Tema 26 - Estudio de la circunferencia

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87UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 27
ESTUDIO DE LA
CIRCUNFERENCIA
TRIGONOMETRÍA
I. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
La forma general de la ecuación de segundo grado, la
cual define una sección cónica, es:
 
2 2Ecuación de Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + Ey + F = 0
Segundo Grado
Las ecuaciones de segundo grado se pueden enfocar
desde el punto de vista de la determinación de la
ecuación de un lugar geométrico; esto es, la ley que
rige el movimiento de un punto en el plano se puede
dar como definición de una curva. A partir de esta
clase de definición podemos encontrar la expresión
algebraica que describa la trayectoria del punto móvil.
Estos puntos y líneas pertenecen todas a un plano y,
por esto, se llaman curvas planas e incluyen al círculo,
la parábola, la elipse y la hipérbola.
II. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIR-
CUNFERENCIA
Una circunferencia es el lugar geométrico de un punto
que se mueve en tal forma que su distancia de un
punto fijo es siempre una constante.
El punto fijo del círculo se llama centro y la distancia
constante se llama radio.
Para determinar la ecuación de la circunferencia,
hacemos que C(h, k) sea el punto fijo, P(x, y) el punto
móvil, o generador, y CP = r la distancia constante,
como en la figura. Entonces utilizamos la fórmula de la
distancia para obtener la forma ordinaria de la ecuación
de la circunferencia.
2 2
2 2 2
Ecuación de
(x h) + (y – k) = rla circunferencia
(x h) + (y – k) = r(forma ordinaria)


... (I)
Como esta ecuación es satisfecha por todos los puntos
de la circunferencia y no por otros, la ecuación se de-
nomina forma ordinaria. Con centro (h, k) y radio r.
Algunas veces se conoce como forma centro-radio de
la ecuación de una circunferencia pues expresa las
coordenadas del centro y la longitud del radio.
• Si r2 > 0, la circunferencia es real. (Si r2 < 0, la
circunferencia es imaginaria).
• Si r2 = 0, el círculo e sun círculo puntual.
• Si el centro del círculo es el origen, entonces:
(h, k) = (0, 0) y x2 + y2 = r2
Ejemplo 1:
• Si el centro del círculo está en (3, –2) y el radio es
4. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia?
Solución: A partir de la forma ordinaria (4-1),
tenemos:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
(x – 3)2 + (y + 2)2 = 16
Entonces: x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0
• Hallar la ecuación de la circunferencia con centro
(2, –1) y radio 3.
Solución: Como h = 2, k = –1 y r = 3
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
(x – 2)2 + (y + 1)2 = 32
Entonces: x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0
III. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUN-
FERENCIA
• Toda ecuación de la circunferencia se puede reducir
a la forma general de segundo grado:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
DESARROLLO DEL TEMA
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ESTUDIO DE LA CIRCUNFERENCIA
TEMA 27
Exigimos más!
Para obtener una ecuación general la circunferencia,
volvemos a la ecuación. Desarrollando los binomios,
reordenando y transponiendo a r2, obtenemos:
 (x – h)2 + (y – k)2 = r2
x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0
Haciendo D = –2h, E = –2k y F = h2 + k2 – r2
(término constante), tendremos la forma general:
2 2
Ecuación de
x + y + Dx +Ey +F = 0la circunferencia
(forma general)
El recíproco también es verdadero.
• Toda ecuación de segundo grado de la forma:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Representa una circunferencia.
Para demostrarlo, primero dejamos los términos c y los
términos en y al lado izquierdo del signo igual y pasamos
el término constante a la derecha del signo igual:
x2 + Dx + y2 + Ey = –F
A continuación, completamos cuadrados en las expre-
siones cuadráticas: Sumamos el cuadrado de la mitad
del coeficiente del término de primer grado de "x" a
los términos en "x" y el cuadrado de la mitad del coefi-
ciente del término en primer grado de "y" a los términos
en "y"; sumamos ahora, al lado derecho, las mismas
cantidades. Esto nos dará:
       2 2 2 22 2
2 2
D E D Ex Dx y Ey F
2 2 2 2
D E 4F
4
        
 
Ahora, los términos en "x" e "y" son cuadrados perfectos
y podemos escribir:
   2 2 2 2D E D E 4Fx y2 2 4    
que es la expresión algebraica de la condición de que
un punto móvil (x, y) permanece a una distancia constante
2 21
2
D E 4F  de un punto fijo (–D/2, –E/2). Por lo tanto,
es la ecuación de una circunferencia con centro en (–D/2,
–E/2) y radio 2 21
2
D E 4F  .
Nota
Como el radio está expresado en forma de radical, la
ecuación representa una circunferencia real, una cir-
cunferencia puntual o una circunferencia imaginaria
cuando el radical es positivo, cero o negativo, respec-
tivamente.
Ejemplo:
Transformar la ecuación 4x2 + 4y2 – 12x + 4y – 26 = 0
a la forma ordinaria y dibujar su gráfica.
Solución: Primero, dividimos por 4:
2 2
2 2
4x 4y 12x 4y 26 0
26x y 3x y 0
4
    
    
A continuación, dejando espacios en blanco para los
términos que se sumarán para completar cuadrados,
pasamos el término constante al lado derecho:
2 2 26x 3x y y
4
   
El cuadrado de la mitad del coeficiente del término en
primer grado de x se ubica en el primer espacio y el
cuadrado de la mitad del coeficiente del término en
primer grado en y lo colocamos en el segundo espacio
y, entonces:
2 29 1 26 9 1x 3x y y
4 4 4 4 4
       
Es decir:
   2 2 23 1x y 32 2   
Esta es la ecuación de un círculo en la forma pedida.
A partir de la ecuación, podemos ver que el centro es
(h, k) =  3 1(h, k) ,2 2  y que el radio es 3, tal como
aparece en la figura.
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ESTUDIO DE LA CIRCUNFERENCIA
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Problema 1
El punto C(3; –1) es el centro de una
circunferencia que intercepta en la
recta 2x – 5y + 18 = 0 una cuerda,
cuya longitud es igual a 6. Calcular la
ecuación de esta circunferencia.
 UNI
Nivel fácil
A) 38
B) 40
C) 42
D) 52
E) 60
Resolución:
Elaboramos el gráfico y ubicamos los
datos correspondientes:
Aplicando la fórmula de la distancia de
un punto a una recta, tenemos:
2 2
2(3) 5( 1) 18
CM CM 29
2 ( 5)
  
  
 
Ahora, calculamos "r" en el triángulo
rectángulo CMB:
22 2r 29 3 r 38   
Luego, la ecuación de la circunferencia
es:
22 2(x 3) (y ( 1)) 38   
 (x – 3)2 + (y + 1)2 = 38
Respuesta: A) 38
Problema 2
¿Cuál es la ecuación de la circunferencia
cuyo centro está sobre la recta:
y + x = 0
Además, pasa por los puntos (3, 4) y
(3 2, 7)?
UNI 2011-II
A) x2 + y2 = 5
B) x2 + y2 = 9
C) x2 + y2 = 15
D) x2 + y2 = 16
E) x2 + y2 = 25
Resolución:
Ubicación de incógnita
Hallar la ecuación de la circunferencia.
Análisis de los datos o gráficos
El centro pasa por la recta y + x = 0
Los puntos (3; 4) y (3 2, 7) perte-
necen a la circunferencia.
Operación del problema
1. Aplicación de fórmula, teorema o
propiedad
2 2 2(x – h) (y – k) R 
2. Solución del problema
Como el centro pasa por la recta
y + x = 0
 (h; k) = (x; –x)
2 2 2 2(3–x) (4 x) (3 2 –x) ( 7 x)    
 9 2x –6x 16 2x 8x 18  2x –6 2x 7 2x 2 7x
2x –4 7x
x 0 h k 0    
2 2 2(3 – 0) (4 – 0) R  
2R 25 
2 2x y 25  
Método práctico
Reemplazar (3; 4) en las claves:
E = (3)2 + (4)2 = 25
2 2x y 25  
Respuesta: E) 2 2x y 25 
Problema 3
En la figura mostrada ABCD es un
cuadrado de lado 2R, además BC es
diámetro de la semicircunferencia de
centro O y radio de longitud R. Si T es un
punto de tangencia entonces m TOA
es:
UNI 2009-I
A) 7,5
B) 8
C) 10
D) 10,5
E) 12,5
problemas resueltos
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ESTUDIO DE LA CIRCUNFERENCIA
TEMA 27
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Resolución:
Ubicación de incógnita
Se pide la mTOA = x
Análisis de los datos o gráficos
ABCD es un cuadrado; BC es diámetro;
T es punto de tangencia.
Operación del problema b) Solución del problema: Del gráfico:
OBA: 53ºm BAO
2

m TDC 53º ; m TDA 37º   
Conclusiones
TOAD: 90º + x = 90º– 53º
2
 + 37º
 x = 10,5
Respuesta: D) 10,5