Tema 10 - Lógica - Proposicional

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28UNI SEMESTRAL 2013 - III RAZ. MATEMÁTICO TEMA 10
LÓGICA: PROPOSICIONAL
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
I. EQUIVALENCIAS LÓGICAS NOTABLES
Son leyes lógicas que permiten la transformación y sim-
plificación de un esquema molecular en otro más sim-
ple, cambiando una o más expresiones componentes
del esquema por sus equivalentes lógicos, sin alterar el
valor de verdad de la proposición la que corresponde
al esquema:
A. Ley de idempotencia
•  p p p
•  p p p
B. Ley conmutativa
•   p q q p
•   p q q p
•   p q q p
C. Ley asociativa
•     p (q r) (p q) r
•     p (q r) (p q) r
D. Ley distributiva
•      p (q r) (p q) (p r)
•      p (q r) (p q) (p r)
E. Leyes de Morgan
•   (p q) p q  
•   (p q) p q  
F. Ley de involución (doble negación)
( p) p 
G. Ley de Absorción
•   p (p q) p
•   p (p q) p
•    p ( p q) p q
•    p ( p q) p q
H. Leyes condicionales
  p q p q
I. Leyes bicondicionales
•     p q (p q) (q p)
•     p q (p q) ( p q) 
J. Leyes del Complemento
V: una tautología F: una contradicción
•  p p V
•  p p F
• V F
• F V
K. Transposición
•   p q q p 
•   p q q p 
L. Existencia del elemento neutro
•    V p p V p
•    F p p F F
•    V p p V V
•    F p p F p
V: Tautología F: Contradicción
II. CIRCUITOS LÓGICOS
Un circuito lógico es la representación gráfica de una o
más proposiciones, utilizando esquemas denominados
circuitos eléctricos.
Las proposiciones simples serán representadas como
interruptores en el circuito, abriendo o cerrado el circuito.
p
Proposición Interruptor
equivale
Si el circuito está asociado a una lámpara:
• El circuito funciona si la proposición es verdadera,
el interruptor está cerrado y pasa corriente.
DESARROLLO DEL TEMA
29UNI SEMESTRAL 2013 - III RAZ. MATEMÁTICO TEMA 10
LÓGICA PROPOSICIONAL
• El circuito no funciona si la proposición es falsa, el
interruptor está abierto y no pasa corriente.
P
Según la disposición de los interruptores en un circuito,
se tiene dos tipos de circuitos: serie y paralelo.
A. Circuito serie
Es aquel que está constituido por interruptores
dispuestos uno detrás de otro.
Para que el circuito funcione, todos los interruptores
deben de estar cerrados (proposiciones verdaderas).
El circuito serie presenta la conjunción de dos o
más proposiciones.
• p q se representa:
p q 
•  p q r se representa:
p q r 
B. Circuito paralelo
Es aquel que está constituido por interruptores
dispuestos uno al lado del otro. Si un circuito para-
lelo no funciona, todos sus interruptores están
abiertos (proposiciones falsas). El circuito paralelo
representa la disyunción débil de dos o más propo-
siciones.
• p q •  p q r
Se representa: Se representa:
p 
q 
 
p 
r 
q 
* El circuito que representa a la condicional: p q,
será:
p 
q
dado que:   p q p q .
* El circuito que representa a la bicondicional:
p q, será:
p q 
q p
dado que:     p q (p q) (q p)
Ejemplo:
Grafique el circuito equivalencia a:
  ((p q) s) t
Se toma el conectivo de menor jerarquía, en
este caso la condicional p q:
p 
q
Se asocia con el conectivo siguiente, en este
caso la disyunción, en  , en paralelo con s .
p 
s 
q 
Finalmente todo el circuito mostrado, se asocia
por la conjunción  , en serie con t, obtiéndose
la siguiente representación:
p 
s 
q t 
Problema 1
Señale el circuito equivalente a la pro-
posición:
    [(p q) p] [ p ( p q)] 
UNI 2012 - I
A) p
B) q
C) p
D) q
E) p q
Resolución:
Ubicación de incógnita
Halle el circuito equivalente.
Análisis de los datos o gráficos
    [(p q) p] [ p ( p q)] 
Aplicación de fórmula, teorema o
propiedad
• Ley del condicional:
  p q p q
• Leyes de absorción:
  
  
p (p q) p
p (p q) p
Operación del problema
    
   
   
   
 
  
[(p q) p] [ p ( p q)]
( p q) p ( p) ( p q)
( p q) p p ( p q)
(p q) p p ( p) q
p (p q)
p (p q) p
  
   
  
   

Conclusiones y respuesta
De reducir la expresión usando las leyes
propo-sicionales queda "p".
problemas resueltos
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LÓGICA PROPOSICIONAL
TEMA 10
Exigimos más!
Respuesta: A) p
Problema 2
Si la proposición:
  (p q) (r s) 
es falsa. El valor de verdad de p, q, r, s
(en ese orden) es:
UNI 2012 - I
A) FFVV
B) FVVF
C) VFVF
D) VVFF
E) FVFF
Resolución:
Ubicación de incógnita
Halle el valor de verdad de p, q, r, s
(en ese orden).
Análisis de los datos o gráficos
   (p q) (r s) F 
Operación del problema

 
   (p q) (r s ) F
V
V F
V F
 
 
Conclusiones y respuesta
Se deduce: 

r V
s V
entre p y q al menos 1 debe ser una
verdadera.
Rpta: p; q; r ; s
F F V V
Respuesta: A) FFVV
Problema 3
Ind icar el valor de verdad de las
proposiciones.
Resolución:
Análisis de los datos o gráficos
    ( p q) (r s) F
Operación del problema
Usando los datos:
Entonces:
I.
II.
III.
Respuesta: C) VFF