Tema 25 - Estudio de la recta

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83UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 26
ESTUDIO DE LA RECTA
TRIGONOMETRÍA
I. ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PEN-
DIENTE
Dada un recta L al ángulo (tomado en sentido anti-
horario) formado por la dirección positiva del eje de
abscisas y la recta se denomina ángulo de inclinación y a
la tanente de dicho ángulo se le llama pendiente (m).
El ángulo de inclinación : 0 180     
La pendiente: m Tan 
Ejemplos:
Determinar el ángulo de inclinación y la pendiente en
cada caso.
•
•
•
La pendiente también se puede determinar conocien-
do dos puntos por donde pasa la recta.
Sabemos que m = Tan, de la figura se deduce:
2 1
2 1
y y
m
x x



Ejemplo:
Calcular la pendiente de la recta que pasa por:
A(–5; 1) y B(–8; 5)
II. ECUACIÓN DE LA RECTA
A. Conociendo un punto de la recta y su pendiente
DESARROLLO DEL TEMA
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ESTUDIO DE LA RECTA
TEMA 26
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1 1y y m(x x )
(Ecuación punto pendiente)
  

Ejemplo:
• Hallar la ecuación de la recta que pasa por (–5; 6)
y su ángulo de inclinación es 60°.
• Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2; 8)
y (–1; 4).
B. Conociendo los interceptos con los ejes coor-
denadas
yx 1
a b
(Ecuación simétrica)
 
C. Ecuación general de la recta
La ecuación general de una recta se representa
así:
Ax By C 0 A, B, C R   
De ésta, se deduce que la pendiente:
Am ,B 0
B
  
Ejemplo: (Hazlo tú)
• Hallar la ecuación general de una recta que pasa
por (–3; 1) y (5; 2).
• Determinar la pendiente en cada caso:
L1 : 4x – 2y + 5 = 0
L2 : 3x + 5y – 7 = 0
D. Rectas paralelas y perpendiculares
Dada dos rectas no verticales L1 y L2 son paralelas
si y sólo sí tiene igual pendiente.
 1 2m m
Dadas dos rectas no verticales L1 y L2 son perpen-
diculares si y sólo sí el producto de sus pendientes
es –1.
1 2m m 1 
Ejemplos:
• Si L1 : 4x – 3y + 7 = 0, hallar la ecuación de L2
sabiendo que es paralela a L1 y pasa por (–6; 1).
• Si L1 y L2 son perpendiculares tal que;
L1 : 2x – 3y + 5 = 0.
Hallar la ecuación de L2 sabiendo que pasa por
(2;4).
E. Distancia de un punto a una recta
Sea L : Ax + By + C = 0
Entonces: o o
2 2
Ax +By +C
d =
A +B
Ejemplo:
Calcular la distancia del punto (–2; 5) a la recta
L : 4x – 3y – 7 = 0.
F. Ángulo entre dos rectas
Sea  el ángulo agudo formado por las rectas L1 y
L2, entonces:
1 2
1 2
m m
Tg
1 m m

 

Nota: Si. m1 m2 = –1  = 90°
Ejemplo: Hallar el ángulo agudo formado por las
rectas: L1 : x – 7y + 6 = 0 ; L2 : x – y – 1 = 0
Propiedad
Distancia entre rectas paralelas.
Dadas las rectas:
L1 ; Ax + By + C1 = 0
L2 ; Ax + By + C2 = 0
 
1 2
2 2
C C
d
A B



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Problema 1
Los lados AB, BC y AC del triángulo ABC
son dados mediante sus ecuaciones co-
rrespondientes:
4x + 3y – 5 = 0; x – 3y + 10 = 0; x – 2 = 0
Determinar las coordenadas de sus vér-
tices.
 UNI
Nivel intermedio
A) A(–2; 1), B(1; –3), C(–2; –4)
B) A(1; –2), B(–1; –3), C(–2; 4)
C) A(2; –1), B(–1; 3), C(2; 4)
D) A(2; –3), B(–1; 3), C(2; –4)
E) A(2; –2), B(–1; 1), C(–2; 4)
Resolución:
Sean LAB; LBC y LAC las rectas que con-
tienen a los lados AB, BC y AC res-
pectivamente del triángulo ABC.
Para calcular las coordenadas de los
vértices A, B y C debemos resolver los
siguientes sistemas de ecuaciones:
{A} = LAC  LAB
x 2
A(x; y) A(2; 1)
4x 3y 5 0

  
  
{B} = LBC  LAB
x 3y 10 0
B(x; y) B( 1; 3)
4x 3y 5 0
  
  
  
{C} = LBC  LAC
x 3y 10 0
C(x; y) C(2; 4)
x 2
  
 

 Las coordenadas de sus vértices
son:
A(2; –1), B(–1; 3), C(2; 4)
Respuesta: C) A(2; –1), B(–1; 3),
C(2; 4)
Problema 2
El área de un triángulo es S = 8 unidades
cuadradas; dos de sus vértices son los
puntos A(1; –2), B(2; 3) y el tercer vértice
C está en la recta 2 x + y – 2 = 0. Deter-
minar las coordenadas del vértice C.
 UNI
Nivel difícil
A) C1(1; –4) o C2(20/7; 36/7
B) C1(–1; 4) o C2(25/7; –36/7)
C) C1(1; 4) o C2(2/7; –3/7)
D) C1(1; –4) o C2(–25/7; 36/7)
E) C1(–4; 6) o C2(15/7; 36/7)
Resolución:
Elaborando el gráfico que mejor represente
el enunciado, tenemos:
Observa que las coordenadas de C
están relacionadas por la ecuación de
LC, ahora calculemos el área del triángulo,
aplicando:
 
1S (7 6x) ( 2 x)
2
    
1S 9 7x
2
  
Por datos, sabemos que:
S = 8
Desarrollando:
9 7x 8 9 7x 16
2
    
Resolviendo:
x = –1  x = 25/7
Luego, reemplazando valores en C, obte-
nemos:
x = –1  C(–1; 4)
x = 25/7  C(25/7; –36/7)
 Las coordenadas del vértice C,
serán:
C1(–1; 4) o C2(25/7; –36/7)
Respuesta: B) C1(–1; 4) o C2(25/7;
–36/7)
Problema 3
Sea:
  2 2 2A x;y /x cos t, y sen t;     
Entonces podemos afirmar que:
A) A es una semicircunferencia.
B) A es un segmento de recta.
C) A es una semielipse.
D) A es una recta.
E) A es un segmento de parábola.
problemas resueltos
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Resolución:
Ubicación de incógnita
  2 2 2x; y / x cos t; y sen t; tA      
Análisis de los datos o gráficos
2t 0 cos t 1 0 x 1       
2t 0 sen t 1 0 y 1       
2 2 2x cos t x y sen t cos t
2 x y 1y sen t
   
 

Operación del problema
Graficamos: x + y = 1
Si:
0 x 1 0 y 1    
El conjunto A
como se ob-
serva en el grá-
fico nos repre-
senta un seg-
mento.
Respuesta: B) A es un segmento
de recta