; x 0    
Resolviendo:
(2x–x)(3x–log3x)(x+3)(x–3)(3
x–9) > 0
C.V.A. = Si: log3xR  x > 0
     x x x32 -x 3 -log x x 3 (x 3)(3 9) 0
 
    
Reduciendo:
(x – 3)(3x – 9) > 0
x x(x 3 0 3 9) (x 3 0 3 9)        
x(x 3 x 2) (x 3 0 3 9)       
x > 3  x < 2..... S1
Luego: C. S.: C. V. A  S1
S =  0; 2    3 ; + 
   
 a b c
 a + b + c = 5
Respuesta: E) 5
Problema 3
La inecuación x2 – 2bx – c < 0 tiene como
conjunto solución 3;5 . Halle b + c.
UNI 2008 - II
A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
Resolución:
Analizando:
  
 
2x 2bx c 0
x 3;5
Operando:
a) Aplicación de fórmula o teorema
• Suma de raíces: x1 + x2 = 
b
a

• Producto de raíces: 1 2
cx x
a

b) Solución del problema
–3  5 serán raíces de la ecuación:
x2 – 2bx – c = 0
Entonces:
1 2
2b
x x 2 b 1   
1 2
c
x x 15 c 15

   
Conclusión
 b + c = 16
Respuesta: A) 16
problemas resueltos