Tema 26 - Números complejos I

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81UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 29
NÚMEROS COMPLEJOS I
ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN
El sistema de los números complejos es el conjunto C de
todos los pares ordenados, de componentes reales,
z = (x,y) y dos operaciones llamadas adición y multipli-
cación tales que para cualesquiera dos elementos que
pertenezcan a C, como por ejemplo: z1 = (x1;y1) y z2 =
(x2;y2) se definen:
– z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) … (adición)
– z1  2z = (x1x2 – y1y2; x1y2 + x2y1) … (multiplicación)
II. FORMA CARTESIANA O BINÓMICA DE
UN COMPLEJO
Teorema
Todo número complejo z de la forma z = (x;y) será
posible expresarlo como z = x + yi tal que i 1  se
denominará unidad imaginaria.
Es decir z (x; y) x yi ; i 1    
Ejemplo:
z (2; 3) 2 3i  
w (0;3) 0 3i 3i   
Si:
Re(z)....(Parte Real de z)
z x yi
Im(z)....(Parte Imaginaria de z)

   

A continuación vamos a definir para los números com-
plejos "x + yi" la relación de igualdad y las operaciones
de adición y multiplicación del siguiente modo:
A. Igualdad de números complejos
Dos complejos son iguales, si y sólo si sus partes
reales y sus partes imaginarias son iguales respecti-
vamente. Así:
1 1 2 2 1 2 1 2 x y i x y i x x y y       
B. Adición entre números complejos
Para hallar la suma entres dos números complejos, se
sumarán las partes reales y también las partes imagina-
rias.
Así:
1 1 2 2 1 2 1 2 (x y i) (x y i) (x x ) (y y )i       
C. Multiplicación entre números complejos
Para hallar el producto de multiplicar 2 números
complejos, para la parte real se multiplicaran las
partes reales menos el producto de las partes ima-
ginarias. Y para la parte imaginaria se multiplicará la
parte real con la segunda parte imaginaria au-
mentando en el producto de multiplicar la primera
parte imaginaria con la segunda parte real.
Así:
     1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 (x y i) (x y i) (x x y y ) (x y x y )i 
III. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA (PLA-
NO DE GAUSS)
En el plano cartesiano denominaremos al eje Y como
eje imaginario y al eje x como eje real.
Sea:     z a bi / a 0 b 0
Entonces su representación en el plano de "Gauss"
será como sigue:
DESARROLLO DEL TEMA
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IV. CANTIDADES IMAGINARIAS
Son aquellos números que resultan de extraer una raíz
de índice par a un número real negativo.
Así por ejemplo:
   4 2n1; 2; 5; 16
Donde: n
De todos estos el más importante es 1 ; al cual de-
nominaremos unidad imaginaria, cuya notación univer-
sal es  i 1 .
Aplicación:
16 16( 1) 16 1 4i     
5 5( 1) 5 1 5i     
A. Unidad imaginaria
El número complejo (0; 1) es la unidad imaginaria;
tiene la particular notación i = (0;1).
Teorema
 2i 1; i (0;1)
Prueba
   
   
  
2
2
 i (0;1)(0;1) (0 1;0 0)
 ( 1;0) 1
 i 1
Teorema
 y ; (0; y) yi  
Prueba

   
 
 yi (y; 0)(0;1)
 (0 0; y 0) (0; y)
(0; y) yi
B. Potencias enteras de la unidad imaginaria
Estudiaremos el comportamiento del número ni ;
n   ; teniendo en cuenta la siguiente definición:
 0 1 i 1 ; i i 
1
2
3 2
4 2 2
5 4
6 4 2
7 4 3
i i
i 1
i i i i
i i i ( 1)( 1) 1
i i i i
i i i 1
i i i i

 
  
    
 
  
  





8 4 4
9 4
10 8 2
11 8 3
12 8 4
i i i 1
i i i i
i i i 1
i i i i
i i i 1
 
 
  
  
 





Se observa que las potencias enteras de "i" se re-
piten cada cuatro veces y sólo toman uno de los
cuatro valores i; –1; –i; 1; esto merece una espe-
cial atención.
Propiedades
Se observa principalmente que:
  4 8 12i 1 ; i 1 ; i 1 ; etc.
Esto implica que la unidad imaginaria elevado a un
múltiplo de cuatro es igual a la unidad.
Por lo tanto i4 = 1
En general 
o
4i 1
Luego deducimos que:
      
o o o
4 1 4 2 4 3i i i i ; 1; i 
Generalizando:
    
o
4 k ki i ; k 
Luego se deduce:
 
  
o
4 k– – ki i ; k 
Teorema
    k k ki ( 1) i ; k 
Propiedades
Sea i 1  la unidad imaginaria:
1.    2 3 4i i i i 0
2.        4k 4k 1 4k 2 4k 3i i i i 0 ; k
3.         n n 1 n 2 n 3i i i i 0 ; n
V. TIPOS DE NÚMEROS COMPLEJOS
A. Complejo real o puramente real
Es aquel número complejo que carece de la parte
imaginaria; es decir su parte imaginaria es cero.
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Notación:
 z x 0i x ; z    
B. Complejo imaginario puro
Es aquel número complejo que carece de la parte
real; es decir su parte real es cero; además su parte
imaginaria es diferente de cero.
Notación:
   z 0 yi yi ; y 0     
C. Complejo nulo
Es aquel número complejo que presenta la parte
real e imaginaria igual al número cero; es decir las
dos componentes son nulas.
Notación:
 z 0 0i 0  
1. Definición
• Dado el complejo z = x + y; se define el
complejo conjugado de z, denotado por z,
como:
 z x yi  
Representación geométrica de z = x + yi;
(   x 0 y 0) de su conjugado y su opuesto.
Propiedades
1 2z; z ;z  
1. z z z es complejo real  .
2. z z
3. z z z* z es complejo imaginario    .
4. z z 2Re(z) 
5. z z 2iIm(z) 
6. 1 21 2z z z z  
7. 1 21 2z z z z
8.      
 
11
2
2 2
z z ; z (0;0)
z z
9.    nnz z ; n   
10.   nn z z ; n  
VI. DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Sean los números 1 2 2z , z z (0,0) para efectuar la
 1
2
z
z habrá que multiplicar a z1 y z2 por 2z con lo
cual se obtiene:
1 2z a bi;z c di   
  
  
1
2
z (a bi)(c di)a bi
z c di (c di)(c di)
  
2 2
(ac bd) (bc ad)i
c d
2 2 2 2
a bi ac bd bc ad 
c di c d c d
   
  
VII.MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN
COMPLEJO
Dado z = a + bi ; el módulo o valor absoluto de z es un
número real no negativo denotado por z ; tal que
2 2 z a b  .
Observación
a;b z a | z | | a |    
 z bi | z | | b |  
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Problema 1
Reducir:
i2 + i4 + i6 + .... + i102
A) i
B) –i
C) 1
D) –1
E) 0
Resolución:
Recordemos que:
    4K 2 4Ki i 0; K
En el problema:
      
2 4 6 98 100 102E i i i ... i i i
se anulan cadados
   102 4K 2 2E 0 i i i
  E 1
Respuesta: D) –1
Problema 2
Si     5 3i x yi; x, y .
Calcular:  yx
y x
A) 
10
3
B) 
10
3
C)  5
3
D) 
5
3
E) 
15
2
Resolución:
Elevando al cuadrado ambos miembros
de la igualdad tenemos:
5 – 3i = x2 – y2 + 2xyi
Por igualdad de complejos:
    2 2 3x y 5 xy
2
Se pide calcular el valor de:
  
2 2y x yxK
y x xy
   10K
3
Respuesta: A) 
10
3
Problema 3
Calcular z siendo:
   z (2 i)(3 i)(1 i)
A) 2 10
B) 10
C) 10
D) 10 2
E) 2 5
Resolución:
Por propiedad se plantea:
    z 2 i 3 i 1 i
  z 5 10 2 100
 z 10
Respuesta: C) 10
Propiedades
De la definición de módulo se desprende las siguientes
propiedades; sean 1 2Z; Z ; Z  entonces:
1.    z 0 ; z 0 z (0;0)
2. *z z z 
3.
2z z z 
4. (z) z ; Im(z) z  
5. 1 2 1 2z z z z
6. 11 2
2 2
zz
 ; z (0;0)
z z
  
7. nnz z ; n   
8. n nz z ; n n 2   
9. 1 2 1 2z z z z  
10. 1 2 1 2z z z z  
VIII.POTENCIACIÓN
La potenciación en forma binómica tiene muchas limi-
taciones; por ello se utiliza cuando las potencias son
pequeñas.
Resultados importantes
    
      
     
  
 
2 2
3 3
4 4
(1 i) 2i ; (1 i) 2i
(1 i) 2i(1 i) ; (1 i) 2i(1 i)
(1 i) 4 ; (1 i) 4
1 i 1 ii ; i
1 i 1 i
problemas resueltos