Tema 18 - Derivadas I

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51UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 18
DERIVADAS I
ÁLGEBRA
Dada la ecuación y = f(x), generalmente, si cambiamos el
valor de x es lógico pensar que cambie el valor de y. Trata-
remos de hallar una relación que nos permita, de alguna
manera, medir estos cambios.
Esta idea será sumamente fructífera ya que muchos proble-
mas reales (físico y/o geométricos) requieren analizar la re-
lación entre las variaciones de dos magnitudes.
Veamos algunas consideraciones elementales que nos van
a permitir tener una visión más clara de esta idea.
Consideremos una función "f" real de variable real continua
en el intervalo a; b tal que y = f(x). Sea 0x a;b , es
decir a < x0 < b. Si al punto x0 le sumamos una cantidad
pequeña x llamada incremento, encontramos el punto
0x x x   , supondremos que el punto x a;b .
El incremento que experimenta la función al pasar del pun-
to x0 a 0x x x   , lo representaremos por y , siendo por
tanto 0y f(x) f(x )   , tal como se observa en la figura ad-
junta:
Luego el cociente de los dos incrementos se llama "cociente
incremental", entonces:
0
0
f(x) f(x )y 
x x x
 
 
Si trazamos una recta que pase por los puntos (x0, f(x0))
y (x, f(x)) cuya ecuación es: y = mx + b, se tiene:
De donde:
0
0
f(x) f(x )yTan( )
x x x
  
 
y f(x) mx b  
0 0 0y f(x ) mx b  
Entonces:
0
0
(mx b) (mx b)
Tan( ) m
x x
  
  

Luego:
tg m 
m Tan ( )  se le llama "pendiente" de la recta .
Se observa además que la pendiente de la recta :
y = mx + b
es el coeficiente principal.
I. DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN
Se denomina derivada de la función f a la función de-
notada por f' cuya regla de correspondencia es:
h 0
f(x h) f(x) f '(x) Lim 
h
     
DESARROLLO DEL TEMA
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DERIVADAS I
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Donde su dominio está formado por los valores de x
del dominio de f, para los cuales el límite dado existe.
En este caso decimos que f es derivable o diferenciable.
Otras notaciones
Además de la notación f(x) para la derivada de y = f(x)
se utilizan:
dy df(x)y ' ; ; ; D , y
dx dx
Se lee: “Derivada de f con respecto a x”.
II. REGLA GENERAL PARA HALLAR LA DE-
RIVADA DE UNA FUNCIÓN
h 0 x 0
f(x h) f(x) f(x x) f(x)f(x) Lim Lim
h x  
              
• Se suma a la variable x un incremento x 0  y se
calcula f(x x)  .
• Se forma el incremento y de la función corres-
pondiente al incremento x de la variable x, es
decir, se calcula     y f(x x) f(x).
• Se divide ambos miembros por el incremento x
es decir:
y f(x x) f(x)
x x
   
 
• Se calcula 
x 0
yf(x) lim
x 


III. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE
LA DERIVADA
Consideremos al gráfico de la función f, representada
por la curva y = f(x), tomemos los puntos A y B, el
punto B muy próximo al punto A cuyas coordenadas
son (x, f(x)) como se muestran en la figura:
• En este caso hemos supuesto un h > 0. Observa-
mos que B es un punto de la gráfica de F que se
desliza a través de ella a medida que variamos h. Si
hacemos que h se aproxime a cero, la recta AB ini-
cialmente secante se convierte en tangente.
• Observamos que antes de hacer esta aproxima-
ción de h a cero, la pendiente de la recta AB era:
s
f(x h) f(h)m
h
 
Y ahora haciendo que h 0 , la pendiente de la
recta (que ahora es tangente) es:
s
h 0
f(x h) f(x)m Lim
h
     
Y es lo que hemos definido como la derivada de f.
En conclusión:
f'(x) representa geométricamente (en caso de exis-
tir) a la pendiente de la recta tangente (de la gráfi-
ca de f) en el punto (x, f(x)), con x Domf y don-
de Domf ' Domf .
IV. DERIVADAS LATERALES
Dada la función f real de variable real definidos y deno-
tamos:
A. Derivada por la derecha de f en el punto x0
0 0
0
h 0
f(x h) f(x )
f (x ) Lim
h
 
'
Si tal límite existe.
B. Derivada por la izquierda de f en el punto x0
' 0 0
0
h 0
f(x h) f(x )
f (x ) Lim
h
 


Si tal límite existe.
Observación
Es consecuencia inmediata de la definición de lí-
mite que f(x) existe sí y solo sí las derivadas late-
rales existen y son iguales.

' '
0 + 0 0
 f '(x )=f (x ) f (x )
Por lo tanto f es diferenciable en x0.
Teorema
Si la función f es diferenciable en x0 entonces f es
continua en x0.
Observaciones
• Si la función no es continua en x0, entonces
f no es diferenciable en x0.
• Si f es continua en x0, no se puede afirmar
que f sea diferenciable en x0.
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DERIVADAS I
Corolario
Si la función f es diferenciable sobre el intervalo I,
entonces f es continua sobre I.
Observación
Sea f una función definida en [a; b]; a < b dire-
mos que f es diferenciable en todo el intervalo
[a; b] si lo es en a;b y además existen 'f (a) y
'f (b) .
V. DERIVADA DE ALGUNAS FUNCIONES
ELEMENTALES
A. Teoremas
1. Sea "c" una constante. Si f(x) = c, entonces
   f '(x) 0; x .
2. Si f(x) = x, entonces f '(x) 1; x   .
3. Sea "n"  . Si f(x) = xn, entonces  n 1f '(x) nx ,
x .
VI. ÁLGEBRA DE LAS DERIVADAS
A. Teorema
Sean f y g diferenciables en un intervalo I y c es
una constante, luego.
1. f g es diferenciable en I y
(f g) '(x) f '(x) g '(x); x I    
2. c f es diferenciable en I y
(cf) '(x) c f '(x); x I  
3. f g es diferenciable en I y
(f g) '(x) f '(x) g(x) f(x) g '(x); x I     
4. f/g es diferenciable en I, si g(x) 0 , x I  y
2
f '(x) g(x) f(x) g '(x)'f (x)
g g(x)
       
 
VII.DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRI-
GONOMÉTRICAS
1. Si f(x) = Senx, entonces f'(x) = Cosx; x 
2. Si f(x) = Cosx, entonces f'(x) = –Senx; x 
3. Si f(x) = Tanx, entonces f '(x) = Sec2x:
    x ,k(2k 1)
2
4. Si f(x) = Cotx, entonces f'(x) = Csc2x;   x k ,
k 
5. Si f(x) = Secx, entonces:
f '(x) Secx Tanx  ;    x (2k 1) ,k2
6. Si f(x) = Cscx, entonces:
f '(x) Cscx Cotx   ;     x k , k
Problema 1
Si deseas cercar un jardín rectangular
y si tienes 200 metros de cerca, ¿cuá-
les son las dimensiones del jardín más
grande que puedes cercar?
A) 50 B) 60
C) 70 D) 80
E) 200
Resolución:
Tenemos:
Dato:
2x + 2y = 200  x + y= 100
  y = 100 – x
Maximizando el área: f(x) = xy
Entonces:
f(x) = x(100 – x)
f(x) = 100x – x2
f'(x) = 100 – 2x = 0
Luego:
x = 50; y = 50
Dimensiones:
Largo: 50 m
Ancho: 50 m
Respuesta: A) 50
Problema 2
Hallar los valores extremos de:
f(x) = 3x2 – x3
Resolución:
Tenemos:
f(x) = 3x2 – x3
f'(x) = 6x – 3x2 = 3x(2 – x)
Puntos críticos:
x = 0  x = 2
 f''(x) = 6 – 6x
problemas resueltos
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Luego:
f''(0) = 6 > 0 entonces f(0) = 0
es un mínimo relativo.
f''(2) = –6 < 0 entonces f(2) = 4
es un máximo relativo.
Problema 3
En un cono de altura 16 cm y radio 9 cm
se inscribe un cilindro de radio r. De-
termine el radio y la altura del cilindro
de mayor volumen si sabemos que tiene
radio entero.
UNI
Nivel difícil
A) 644 ,
9
B) 805 ,
9
C) 166 ,
3
D) 327 ,
9
E) 168 ,
9
Resolución:
• VO’B  VOA
9 r 16rH 16
16 16 H 9
   

• 2cilindro
16rV r (16 ) Derivando
9
   
248 r32 r 0 r 6
9
    
16H
3

Respuesta: C) 166 ,
3