Tema 17 - Funciones trigonométricas I - Dominio y rango

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57UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 17
 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I:
DOMINIO Y RANGO
TRIGONOMETRÍA
CONCEPTO
Las funciones trigonométricas son el conjunto no vacío de
pares ordenados (x; y) tal que la primera componente es
un valor angular expresado en radianes (número real) y la
segunda componente es el valor obtenido mediante una
dependencia funcional.
A. Función seno
 2f (x; y) / y Senx; x    
Luego:
Domf  
Ranf [ 1;1]es decir 1 Senx 1    
Periodo de f es 2.
B. Función coseno
 2f (x; y) / y Cosx; x    
Luego:
Domf  
Ranf [–1;1]es decir 1 Cosx 1   
Periodo de f es 2.
C. Función tangente
  2f (x; y) / y Tanx; x (2n 1) ;n2        
Luego:
 Domf (2n 1) / n Z2   
Ranf  
Periodo de f es  .
D. Función cotangente
2f (x; y) / y Cotx, x {n };n          
Luego:
Domf {n / n }    
Ranf  
Periodo de f es  .
E. Función secante
  2f (x; y) / y Secx; x (2n 1) ;n2        
DESARROLLO DEL TEMA
58UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I: DOMINIO Y RANGO
TEMA 17
Exigimos más!
Luego:
 Domf (2n 1) / n2    
Ranf 1;1  
Periodo de f: 2.
Problema 1
Si f(x) = aSenkx, g(x) = a Cos kx son
funciones cuyas gráficas se muestran
en la figura adjunta. Calcular las coor-
denadas en el punto P.
UNI 1989
Nivel fácil
A) ; 2
3
  
 
B)  5 ; 212 
C) 2;
3 2
   
 
D) 5 2;
12 2
   
 
E) 5 ; 2
3
  
 
Resolución:
• P está debajo del eje "x"  orde-
nada negativa.
• Las funciones tienen como periodo
2
3

 y su máximo valor es 2.
a 2
f(x) asenkx f(x) 2sen3x2 2 K 3
k 3 g(x) 2 cos 3x

      


0 0 0 0
00 0
ComoP f(x) y 2sen3x 2Sen3x 2Cos3x
tg3x 1ComoP g(x) y 2cos3x
    
    
Luego: 0 0
53x ó 3x
4 4
  
No olvidar que y0 es negativo.
Si: 0 0 03x y 2sen y 24 4
     
(No se acepta esta solución)
Si: 0 0 0
5 53x y 2sen y 2
4 4
      
(Si)
 5Las coordenadas deP : ; 212 
Respuesta: B)  5 ; 212 
Problema 2
¿Cuál es el máximo valor que puede
tomar la función f(x) = sen(x – 90°)
en el intervalo [0; 72°]?
UNI 1986
Nivel intermedio
A) Sen (–20°) B) –1
C) –1/2 D) –0,55
E) –Sen18°
Resolución:
Como: 0 x 72  
 90 x 90 18       
sen( 90 ) sen (x 90 ) sen( 18 )       
1 sen(x 90 ) sen18      
1 f(x) sen18    
Respuesta: E) –Sen18°
Problema 3
Si f(x) Cos( Cosx)  es de periodo T1
y g(x) = sen4x es de periodo T2, en-
tonces el valor de T1 + T2 será:
UNI 1991
Nivel difícil
A) 2

B) 
C)
3
2

D) 2
E)
5
2

Resolución:
Dada una función H(x) se denomina pe-
riodo al menor número, T (T > 0) tal que:
H(x + T) = H(x)
x que pertenece al dominio de la fun-
ción. Entonces:
1 1
f(x) cos ( cos x)
f(x T ) cos ( cos (x T ))
 
    
Igualando, se deduce que: 1T  
4
4
2 2
g(x) sen x
g(x T ) Sen (x T )
 

  
Igualando, se deduce que: 2T  
Luego: 1 2T T
2
    
 
Respuesta: D) 2
F. Función cosecante
2f (x; y) / y Cscx; x {n };n          
Luego:
 Domf n / n    
Ranf 1;1  
Periodo de f: 2.
problemas resueltos